2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：二次根式（十四大题型）原卷版

重难点01二次根式十四大重难点题型

EQ知识梳理

▲知识点1：二次根式有关概念

1、二次根式的定义：一般地，我们把形如6（壮0）的式子叫做二次根式.其中“厂”

称为二次根号，〃为被开方数.

2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：力口、减、乘、除、乘方和开

方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.

3、最简二次本艮式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因

数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方

数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式.

▲知识点2：二次根式的有关性质

1、VT的性质：V^>o；a>0（双重非负性）.

202（a>0）的性质：

（VH）2=。（壮0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

fa（a>0）

3、的性质：Va2=\a\=]0（a=0）（算术平方根的意义）.

V—a（a<0）

▲知识点3：二次根式的相关运算

1、二次根式的乘除法

二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

用字母表示为：

（1）二次根式的乘法法则：Va*VF=Va-b（壮0,Z>>0）

（2）积的算术平方根性质：Va-b=y/a*Vb（定0,6>0）

（3）二次根式的除法法则：*=If（a>0,b>0）

7b\b

（4）商的算术平方根的性质：g=*（应0，6>0）

7b7b

2、二次根式的加减法

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行

合并.合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变.

3、二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.

（2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最

后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.

m题型解读

〈题型十巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值）

题型三二欠根式与绝对值的综合运用

次

题里四二次根式与三角形的综合运用AI〈题型十一二次根式的化简求值）

7题型十二利用有理数的意义求字喷子的值

愚型五二次根式乘除法法则成立的条件式

田真题精练

【题型一二次根式有意义的条件】

1.若在与有意义,则X的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

2.（2024春•番禺区期末）下列二次根式有意义的范围为4的是（）

A.Vx+4B.Vx—4C-D-

1

3.（2024春•白云区期末）若代数式不丁有意义，则工的取值范围是（）

V2x—3

3223

A.x^=-B.C.x>~D.x>~

4.无论。取何值，下列各式中一定有意义的是（）

A.4aB.C.Va+1D.Va2+1

5.（2024•莘县一模）已知函数>=正孕，则x满足的条件是.

（工一2）°

6.若代数式:占有意义，则x的取值范围是

2—vx—1

【题型二根据二次根式是整数求字母的取值】

1.已知师与是整数，则自然数〃所有可能的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.若VI百是整数，则满足条件的自然数"的值可以是（写出一个即可）.

3.（2024春•鄂尔多斯月考）若是整数，则满足条件的最大自然数〃是

4.（2024春•潮南区期末）已知是整数，则正整数〃的最小值为.

5.已知VI于与是整数，求自然数〃所有可能的值；

【题型三二次根式与绝对值的综合运用】

1.已知实数x满足|2017-x|—2018=x,求x-20172的值.

2.已知x,y满足_V<VK-3—V3-比+5,试化简卜-5|—Jy2_12y+36.

3.（2024春•兴化市期末）实数心6、c在数轴上的位置如图所示，化简

J（a—b）2—«b—c）2+|c|-

ca0b

4.实数4、b在数轴上的位置如图中的4、5两点.

(1)4点与表示-1点的距离是；

(2)化简g—1|+7b2—4b+4.

.」・_____3__

—1a0lb2

5.已知，N+8x+16+Vx2-12x+36=10,化简J(2v+8)2+2\x-6|

6.小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下:

题目：若代数式J(ni-l)2+.(欠_2)2的值是1,求"?的取值范围.

解：原式=1加-1帕加-21，

当机<1时，原式=(1-m)+(2-m)=3-2m—I,解得m—1(舍去)；

当l<m<2时，原式=(»7-1)+(2-m)=1,符合条件；

当m>2时，原式=(m-1)+(加-2)—2m-3=1,解得m—2(舍去)；

所以，m的取值范围是\<m<2.

请你根据小明的做法，解答下列问题：

(.1)当时，化简：J(m—3)2+7(^1—5)2=;

(2)若代数式J(2—6)2的值是4,求优的取值范围.

【题型四二次根式与三角形的综合运用】

1.设Q,b,c分别为一三角形的三边长，试化简：+5+c）2+-6-c[+1（b—ct—c）2

—y/(c—b—a)2.

2.已知a、b、。是A4BC的三边，化简：J(a+b+c)2—[(a+b+c)2+J(b—c—a)2一

J(c-a—力/.

3.已知三角形的两边长分别为3和5,第三边长为c,化简（V|2^i）2_J1C2_4C+16.

4.（2024春•广州期中）已知直角三角形的三边为a,b,c.其中6,c满足（c-6>+标石

=0.

（1）求a；

（2）先化简再求值：（而石）2+Va2-16a+64.

【题型五二次根式乘除法法则成立的条件】

1.等式有意义，则X的取值范围为（)

A.3<x<4B.3<x<4C.3vx<4D.3<x<4

2.等式，x+37x—3—，力2—9成立的条件是

3.（2024秋•闵行区校级期中）如果V4%2—1=V2x+172%-1成立,那么x的取值范围

是.

4.（2024•绵阳模拟）等式+1）=-不I成立的x的取值范围在数轴上表示为（）

5.（2024秋•万柏林区校级月考）等式启=佟三成立的x取值范围是（）

\x—3\3—x

A.x<lB.x>3C.l<x<3D.x<3

【题型六把二次根式根号外的因数（式）移到根号内】

1.（2024春•凉州区期末）若把xj-l中根号外的因式移入根号内,则转化后的结果是（）

A.VxB.V-xC.-VxD.—V—x

2.（2024春•绥滨县期末）把（％-1）中根号前的（沉-1）移到根号内得（）

A.Vm—1B.Vl—mC.—Vm—1D.—Vl—m

3.把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内.

⑴2V5；(2)-41;(3)(2-x)

4.把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内.

⑴-孙积（2）7月(3)-5V3；(4)3b2；

73b

【题型七二次根式的混合运算】

1.(2024春•庐阳区期末)计算：V48-V3+J|xV12-|2-V6|.

2.（2024春•盘龙区期末）计算：（&+1）（加—1）—向正—遍）+VL

3.（2024春•汕尾期末）计算:

（1）V16+（-2）2-V8;

(2)2(V3+V5)-V5+4V3.

4.(2024春•红旗区校级期末)计算：

⑴V18-V32+V2;

(2)(1—2V3)2—(V5+V2)(V5-V2).

5.（2024春•平城区校级月考）计算:

(1)V48-V3-J|xV12+(遥)T;

(2)(V5+V2)(V8—V20)+(V2—V5).

6.(2024春•梁园区期末)计算：

(1)V48-V3-J|xV12+V24;

(2)V12+V27+7V48-15旦.

【题型八二次根式的运算在实际生活中的应用】

1.（2024秋•宣化区期末）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为32c〃?2和2c加2

的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（）

32

2

A.32cm2B.6V2cm2C.6cm2D.12cm2

2.（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形,

其中较大的正方形条的面积为15,重叠部分的面积为1,空白部分的面积为4任-4,则

较小的正方形面积为（）

C.9D.4V15

3.（2024春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为W而加、宽为

VTsw.

（1）求该矩形土地的周长；

（2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用.

（提示：结果保留整数，遍=2.4）

4.（2024春♦陵城区期中）如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个

角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正

方形的边长为bcm.

（1）求长方体盒子的容积；

（2）求这个长方体盒子的侧面积.

5.（2024春•汉滨区期中）三角形的周长为（5乃+2怖）cm,面积为（20遥+4店）

cm2,已知两边的长分别为加和金to,求：5.三边的长；

（2）第三边上的高.

6.（2024春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形/BCD的绿地，长2c为五万米，宽

N5为同米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部

分），每个长方形花坛的长为（市+1）米，宽为（VH-1）米.

（1）求矩形NBCD的周长.（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米

的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

【题型九二次根式的大小比较】

1.用平方法比较遥+VTT与V1T+百的大小.

2.(2024春•关岭县期末)王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a,b,如

_1

果a>b,那么6然后讲解了一道例题：比较不反而和2旧的大小.

4211___

解：(-V200)=—x200=8,(2V3)2=4X3=12.•.•8<12,.---V200<2V3.

参考上面例题的解法，解答下列问题：

(1)比较-5份与-6店的大小；

(2)比较V7+1与通+板的大小.

3.(2024秋•山亭区期末)数学课上，老师出了一道题：比较V工TQ与—2石的2大小.

小华的方法是：

因为房>4,所以内—22,所以湾二^(填“>”或“〈”)；

小英的方法是：

湾=由|卫，因为［9>42=16,所以后—4—0,所以名二10,所以

A/19—22

(填“>”或

(1)根据上述材料填空；

(2)请从小华和小英的方法中选择一种比较纯工与J的大小.

42

4.课堂上老师讲解了比较VTT-V1U和后-的方法，观察发现11-10=15-14=1,于

是比较这两个数的倒数：

VTT-Vio=（ViT-Vio）（ViT+VTo）=皿+国

1_玮+旧__

V15-V14=（V15-V14）（V15+VT4）=+V14

11

因为走+g>VTT+vTU,所以无二方>五二而，则有W石一旧〈近1一也.

请你设计一种方法比较倔+W与爬+遮的大小.

111

5.阅读下面问题：谓寿=&五;后=遍一2.

V^7=V2-1;

11

（1）根据以上规律推测，化简：①万二后；②而J诟（"为正整数）•

（2）根据你的推测，比较和Vli-瓜的大小.

【题型十巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值】

1.若6-g的整数部分为x,小数部分为y,则（2x+Vlg）y的值是（）

A.5—3VT3B.3C.3V13-5D.-3

,__r271r

2.已知机、〃分别是6-Vl?的整数部分和小数部分，求冽、〃的值，并求代数式*-一-m2

m

的值.

3.(2024春•天长市校级月考)大家知道我是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此正

的小数部分我们不可能全部写出来，但可以用血-1来表示血的小数部分，因为五的整数

部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：•••痣<77〈百，即2<v7

<3,的整数部分为2,小数部分为(V7-2).请解答：

(1)后的整数部分是，小数部分是;

(2)如果逐的小数部分为°,疝的整数部分为6,求a+b-芯的值.

4.(2024秋•罗湖区校级期中)根据推理提示，回答下列问题：

•■•VT<V3<V4,即1<逐<2,

二四的整数部分为1,小数部分为遮-1.

(1)m的整数部分是，小数部分是.

(2)如果病的小数部分为"％&T的整数部分为〃，求2根+"-2乃=.

(3)已知：10+快=a+6,其中a是整数，且0<6<1,则a=,b=.

【题型十一二次根式的化简求值】

.—3_2

1.先化简，再求值：+求-（4y《+J36%y）,其中x=§,y=Tl.

2.（2024春•长沙期中）先化简，后求值：.（a+五）（a-物-a（a-4）,其中。=，+孚.

a+bc2a—2b4a23a_

3-先化简’再求值：（力）•五前一瓦万一丁其中0=亚6=«

4.（2024春•宜昌期中）已知孙=6,且x,歹都是正数，求抻值.

5.已知：％=2+遮，y=2-y[3,求下列各式的值:

(1)X2-y2；(2)x2-xy+y2；(3)2x^+6x2y+2xy2.

6.（2024春•青秀区校级月考）请阅读下列材料:

问题：已知久=返+2,求代数式x2-4x-7的值.

小明根据二次根式的性质：（&）2=a,联想到了以下的解题方法：

根据久=返+2得万-2=而，则（X-2）2=5,即/-4X+4=5,-4x=5-4=1.

把x2-4x作为整体代入，得：/---7=1-7=-6.

仿照上述方法解决问题：

（1）已知x=VIU-3,求代数式/+6x-8的值.

根据x=得x+3=①，贝IJ（尤+3）2=X2+6X+9—②，x2+6x

③，；.X2+6X-8=④.

（2）已知％=与人求代数式/+2.3的值.

【题型十二利用有理数的意义求字母式子的值】

1.若a+6g=（租+小③2,当Q,m,〃均为正整数时，则正的值为

2.先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a,6是有理数，且满足。+四

b^3-2V2,求6。的值.解：由题意得(a-3)+(6+2)V2=0,因为a,6都是有理数,

所以a-3,6+2也是有理数，由于鱼是无理数，所以a-3=0,6+2=0,所以a=3,b=

-2,所以ba=(-2)3=-8.

问题：设x,y都是有理数，且满足x2-2y+碣=8+4而，求x+y的值.

3.【阅读学习】

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2鱼=

(1+V2)2.善于思考的小明进行了以下探索：

设。+从/2=(m+«V2)2(其中a,b,m,"均为整数)，则有0+6立=加2+2〃2+2北仅〃.

.•-a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法.

【解决问题】

(1)当a,6,〃均为正整数时，若a+Zn"=(m+77V3)2,用含m,〃的式子分别表

zj、a,b,彳导：ci--,b=:；

(2)利用(1)的结论，找一组正整数a,b,m,n(加韧)，使得a+6V=(/M+Z/V3)2

成立，且。+6+加+"的值最小.请直接写出a,b,加，"的值；

(3)若a+6V^=(m+z/VS)2,且a,相，〃均为正整数，求a的值.

【题型十三有关二次根式的规律探究】

1.(2024春•承德期末)观察下列各式及其验证过程:

%=20验证：河=/浮1

再=3奈验证：再二/^

(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想15+言的变形结果并进行验证;

(2)针对上述各式反映的规律，写出用"(”为大于1的整数)表示的等式并给予验证.

2.(2024秋•郸州区期中)先阅读材料，再解决问题.

VU=VP=1；

Vl3+23=V32=3；

Vl3+23+33=V62=6；

"+23+33+43=V102=10；

根据上面的规律，解决问题：

(1)79+23+33+43+53+63==

(2)求-13+23+33+…+n3(用含〃的代数式表示).

3.（2024春•海淀区校级期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：白|=居

=21|,根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不

妨把这种现象称为''穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如囚1=3点^^=4底

等等.

⑴猜想：麻一舟

（2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数

（3）请用只含有一个正整数〃（〃、2）的等式表示上述规律:

4.(2024春•朔州月考)综合与探究：

观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：

①金+1-(V2+1)(V2-1)-(V2)2-12-72T

1_遮-鱼_b-鱼_

®V3+V2=(V3+V2)(V3-V2)=(V3)2-(V2)2=❷-虫

®V4+V3=(V4+V3)(V4-V3)=(V4)2-(V3)2=血-虫

1

(1)化简：V7+V6=--------------------------

1

(2)化简：而京布=("为正整数).

(3)利用上面所揭示的规律计算：

]1]]]1

1+V2+V3+V2+V4+V3+……+V2019+V2020+V2020+V2021+V2021+V2022'

5.（2024春•香洲区期中）观察下列各式:

I7?111I7r.iiiIrii

[1+运+衰=1+彳_5=15,J1+ii+^=1+2-3=16,J1+至T+杀=1+1?

1

=1----・

12，

请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：

（1）猜想[1+W+三=1+=___________；

7627267

（2）归纳：根据猜想写出一个用"（"表示正整数）表示的等式;

⑶应用计算：必+揭

(4)拓展应用：化简下列式子；

1+工+工+|1+工+工+/1+工+工+…+

N1222\2232\T32T42弋11,十+^201—92+T^202—02

【题型十四二次根式运算在复合二次根式中的应用】

1.先阅读下面例题的解答过程，然后作答.

例题：化简,8+2反.

解：先观察8+2后，

由于8=5+3,即8=(V5)2+(V3)2,

且15=5x3,即2Vli=2义逐义四，

则有，8+2后=J(V5+V3)2=V5+V3.

试用上述例题的方法化简：V15+4V14=()

A.V2+V13B.2+VilC.1+V14D.V7+2V2

2.(2024秋•城阳区期中)先阅读下面的解题过程，然后再解答：

形如Jm士2伤的化简,只要我们找到两个数a,b,使a+6=加，ab=n,即(VH)2+

(赤)2—m,y/a,4b=Vn,那么便有：y/m+2y/n=J(y/a±Vb)2-y/a±4b(a>b).

例如：化简：J7+4收

解：首先把J7+4百化为J7+2位,这里％=7,〃=12.

因为4+3=7,4x3=12,

即(V4)2+(V3)2=7,V4xV3=V12,

所以J7+4仃=V7+2V12=J(四+V3)2=2+V3.

根据上述方法完成下列题目：

(I)V5+2V6=(直接写化简后结果)；

(2)化简：714-6V5.(写出解答过程)

3.(2024秋•郸城县期中)请阅读下列材料：

形如Jni±2代的式子的化简,我们只要找到两个正数a,6,使a+b=w,ab—n,即(VH

)2+(VF)2=m,声义&=匹,那么便有±2瓜=士VF)2=Va±VF(a>6).

例如：化简J7+4行

解：首先把J7+4旧化为J7+2位,这里加=7,〃=12,

由于4+3=7,4x3=12,即(四/+(旧产=7,V4XV3=V12,

所以，7+4g=V7+2V12=J(V4+V3)2=2+V3.

请根据材料解答下列问题：

(1)填空：75-276=.

(2)化简：V21-12V3(请写出计算过程).

4.(2024春•金华月考)有这样一类题目：将Ja+2诟化简,若你能找到两个数加和"，

使m2+n~—a且mn-VF,则a+2VF可变为m~+n2+2mn,即变成(加+〃)2,从而使得Ja+2VK

化简.

例如：•.•5+2伤=3+2+2逐=(V3)2+(V2)2+2A/6=(V3+V2)2

.•.75+2V6=(V3+V2)2=V3+V2

请你仿照上例将下列各式化简:

（1）74+2V3；

（2）77-2V10.

mI限时测评

1.（2024春•贵池区期末）下列式子一定是二次根式的是（）

A.仿B.V=4C.V2D.Va2+i

2.（2024•任城区模拟）若二次根式尔石有意义，则x的取值范围是（）

A.B.x》2C.x2-2D.xW2

3.（2。24春.潍城区期末）使层1=］岩在实数范围内成立的x的取值范围是（）

A.-lWx<2B.1«2C.l<x<2D.-1WXW2

4.（2024春•湖州期末）已知实数0,6在数轴上的位置如图所示，化简J（a+1尸+J（b—2）2

的正确结果是（）

ab

।।ii午iiji।

-4-3-2-101234

A.Q+6-1B.\~a~bC.a~b+3D.b~a~3

1

5.（2024春•乐陵市校级月考）计算：3+百的值为（）

A.1B.3C.V3D.9

6.（2024春•庐阳区校级期末）若最简二次根式喜工与与病”是同类二次根式，则。

7.（2024春•