2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷【测试范围：沪教版选择性必修第一册】（全解全析）

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷

（沪教版2020）

（考试时间：120分钟,分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版2020选择性必修第一册（数列占50%）。

5.难度系数：0.75o

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.设等比数列｛«„｝满足q+&=T，%-％=-3,则％=.

【答案】-8

【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求知.

q+aq=-1

【解析】令公比为4,则A可得42+3«+2=色+2)(4+1)=0，

q_qq-=_3

所以《=-2或g=-l（舍），可得％=1,则为=%/=_8.

故答案为：-8

2.圆X?+4x+「=。的半径为

【答案】2

【分析】根据圆的一般方程半径公式求解.

【解析】圆/+以+/=0的半径为一叵近壬0=2.

2

故答案为：2.

3.过点43,-4）且平行于向量2=（1,2）的直线的点法式方程是

【答案】2(x-3)-(y+4)=0

【分析】根据给定条件，求出直线的一个法向量，再求出点法式方程.

【解析】依题意，直线的方向向量为2=(1,2),则该直线的法向量为〃=(2,-1),

所以该直线的点法式方程是2(x-3)-3+4)=0.

故答案为:2(X-3)-(T+4)=0

4.双曲线/一2=1的左焦点尸到其中一条渐近线的距离为

2

【答案】V2

【分析】由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案.

【解析】详根据题意可得a=1,6=拒,c=6，

所以左焦点厂为(-73,0),渐近线方程为y=±!x=±41x,

即缶±y=0,所以左焦点尸到其中一条渐近线的距离为刀匹=后.

V2+1

故答案为：V2.

5.«=(-2,1,0),^=(1,0,1),则向量£在向量B上的投影向量是.

【答案】(-1,0,7)

【分析】由投影向量计算公式即可直接求解.

【解析】向量£在向量加上的投影向量是：

「卜°$卜&'=¥3=9(1,0,1)=(-1,0,-1).

HM2

故答案为：(T,0,-1)

6.S“为等差数列｛叫的前"项和，$9=-36,几=-1。4,则%与力的等比中项为.

【答案】±472

【分析】通过已知条件可求得出=-4,%=-8,再根据等比中项的定义即可求得答案.

【解析】解：因为｛%｝为等差数列，且Sg=-36,几=704,

所以Sg=9(%广)=一36,凡3=I'%；%)=_104,

所以9%=—36,13%--104,

解得。5=-4,%=-8,

所以％与%的等比中项为±4也.

故答案为：±4&

7.与圆q：x2+（y-2^=l,C2：/+/=i都相切的直线有条.

【答案】3

【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数.

【解析】圆G：一+（尸2）、1的圆心为G（o,2）,半径为11,

。2：—+/=1的圆心为62（0,0）,半径为弓=1,因为|C©=2=1+1=4+G，

所以圆G与圆C2外切，与圆G，C2都相切的直线有3条.

故答案为：3

+00+00

8.己知数列｛4｝为无穷等比数列，若则工同的取值范围为.

z=li=\

【答案】[2,+8）

【分析】利用无穷等比数列的前〃项和公式及性质即可得解.

【解析】因为｛与｝为无穷等比数列，£%=-2,

Z=1

+°°a

所以0<|q|<l,贝1JZq=;^-=-2,贝I]%=-2（1-4）,

z=ii—q

因为M=14,所以⑷是以时为公比的等比数列，且0<|@<1,

\an\

所以£同=反=|-2（l-g）|_2（1-g）

止匕时1一9>0,

/=11一|9|1-回1-回

2（l-g）_2（l-）

当0<q<1时,g=2.

1-|4l-q

2（1-幻2（1-^）4-2（l+q）4、

当一1<9<0时,--=-------=-------=----2,

1-|同1+41+q\+q

44

因为一l<q<0,所以0<1+夕<1,故>4,则可2>2；

1+q

—n+00+oo

综上:Hu即上图22,故工同的取值范围为［2,+s).

1—i=li=l

故答案为：［2,+oo).

9.数列｛为｝满足：““为正整数，an+1=<2为偶数,若%=1,则%+%+%+…+?024=.

,3%+1,%为奇数

【答案】4723

【分析】利用递推关系式可推得数列｛6｝是周期为3的周期数列，从而利用数列的周期性即可得解.

&a为偶数

【解析】因为%+i=2'"।,%=1,

.3%+1,“"为奇数

所以。2=3%+1=4,«3=-y=2,a4=-y=1,…，

以此类推，可知4+3=%，即数列｛七｝是周期为3的周期数列，

所以%---H«2024=674(q+%+/)+%+a2

=674x(1+4+2)+1+4=4723.

故答案为：4723.

10.某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒，在哨位。的正上方安装探照灯对警戒区域进

行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地44"四；假设2：视探照灯为点且距离地面20米;

假设3：探照灯"照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从44+1侧扫描到用4+1侧时，记为

一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环S*H=1,2,3,…).由此，通过调整”的俯角，逐次扫

描形成扇环耳、S］、S3….第一次扫描时，光斑的长轴为E尸，|。同=30米，此时在探照灯M处测得点尸的

俯角为30°(如图2).记区4」=4,经测量知|44|=80米，且｛〃｝是公差约为0.1米的等差数列，则至少需

要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.

A

【分析】依题意，OF=20C，=2073-30,得到｛4｝是以20&-30为首项，以0.1为公差的等差数列,

求出与80比较得到答案.

【解析】因为在Rt或WOF中，

NF=30°,OM=20,

所以。尸=20石，EF=20G-30,

故=20百-30,

故｛〃｝是以2073-30为首项，以0.1为公差的等差数列，

故S«=（206-30）左+乂丁）><0.1,

而见=74.06<80,S15~80.1>80,

故心=15.

所以至少需要15次才能将整个警戒区域扫描完毕.

故答案为：15.

11.已知尸是抛物线c：V=6x的焦点，A,3是C上不同的两点，。为坐标原点，若Q4_LO5,

OMLAB,垂足为"，则△OEm面积的最大值为.

9

【答案】a

【分析】依题意，设出直线。4的方程，求出小正,向，同理可得5（642,一64），从而得直线48的方程,

且知过定点。（6,0）,由条件得当点”到x轴距离为最大值3时，△。尸”的面积最大.

【解析】由题意知直线04的斜率存在且不为0,设直线04的方程为了=履化NO）,

联立1；=-二,解得m

因为直线的斜率G=-：,同理可得3（6后2,_6左），

当上2一时,用6,6）,5（6,-6）,或者/（6,-6）,5（6,6）,

因为西•无=0，所以。4_LO8,轴，“（6,0）,

即O,F,M三点共线，不符合题意；

-+6k,

当时,七"=七5=匚记’

—T—0/C

k2

直线N2的方程为了=/4卜-6-）-6后=/"（》-6）,

1-K、/1-K

所以直线过定点。（6,0）,

因为（WL4B,所以点M的轨迹是以OD为直径的圆（不包含点O,D）,

所以当点M到x轴距离为最大值3时，△。四饮的面积最大，

又尸仔,0）,则面积的最大值为;

Q

故答案为：—.

4

【点睛】关键点点睛：根据已知条件可得直线48的方程且过定点。（6,0）,本题关键点是将条件

转化为点M的轨迹是以。。为直径的圆（不包含点O,D）,即点初到x轴距离为最大值3时，△。制饮的

面积最大.

12.已知集合M=…M},〃N2/eN是由函数y=coSx,xe[0,2可的图象上两两不相同的点构成的

点集，集合S={a|a=两•两力=0,l,2「..,”,〃》2,〃eN},其中[（（）/）、耳（五,一1）.若集合S中的元素按照

从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差数列，当de]；,“时，则符合条件的点集M的个数为.

【答案】60

【分析】确定数列中最大值为1,最小值为-1,然后根据d分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点耳

的横坐标的值，然后由M中对应点的情形确定集合个数.

【解析】由已知名=函•函=1,%=西•西=-1,

设6（4%），则。,=函•砺=%,显然-IV%VI,

若d=l,贝i]S={-:1,0,1},因此有乂=0,

由cosx,=0,”[0,2扪得天g或当,对应*，0），2号，。），

同理乌（2兀,1）对应

集合“中已经含有点乙,4，

因此产生$={-1,01}的集合M中，点。3可有也可没有，。，。2至少有一个，

所以M的个数为2x3=6,

若d=g,则$={一1,-；,0,；,1},

1271f4兀1兀-5兀

COSX.=——,七=二-或二-，cos=—,玉=；或丁，

233233

.।—八/兀1、八/5兀1、八/2兀1、八/4兀1、

对应点Qq,不）,Q6（—，-5），0，一不），

产生的集合”中，点。可有也可没有，2,。2至少有一个，

。4，。5中至少有一个，。6，。7中至少有一个，M的个数为2x3x3x3=54,

综上，集合M的个数为6+54=60.

故答案为：60.

【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最

大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数.

二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正

确选项）

13.设直线/的方向向量是平面a的法向量是几则“力力是“///。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断.

【解析】当"，■时，直线/〃。或直线/在平面a上，故充分性不成立，

当/〃。时，则必有鼠必要性成立，

故■是/〃1的必要不充分条件.

故选：B.

2222

14.椭圆工+2=1与椭圆^―+工=1（左<9）的（）

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

【答案】D

【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.

丫22_______4

【解析】椭圆二+匕v=1的长轴长为5x2=10,短轴长为2X3=6,焦距为2后（3=8,离心率为三,

2595

22

椭圆正了+&=1（%<9）的长轴长为2mI,短轴长为2斥1，

焦星巨为2】（25-左）一（9一左）=8,离心率为后方，

所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.

故选：D.

15.设S,是首项为生,公比为0的等比数列｛〃,｝的前"项和，且S2023Vs2025<$2024，则（）.

A.%>oB.q>oc.|S，dD.闻<同

【答案】C

【分析】根据题意算出出024>-。2。25>0,可得-且可<0,由此对各项的结论加以判断，即可得结论.

【解析1S2023<$2025<$2024，

,,$2025-S2023〉。，^2025—§2024<。，即02024+。2025>°且02025<°，

^2024〉一〃2025>0，且。2024〉0,两边都除以〃2024，得可得-1<夕<0.

对于A,由的025=〃.2必<0，可得。1<0,故A项不正确；

对于B,由于-1<9<0,所以4>0不成立，故B不正确；

1n

对于C,因为一1<4<0,所以可得0<^-Wl.

i-q

结合S,,=驾二心，可得N=|矶|皆，4|%],故C正确；

\-q\-q

对于D,根据T<q<0且％<0,当。i=T,4=一!■口寸，耳卜1〉同二；，

此时叫<@不成立，故D不正确.

故选：C.

16.己知圆锥曲线r的对称中心为原点。，若对于r上的任意一点A,均存在r上两点3,c,使得原点。

到直线/C和8c的距离都相等，则称曲线「为“完美曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”.

下列判断正确的是（）

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①②都是真命题D.①②都是假命题

【答案】A

【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断；

对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断.

【解析】判断命题①：

已知过椭圆上任意一点A作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于8,C两点，连接2C.

根据直线与圆的位置关系，当2c与圆相切时，满足给定条件.

当2c与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近BC,直到2C

与圆相切；同理，当2c与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近2c直至相切.所以从直线与圆位置关系

的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得2C与圆相切，故①正确.

判断命题②：

当A在双曲线顶点时，过A作圆的切线，交双曲线于另外两点8,C.

由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段

BC,其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得

从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.

故选：A.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)

17.如图，在四棱锥尸中，平面48C。，底面48a)是正方形，PD=4D=4,Q为PB上一点.

(1)求证：平面尸平面NC。；

(2)当0为心中点时，求点2到平面NCQ的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)272.

【分析】(1)通过证明3DL/C和尸得出/C，平面尸30,再由直线NC在/C0面内，即可得出面

面垂直；

(2)建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量方和平面NC。的法向量，即可求出点2到

平面/C0的距离.

【解析】(1)由题意证明如下，

•..四边形N8CD是正方形，

BD1AC.

Z.PDLAC.

B。nP。=。,2。u平面尸AD,P°u平面尸AD,

NC_L平面尸AD.

•.^/Cu平面NC。，

平面尸8D_L平面NC。.

（2）由题意及（1）得，

在正方形N5CD中，ADLCD,

AB=BC=CD=AD=4

在四棱锥尸-/BCD中，PD=4,PO_L平面N8CD,。为PB中点,

NDu面A8C£>,CDu面ABC。，AD[}CD=D,

：.PD±AD,PDLCD,

所以就=（一4,4,0）,而=（-2,2,2）,荔=（0,4,0）,

设平面/C。的法向量为万=(x,%z),

AC-n=-4x+4y=0,

当x=l时，则亢=（1,1,0）,

设点B到平面ACQ的距离为d,

Z8.«=（0,4,0）.（1,l,0）=0+4xl+0=4,

AB-n\|Z8-n|

贝||"=网.卜os福万卜网.=20.

币FT一正

cc

18.己知数列｛%｝的前〃项和为S“,%=3,=-T=l（"\2）

nn-\

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令2=祟，求数列也｝的前〃项和

【答案】⑴。“=2〃+1

5,,«=1

【分析】(1)先求得S.，然后利用%=。0、.求得见.

(2)利用错位相减法求得［.

【解析】(1)由于%=3,2-辿=1(〃N2),3=?=3,

nn-l11

所以数列，2，是首项为3,公差为1的等差数列，

2

所以=n+2,Sn=n+2n,

当〃22时，Sn_1=（“一I）?+2（〃-1）二/一1,

所以%=S〃—S-=2〃+l（心2）,

4也符合上式，所以4=2〃+1.

2"2

12及+2

Ui」］

_3512"l2n+l_512H+1_52n+5

2.12"+122'i2n+122n+1

1-----

2

所以(=5-萨.

19.如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和。尺

分别与抛物线相切于/,B,A,5分别是PS和07?的中点.梯形的高和CD的长度都是4米.

(1)求杠杆的长度；

(2)求等腰梯形的周长.

【答案】(1)2亚米

(2)10及米

【分析】(1)以P。所在的直线为X轴，。为原点，P。的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系，设23、CD

分别与y轴的交点为川、N点，根据已知条件求出

C,。坐标，设抛物线的解析式为丁="2(。＜0),代入。求出抛物线方程，令＞=-2解得x可得答案；

(2)由(1)尸Q+SA=2/B=4亚米，设尸(”,0)(〃＞0),直线"的解析式为歹=履+，住*0),把4P

代入解得上,6,利用直线"的解析式与抛物线方程联立，再由A=0解得口=0=孝，可得及，A,8分

别是尸S和。7?的中点得Q?=PS=2AP,从而得出答案.

【解析】(1)以PQ所在的直线为x轴，。为原点，P。的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系，

设工反c。分别与了轴的交点为屈、N点，则了轴为图象的对称轴，

^,AM=MB=-AB,CN=ND=-CD,MN=0M=2米,PQ+SR=2AB,

22~

所以C(-2,-4),0(2,-4),设抛物线的解析式为了="2(。＜0),

代入。(2,-4)得、="2(。＜0)解得.=一1,所以歹=--(-2＜x＜2),

当y=-2时一2=*,解得x=±&,所以4-夜，-2),5(V2,-2),

所以AB=6-(~&)=23(米)，

所以杠杆N3的长度为2/米；

(2)由(1)PQ+SR=2AB=46米,A(-^2,-2),设尸(-p,0)(0>0),且pw后,

直线北的解析式为V=+b佑*0),

2

把“、尸代入得疣二)7解得‘近-p

..22P222〃C

所以直线的的解析式为J=不一X+万J，与抛物线方程联立得X+F—X+=0,

y/2-p72—p72-p72-p

因为尸S和QR分别与抛物线相切于4B,

所以-y^—-4P=0,解得好也，

72-p2

经检验，p=也是分式方程的根，符合题意，

2

所以尸卜孝,。］由勾股定理得/尸=+22=¥米,

因为4,5分别是PS和Q?的中点，所以0?=尸5=2/尸=3亚米,

所以0A+PS+尸0+SR=3也+3也+4亚=10也米,

即等腰梯形的周长为10亚米.

222

20.已知。为坐标原点，曲线G：1r-/=ig>0）和曲线C?：?+弓_=1有公共点，直线4：y^klx+b1

与曲线G的左支相交于/、B两点,线段N2的中点为M.

（1）若曲线£和G有且仅有两个公共点，求曲线G的离心率和渐近线方程.

（2）若a=2,直线4经过点（0,-3）,且恒司=乎，求直线4的方程.

⑶若直线公+H与曲线G相交于C、D两点，且直线。河经过线段C。中点N,求证：甘+片>i

【答案】（1）答案见解析

（2）y=-V2x-3

（3）证明见解析

【分析】（1）根据曲线G和C2有且仅有两个公共点，可得曲线6和Q的两公共点为左右顶点，从而可求出

。，再根据双曲线的离心率公式即可得解；

（2）设/（七,必）,3（%/2），联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解；

（3）联立方程，利用韦达定理可得左加=4（0<aW2）,同理可得自生=一1，再根据"蛆=生，即可

得出结论.

【解析】（1）因为曲线G和G有且仅有两个公共点，

所以曲线G和G的两公共点为左右顶点，

贝”。=2,曲线£的半焦距C=有，

所以曲线G的离心率e=9=",渐近线方程为y=±2x.

a22

2

（2）由题意可得：曲线G：'-廿=1和直线4：y=klx-3,

设直线4与曲线C1交与4（x”必）,2&,外）,

二_2=]

联立方程联立一，消去y得（1-%产+24幻-40=0,

y=ktx-3

24左八

M+X）=----------<0

A=（24=y+160（1-%）=16（10-4片）>0121-4.

可得且

J-4好/040八

X.X.=---------7>0

121-4好

整理得（呼一2乂146#+121）=0,解得奸=2或储=一注（舍去）,

即左=-五,所以直线4的方程>=-缶-3.

2=1

（3）联立<，一，消去y得（1-/引工2-2/左3-叫1+引=0,

y=kxx+bx

2a2k,b,

<0

A>0…=匚谪

则且，,可得/4>1,

-a2（1+b；）

>0

7a2kbjh

所以XM=]“/2

1-aM11一下斤

可得左1ML=」（02）,

XMa

22

同理可得：联立直线4：v=+a与曲线G：—+^=1,

42

可得上22k=-1，

XN2

因为2k=9，所以左式左

XMXN2

又因为a%：>1,

所以-+代=忏+小22》.早=/4>1,

4/2

当且仅当k=等，即0=血时，等号成立，

即左;+后>1.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

21.若数列｛七｝与｛"｝都是严格增数列且