2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：菱形的性质与判定的综合（八大题型）解析版

重难点06菱形的性质与判定的综合运用

EQ知识梳理

▲知识点一：菱形的定义

•定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备,

缺一不可.

★2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.

▲知识点二：菱形的性质

★1、菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质.

②菱形的四条边都相等.

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.

性质定理应用格式：

•/四边形/BCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,ACY,BD-,

4c平分乙BAD,/C平分ABCD；

BD平分乙4BC,BD平分乙4DC；

★2、菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式=底义高.②菱形面积=品4（。、6是两条对角线的

长度）

（3）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）;

▲知识点三：菱形的判定

・菱形的判定方法：

★1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

★2、判定定理1(从对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

定理1应用格式：

,/四边形/BCD是平行四边形，且

，四边形/8CD是菱形.

★3、判定定理2(从边)：四条边相等四边形是菱形.

定理2应用格式：

•?AB=BC=CD=AD,

四边形ABCD是菱形.

【要点解析】

(1)判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出

发的；

(2)①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.

②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.

(3)①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或

直接证明四边形的对角线互相垂直平分；

②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边

形的四条边都相等.

m题型解读

国典题精练

【题型一利用菱形的性质求角度】

【例题1】（2024•自贡一模）若菱形的周长为8,高为1,则菱形两邻角的度数比为（）

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

【分析】先根据菱形的性质求出边长/8=2,再根据直角三角形的性质求出N8=30°,

得出/D48=150°,即可得出结论.

【解答】解：如图所示：：四边形/BCD是菱形，菱形的周长为8,

:・AB=BC=CD=DA=2,ZDAB+ZB=1SO°,

U：AE=\,AELBC,

1

:.AE=-AB9

：.ZB=30°,

ZDAB=150°，

：.ZDAB：/B=5：1；

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和

含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键.

【变式1-1】（2024秋•丰城市校级期末）如图，菱形/5CZ）中对角线相交于点。，AB=

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根据菱形的性质，可得△ZBC是等边三角形，进一步可得N/QC=60°,根据菱

形的性质可得的度数.

【解答】解：在菱形中，AB=BC,/ADC=/ABC,

'：AB=ACf

：.AB=BC=AC,

•••△/BC是等边三角形，

AZABC=ZADC=60°,

在菱形ABCD中，NADB=ZCDB,

ZADB=30°,

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是

解题的关键.

【变式1-2】（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形4BCD中，对角线NC与AD相交于

点、O,DELAB于E,交/C于点尸，若NBAD=a,则NDFO一定等于（）

11

A.2aB.45°+aC.90°--aD.45°+5a

【分析】根据菱形的性质得出/CUBA,进而利用互余解答即可.

【解答】解：：四边形/BCD是菱形,

11

：.AC±BD,ZBAO=-ZBAD^~a,

：.ZDFO+ZFDO=90°,

'：DELAB,

：.ZFDO+ZABO=90°,

ZDFO^ZABO,

VZBAO+ZABO=90°,

1

：.ZDFO=900-ZBAO=90°--a,

故选：C.

【点评】此题考查菱形的性质,关键是根据菱形的对角线互相垂直解答.

【变式1-3】（2024秋•三明期末）如图，AC,AD是菱形/BCD的对角线，若Nl=20°,

则/2的度数为.

【分析】根据菱形的性质即可解答.

【解答】解：'：AC,2D是菱形48co的对角线,

AZDAC=Zl=20°,/ADB=/2,

：.ZDAB=40°,

,:DC〃AB,

；.//DC=140°,

.\Z2=70o.

故答案为：70°.

【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键.

【变式1-4】(2024秋•碑林区校级期末)如图，菱形48co的周长是40cM对角线/C

为10cm,则菱形相邻两内角的度数分别为.

【分析】证明是等边三角形，则ND=60°,即可解决问题.

【解答】解：:四边形ABCD是菱形，

40

.\AD=CD=-=10(cm),AB//CD,

4

；・/Q+/B4D=180°,

又・・ZC=10c加，

；.AD=CD=AC,

•••△4CD是等边三角形，

ZD=60°,

ZDAB=120°,

故答案为：60°,120°.

【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，证明为等边

三角形是解题的关键.

【变式1-5】如图所示，在菱形/3CD中，E、尸分别是5C、CD上的点，且/B=/E4F=

60°，ZBAE^24°,求NC£尸的度数.

【分析】先连接NC,证明然后推出证明△/£尸是等边三角形,

最后运用三角形外角性质，求出NC即的度数.

【解答】解：连接NC,

:四边形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,

•；/B=NE4F=60°,

...△/8C是等边三角形，NBCD=120°,

：.AB=AC,ZB=ZACF=60°,

ZBAE+ZEAC=ZFAC+ZEAC,

：.ZBAE=ZFAC,

在△/BE与△/CF中，

(ABAE=^CAF

\AB^AC,

储B=Z.ACF

.'.△ABE丝AACF(ASA),

：.AE=AF,

又,；NEAF=ND=60°,

尸是等边三角形，

AZAEF^60°,

又NAEC=NB+NB4E=84°,

；.NCM=84°-60°=24°.

BE

【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应

用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形.

【题型二利用菱形的性质求线段长】

【例题2】（2024秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5,它的一条对角线的长为6,则菱

形的另一条对角线的长为（）

A.8B.6C.5D.4

11

【分析】由菱形的性质可得N8=5,ACLBD,AO=CO=~AC=3,BO=DO=~BD,由

勾股定理可求8。的长，即可求解.

【解答】解：如图所示：

:四边形/BCD是菱形，

11

；.4B=5,AC±BD,AO=CO=~AC=3,BO=DO=~BD,

••BO—7AB2—4。2=V25—9=4,

:.BD=8

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是

解决问题的关键.

【变式2-1】（2024秋•滕州市校级期末）如图，菱形/BCD的对角线/C、8。相交于点

O,过点。作。于点“，连接。兄若。N=8,S菱形/BCD=64,则的长为（）

B

A.4V5B.8C.4D.2V5

【分析】由菱形的性质得出CM=OC=8,OB=OD,ACLBD,则/C=16,由直角三角形

1

斜边上的中线性质得出。”=再由菱形的面积求出助=8,即可得出答案.

【解答】解：・・•四边形45CZ）是菱形，

：.OA=OC=6,OB=OD,ACLBD,

・・・/C=16,

U：DH±AB,

：.ZBHD=90°,

1

：.OH=~BDf

11

•.•菱形/BCD的面积=—xACxBD=-x16xBD=64,

；・BD=8,

1

：.0H=~BD=4,

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角

1

三角形斜边上的中线性质求得。”=-BD.

【变式2-2】（2024秋•神木市期中）如图，四边形/BCD中，NC=90°,点£是5。上

一点，连接力£,DE,BD,AE与BD交于点O,四边形/5EZ）是菱形，若EC=3,CD=

4,则BO的长为（）

A.4B.3vC.-—D.2V5

【分析】求解DE=V32+42=5,可得DE=BE=AB=AD=5,再求解BD=VfiC2+DC2

=V42+82=4V5）从而可得答案.

【解答】解：：四边形/BCD中，ZC=90°,

.♦.△CDE是直角三角形，

在RtZ\CDE中，EC=3,CD=4,

由勾股定理得：£>£=V32+42=5.

:四边形4BED是菱形,

：.DE=BE=AB=AD=5,OB=OD,

:.BC=BE+EC=8,

在直角三角形8co中，由勾股定理得：BD=y/BC2+DC2=V42+82=4V5.

1一

:.B0=^D=2后

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理，菱形的性质，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题.

【变式2-3】（2024秋•红古区期末）如图，已知菱形48CD,Z5=60°,NC=3,则N8

的长为.

【分析】根据菱形的性质得出=而/2=60°,则可判定△NBC是等边三角形,

从而得出/C=48=3.

【解答】解：•.•四边形/BCD是菱形，

：.AB=BC,

VZB=60°,

：.AABC是等边三角形,

.\AC=AB=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据有一个角是60°的等腰

三角形是等边三角形判定△N5C是等边三角形是解题的关键.

【变式2-4】（2024秋•山亭区期末）如图，菱形4BCD的对角线NC与2。相交于点

点£为ND的中点，连接ZABC=60°,BD=4同贝！IO£=.

【分析】根据菱形的性质可得，/45。=30°则2。=2百,再利用含30°角的直

角三角形的性质可得答案.

【解答】解：••,四边形是菱形，ZABC=6Q°,

：.BO=DO,ZABO=30°,ACLBD,AB=AD,

:.BO=2近,

：.AO=^-BO=1,

.,.45=240=4,

W为/。的中点，ZAOD=90°,

1

：・OE=《AD=2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱

形的性质是解题的关键.

【变式2-5］（2024秋•渝中区校级期末）如图，已知四边形/BCD是边长为4的菱形，ZBAD

=60°,对角线NC与AD交于点。，过点。的直线跖交/。于点E,交BC于点E.

（1）求证：AAOEmdCOF；

(2)若/£00=30°,求CE的长.

A

【分析】（1）由菱形的性质得出/O=C。，AD//BC,推出NOCF=/O/E,再利用

'Z&T'即可证明△NOE四△COR

1

（2）根据菱形的性质得出ND40=的84。=30a,AC±BD,AD^4,再根据含30°角的直

1一

角三角形的性质结合勾股定理得出。D=yD=2,AO=2总求出N/EO=90°,从而

1

得出。E=yo=Vi，AE=3,再由全等三角形的性质得出CF=4E=3,OF=OE=通,

ZCFO=ZAEO=90°,最后由勾股定理计算即可得出答案.

【解答】（1）证明：•••四边形是菱形，

C.AO^CO,AD//BC,

：.AOCF=AOAE,

在•和△CO尸中，

ZOCF=/.OAE

OA=OC,

ZCOF=乙AOE

:.△AOEmACOF（ASA）；

（2）解：：四边形48cD是边长为4的菱形，4840=60°,

1

J.Z.DAO=-^Z.BAD=30°,ACLBD,AD=4,

1

：.0D=~AD=2,

•'•AO=y/AD2-OD2=2V3，

VZEOD=30°,

/.ZAOE=90°-ZDOE=60°,

・・・N4£O=1800-ZOAE-ZAOE=90°,

1「

•'•OE=万4。=百，

•'•AE=y/AO2-OE2=3,

"：/\AOE^/\COF,

：.CF=AE=3,OF=OE=a,ZCFO=ZAEO=90°,

:.EF=2炳,

CE=VCF2+EF2=V21.

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性

质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【题型三利用菱形的性质求周长或面积】

【例题3】（2024•深圳模拟）如图，在菱形N8CD中，Z5=60°,连接/C,若/C=6,

则菱形/BCD的周长为（）

A.24B.30C.18V3D.36囱

【分析】先根据菱形的性质证明/2=8C=CD=4。，在根据已知条件证明△NBC是等边

三角形，求出48=8C=/C=6,从而求出菱形周长即可.

【解答】解：•••四边形/3C。是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,

VZB=60°,

：./\ABC是等边三角形，

:.AB=BC=AC=6,

；.AB=BC=CD=AD=6,

・•・菱形48CQ的周长为：

AB+BC+CD+AD

=6+6+6+6

=24,

故选：A.

【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握菱

形的性质、等边三角形的判定和性质.

【变式3-1】（2024秋•长春期末）如图，菱形4BCD的对角线NC,AD相交于点。，/C=

24,BD=10,则菱形48c。的周长为（）

A.40B.44C.48D.52

【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且

平分，根据勾股定理求边长即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,AO=CO,BO=DO,

'：AC=24,BD=IO,

11

：.AO=-AC=n,BO=-BD=5,

在RtAAOB中，

AB-7A。2+B02=5/122+52=13,

.,.菱形的周长=13X4=52.

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题

的关键.

【变式3-2】（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形中，对角线/C,3D相

交于点。，若NBAD=60°,AC=243,则菱形/BCD的周长为（）

D。C

AB

A.8B.4V3C.6D.4

1「

【分析】根据菱形的性质得到A0=-AC=y/3,ZDAO=30°,再根据勾股定理

和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案.

【解答】解：•・•四边形/BCD是菱形，

1「

.\AC1BD,/。=万4。=百，

•；NBAD=60°,

：.ZDAO=30°,

；・AD=2OD,

在RtA4OD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AO2,

1

：.AD2=~AD2+3,

4

：.AD=2,

菱形48co的周长为440=8,

故选：A.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱

形的性质是解题的关键.

【变式3-3】（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形N8CZ）中，对角线/C,8。相交

于点。，点£为CD的中点.若。£=4,则菱形的周长为（）

B

A.48B.32C.24D.16

【分析】由菱形的性质可得出AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论.

【解答】解：：四边形为菱形，

J.ACLBD,AB=BC=CD=DA,

...△COD为直角三角形.

：OE=4,点E为线段CD的中点，

:.CD=2OE=8.

C菱形48cz)=4CZ)=4X8—32.

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出8=8.

【变式3-4】(2024秋•龙岗区校级月考)如图，菱形/BCD的对角线/C、8。相交于点

O,过点。作。于点“，连接O//,若O/=8,0H=3,则菱形的面积为

()

A.48B.72C.96D.108

【分析】由菱形的性质得ZCLBD,OA=OC,OB=OD,由。于点X,得/BHD

1

=90°,因为。4=8,08=3,所以4。=2。4=16,BD=2OH=6,贝US菱形.8=营。

•50=48,于是得到问题的答案.

【解答】解：・・•四边形48c。是菱形，对角线4。、5。相交于点O,

：.AC±BDfOA=OC,OB=OD,

'：DH±AB于点H,

:・/BHD=90°,

・・・CU=8,OH=3,

：.AC=2OA=\6,BD=2OH=6,

11

・・・S菱形4BCQ=pC・5Q=5X16X6=48,

故选：A.

【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，

正确地求出AC的长及BD的长是解题的关键.

【变式3-5】（2024秋•达州期末）如图，菱形/BCD的边长为26,对角线/C的长为48,

延长N8至E,8尸平分/C8E,点G是8尸上任意一点，则4/06的面积为.

【分析】连接交/C于点。，根据菱形的性质可得AD与/C互相垂直平分，再根据

4c平分/D4B,BF平分/CBE,可以证明/C〃尸8,根据平行线间的距离处处相等可得S

△CBG=S&ABG，进而可得SA^CG=SAZBC

【解答】解：如图，连接交/C于点。，

:四边形45CD是菱形，

.•.8。与NC互相垂直平分，

.,.O/=OC=24,

：.OB=OD=.262—242=10,

•：DA//CB,

：.ZDAB=ZCBE,

平分ND4B,

1

ZCAB=~^DAB,

:BF平分/CBE,

1

ZFBE=-/-CBE,

:.NCAB=/FBE,

：.AC//FB,

:•S&CBG=SUBG，

11

:.S“CG=S4BC=^><AC-OB=-x48X10=240,

则ANCG的面积为240.

故答案为：240.

【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质.

【变式3-6】（2024•德城区校级开学）如图，点。是菱形/BCD对角线的交点，CE//BD,

EB//AC,连接。E,交BC于F.

（1）求证：OE=CB；

（2）如果OC：OB=1：2,OE=2,求菱形的面积.

【分析】（1）通过证明四边形0CE8是矩形来推知OE=C8；

（2）利用（1）中的NC_LB。、OE=CB,结合已知条件，在RtZ\8OC中，由勾股定理

求得CO=等，。夕=等.然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答.

【解答】（1）证明：•••四边形/3co是菱形,

：.AC1^BD.

,JCE//BD,EB//AC,

四边形OCEB是平行四边形，

二四边形OCE5是矩形，

：.OE=CB；

（2）解：由（1）知，ACLBD,BC=OE=2,

VOC：05=1：2,

.,.设OC=x,则O2=2x,

在RtzXBOC中，由勾股定理得3c2=OC2+OB2,gp4=X2+4X2,

解得％=等（负值已舍），

."。=等。”等

:四边形/2CO是菱形，

...心”BD2

55

116

，菱形/5CZ）的面积是：—BD-AC=—.

【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理矩形的判定与性质，掌握菱形的对角线互相

垂直平分是解题的关键.

【题型四利用菱形的性质进行证明】

【例题4】(2024秋•富平县期中)如图，点、E,尸分别在菱形4BCD的边DC,DA且

CE=AF,连接BE,BF,BD.求证：/DBF=NDBE.

【分析】根据菱形的性质可得NA=/C,ZDBA=ZDBC,再证明4/8F名

△CBE,根据全等三角形的性质即可求证.

【解答】证明：点E,尸分别在菱形/8CD的边。C,DA±,且CE=NR

；.AB=BC,ZA=ZC,ZDBA=ZDBC,

在AABF和△C8E中，

AF=CE

Z-A—Z.C,

AB=CB

：.AABF^/\CBE(&4S),

・•・/ABF=/CBE,

：.ZDBF=ZDBE.

【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌

握菱形的四条边都相等.

【变式4-1】（2024秋•三元区期中）如图，菱形/BCD中，点E,尸分别是3c边上

的点，AE=CF.

【分析】先证明△£）/£△DCF,根据性质得出尸即可证明结论.

【解答】证明：.••四边形/BCD是菱形，

：.DA=DC,ZA=ZC,

在和△DCF中，

DA=DC

Z.A—Z-C,

AE=CF

:•△DAE/ADCF（SAS）,

:.DE=DF,

：.ZDEF=ZDFE.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与

判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质.

【变式4-2】（2024秋•楚雄州期末）如图，在菱形/BCD中，E是对角线/C上的一

【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定即可证明.

【解答】证明：：四边形N8CO是菱形，

：.BC=CD,

'：AC是菱形ABCD的对角线，

，ZBCA=ZDCA,

,：BC=CD,ZBCA=ZDCA,CE=CE,

:.ACDE冬ACBE（SAS）,

:.DE=BE,

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质、全等三角

形的判定与性质是关键.

【变式4-3】（2024秋•武功县期末）如图，在菱形4BCD中，对角线/C,3。相交于点

O,E,厂在对角线AD上，S.BF^DE,连接/E,AF.求证：AE=AF.

【分析】由菱形的性质得到08=0。，AC±BD,由5b得到。尸=。£,根据线段垂

直平分线的性质即可得到AE=AF.

【解答】证明：.••四边形/BCD是菱形，

：.OB=OD,AC±BD,

•;BF=DE,

：.BF-OB^DE-OD,

：.OF=OE,

：.AE=AF.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性

质是解决问题的关键.

【变式4-4】（2024秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形/BCD中，点、E,尸分别在边

3c上，AE=CF,DE,。尸分别与/C交于点N.求证：DM=DN.

D

【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定&4S,可以证明△/DEgaCDE再利用等

腰三角形的性质，可以得至DM=DN.

【解答】证明：：四边形/BCD是菱形，

：.DA=DC,ZDAE=ZDCF,AB=CB,

,:BE=BF,

：.AE=CF,

在△/£)£1和尸中，

DA=DC

Z.DAE=/.DCF,

,AE=CF

:.AADE咨ACDF(SAS)；

：.ZADM=ZCDN,DE=DF,

•.•四边形/BCD是菱形，

/DAM=ZDCN,

'：ZADM=NCDN,

：.ZDMA=ZDNC,

：.ZDMN=ZDNM,

：.DM=DN.

【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，

利用数形结合的思想解答.

【变式4-5】(2024•祁江区校级三模)如图，在口/5CD中，E,尸分别是边4D,3c的中

点，连结/尸，CE,AC.

(1)求证：四边形/尸CE是平行四边形.

(2)若四边形/尸CE是菱形，判断△NBC的形状，并说明理由.

AE

D

BFC

【分析】（l）根据四边形4BCD是平行四边形，从尸分别是40、5c的中点，得出4E=

CF,AE//CF,从而判断即可；

（2）根据菱形的性质和三角形的内角和定理解答即可.

【解答】（1）证明：・・•四边形48C。是平行四边形，

:・AB=CD,AD=BC,

•:E、尸分别是Z。、5C的中点，

11

：.AE=DE=~ADfCF=BF=~BC,

":AD=BC,

：.AE=CF,

X^AE//CF,

J四边形AFCE是平行四边形.

（2）解：：四边形4/CE是菱形，

工AF=CF,

：.ZFAC=ZFCA,

又,：CF=BF,

：./FAB=/FBA,

•：/FAC+NFCA+/FAB+NFBA=180°,

/.ZFAB+ZFAC=90°,

•••△/BC是直角三角形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质.菱形的性质以及直角三角形的判定，熟

记各种特殊几何图形的判定方法和性质是解题的关键.

【变式4-6】（2024春•江汉区校级月考）如图，四边形48CZ）是菱形，AC,BD交于点

O,DH_LAB于点、H.

（1）若对角线4c=8c冽，BD=6cm,求D77的长；

（2）连HO,求证：/BOH=/DAH.

【分析】（1）由勾股定理求出45=5°冽，根据菱形的面积公式可得出答案;

（2）由菱形的性质及三角形内角和定理可得出答案.

【解答】（1）解：・・•四边形45CD是菱形，

：.ACLBD,OA=OC,OB=OD,

u

'.AC=8cmfBD=6cm,

11

CM=yC=4cm,OB=^BD=3cm,

'.AB—y/OA2+OB2—V42+32—5（cm）,

1

•・S菱形ABCD=~^AC*BD=AB9DH,

1AC-BD18x624

''DH^2X^~^2X^=~（cm）；

（2）证明：VZDHB=90°,OB=OD,

：.OH=OB,

：./OHB=/OBH,

；・/BOH=1800-2/OBH,

・・•四边形45cD是菱形，

・•・ZBAC=ADAC,

：./DAH=2/OAB,

・・・NCM8=90°-ZOBH,

；・ND4H=180°-2NOM

・•・ZBOH=ADAH.

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握

菱形的性质.

【题型五菱形判定的条件】

【例题5】（2025•大渡口区模拟）如图，要使平行四边形N8CD成为菱形，需添加的条件

A.AC=BDB.ZABC=AADCC.ZABC=90°D.ACLBD

【分析】根据菱形的判定方法得出。正确，4、C、8不正确；即可得出结果.

【解答】解：/、：四边形/BCD是平行四边形，AC=BD,

平行四边形Z3CD是矩形，故本选项错误；

8、：四边形N3CD是平行四边形，ZABC=ZADC,

不能得出平行四边形/BCD是菱形，故本选项错误；

C、:四边形N5CD是平行四边形，//8C=90°,

四边形/BCD是矩形，

不能推出，平行四边形/BCD是菱形，故本选项错误；

D、•.,四边形N5CZ）是平行四边形，ACLBD,

...平行四边形Z3CO是菱形，故本选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①

有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相

垂直的平行四边形是菱形.

【变式5-1】（2024秋•蓼城区校级期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、

乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出,

最后得到结论：地板瓷砖是菱形.则横线处应填（）

A.两组对边分别平行B.一组邻边相等

C.两条对角线相等D.一组邻角相等

【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形,

据此可得答案.

【解答】解：由“甲测量出两组对边分别相等”推知该地板砖是平行四边形，

则当一组邻边相等时，该平行四边形的地板砖是菱形，

则根据菱形的性质知：乙测量出一组邻边相等，

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握判定定理即可.

【变式5-2】（2024秋•温县期中）如图，已知口/BCD的对角线交于点O,下列条件不能

证明口98。£＞是菱形的是（）

A.ZABD^ZADBB.OA2+OB2^CD2

C.ZBAO=ZDCOD.ZABO=ZCBO

【分析】根据得出根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定/

选项不符合同意；根据勾股定理得出//。8=90°,得出即可判断8不符合

同意；根据无法判断四边形/BCD为菱形，即可判断C符合题意；根据

ZABO=ZCBO,证明得出48=/。，即可判断。不符合同意.

【解答】解：A.由得出四边形48co是菱形（邻边相等的平

行四边形是菱形），故不符合题意；

2.：四边形/BCD为平行四边形，

：.AB=CD,

'：OA2+OB2^CD2,

：.OA2+OB2=AB2,

为直角三角形，NAOB=90°,

J.ACVBD,

四边形/BCD是菱形，故不符合题意；

C.由/A4O=NZ）CO不能证明口/BCD是菱形，故符合题意；

四边形N2CD为平行四边形，

J.AD//BC,

NADB=NCBD,

,：ZABO=ZCBO,

：.ZABO=ZADB,

：.AB=AD,

四边形/BCD为平行四边形，故不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形

是菱形解题的关键.

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.四条边相等的四边形是菱形

【分析】由作图得/B=/O=C8=CD,即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四

边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案.

【解答】解：由作图得CB=CD=AD,

:.AB=AD=CB=CD,

V四条边相等的四边形是菱形，

四边形是菱形，

故选：D.

【点评】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形

是菱形“证明四边形/8CD是菱形是解题的关键.

【变式5-4】（2024•灵山县一模）如图，在平行四边形48co中，点E,尸分别在4D,

2C上，AE=FB.只需添加一个条件即可证明四边形/EFS是菱形，这个条件可以

是_____________（写出一个即可）.

【分析】先证四边形/EEB是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论.

【解答】解：这个条件可以是理由如下：

•/四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//CB,

,:AE=FB,

四边形AEFB是平行四边形，

又：4E=4B,

.••平行四边形/EEB是菱形，

故答案为：4E=AB（答案不唯一）.

【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判

定是解题的关键.

【变式5-5】（2024春•海伦市期末）如图，已知4D是△48C的角平分线，DE〃AC交

AB于点、E,请你添加一个条件,使四边形/矶火是菱形.

A

E//\

F

C

BD

【分析】根据。£〃/C交于点E,DF〃&B交4C于点、F,可以判断四边形尸是平

行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立.

【解答】解：DF//AB,理由如下：

:DE〃AC交AB于点E,DF〃AB交AC于点F,

四边形/££甲是平行四边形，ZEAD=ZADF,

,：AD是△48C的角平分线，

ZEAD=ZFAD,

：.ZADF=ZFAD,

：.FA=FD,

四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

【点评】本题考查菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的

条件，利用菱形的判定解答.

【变式5-6】如图，将△N3C沿着2c方向平移得到△。跖，只需添加一个条件即可证明

四边形N瓦2是菱形，这个条件可以是.（写出一个即可）

【分析】由平移的性质得AB=DE,则四边形N2即是平行四边形，再由菱形的

判定即可得出结论.

【解答】解：这个条件可以是AB=AD,理由如下：

由平移的性质得：AB//DE,AB=DE,

四边形助是平行四边形，

又；AB=AD,

平行四边形/BE。是菱形，

故答案为：AB=AD（答案不唯一）.

【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及平移的性质等知识，熟练

掌握菱形的判定和平移的性质是解题的关键.

【题型六菱形的判定的证明】

【例题6】（2024秋•武功县期末）如图，在RtZX/BC中，ZACB=90°,ZABC=60°,

点。为的中点，连接CD,过点、D作DE〃BC,MDE=BC,连接求证：四边形

3CDE是菱形.

【分析】先证明四边形5CDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

1

一半得到CD=BD=yB,进而证明△BCD为等边三角形得到8C=CD,根据菱形的判定

定理可证得结论.

【解答】证明：,：DE//BC,MDE=BC,

四边形BCDE是平行四边形.

■:CD为RtA^SC的斜边N8上的中线，

1

CD=BD=万48.

VZABC=60°,

•••△5CQ为等边三角形，

:,BC=CD,

四边形BCDE是菱形.

【点评】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角

三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△88为等边三角形是

解答的关键.

【变式6-1】（2024秋•莲湖区期末）如图，在四边形/BCD中，AB//CD,AB=CD,对角

线NC,2D相交于点。，4C平分/R4D.求证：四边形48c。是菱形.

【分析】先判断出NON3=NOC/,进而判断出ND/Cn/Da,得出CD=/Z）=N8,

即可得出结论.

【解答】证明：

ZDCA=ZOAB,

平分N8/。，

NDAC=NOAB,

：.ZDAC=ZDCA,

：.AD=CD=AB,

,:AB〃DC,

四边形/BCD是平行四边形，

:AD=AB,

四边形/BCD是菱形.

【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾

股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键.

【变式6-2】（2024秋•新城区期末）如图，己知四边形N2EF为平行四边形，点C为BE

的中点，连接/C并延长交代的延长线于点。，若DE=2CE,求证：四边形N2E尸为

菱形.

【分析】由平行四边形的性质得斯〃/3,则ND=NC43,由点C为BE的中点，得CE

=CB,EB=2CE,而/DCE-B,即可根据“44S”证明△DC£gZ\/C8,得DE=

AB,因为DE=2CE,所以48=2CE,推导出则四边形/班产为菱形.

【解答】证明：•・,四边形48M是平行四边形，

J.EF//AB,

：.ND=NCAB,

・・•点。为BE的中点，

:・CE=CB,EB=2CE,

在△Z)C£和中，

2D=/.CAB

Z.DCE=Z.ACB,

CE=CB

:.△DCE^AACB(AAS),

；.DE=AB,

■:DE=2CE,

:・AB=2CE,

:・AB=EB,

四边形所为菱形.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知

识，证明△OCE/ZUCB是解题的关键.

【变式6-3】(2024秋•虹口区校级月考)如图，/ABC=/ADC=90°,〃为NC中点,

MNJLBD于点、O,BN//DM,求证：BNDM为菱形.

【分析】根据直角三角形的性质得到3M=zw=5/c,根据等腰三角形的性质得到/瓦w

=ZDMN,由平行线的性质得到/aW=NO九W,等量代换得到求得

BM=BN,得到根据菱形的判定定理即可得到结论.

【解答】证明：•..N/3C=N/DC=9(r,M为对角线NC的中点，

：.BM=DM=^AC,

■:MNLBD,

：.ZBMN=ZDMN,

'CBN//DM,

：.ZBNM=ZDMN,

：./BMN=ZBNM,

:.BM=BN,

：.BN=DM=BM=DN,

.,•四边形AVDM是菱形.

【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的

识别图形是解题的关键.

【变式6-4】(2024•东莞市模拟)如图，在平行四边形N8CD中，对角线NC,相交于

点。，点£,尸在AD上，MBE=DF.

(1)求证：AADF沿4CBE；

(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形NECF是菱形；并给予证明.

B

【分析】(1)由平行四边形的性质知，AD=BC,AD//BC,得到又有BE

=DF,故由S4s证得△/£＞尸丝△C8E；

(2)平行四边形的性质知，AO=CO,BO=DO,由2石=。尸可求得OE=O尸，根据平行

四边形的判定得到四边形/ECF是平行四边形，由NCLE尸可得平行四边形NECF是菱形.

【解答】(1)解：•••四边形/BCD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.ZADF=ZCBE,

在△4D尸和△C8E中,

(AD=CB

\/.ADF=Z.CBE,

(DF=BE

.♦.△ADF/LCBE(&4S)；

(2)解：补充的条件是：ACLBD.

证明：•..四边形/BCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

：.OE=OF,

四边形AECF是平行四边形，

5L'：ACVBD,

...四边形/ECF是菱形.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定，证

得四边形NEC尸是平行四边形是解决问题的关键.

【变式6-5】(2024•市南区校级开学)如图，在△/BC中，。是2c的中点，E是4D的

中点，过点/作/尸〃3C,/尸与CE的延长线相交于点尸，连接RF.

(1)求证：四边形NE8D是平行四边形；

(2)当△N2C满足什么条件时，四边形NF5D是菱形？请说明理由.

【分析】(1)由/尸〃8C,得到两对内错角相等，再由£为中点，得到禾！J用44s

得到△4FE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到4