2024-2025学年浙教版七年级数学下册 第4章 因式分解 测试卷（解析版）

第4章因式分解测试卷

(考试时间：90分钟试卷满分：100分)

一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。)

1.下列因式分解正确的是()

A.2%2+y2+4xy-(2x+y)2;B.x3~2xy+%y2=x(x-y)2；

2222

C.x—(3y—I)=(x—1+3y)(x+1—3y);D.ax—ay+1=a^x+y)(x—y)+1；

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解题的关

键.

运用提公因式法，公式法分解因式进行判定即可求解.

【详解】解：A、2%2+y2+4xy(2x+y)2，原选项不符合题意；

B、%3-2xy+xy2x(x-y)2,原选项不符合题意；

C、%2—(3y—I)2=(%—1+3y)(x+1—3y)>正确，符合题意;

D、a/—ay?+i=文刀+y)Q_y)+1,不是因式分解，不符合题意；

故选：C.

2.把xy2-2xy分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式是

()

A.2%B.2xyC.xy2D.xy

【答案】D

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据町2—2xy=;cy(y—2)即可得出答案，找

出公因式是解此题的关键.

【详解】解：町2一2孙=孙(>-2),

.•・把£y2-2xy分解因式，应提取的公因式是xy,

故选：D.

3.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()

QO11

A.x2+2x-lB.%2+-X+-

44

C.X2+2x+4D.X2-6X+9

【答案】D

【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，熟记能用公式法进行因式分解的式子的特

点是解题的关键.

根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选

项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A：久2+2%-1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符

合题意；

B：*2+江+；不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意；

C：/+2久+4不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意；

D：X2-6X+9=(X-3)2,故此选项符合题意.

故选：D.

4.明明给芳芳出了一道习题：把代数式3--6/y+3町2分解因式.芳芳给出了四种答案,

你认为结果正确的是()

22

A.乂(3久+y)(久一3y)B.3x(x—2xy+y)

C.x(3久_y)2D.3x(x_y)?

【答案】D

【分析】本题主要考查了因式分解和完全平方，解题关键是提取公因式.

先提取公因式3打再利用完全平方分解.

【详解】解：3%3-6%2y+3xy2,

22

=3x(x-2xy+y)>

2

=3x(x-y),

故选：D.

5.若机2-/=6,且m-7i=3,则m+n的值为()

A.1B.2C.2或-2D.4

【答案】B

【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到(m+n)(m-磔=6,

即可得到爪+九的值.

【详解】解：,；爪2-/=6,

■,■(m+n)(m—n)=6,

■■m—n=3,

.-.m+九=2

故选：B.

6.已知边长为a、6的矩形的周长为14,面积为10,贝的值为()

A.70B.60C.35D.24

【答案】A

【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值等知识点，解题的关键是熟练掌握因式

分解的方法和整体代入的数学思想.

利用矩形的面积和周长公式求出代数式a+b和帅的值，对原式进行因式分解，然后整体

代入即可求出结果.

【详解】解：根据矩形的周长为14得：2(a+b)=14,所以a+b=7,

根据矩形的面积为10得：ab=10,

・•.a2b+ab2

=ab(a+b)

将a+b=7,ab=10代入上式得

原式=10x7

=70

故选：A.

7.把多项式4a2(a-6)+(6-a)分解因式，下列结果正确的是()

A.(a-b)(4a2+1)B.(/?—a)(4a2-l)

C.(a—6)(2a+l)(2a—1)D.(a——1)

【答案】C

【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：原式=(。-6)(4(/—1)

—(a-b)(2a+l)(2a—1).

故选：C.

8.若标一户=16,(。+力猿=8,则ab的值为()

33

A.——B.-C.-6D.6

【答案】c

【分析】此题考查了因式分解和整式混合运算，根据题意求出房=2,(a+b)2-(口2_庐)

=2/)2+2ab=—8,即可求出ab的值.

【详解】^■■■■-a2-b2=16,

•••(a+6)(a—b)=16,

••,2(a+b)2=2(a+6)(a+b)—16,

.■-a—b=2(a+b),

二解得a=-3b,

•••(-3b)2-/?2=16.即M=2

2222

•••(a+h)-(a-b)=2b+2ab=-8

，2x2+2ab——8

解得ab=-6

故选：C.

9.小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：a-1,m-n,5,

m2+l,a,a+1,爪+n分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将5m

(。2一1)-5以。2-1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是()

A.天空之桥B.中国天眼C.中国天空D.天眼之桥

【答案】A

【分析】本题考查了因式分解.先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可.

22

【详解】解：5m(a-i)-5n(a-i)

=(5m-5n)(a2—1)

=5(m—ri)(a+l)(a—I),

结果呈现的密码信息可能是“天空之桥"，

故选：A.

10.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为的,第二个数记为。2,第三个数记为。3,以

此类推，第九个数记为即为正整数).已知%=%,&2=/+4刀，并规定：an+2-

空\如：a3=^,口4=之，以下结论中，正确的个数为()

@a2024=3

②若仁3,则会=4

③右•。3…。24•。25则。29=正

@1,a2=2,

④若詈的值为整数，则满足条件的整数》共有6个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求

值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键.根据臼=无

a

2.a?i+i/曰云][2X2+4XAa3x+41a4

，，仔到。3=Z=。4=石=2=a==

a2=X+4%,an+2=anx=%+4,X+4X5a^

。7=武=一^=2发现是个数为一

a6=~=TTTJ-=%，a8=-=x+4x,6

个周期，循环出现，依次规律，计算解答即可.

【详解】解：■••%=*,2即+2=手，

a2=x+4x,

._也_X2+4X

4

•■-a3=ai=-^=^+'

_«3_久+4_1

04X2+4XX'

a2

«41

05X2+4X^

a3

_«5_x_1

f

06X2+4X

a4x+4

06X2+4X〃

的=。5=刀"='’

•n-2，A

,，a8xv十4工，

~a6-

・・・发现是6个数为一个周期，循环出现,

•••2024+6=337……2,

-'-02024=Gt2=/+4%,

故①错误；

,工=3，

.•.%2+4%=3,

•••3/=3(3-4%)，

2

,3%=3(3-4X)_3

,8%—6—2(3—4%)2’

故②正确;

■■-a1-a2-a3---a24-a25=2,

a

a2a3a4a2324

，a，a，a

**^1^2a1'a2'3'"2223—

,••。2«24=。2«6=%=2，

•••29+6=4......5,

11

••以29=。5=^；=适，

故③错误；

•••2024+6=337……2,2025+6=337……3,

.92024=y+4%,a2025=a3=X+4，

.。2024-2_久2+4久—2_久2+4久_2_(久+2)2-6_%+26

。2025一2x+4—2x+2x+2x+21

••,等「I的值为整数，

.,•%+2=±1,x+2=±2,%+2=+3,x+2=+6,

.•・满足条件的整数x共有8个.

故④错误，

故选：A.

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分.

11.分解因式：a2-9=.

【答案】(a+3)(a-3)

【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据平方差公式分解因式即可.

【详解】解：a2-9=(a+3)(a-3)-

故答案为：(a+3)(a—3).

12.因式分解：2/-8%+8=.

【答案】2(久—2)2

【分析】此题考查了因式分解.先提取公因式再用完全平方公式进行分解即可.

【详解】解：2/一8久+8=2(x—2)2,

故答案为：2(%-2)2

13.已知黑士沈二仁则小2—4足的值为.

【答案】21

【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.根据

平方差公式求解即可.

【详解】解…｛盟穿著，

•••m2—4n2—(jn+2n)(m-2n)=3x7=21,

故答案为：21.

14.a=2025x2024-1,/)=20252-2025x2024+20242,则ab.(请用

">""<"或"="表示)

【答案】<

【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对b进行

变形，然后通过作差法比较a与b的大小.先对b进行变形，利用完全平方公式，再计算

a-b的值，根据其正负判断a与b的大小关系.

【详解】设爪=2025,n=2024,贝!|a=mXn—1,b=m2—mXn+n2.

a—b=(mxn—1)—(m2—mxn+n2)

=mXn—l—m2+mXn—n2

=—m2+2mn—n2—1

=—(m2—2mn+n2)—1

=—(m—n)2—1,

将m=2025,n=2024代入，^a—b=—(m—n)2—1=—1—1=-2<0,

a<b.

故答案为：<.

15.已知x-3y=-3,贝i]5-2x+6y=.

【答案】11

【分析】本题考查了代数式的代入求值，掌握整体思想是关键.

根据题意，5—2x+6y=5-2(比—3y),代入求值即可.

【详解】解：5—2%+6y=5-2(久—3y)，且%—3y=-3,

:原式=5—2x(-3)=11,

故答案为：11.

16.如图，用9张力类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡片，拼成一个大

正方形，则拼成的正方形的边长为.

b|C

ba

【答案】3a+26

【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特

征是解题的关键.根据题意可得：拼成的大正方形的面积=9。2+12必+仞2=

(3a+26)2,即可解答.

【详解】解：由题意得：拼成的大正方形的面积=9&2+12必+仞2=(3。+26)2,

二拼成的大正方形的边长是3a+2b,

故答案为：3a+26.

三、解答题(本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(8分)把下列多项式分解因式

2222

(l)xy+xy；(2)9x(m-2)+y(2—m);

(3)X3-4%2+4X；(4)xy+x+y+1.

【答案】⑴孙(x+y)

(2)(m—2)(3x+y)(3x—y)

(3)%(x-2)2

(4)(x+l)(y+1)

【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

(1)用提取公因式法直接求解即可；

(2)先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果；

(3)先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果；

(4)用两次提取公因式法直接求解即可.

【详解】(1)解：X2y+xy2-=xy(x+y).

(2)解：9x2(m—2)+y2(2-m)

=9x2(m—2)—y2(m—2)

=(m-2)(9x2—y2)

=(m-2)(3%+y)(3x—y)-

3222

(3)解：X-4%+4X=X(X-4X+4)=x(%-2).

(4)解：%y+x+y+1=x(y+1)+y+1=(%+i)(y+1).

18.(8分)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3就-4+66因式分

解.同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：

解法^—*：原式=(2a—3ab)—(4—6b)

=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2).

解法二：原式—(2a—4)—(3ab—66)

=2(a—2)—3/?(a—2)=(a-2)(2—3b).

小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组,

再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法

(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止).请你也试一试利用分组分解法

进行因式分解.

⑴因式分解：2%2+4x-xy-2y；

(2)因式分解：%2—a2+x+a；

(3)因式分解:ax+a2-2ab-bx+b2.

【答案】(1)(久+2)(2久—y)

(2)(久+a)(x—a+1)

(3)(ci-6)(%+ci—b)

【分析】本题考查了因式分解，用提公因式法因式分解是解题的关键.

(1)先分组，再用提公因式法因式分解即可；

(2)先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可；

(3)先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可.

【详解】(1)解：2%2+4x-xy-2y

=(2%2+4%)—(xy+2y)

=2x(%+2)—y(x+2)

=(%+2)(2%—y);

(2)解：%2—a2+%+ct

=(x2—a2)+(x+a)

=(x+a)(x—a)+(x+a)

=(%+a)(x—a+1);

(3)解：ax+c^-2ab-bx+b2

=(ax-bx~)+(a2-2afo+b2)

=x^a—b)+(a—b)2

=(a—Z?)(x+a—b).

19.(8分)阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但

有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如%2-2xy+y2-16,我们细心观察这个式

子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公

式进行分解，过程如下：x2-2xy+y2-16=(x-y)2=16=(x-y+4)(x-y-4).这种

分解因式的方法叫"分组分解法"，利用这种分组的思想方法解决下列问题：

⑴分解因式：x2-9y2-2x+6y；

(2)有人说，无论无，y取何实数，代数式去公+y2-10x+8y+45的值总是正数，请说

明理由.

【答案】⑴(x—3y)(x+3y—2)

⑵见解析

【分析】本题考查了整式的因式分解，理解题中例子并将式子合理分组是解题的关键.

(1)前两项和后两项先分组，再分别分解因式，最后提取公因式分解；

(2)把45分成25、16、4,/_10%与25、y?+8y与16分别构成完全平方式，再利用

非负数的和说明即可.

【详解】(1)解：x2-9y2-2x+6y

=(x2—9y2)—(2x—6y)

=(x+3y)(x-3y)-2(x-3y)

=(%—3y)(%+3y—2)

(2)解：x2+y2-10x+8y+45

=x2-10x+25+y2+8y+16+4

=(x-5)2+(y+4)2+4

•••(x-5)2>0,(y+4)2>0

•­•(x-5)2+(y+4)2+4>0

所以无论久，y取何实数，代数式/+/一I。久+8y+45的值总是正数.

20.(8分)如图，大正方形/的边长为a,小正方形8的边长为6,两个正方形重叠部分

(阴影部分)的面积为社

b

(1)用含"加的代数式表示正方形8中空白部分的面积：.

(2)若a+b=8,a-b=4,设正方形/中空白部分的面积为Sj正方形8中空白部分的

面积为52，求S1-S2的值.

【答案】(加2—M

(2)S「S2=32.

【分析】本题考查了平方差公式的几何应用.

(1)利用正方形5的面积减去加即可求解；

2

(2)分别求得Si=42-爪，S2=b-m-,求得$1-52=(^-庐，利用平方差公式分解,

再整体代入数据求解即可.

【详解】(1)解：正方形3中空白部分的面积为：b2-m；

故答案为：b2-m-

2

(2)解：正方形8中空白部分的面积为：S2=b~m；

2

正方形/中空白部分的面积为：S1=a-m-,

=a?一6一(庐一小)

=a2-b2=(a+b)(a—b)，

•.•a+b=8,a—b—4,

••.S「S2=8x4=32.

21.(10分)【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法.但

有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如/-4/-2%+4,我们细心观察这个式子

就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后

会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程为：x2-4y2

―2久+4=(%+2y)(x—2y)~2(x—2y)=(x-2y)(x+2y-2)-这种分解因式的方法叫分

组分解法.利用这种方法解决下列问题：

⑴分解因式/+2孙+

(2)Zs4BC三边a,b,c满足a2-ab-ac+bc=0,判断△ABC的形状.

【答案】(1)(%+y+4)(%+y—4)

⑵△ABC是等腰三角形

【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义.

(1)先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可；

(2)先运用因式分解，将等式变形为(a-b)(Q_c)=0，从而得出。=8或。=。，再根据

等腰三角形的定义，即可求解.

【详解】(1)解：%2+2%y+y2-16

=(%2+2xy+y)-42

=(x+y)2—42

=(%+y+4)(x+y—4);

(2)解：a^—ab-ac+6c=0,

Q(a—b)—c(a—C)=。,

(a—b)(a—c)—0,

a—b=0或a—c=0,

a=b或a=c,

•.2,b,c是△ABC的三边，

.•.△4BC是等腰三角形.

22.(10分)阅读材料：我们把多项式02+2尤+川及Y-Zab+d叫做完全平方式.如果

一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现

完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一

种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分