2024-2025学年浙教版七年级数学下册题型专练：平方差和完全平方公式（七大题型）解析版

专题03平方差和完全平方公式(七大题型)

题型归纳

【题型1平方差公式运算】

【题型2巧用平方差公式简便计算】

【题型3平方差公式的几何背景】

【题型4完全平方公式】

【题型5完全平方公式下得几何背景】

【题型6完全平方公式的逆运算】

【题型7求完全平方公式中字母的系数】

部题型专练

【题型1平方差公式运算】

1.(2025•河南商丘•一模)(一血一九)(一加+九)的化简结果是()

A.m2I+n2B0.m2—n2C「.n2-2mDrx.—m2—n2

【答案】B

【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算解题即可.

【详角军］解：(-m-n)(-m+n)=(-m)2-n2=m2-n2,

故选：B.

2.(2025七年级下•江苏•专题练习)下列各式能用平方差公式计算的是()

A.(3a—5b)(3a—5Z))B.(―3a—5b)(3a+5b)

C.(a-2b)(—a+2b)D.(—CL-2b)(a—2b)

【答案】D

【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.利用平方差公式

的结构特征进行判断即可.

【详解】解：A、(3a-56)(3a-5b)=(3a-5bV，不能用平方差公式，故该选项不正确，

不符合题意；

B、(-3a-5b)(3a+56)=—(3a+5b心，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合

题意；

C、(a-2b)(-a+26)=-(a-2b)2,不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意;

D、(-a-2b)(a-2b)=(-26)2-能用平方差公式，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

3.(2025七年级下•全国•专题练习)利用平方差公式计算：

(1)(5+6x)(5—6x);(2)(x-2y)(x+2y);

(3)(—m+n)(­m—n)-

【答案】⑴25-36公

(2)x2-4y2

(3)m2-n2

【分析】

(1)根据平方差公式进行计算即可.

(2)根据平方差公式进行计算即可；

(3)根据平方差公式进行计算即可；

本题主要考查了整式的乘法，解题关键是熟练掌握平方差公式.

【详解】⑴

解:原式=52—(6X)2

=25—36/；

(2)

解:原式=♦一(2y)2

=x2-4y2；

(3)

解:原式=(一峭2f2

22

=m-n•

4.(2025七年级下•全国•专题练习)运用平方差公式计算：

(l)(9s+llt)(llt-9s);(2)(3p-|q)(-3p-|q).

【答案】⑴121t2-8/

(2备2—9p2

【分析】

本题主要考查平方差公式；

(1)运用平方差公式，先化为(lit)?-(9S)2,再计算得出结果;

(2)根据平方差公式，变形后进行计算即可.

【详解】(1)

解：原式=(llt)2—(9s)2

22

=121t-81s.

(2)

2

解:原式=(一7冢)L(3p)2

=嬴—9p2.

5.(2025七年级下•全国・专题练习)计算：

(1)(2%+y)(2x-y)；(2)Qx+|y)(|x-|y)；

(3)(—%+3y)(—%—3y)；(4)(2a+/?)(2a—6)(4a2+b2).

【答案】⑴4-_y2

(3)x2-9y2

⑷16a4-。4

【分析】本题主要考查平方差公式；

(1)利用平方差公式计算即可；

(2)利用平方差公式计算即可；

(3)利用平方差公式计算即可；

(4)利用平方差公式计算即可.

【详解】(1)解：(2久+y)(2久一y)

=4%2-y2；

(2)解:原式=#-#；

(3)解：原式=久2-9必；

(4)解：原式=(4&2-62)(442+必)=16a4-//.

6.(2025七年级下•全国•专题练习)利用平方差公式计算：

(1)(3%+y)(3x-y);(2)(2%+5)(2%-5);

(4)(|%-|y)(|x+|y).

⑶(4a6+l)(4ab—1);

【答案】(1)9%2—y2

⑵4尤2—25

(3)16a2h2-l

(4,2_#

【分析】本题考查了平方差公式(a+b)(a-》)=。2-廿，熟记平方差公式是解题关键.

(1)利用平方差公式进行计算即可得；

(2)利用平方差公式进行计算即可得；

(3)利用平方差公式进行计算即可得；

(4)利用平方差公式进行计算即可得.

【详解】(1)解：原式=(3x)2—y2

=9x2—y2.

(2)解：原式=(2x)2-5?

=4%2-25,

(3)解：原式=(4ab)2-仔

=16a2/-1.

(4)解：原式=G%)_(|y)

1242

=/一”•

7.(2025七年级下•全国•专题练习)计算：

(l)(2m-3n)(2m+3n);(2)(2a-5b)(5b+2a);

(3)(—2+3x)(-2-3x);⑷

【答案】(1)4/—9川

⑵4a2_25d

(3)4-9x2

(4)y2-1x2

【分析】此题主要考查了平方差公式，正确掌握平方差公式的定义是解题关键.

(1)直接利用平方差公式(a+b)(a—b)=a2—进而计算即可；

(2)直接利用平方差公式(a+b)(a—6)=。2-廿，进而计算即可；

(3)直接利用平方差公式(a+b)(a-》)=。2—必，进而计算即可；

(4)直接利用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-进而计算即可.

【详解】(1)

解：(2m—3n)(2m+3n)

=(2m)2—(3n)2

=4m2-9n2：

(2)

解：(2a—5b)(5b+2a)

=(2a)2—(56)2

=4a2-25fe2；

(3)

解:(-2+3x)(—2—3x)

=(-2)2—(3x)2

=4—9%2：

(4)

解：

12

=(-y)2-(p)

=y2-x12.

【题型2巧用平方差公式简便计算】

8.(2025七年级下•全国・专题练习)用平方差公式计算：

(1)401x399；(2)10|x9|；

(3)50.2x49.8；⑷40；x(_39*

【答案】⑴159999

(2)9吟

(3)2499.96

15

⑷-1599Tl

【分析】本题主要考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键.

(1)先变形401x399,然后利用平方差公式进行计算即可；

(2)先变形10|x9g,然后利用平方差公式进行计算即可；

(3)先变形50.2x49.8,然后利用平方差公式进行计算即可；

(4)先变形4。3乂(一393,然后利用平方差公式进行计算即可.

【详解】(1)解：原式=(400+1)(400—1)=160000—1=159999.

⑵解：原式=(10+|)x(io一|)=100一［=99|.

(3)解：原式=(50+0.2)X(50—0,2)=2500-0.04=2499.96.

(4)解：原式=(40+?X(-40+0=(3+4。)*(；一40)=去一16。。=一1599K.

9.(2025七年级下•全国•专题练习)用乘法公式简便计算：

(l)501x49p(2)124x122-1232

7

【答案】⑴2499五

(2)-1

【分析】(1)将原式化为(50+?(50-3,利用平方差公式进行计算即可；

(2)先把124x122-1232化为(123+1)(123—1)-1232的形式，再用平方差公式计算;

本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的应用是解题的关键.

【详解】(1)解：原式=(50+今(50_|)

9

=2500--

16

7

=2499—；

16

(2)解：原式=(123+1)(123—1)—1232

=1232-1-1232

=-1.

10.(2025七年级下•全国・专题练习)利用平方差公式计算:

(1)502X498；(2)1.01X0.99；

【答案】⑴249996

(2)0,9999

【分析】

本题主要考查了平方差公式；

(1)将502和498分别转化为(500+2),(500-2)的形式，然后利用平方差公式作答即

可；

(2)将0.99分别转化为(1+0。1),(l—o.oi)的形式，然后利用平方差公式作答即

可.

【详解】⑴

解：502x498

=(500+2)(500-2)

=5002-22

=250000-4

=249996；

(2)

解：1.01X0.99

=(1+0.01)(1-0.01)

=12-0.012

=1-0.0001

=0.9999.

11.(2025七年级下•全国•专题练习)利用平方差公式计算：

(1)103x97；(2)100x1022-100x982；(3)20212-2022x2020.

【答案】⑴9991

(2)80000

(3)1

【分析】

此题考查的是平方差公式，掌握其公式结构是解决此题的关键.(1)原式变形后，利

用平方差公式计算即可得到结果；(2)先提取公因数100,再利用平方差公式计算即

可得到结果；(3)原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果.

【详解】(1)解：原式=(100+3)>(100-3);

=10000-9；

=9991；

(2)原式=100X(io?2—98?)；

=100X(102-98)X(102+98)；

=100x4x200；

=80000；

(3)原式=20212—Q021+1)x(2021-1)：

=20212-20212+1：

=1.

12.(2025七年级下•全国•专题练习)利用平方差公式计算：

(1)10002-9992；(2)(991)2-(1001)2.

【答案】⑴1999

(2)-200

【分析】本题考查平方差公式，掌握。2-庐=①+6)9一功是正确计算的关键.

(1)根据平方差公式，即。2-62=缶+6).一与进行计算即可；

(2)根据平方差公式，即62=9+与9-6)进行计算即可.

【详解】(1)解：10002-9992

=(1000+999)x(1000-999)

=1999X1

=1999；

(2)解：(991)-(1001)

=(9g|+ioo|)(99|-ioo|)

=200X(-1)

=-200.

13.(2025七年级下•全国•专题练习)利用平方差公式计算.

21

(1)1003x997.(2)14-x15-.(3)20092o-2010X2008.

【答案】⑴999991

O

⑵22号

(3)1

【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.

(1)先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可;

(2)先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可;

(3)先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可;

【详解】(1)解：1003X997

=(1000+3)x(1000-3)

=1000000-9

=999991；

(2)解:14(x151

(3)解：20092—2010X2008

=20092-(2009+1)X(2009-1)

=20092-20092+1

=1.

【题型3平方差公式的几何背景】

14.(24-25八年级上•吉林,期末)如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小

正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的

等式是()

A.a2—/?2=(a+6)(a—h)B.a2—ab=a(a-•£))

C.a2-b2=(a-b)2D.a2-2afo+b2-(a-b)2

【答案】A

【分析】本题考查了平方差公式的几何背景,正确用两种方法表示阴影部分的面积是关

键.

利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相

等列出等式即可；

【详解】解:••・从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，

二剩余部分的面积是：a2-b2,

又「拼成的长方形的面积是：①+切①-匕)，

・•・根据剩余部分的面积相等得：a2~b2=(a+bXa-b);

故选：A

15.(24-25八年级上•四川内江•期中)观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的

是()

A.(a—b)2—a2—2ab+b2B.(a+b)(a—b)=a?一必

C.=a2+abD.(a+b)2=a2+2ab+b2

【答案】B

【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图的面积,

再根据两幅图的面积相等即可得到答案.

【详解】解：左边一幅图的面积为(a+6)(a-6)，右边一幅图的面积为(^一户，

•••两幅图的面积相等，

•1•(a+b)(a-b)=a2—b2,

故选：B.

16.(24-25八年级上•湖南•阶段练习)探究活动：

①②

(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是(写成两数平方差的形式)；

(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是

(写成多项式乘法的形式)；

比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式.

知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：

@)计算：(a—3c+b)(a+3c+b)；

②若4%2—25y2=15,4x+10y=6,求2x—5y的值.

【答案】探究活动：(1)a2-b2；(2)(a+b)(a—b)，a2-b2—(a+b)(a—b);知识

应用：①a?+2ab+用_%2；@5.

【分析】探究活动：

(1)用大正方形的面积减小正方形的面积即可求解；

(2)利用矩形的面积公式即可表示阴影部分的面积，再根据图①、图②阴影部分的

面积相等即可得到公式；

知识应用：

①利用(2)所得公式的逆运算解答即可求解；

②由4x+10y=6得到2x+5y=3,由所得公式得到4/一25>2=(2x+5y)(2x-5y)

=15,进而即可求解；

本题考查了平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键.

【详解】解：探究活动：

(1)阴影部分的面积是。2-廿，

故答案是：a2-fa2：

(2)长方形的面积是(a+b)(a-b);

・・•图①、图②阴影部分的面积相等，

二可以得到公式是a?—/=Q+b)(a—b)>

故答案为:(a+b)(a—b)>a2~b2=(a+b)(a—b)：

知识应用：

①原式=[(a+b)-3c][(a+b)+3c]=(a+b)2-(3c)2=a2+2ab+b2-9c2；

②+lOy=2(2%+5y)=6,

•••2%+5y=3,

又日久2-25y2=(2久+5y)(2x-5y)=15,

.--2x—5y=5.

17.(22-23八年级上•甘肃庆阳•阶段练习)乘法公式的探究及应用.

探究问题：

图(1)是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图(2).

(1)图(1)中长方形纸条的面积可表示为(写成多项式乘法的形

式).

(2)拼成的图(2)阴影部分的面积可表示为(写成两数平方差的形

式).

图⑴图⑵

(3)比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式:

结论运用:

(4)运用所得的公式计算:

(2%+y)(2x-y)=；

m-1)=------------------------------

拓展运用：

(5)计算：1)x(1—1)x…x(l—/)x(1一募).

【答案】(1)(a+b)(a—b)

(2)a2~b2

(3)(a+b)Q—b)=滔―/

(4)4x2—y2,^m2

(5)

2023

【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差

公式的结构特征是正确解答的前提.

(1)用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可；

(2)图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差

即可;

(3)由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案；

(4)利用平方差公式进行计算即可；

(5)利用平方差公式将原式化成=(1-j)x(i+l)x(1-1)x(1+3x(1-1)x

(1+?X...X(I-募)X(1+壶)X(1-盛)X(1+/),进而得到2X|X|X9

352021202320222024一、।/口口一

再进仃计算即可.

X-44X-X...ZXUZ—Z—ZXUZ—Z—ZXUZ—a—ZXUZ—o—,

【详解】解：(1)图1中的长方形的长为a+b,宽为a—b,因此面积为(a+b)(a—b)；

故答案为：(a+b)(a—b)；

(2)图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a?-

故答案为：a2-b2；

(3)由两个图形阴影部分的面积相等可得，

(a+b)(a—b)=a2—/；2,

故答案为:(a+6)(a—b)=a2—庐；

(4)(2久+y)(2x-y)=(2x)2-y2=4%2-y2,

故答案为：4%2—y2,1m2；

(5)=(1-i)X(1+0X(1-1)X(1+|)X(1-1)X(1+1)X-X(1-^)X

1324352021202320222024

=2X2X3X3X4X4X,"X2022义2022*2023*2023

12024

一22023

_1012

―2023,

18.(23-24七年级下•江西萍乡•阶段练习)探究】如图1,从边长为a的大正方形中剪掉一

个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形.

⑴比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_(用字母。、6表示)；

【应用】请应用这个公式完成下列各题：

(2)已知2x-y=3,4%2-y2=12,求2久+y的值；

(3)计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值.

【答案】⑴o2-庐=①+b)(a—b)

(2)4

(3)216

【分析】本题考查了整式的运算，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差

公式解决问题时关键.

(1)利用两个面积相等列式即可；

(2)利用(1)中的公式计算即可；

(3)利用(1)中的公式计算即可.

【详解】(1)解：图1中阴影部分的面积为a?-庐，图2中阴影部分的面积为(a+6)

(a—b)，

因此可以得到乘法公式a?—/=(a+b)(a-b)；

故答案为：a2—h2=(a+h)(a—/?).

(2)2x—y-3,4/—/=Q久+y)(2x—y)=12,

3(2X+y)=12,

2x+y=4；

(3)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(22-l)(22+1)(24+1)(28+1)+1

=(24-l)(24+1)(28+1)+1

=(28-l)(28+1)+1

=216-1+1

=216.

19.(23-24七年级下•山东济南•阶段练习)实践与探究，如图1,边长为a的大正方形有一

个边长为b的小证方形，把图1中的阴影部分折成一个长方形(如图2所示).

图1图2

⑴上述操作能验证的公式是

(2)请应用上面的公式完成下列各题：

①已知4a之一//=36,2a+b=4,贝!|2a-6=_.

②(2+1)(22+1)(24+1)-(216+1)(232+1)+1

③计算：502-492+482-472+...+42-32+22-12.

【答案】⑴a?—，=(&+b)(a—b);

(2)①9；②264；③1275；

【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构

特征是正确应用的前提.

(1)分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；

(2)①利用平方差公式将4a2-b2=(2a+b)(2a-b)，再代入计算即可；

②在算式前面添加(2-1),再运用平方差公式进行计算即可；

③利用平方差公式将原式转化为50+49+48+47+...+4+3+2+1即可.

【详解】(1)图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a?-/，

图2中的阴影部分是长为(a+b)，宽为(a-6)的长方形，因此面积为(a+b)(a-b)，

所以有a?—/=(a+b)(a—b)，

故答案为：a2-h2=(a+&)(a—i>);

(2)0•■-4a2-b2=36,

(2a+b')(2a—b')=36,

又2a+b=4,

•a-4(2a-b)=36，

即2a-b=9,

故答案为：9；

②(2+1)(22+1)(24+1)-(216+1)(232+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)...(216+1)(232+1)+1

=26—+1

=264

(3)502-492+482-472+...+42-32+22-12.

I(50+49)X(50-49)+(48+47)X(48-47)+...+(4+3)X(4-3)+(2+1)

义(2-1)

=50+49+48+47+…+4+3+2+1

=1275

【题型4完全平方公式】

20.(24-25七年级上•上海宝山・期中)计算：(2x-3y)2=.

【答案】4x2-12xy+9y2.

【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.根据完全平

方公式计算即可.

【详解】解：(2x-3y)2=4/一12久y+9y2,

故答案为4%2—I2xy+9y2.

21.(24-25八年级上•吉林长春•阶段练习)计算：(3a-2b猿=.

【答案】9a2—i2ab+4b2

【分析】本题考查了完全平方公式的运算，根据(x-y)=/—24/+/进行展开原式，

即可作答.

【详解】解：(3a—2b)2=9a2-i2ab+4/,

故答案为：9a2—12ab+4b2.

22.(22-23七年级下•河南郑州•阶段练习)若(ax+y)?=9久+/,则。=.

【答案】-3

【分析】本题考查了完全平方公式：(a+by=a2+2ab+b2,根据完全平方公式得出

(ax+y)2-a2x2+2axy+y2,(ax+y)2=9x2-6xy+y2,所以a?/+2axy+y2-9%2

-6xy+y1,即2a=—6,求出a=-3,熟记公式是解题的关键.

【详解】解：r(ax+y)2=a2%2+2axy+y2,

（ax+y）2=9%2-6xy+y2,

•••a2%2+2a%y+y2=9%2-6xy+y2,

2a=—6,

•••a=-3.

故答案为：-3.

23.（23-24六年级下•山东青岛・期末）计算：（爪-；）2=.

【答案】m2-1m+-^

N1O

【分析】本题主要考查了完全平方公式.根据完全平方公式进行计算即可.

【详解】解：（小―£）2

21，八2

=m—2x—m+（-ri

4

21.1

=m_/+市

故答案为：m2-1m+-^.

216

24.（23-24七年级下•湖南永州•期中）用完全平方公式计算（-2x-3y）2=

【答案】4x2+12xy+9y2

【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式（a±b）2=a?

±2ab+b2.利用完全平方公式直接求解即可.

2222

【详解】解：（-2x-3y）=（一2x）2—2x（一？X）-（3y）+（3y）=4%+12xy+9y,

故答案为：4x2+12xy+9y2

25.（2024・湖北荆州•一模）将二次三项式/一2%-3化为a（x+k）2+八的形式是.

【答案】（x—1）2—4

【分析】此题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键.根据配方法的步

骤求解即可.

【详解】解：X2-2X-3-X2-2X+12-3-12=（X-1）2-4,

故答案为：（无—1）2—4.

26.（2024・广西河池•一模）4a2+b2+=（2a-b）2.

【答案】（—4a/J）/（—4ba）

【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式求出（2a-b）2的结果即可得

到答案.

【详解】解：・・・(2a-b)2=4。2一4而+廿

-'-4a2+一+(―4ah)=(2a—b)2.

故答案为：(―4ab).

27.(23-24七年级下•甘肃张掖•阶段练习)计算：Q+b—c)2=.

【答案】滔+肥++2。/)—2cle—2.bc

【分析】本题主要考查完全平方公式，运用完全平方公式将括号展开即可.

【详解】解：(a+b-c)2

=(a+b)2—2(a+b)c+c2

=层+炉+2ab—2ac—2bc+c2

=Q2++2ab—2ac—2bc,

故答案为：滔+*+j+2ab—2ac—2bc.

【题型5完全平方公式下得几何背景】

28.(23-24七年级下•广东汕头・期末)用四个长为a,宽为b的小长方形构成如图的大正方

形.根据图形面积的关系，写出一个含a,b的等式.

【答案】(a+b)2-4ab=(a-b)2

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分面积两种计算方法即可求

解，熟练掌握长方形、正方形的面积公式和完全平方公式是解题的关键.

【详解】求阴影部分面积：

方法一：(a+Z?)2—4ab,

方法二：(a—b)2,

+6)2—4ab—(a—b)2,

故答案为：(a+b)2-4ab=(a—力)2.

29.(24-25八年级上•河南安阳•阶段练习)已知：如图，将边长分别为a和匕的两个正方形

拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和BE

(1)记图中的阴影部分的面积为S,求S(用含a,b的代数式表示)；

⑵若两正方形的边长满足a+b=10,ah=20,求(1)中S的值.

【答案】(I)］。?—gab+

(2)20

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是掌握相

关知识.

(1)根据S=s正方形/BCD+S正方形CG”—S/V1BD-SABGF，即可求解；

(2)将a+b=10,ah=20,代入S=)2—+12=白。+5)2_|如中计算即可.

【详解】1)解：S=S正方形/BCD+S正方形CG”——S/\BGF，

=ABxBC+CGxGF-ABxAD-GFxBG,

=a2+Z?2-a2-/?(a+b)，

=d+b2-|a2-1a/)-|b2,

=|a2-|ah+，2；

(2)vS=^a^—ab+|h2=|(a+6)2-|a/),

而a+b=10,ab=20,

13

S=,x1()Q2一/2。=20.

30.(24-25八年级上•江苏南通•期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸

片，/种纸片是边长为。的正方形，2种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为6、

宽为。的长方形，并用/种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正

方形.

ba

⑴观察图2,请你直接写出下列三个代数式：(a+b)2,a2+b2,时之间的等量关系；

(2)若要拼出一个面积为(a+2b)(a+6)的矩形，则需要/号卡片一张，5号卡片一张，C

号卡片_张.

⑶根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(％-2022)2+(%_2024)2=20,求x—2023的值.

【答案】⑴(a+6)2=a2+b2+2ab

(2)1,2,3

⑶①7；②±3

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的运算，换元法.

(1)用不同方式求大正方形的面积求解即可；

(2)利用多项式乘多项式的运算法则计算(a+26)(a+6)，然后再根据三种纸片的面

积，进而得出答案；

(3)①根据已知条件，利用完全平方公式，先求出(a+6)2=25,然后求出ab即可；

②设x-2023=a,贝卜-2022=a+1,久-2024=a-1,根据已知得出(a+I)2+(a-1)2

=20,利用完全平方公式展开，进而得出答案.

【详解】⑴解：由图2可知，大正方形的面积为(a+6)2,也可以为。2+反+2出

•••(a+Z?)2,a2+b2,ab之间的等量关系为:(a+b)2=a2+b2+2ab；

(2)解：(a+2b)(a+b)

—a2+ab+2ab+2b2

=a2+3ab+2/)2,

••・一张/种纸片的面积为a?,一张3种纸片的面积为一张C种纸片的面积为ab,

二要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，需要/种纸片1张，8种纸片2张，C种

纸片3张.

故答案为：1,2,3；

(3)解：①ra+b=5,

.,.(a+b)2=25,即d+廿+2ab=25,

又•.,滔+b2=11,

.*.11+2ab=25,

：.2ab=14,

；.ab=7；

6)设%—2023—CL,贝!Jx—2022=a+1,x-2024=a—1,

2022猿+(%—2024)2=20,

・•.(a+1)2+(7)2=20,

+2a+1+滔―2a+1=20,

.,-2a2+2=20,

/.2a2=18,

•e-a2=9,

解得：a=±3,

.•・％-2023的值是±3.

31.(24-25七年级上•湖北孝感・期中)如图①所示是一个长为2zn,宽为2几的长方形，沿图

中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.

⑴你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于；

⑵请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.方法①，方法

②;

2

⑶观察图②，你能写出(6+n)2,(m_n),nm这三个代数式之间的等量关系吗？

⑷根据(3)中的等量关系，解决如下问题：若a+6=8,ab=15,求(a—b)?的值.

【答案】⑴m—n

(2)(m-n)2：(m+n)2-4mn

(3)(m—n)2=(m+n)2-4mn

(4)4

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，读懂题意，找到所求的量的等量关系是

解题关键.

（1）由题意可知，剪裁后的小长方形的长为小，宽为小即可得到答案；

（2）用两种不同方法表示出阴影面积即可；

（3）结合（2）所得式子，即可得到答案；

（4）根据（3）中的等量关系计算即可.

【详解】（1）解：由题意可知，剪裁后的小长方形的长为加，宽为兀

则图②中的阴影部分的正方形的边长等于机-小

故答案为：m-n

（2）解:方法①阴影的面积为边长（巾_n）的正方形面积，即（机-九）2；

方法②阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则（机+n）2-4mn,

故答案为：（ni—n）2；（m+n）2—4mn；

（3）解：根据图②里图形的面积关系，可得（爪―死）2=（6+切2-4nm;

（4）解：由（3）中的等量关系可知，

（a—b）2=（a+b）2—4ab=82_4X15=64-60=4.

32.（24-25八年级上•吉林白城•阶段练习）如图①是一个长为2"?,宽为2〃的长方形（其

中心，"均为正数，且zn>n）,沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同的小长方形，然

后按图②的方式拼成一个大正方形.

：EEB互

图①图②

（1）图②中大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为;

（用含加，〃的代数式表示）

（2）仔细观察图②，请你直接写出下列三个整式（机+n）2,nrn之间的一个等

量关系；

⑶根据（2）中的等量关系，解决问题：若求爪+几的值；

（4）当zn+zi=8,77m=15时，直接写出m—几的值.

【答案】（1）血+九，m-n；

(2)(m+n)2=(m-n)2+4mn；

(3)m+n=7；

(4)2.

【分析】(1)直接观察图形得出，

(2)根据大正方形的面积=4个长方形的面积+小正方形的面积即可得出答案，

(3)将a—n=5,nm=6代入(2)中关系式中求解得到符合题意的答案即可，

(4)将zn+ri=8,nm=15代入(2)中关系式中求解得到符合题意的答案即可，

本题主要考查多项式乘多项式的图形应用，完全平方公式的应用，解此题的关键在于准

确理解题中图形的各个选项边与面积关系.

【详解】(1)解：由题图可知，大正方形的边长为m+n,

小正方形(阴影部分)的边长为机-七

故答案为：tn+n,m—n；

(2)解：•••大正方形的面积=4个长方形的面积+小正方形的面积，

•••(m+n)2-(m-n)2+4mn,

(3)解：■■-m—n=5,mn=6,

•••(m+n)2=52+4x6,

■■■(m+n)2=49,则m+n=±7,

又•.”，〃均为正数，

：.m+n=7,

(4)解：-■m+n=8,mn=15,

•■-82=(m-n)2+4X15,

•••(m-n)2=4,则n=±2,

又；m>n,

■,-m—n=2.

33.(24-25八年级上•北京海淀•期中)在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1

所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y

的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，

丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.

yX

图1图2

⑴观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个

等式；

⑵利用(1)中的等式解决下列问题.

①已知口2+人2=10,a+b-6,求ab的值；

②已知(2021—c)(c—2019)=1，求(2021-C)2+(c-2019)2的值.

【答案】⑴/+产=(%+?)2_2盯

⑵①ab=13②2

【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键.

(1)利用面积法进行计算，即可解答；

(2)①利用(1)的结论可得：口2+/=似+6)2-2必，然后进行计算即可解答；

②设2021-c=a,c—2019=b,则a+b=2,ab=l,然后利用(工)的结论进行计算

即可解答.

【详解】⑴解：由题意得：阴影部分的面积=/+/=(%+刃2—2孙，

即尤2+y2=(X+y)2-2xy；

222

(2)①由(1)可得：a+b=(<a+b)-2ab,

'''a2+b2=10,a+b—6,

.*.10=36—2ab,解得：ab=13；

②设2021-c=a,c-2019=6,

'-Ct+b=2021—c+c—2019=2,

•・・(2021—c)Q—2019)=l，

；.ab=1,

.-.(2021-c)2+(c-2019)2=a2+b2

=(a+b)2—2ab

=4-2x1

=2.

34.(24-25八年级上•河南南阳•期中)如图1,阴影部分是一个边长为a的大正方形剪去一

个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分.

(1)①图1中剪去的长方形的长为面积为」

②用两种方式表示图1中阴影部分的面积为一或

由此可以验证的乘法公式为_.

(2)请设计一个新的图形验证乘法公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

⑶如图2,Si，S2分别表示边长为a,6的正方形的面积，且，，B,C三点在一条直线

上，若SI+S2=40,AB=8,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴①a-6;26(a—b)；②(a")2；a2+b2-2ab；(a-fa)2=a2+b2-2ab

⑵见解析

⑶12

【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式及其应用，解答此题的关键是熟练

掌握完全平方公式的结构特征；准确识图，正确的找出正方形的边长和图形之间的面积

关系.

(1)根据"阴影部分是边长为(a-b)的正方形"可表示出阴影部分的面积；另一方面阴影

部分的面积可表示为a?+b2-2ab,进而可得出答案；

(2)设计一个边长为(a+6)的正方形即可验证(a+b)2=a2+b2+2ab；

(3)先根据正方形的面积公式得a?+廿=40,再根据AB=8得a+b=8,然后根据乘

法公式(a+b=a2+2ab+可求出尤=12,然后再根据三角形的面积公式可得阴影

部分的面积.

【详解】(1)解：①由图可得：剪去的长方形的长为a-b,面积为26(a一6),

故答案为：a—b,2b(a—b);

②・•・阴影部分是边长为(a-6)的正方形，

・•・阴影部分的面积为：(a-b)2,

另一方面，阴影部分的面积为：c^-b2-^^-^=a2+b2-2ab,

■■(a-b)2-a2+/-2a6,

故答案为：(a—b)2,a2+/>2-2a/>,(a-b)2=a2+b2-2ab.

(2)解：如图，即可验证公式：(a+b)2=a2+b2+2ab.

验证如下：・••大正方形的边长为(a+b)，

二大正方形的面积为(a+b)2,

又,•,大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积，

二大正方形的面积为：a2+b2+2ab,(a+fa)2=a2+b2+2ab.

(3)解：设4C=a,BC=b,四边形4CDE和四边形CBGF为正方形

11

S]=a7,S2=b7fS阴影=5ab+~czb—ab,

又••,SI+S2=40,

•••a2+Z)2=40,

AB—8,

a+b=8,

由(2)得：(。+力)2=。2+庐+2协，

・•・2ab=(a+h)2-(a2+Z?2)=82-40=24,

•••ab=12,

••,S阴影=ab^12.

35.(24-25八年级上•福建泉州•期中)把完全平方公式(a±bf=a2±2ab+户适当的变形,

如：(a+b)2=(a—b)2+4ab等，这些变形可解决很多数学问题.

例如：若a+6=3,ab=1,求(^+户的值.

解：va+b=3,ab=1,

•••(a+6)2=9,2ab=2

即Y+肥+2就=9,2ab=2,所以4+二二？.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题.

⑴已知2zn+九=3,mn=1,且求2m—九的值；

(2)已知(2024—久)(2022—久)=2023,求(2024—吗2+(久一2022心的值；

⑶如图3,点C是线段48上一点，以AC,BC为边向两边作正方形力CDE和正方形

CBGF,若4B=a,的面积为6,求正方形4CDE和正方形CBGF的面积之和(用

a,6表不).

【答案】⑴1

(2)4050

⑶a?-4b

【分析】本题考查了完全平方公式应用，熟练掌握完全平方公式的变形和计算是解题的

关键.

(1)由完全平方公式的变形可得：(2m—孔)2=(2巾+切2—4x2nv?i,代入即可得到

答案；

(2)设2024—久=a,2022—x=b,从而得到a-b=2,ab=2023,再根据a?+用=

(a-。)？+2ab,代入即可得到答案；

(3)设=BC=y,根据题意可得比+y=a,由于△2CF的面积为6,可得±

xy=b,进而得到孙=2b,再根据/