2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：二次根式（十四大题型）解析版

重难点01二次根式十四大重难点题型

EQ知识梳理

▲知识点1：二次根式有关概念

1、二次根式的定义：一般地，我们把形如6（壮0）的式子叫做二次根式.其中“厂”

称为二次根号，〃为被开方数.

2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：力口、减、乘、除、乘方和开

方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.

3、最简二次本艮式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因

数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方

数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式.

▲知识点2：二次根式的有关性质

1、VT的性质：V^>o；a>0（双重非负性）.

202（a>0）的性质：

（VH）2=。（壮0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

fa（a>0）

3、的性质：Va2=\a\=]0（a=0）（算术平方根的意义）.

V—a（a<0）

▲知识点3：二次根式的相关运算

1、二次根式的乘除法

二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

用字母表示为：

（1）二次根式的乘法法则：Va*VF=Va-b（壮0,Z>>0）

（2）积的算术平方根性质：Va-b=y/a*Vb（定0,6>0）

（3）二次根式的除法法则：*=If（a>0,b>0）

7b\b

（4）商的算术平方根的性质：g=*（应0，6>0）

7b7b

2、二次根式的加减法

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行

合并.合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变.

3、二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.

（2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最

后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.

m题型解读

〈题型十巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值）

题型三二欠根式与绝对值的综合运用

次

题里四二次根式与三角形的综合运用AI〈题型十一二次根式的化简求值）

7题型十二利用有理数的意义求字喷子的值

愚型五二次根式乘除法法则成立的条件式

田真题精练

【题型一二次根式有意义的条件】

1.若依与有意义,则X的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【解答】解：根据题意，得

x-2>0,

解得x>2.

故选：B.

【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考

虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不

能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数.

2.（2024春•番禺区期末）下列二次根式有意义的范围为4的是（）

A.Vx+4B.Vx—4

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为0列出不等式，分别计

算即可.

【解答】解：4、x+420,解得-4,符合题意;

B、x-4^0,解得不符合题意；

C、x+4>0,解得x>-4,不符合题意;

D、x-4>0,解得x>4,不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是

解题的关键.

1

3.（2024春•白云区期末）若代数式局与有意义，则x的取值范围是（）

3223

A.xB.x牛飞C.x>-D.x>—

【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可.

【解答】解：由题可知，

2x-3>0,

3

解得》>万.

故选：D.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零

的条件是解题的关键.

4.无论。取何值，下列各式中一定有意义的是（）

A.VaB.Va2—1C.Va+1D.Va2+1

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数判断即可.

【解答】解：4vH不一定有意义，不合题意；

A，a2-1不一定有意义,不合题意；

CNa+1不一定有意义,不合题意；

的被开方数是正数，一定有意义，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解

题的关键.

5.（2024•莘县一模）已知函数、=乂零，则x满足的条件是__________.

X—3

【分析】本题考查了求函数的自变形及分式、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根

式的定义是解题的关键.

【解答】解：•••函数y=在与，

；.x+220,且X-3W0,

.,.X》-2且W3.

故答案为：X2-2且xW3.

【点评】根据分式及二次根式有意义的条件分析求解即可.

（x—2r

6.若代数式十万士:有意义，则x的取值范围是_____________.

2—V%—1

【分析】根据零指数基：。0=1（存0）可得X-2加，根据二次根式和分式有意义的条件可

得x-GO,且x-l¥4,再解不等式即可.

（久―2）°

【解答】解：•.•代数式之言有意义，

••x-2#0且％-1K）且x-1#4,

解得x>l且x^2且#5,

:.x的取值范围是企1且存2且存5,

故答案为：后1且存2且存5.

【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件和零次累，关键是掌握二次根式中

的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零.

【题型二根据二次根式是整数求字母的取值】

1.已知质三是整数，则自然数〃所有可能的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】由二次根式的定义即可求出答案.

【解答】解：由于20-论0,且色0,

.,•0<w<20,

由于质二^是整数，

.•.20-〃=0或1或4或9或16,

解得：”=20或19或16或11或4,一共5个.

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件.

2.若是整数，则满足条件的自然数〃的值可以是—（写出一个即可）.

【分析】先确定力的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的〃即可.

【解答】W：■••12-n>0,

•,.«<12,

是整数，

二当12-n=\时，n=ll.

故答案为：11.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题

的关键.

3.（2024春•鄂尔多斯月考）若71^菊是整数，则满足条件的最大自然数〃是.

【分析】根据二次根式有意义的条件可得16-n^O,得到n的取值范围，再根据题干要

求进行判断即可.

【解答】解：■是整数，

A16-心0,

解得〃W16,

且〃最大为16时，有，16-n=V16-16=0,

.♦.满足条件的最大自然数〃是16.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，理解被开方数是非负

数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开

方数中的字母取值范围.

4.（2024春•潮南区期末）已知近而是整数，则正整数"的最小值为.

【分析】先求出28=22X7,再得出答案即可.

【解答】解：V28n=V22X7n，

：我而是整数，〃为正整数，

：.n的最小值是7.

故答案为：7.

【点评】本题考查了二次根式的定义，能理解题意是解此题的关键.

5.已知71。是整数，求自然数〃所有可能的值；

【分析】根据二次根式结果为整数，确定出自然数〃的值即可；

【解答】解：•.•加不是整数，

••.18=0,18-n—\,18-九=4,18-n—9,18-n=\6,

解得：〃=18,n—\1,〃=14,〃=9,〃=2,

则自然数〃的值为2,9,14,17,18；

【点评】此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键.

【题型三二次根式与绝对值的综合运用】

1.已知实数x满足|2017-+/r-2018=x,求x-20172的值.

【分析】由绝对值的性质和已知，先求出x的值，再计算20172的值.

【解答】解：・•,实数x满足|2017-x|+W-2018=x,

•■•x>2018.

•■•x-2017+Vx-2018=x.

即〃—2018=2017.

.­•x-2018=20172.

•••X=20172+2018.

••.x-20*2

=20172+2018-20172

=2018.

【点评】本题主要考查了二次根式的性质，掌握绝对值的意义、二次根式的性质是解决

本题的关键.

2.已知x,y满足夕</久—3-13—x+5,试化简伙-5|_Jy2_]2y+36.

【分析】根据二次根式有意义的条件求出x,进而求出乃根据绝对值的性质、二次根式

的性质计算，得到答案.

【解答】解：由题意得，x-3^0,3-x20,

解得：x=3,

.,.y<5,

则原式=[y-5]-J(y-6)2=5-y-(6-y)=5-y-6+y=-1.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质以及二次根式的性质，掌

握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

3.(2024春•兴化市期末)实数或仄c在数轴上的位置如图所示，化简

J(Q-匕)2-("-C)2+|^|.

I________II______I»

ca0b

【分析】根据数轴得到cV〃V0Vb,再根据二次根式的性质、合并同类项计算即可.

【解答】解：由数轴可知：c<a<O<b,

贝(JQ-6<0,b-c>0,

V(a—h)2—Q、b—c)2+|c|

=b-a-b+c-c

~~~u.,

【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握

二次根式的性质是解题的关键.

4.实数a、6在数轴上的位置如图中的/、8两点.

(1)A点与表示-1点的距离是；

(2)化简|6—1|+7b2—4b+4.

■---A•••—B••A

—1a0lb2

【分析】(1)根据数轴上两点间的距离公式可得答案；

(2)根据数轴可知6-1>0,b-2<0,然后根据二次根式的性质化简即可.

【解答】解：(1)根据数轴可知：A点与表示-1点的距离是a+1,

故答案为：a+\；

(2)原式=6-1+J(6-2)2

=b-1+2-6

=1.

【点评】此题考查的是二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的性质是解

决此题关键.

5.已知，久2+8x+16+Vx2-12x+36=10,化简J(2久+8)2+2\x-6|

【分析】先由+8乂+16+Vx2-12x+36=10,求得x的取值范围，再判定2x+8>

0,x-6V0,根据绝对值的性质，即可解答.

【解答】解：V%2+8%+16+Vx2—12%+36=10,

JO+4)2+6/=10

|x+4|+|x-6|—10,

当x+4>0,x-6V0时，|x+4|+|x-6|=10成立，

/.-4<x<6,

.,-2x+8>0,x-6V0,

J(2%+8)2+2|x-6|=|2x+8|+2|x-6|=2x+8-2(x-6)=2x+8-2x+12=20.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是确定x的取值范围.

6.小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：

题目：若代数式+J(w-2)2的值是1,求机的取值范围.

解:原式=|刈-1|+|加-2|,

当机<1时，原式=(1-+(2-m)=3-2m=\,解得m=l(舍去)；

当l<m<2时，原式=(m-1)+(2-m)=1,符合条件；

当m>2时，原式=(w-1)+(«?-2)=2m-3=1,解得m=2(舍去)；

所以，加的取值范围是l<m<2.

请你根据小明的做法，解答下列问题：

(1)当3刍日5时，化简：J(m_3)2+J(771_5)2=；

(2)若代数式J(2-m)2—，(僧一6)2的值是4,求％的取值范围.

【分析】(1)先利用二次根式的性质得到原式=|a-3|+|%-5],再根据加的范围去绝对

值，然后合并即可；

(2)先利用二次根式的性质得到原式=|〃?-2|-|俏-6|,再讨论:m<2或2<m<6或m>

6,然后分别去绝对值确定满足条件的用的范围.

【解答】解：，“勺彷5,

AV(m—^)2+7(m—5)2=\m-3|+|m-5|

=m-3-(m-5)

=m-3-m+5

=2；

故答案为2；

(2)原式=|加-2\-\m-6|,

当加V2时，原式=(2-m)-(6-m)=-4,不符合条件；

当2g心6时，原式=(m-2)-(6-m)=2m-8=4,解得冽=6,符合条件；

当机>6时，原式=(m-2)-(m-6)=4,符合条件；

所以m的取值范围是m>6.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质和分类讨论的思

想是解决问题的关键.

【题型四二次根式与三角形的综合运用】

1.设Q,b,c分别为一三角形的三边长，试化简：+b+c)2+\a-b-c\+J(b—a—c)2

—^/(c—b—a)2.

【分析】先根据三角形的三边关系判断出〃+b+c,a-b-c,b-a-c及c-b-a的符号,

再把二次根式进行化简即可.

【解答】解：•.・〃，6,c分别为一三角形的三边长，

••・a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0,

二原式=a+6+c-(a-b-c)-(b-a-c)+(c-b-a)

=a+b+c-a+b+c-b+a+c+c-b-a

=4c.

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知三角形的三边关系是解答此题的关键.

2.已知a、b、c是ZL45C的三边，化简：+b+c)2—+b+c)2+J(b—c—a)2-

J(c-a-b)2.

【分析】由a,b,C为三角形三边，利用三角形三边关系判断即可得到结果.

【解答】解：6,C为△48C三边，

-'-a+b+c>0,b-c-a<0,c-a-b<0,

则原式=O+a+c-b-Ca+b-c)=a+c-b-a-b+c=2c-2b.

【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是

解本题的关键.

3.已知三角形的两边长分别为3和5,第三边长为c,化简刁)2-J#—4c+16.

【分析】首先利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而化简求出答案.

【解答】解：•••三角形的两边长分别为3和5,第三边长为c,

.­-2<c<8,

•••(V|2-c|)2-J|c2-4c+16

=c-2-J(*4)2

1

=c-2-(4—]c)

3

="c-6.

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出。的取值范围是解题关键.

4.(2024春•广州期中)已知直角三角形的三边为a,b,c.其中6,c满足(。-6)2+而百

=0.

(1)求a；

(2)先化简再求值：(Va—6)2+7d2■-16a+64.

【分析】(1)根据偶次方和算术平方根的非负性得出c-6=0且6-8=0,求出c=6,b

=8,再根据勾股定理求出。即可；

(2)根据二次根式有意义的条件得出a-620,求出a26,所以a只能为10,再根据二

次根式的性质进行计算，最后代入求出答案即可.

【解答】解：(1):直角三角形的三边为a,b,c.其中6,c满足(c-6)2+五二§=0,

.,.，-6=0且6-8=0,

，。=6,6=8,

当a为直角边时，a=Vs2-62=2V7;

当a为斜边时，a=V82+62=10；

所以a为2V7或10；

(2)要使(疝石A+Va2-16a+64有意义,必须a-6》0,

所以a26,

V2V7=V28<6,10>6,

.*.6Z=10,

(Va—6)2+Va2—16a+64

—a-6+J(a—8)2

=a-6+a-8

=2a-14

=2X10-14

=20-14

=6.

【点评】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，勾股定理,

完全平方公式和二次根式的化简求值等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计

算是解此题的关键.

【题型五二次根式乘除法法则成立的条件】

x—3

1.等式有意义，则x的取值范围为(

4-x4-x

A.3<x<4B.3<x<4C.3<x<4D.3<x<4

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0;分母中有字母，分母不为0以及分

母不为0求解即可.

【解答】解：由题意，得无一3K)且4—x>0,

解得3Wx<4.

故答案为：C.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的定义分析是解题关键.

2.等式，x+石=，刀2一9成立的条件是.

【分析】直接利用二次根式的性质得出x+3>0,x-3>0进而得出答案.

【解答】解：Zx+37x-3=A/N一9成立,

•••x+3>0,x-3>0,

解得：x>3.

故答案为：x>3.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的定义分析是解题关键.

3.（2024秋•闵行区校级期中）如果，4%2-1=〃2x+172尤一1成立,那么x的取值范围

是.

【分析】直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法，分析得出答案.

【解答】解：,.,-4x2—1=+lW2x—1成立,

[2x+1>0

-I2x-1>0'

1

解得：

1

故答案为：x>~.

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件、一元一次不等式

组的解法，正确得出不等式组是解题关键.

4.（2024•绵阳模拟）等式后记F=—4江钉成立的x的取值范围在数轴上表示为（）

A

B

C.—101

・1―1A

D.-101

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围.

【解答】解：由题意可知：｛篝，0

解得：-l<x<0,

故选：A.

【点评】本题考查二次根式的意义，二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二

次根式有意义的条件.

5.（2024秋•万柏林区校级月考）等式率=乒成立的x取值范围是（）

3\3—%

A.x<lB.x>3C.l<x<3D.x<3

【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案.

1—XX—1

【解答】解：由题意可知：-->o,-->0,

X—33—%

X—1

・••—7<0,

X—3

•'•X-1<0,x-3>0x-1>0,x-3<0,

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的

条件.

【题型六把二次根式根号外的因数（式）移到根号内】

1.（2024春•凉州区期末）若把x匚工中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（）

7x

A.y[xB.7—xC.—y[xD.—yj—x

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

1

【解答】解：••・一二>0,

x

二原式二一卜乂齐三

=­V—%，

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质.

2.（2024春•绥滨县期末）把（冽-1）中根号前的（冽-1）移到根号内得（）

A.Vm—1B.71—mC.—Vm—1D.—Vl—m

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：百海

•••1-加＞0,

=—Vl—m,

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质.

3.把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内.

1

(1)2V5；(2)-4

【分析】（1）根据病=。（«>0）可得2=停，再根据二次根式的乘法进行计算即可；

（2）根据症=。（壮0）可得-4=一忡，再根据二次根式的乘法进行计算即可；

（3）首先分析2-x是正数还是负数，根据二次根式被开方数为非负数可得2-x<0,然

后再把2-x化为-芯不，再根据二次根式的乘法进行计算即可.

【解答】解：（1）原式=岳><同=岸22><5=何;

（2）原式=-V^XJi=-J16Xi=~\/8;

(3)原式=—J(x—2)2x=一,7(%—2)=—V7x—14.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握必=〃（位0）.

4.把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内.

⑴-孙黎⑵73（3）-5V3；⑷3b岛

【分析】（1）根据题意可得出x与y同号，进而将孙平方后代入根号内化简即可，注意

整体的符号；

（2）根据题意将7平方后代入根号内化简即可；

（3）根据题意可得-5<0,进而将5平方后代入根号内化简即可，注意整体的符号；

（4）根据题意将“平方后代入根号内化简即可；

【解答】解：（1）-=-J久2y2*.

（2）7J|=^49Xj=V21；

（3）-5V3=-V25X3=-V75；

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确将根号外的因式移到根号内注意整体符

号是解题关键.

【题型七二次根式的混合运算】

1.（2024春•庐阳区期末）计算：V48-V3+J|xV12-|2-V6|.

【分析】先算乘除，去绝对值符号，再合并同类二次根式即可.

【解答】解：V48V3+xV12-12—\/6|

=再+层三-（痣-2）

—V16+V6—V6+2

=4+2

=6.

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

2.（2024春•盘龙区期末）计算：（&+1）（五一1）一向可+（位一付+加・

【分析】先算乘除，开方，再算加减即可.

【解答】解：原式=（V2）2-I2-1+V12+V2—V6+V2

=2—1—1+V6—V3

—V6—V3.

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法

则是解题的关键.

3.(2024春•汕尾期末)计算：

(1)V16+(-2)2—V8：

(2)2(V3+V5)-V5+4V3.

【分析】(1)先根据数的乘方及开方法则分别计算出各数，再算加减即可；

(2)先去括号，再合并同类二次根式即可.

【解答】解：(1)V16+(-2)2-V8

=4+4-2

=6；

(2)2(73+V5)-V5+4V3

=2b+2V5--\/5+4V5

=6V3+V5.

【点评】本题考查的是二次函数的混合运算，熟知二次函数混合运算的法则是解题的关键.

4.(2024春•红旗区校级期末)计算：

⑴V18-V32+V2;

(2)(1—2V3)2-(V5+V2)(V5-V2).

【分析】(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；

(2)先利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并即可.

【解答】解：(1)原式=3五—4五十加

=0;

(2)原式=1-4百+12-5+2

=10-473.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的加减，解题关键是掌握二次根式运

算法则.

5.（2024春•平城区校级月考）计算：

（1）V48-V3-J|xV12+（V6）-1;

（2）（V5+V2）（V8-V20）+（V2-V5）2.

【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；

（2）先化简二次根式，再运用乘法公式计算，最后合并同类二次根式即可.

【解答】解：（1）原式=,48+3x12++

=V16~V6+萼

O

5「

=4—距

（2）原式=2（V^+V^）+（正-

=-6+2—2V10+5

=1-2V10.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

6.（2024春•梁园区期末）计算：

（1）V48+V3-J|xV12+V24;

（2）V12+V27+7^48-15

【分析】（1）先算二次根式的乘除，再算加减即可；

（2）先全部化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【解答】解：（1）原式=<48+3-电x12+2近

=4-V6+2V6

=4+V6.

（2）原式=2百+3百+百一5百

=V3.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟记二次根式运算顺序及运算规则是解题的关键.

【题型八二次根式的运算在实际生活中的应用】

1.（2024秋•宣化区期末）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为32c%2和2”於

的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（

A.3.2cm2B.6acm1C.6cm2D.12cm2

【分析】根据题目中的数据和图形，可以写出阴影部分的长和宽，然后即可计算出阴影部

分的面积.

【解答】解：由图可知，

阴影部分的长为百^一立=4正一近=3五（cm）,宽为：近cm,

.,•阴影部分的面积为：3A/2XV2=6Cem2'）,

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出阴影部分的长和宽.

2.（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形,

其中较大的正方形条的面积为15,重叠部分的面积为1,空白部分的面积为4任-4,则

较小的正方形面积为（）

B.2V15D.4V15

【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知

两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，

最后求出小正方形的边长即可求出面积.

【解答】解：•••观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，

.♦•重叠部分也为正方形，

•••空白部分的面积为4任-4,

一个空白长方形面积=2任-2,

•••大正方形面积为15,重叠部分面积为1,

大正方形边长=后，重叠部分边长=1,

...空白部分的长=任一1,

设空白部分宽为无，可得：x=2V15-2,

解得：x=2,

...小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=2+1=3,

小正方形面积=32=9,

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解

题的关键.

3.（2024春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为VT函《、宽为

V75m.

（1）求该矩形土地的周长；

（2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用.

（提示：结果保留整数，V6«2.4）

【分析】（1）根据矩形周长公式进行计算，并化简即可；

（2）根据矩形面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可.

【解答】解：（1）2（V128+V75）=2（8V2+5V3）=16V2+10V3（m）.

即该矩形土地的周长为（16立+10g）m；

（2）V128xV75=8V2x5V3=40V6-96（m2）,

160x96=15360（元）.

故在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约为15360元.

【点评】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长与面积公式，掌握二次根式的运算法

则是解题的关键.

4.（2024春•陵城区期中）如图，有一张边长为6仃。%的正方形纸板，现将该纸板的四个

角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正

方形的边长为行£•加.

(1)求长方体盒子的容积；

(2)求这个长方体盒子的侧面积.

【分析】(1)结合题意可知该长方体盒子的长为6g-26=4V3(cm),宽为6g-2K=4

瓜cm),高为gc",而长方体的容积为长x宽x高，即可得答案；

(2)该长方体盒子的侧面为长方形，长为6V5-2V5=4A”(CWI),宽为色cm,共4个面,

即可得答案.

【解答】解：(1)由题意可知：长方体盒子的容积为：(6V3-2V3)x(6V3-2V3)xV3

=4V3X4V3XV3

=48V3(cm3),

答：长方体盒子的容积为48V^“I3.

(2)长方体盒子的侧面积为：(6仃-2⑨xV^x4

=4V3xV3x4

=48(cm2),

答：这个长方体盒子的侧面积为48c/.

【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解.

5.(2024春•汉滨区期中)三角形的周长为(5V5+2V10)cm,面积为(207^+4g)

cm2,已知两边的长分别为育&7M和7^金"2,求：5.三边的长；

(2)第三边上的高.

【分析】(1)根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；

(2)根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高.

【解答】解：(1):三角形周长为(5V5+2V10)c»/,两边长分别为V45cm和y/Wcm,

.•.第三边的长是：(5V5+2V10)-V45-V40=5遥+2V10-3V5-2V10=2V5cm；

(2);面积为(20V6+4V5)cm2,

"一、上……2(20V6+4V5)40V6+8V5,_

二第二边上的iWi为7==7==(4V30+4)cm.

2V52V5

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.

6.（2024春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形N8CD的绿地，长8c为VI而米，宽

N8为同米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部

分），每个长方形花坛的长为（而+1）米，宽为（而-1）米.

（1）求矩形N8CD的周长.（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米

的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

【分析】（1）根据矩形的周长=（长+宽）*2计算即可；

（2）先求出通道的面积，再算钱数即可.

【解答】解：（1）（V128+V50）“2

=（8V2+5V2）x2

=13V2x2

—26y/2（米），

答：矩形/BCD的周长为26鱼米；

（2）V128XV50-2x（V13+1）乂（V13-D

=8V2x5V2-2x（13-1）

=80-24

=56（平方米），

6x56=336（元），

答：购买地砖需要花费336元.

【点评】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握病=6•伤（应0,b沙）

是解题的关键.

【题型九二次根式的大小比较】

1.用平方法比较连+V1T与Vli+6的大小.

【分析】先计算两个数的平方，再根据平方法的比较原理进行判断即可.

【解答】解：(指+VT1)2=17+2V66,

(V14+V3)2=17+V42,

•■•17+2V66>17+V42>1，

•■•(V6+V1T)2>(V14+V3)2

•­•V6+V11>VT4+V3

【点评】此题主要考查运用平方法比较二次根式的大小，知道平方法的比较原理(当数

大于1时，平方越大，数越大；当数大于0且小于I时，平方越大，数越小)并会计算

二次根式的平方是解题的关键.

2.(2024春•关岭县期末)王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a,b,如

LL1___L

果。>6,那么迎>迎”，然后讲解了一道例题：比较不泛而和2遍的大小.

4211___

解：(|V200)=-x200=8,(2V3)2=4x3=12.•••8<12,.---V200<2V3.

参考上面例题的解法，解答下列问题：

(1)比较-5遥与-6遍的大小；

(2)比较J7+1与遮+遮的大小.

【分析】(1)先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可；

(2)先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可.

【解答】解：(1)(-5V6)2=25x6=150,(-6V5)2=36x5=180,

■•-150<180,

-5V6>-6V5；

(2)(77+1)2=7+277+1=8+2V7=8+V28,(V5+V3)2=5+271^+3=8+271^=

8+V60，

•••V28<V60，

••.V7+1<V5+V3.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数的大小比较和不等式的性质等知识点,

能选择适当的方法求解是解此题的关键.

3.（2024秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较A上/1产9—与2石2的大小.

小华的方法是：

因为后>4,所以g—22,所以J-三（填“>"或“<”）；

•D。

小英的方法是：

警2_'=泻心，因为19>42=16,所以旧―4—0,所以粤4°,所以

SJSS

WV19―—2G2（填“>”或y"）.

（1）根据上述材料填空；

（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较竺匚与〈的大小.

42

【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；

（2）仿照例题的方法进行计算即可解答.

【解答】解：（1）小华的方法是：

因为WW>4,所以Jl@—2>2,所以

小英的方法是：

警1=毕，因为19>42=16,警］=毕，因为19>42=16,所以

3。。3

V,1_9-4>0,所以V±T9—f4>0,所以VTT9—■2二>2W，

故答案为：>,>,>,>,>;

（2）如果选择小华的方法，

•••V6<3,

•­•V6-l<2,

"4<2，

如果选择小英的方法，

V6-11_逐一62_巫—3

42-4-4'

••.V6<3,

•■•V6-3<0,

.与<0,

4

"4<2。

【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键.

4.课堂上老师讲解了比较VTT-祗和危-m的方法，观察发现11-10=15-14=1,于

是比较这两个数的倒数：

VTT-Vio=（ViT-VTo）（ViT+VTo）=V11+V1°

i_萍+旧__

V15-V14=（V15-V14）（V15+Vi4）="5+V14

11

因为V正+g>VTT+dlU,所以无二方〉五匚而，则有同一旧〈五1一祗.

请你设计一种方法比较倔+W等后+伤的大小.

【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案.

【解答】解：,・・（V8+V3）2=8+2倔X8+3=11+2值，

（V6+V5）~=6+2xV6x+5=11+2V30,

.•.ll+2V24<H+2V30,

•••（V8+V3）2<（V6+V5）2,

•■•V8+V3>0,V6+V5>0,

•••V8+V3<V6+V5.

【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确应用完全平方公式是解题关键.

111

5.阅读下面问题：^7=V2-1；7=^==V3-V2；^=V5-2.

11

（1）根据以上规律推测，化简：①万二后；②奔后方（〃为正整数）•

（2）根据你的推测，比较VB-VH和71¥-瓜的大小.

1

【分析】（1）①根据题目中的例子，可以写出万二后的值；

1

②根据题目中的例子，可以写出而*行的值；

11

（2）根据题目中的例子，可以得到后一=6+旧,V14-V13=1+旧然

后即可比较出瘠-和旧-的大小.

1

【解答】解：⑴①后市

一(V7+V6)x(V7-V6)

=V7-V6；

1_____

②E+k诉钉一如

11

(2)=旧_而=后后

vV15+V14>V14+V13,

11

•--------------------------------v--------------------------------

"V15+V14VM+VTS'

.••V15-V14<V14-VT3.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计

算方法.

【题型十巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值】

1.若6-后的整数部分为x,小数部分为丹贝U(2x+VI?)y的值是()

A.5-3V13B.3C.3V13-5D.-3

【分析】首先根据相的整数部分，确定6-疝的整数部分x的值，则y即可确定，然后

代入所求解析式计算即可求解.

【解答】W：V3<V13<4,

的整数部分x=2,

则小数部分是：6-V13-2=4-V13,

则⑵+VHGy=(4+V13)(4-V13)

=16-13=3.

故选：B.

【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解

题的关键.

2.已知力、"分别是6-同的整数部分和小数部分，求“、"的值，并求代数式话--一瓶2

m

的值.

【分析】首先判断出后在3和4之间，即6-VH的整数部分加=2,则”=4一后，然

后把。和6的值代入代数式求值即可.

【解答】•••V9<V13<VT6,

,后的整数部分在3和4之间，

的整数部分加=2,n=4-V13,

2n

n2———m2

m

=(4"2一汽晅心

=16-8V13+13-4+V13-4

=21-7V13.

【点评】本题主要考查了代数式求值，涉及到比较有理数和无理数的大小，解题的关键

在于用正确的形式表示出6-W3的整数部分和小数部分，然后代入求值即可.

3.(2024春•天长市校级月考)大家知道五是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此经

的小数部分我们不可能全部写出来，但可以用血-1来表示我的小数部分，因为五的整数

部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：：禽<77<西，即2<V7

<3,的整数部分为2,小数部分为(V7-2).请解答：

(1)后的整数部分是，小数部分是;

(2)如果近的小数部分为a,3的整数部分为从求a+b-代的值.

【分析】(1)利用完全平方数可估算出4V后<5,从而得到VI7的整数部分和小数部分；

(2)利用完全平方数可估算出2〈眠<3,3<V13<4,从而确定。和6的值，然后计算

a+6-诉的值.

【解答】解:(1)V16<17<25,

.".V16<V17<V25，

即4<V17<5,

；.后的整数部分是4