2024-2025学年四川省雅安市高二数学下学期开学考试试题（含答案）

2024-2025学年四川省雅安市高二数学下学期开学考试试题

本试卷共4页，22道试题，考试用时120分钟，全卷满分150分。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线3x+4y—2=0的斜率为（）

343

A.—B.—C.---D.-3

434

2.椭圆工+匕=1的短轴长为（）

69

A.2GB.246C.3D.6

3.已知平面a的一个法向量为为=（1,—1,2）,方=（—1,1,—2）,则48所在直线/与平面a的位

置关系为（）

A.ILaB./uaC.I//aD./与。相

交但不垂直

4.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导

高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如

南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍薨垛等的求和都与高

阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四

层有10个，则第30层小球的个数为（）

A.464B.465C.466D.495

5.如图，在四棱锥力—3CDE中，2。，平面8。£,底面8CDE为直角梯形，

DE//BC,ZCDE=90°,BC=3,CD=DE=2,AD=4.则点E到平面ABC的距离为（）

4石

cr.----D.2

5

6.已知直线/:依+1+2左一y=0和圆。：/+「=8,则下列结论中错误的是（）

A.直线/过定点（-2,1）B.直线/与圆O有两个交点

C.存在直线/与直线2>+2=0垂直D.直线/被圆O截得的最短弦长为2J5

7.折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时

的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现

代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片（/为圆心，8为圆内的一定点），且

[45|=2,如图将圆折起一角，使圆周正好过点8,把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到

48两点距离之和最小的点为尸，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设尸点的轨迹为曲线

C.在。上任取一点则△M48面积的最大值是（）

A.2B.3C.V2D.V3

8.已知抛物线=4x,圆C:/+_/=2%，过圆心。作直线/与抛物线E和圆C交于四

点，自上而下依次为A,M,N,8,若成等差数列，则直线/的斜率为（）

A.V2B.±V2C.-D.+—

22

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

22

9.已知曲线C:一一+乙=1,点尸(x,y)为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是。

2m-4m

A.若机=10,则曲线C的离心率为上

4

B.若加=1,则曲线C的渐近线方程为y=

C.若曲线。是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上

D.若曲线C是圆，则x-y的最大值为4

叵

10.如图，正方体4BCD-451GA的棱长为1，线段上有两个动点E,b，且取=

则下列结论中正确的是()

A.ACLBEB.〃平面48CQ

C.异面直线ZE,AF所成的角为定值D.直线48与平面8斯所成的角为定值

11.已知数列,0｝的前〃项积为5，ai=2,7；+L2=37；GeN*),则()

n

A.Tn=3-\B.｛%｝为递增数列

2〃1o«+l&

C.D.｛1｝的前〃项和为—一〃—：

J—1ZZ

12.如图抛物线口的顶点为N,焦点为尸，准线为小焦准距为4；抛物线「2的顶点为8,焦

点也为下，准线为乙，焦准距为6Tl和:T?交于尸、。两点，分别过尸、。作直线与两准线垂直,

垂足分别为/、N.ST,过下的直线与封闭曲线4P80交于C、。两点，则下列说法正确

的是()

A.\AB\=5B.四边形跖VST的面积为20几

—■—•।।「25一

C.FS-FT^OD.|CD|的取值范围为5,—.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.双曲线——匕=1的右焦点到渐近线的距离为

4

14.如图，二面角4等于150。,48是棱/上两点，5。,ZC分别在半平面见尸内,

ACA.l,BDLl,且AB=AC=2,BD=6,则CD=.

15.如图，已知点尸是棱长为2的正方体Z5CD-481GA的底面ZB。内(包含边界)一个

动点，若点P到点A的距离是点P到BB］的距离的两倍，则点P的轨迹的长度为.

16.设S"为数列｛%｝的前〃项和，已知为=2,对任意0,qeN*,都有％4,则

/(«)=七三GeN*)的最小值为.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，1822题各12分，共70分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的

答案无效.

17.在△在3cl中,角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知c=2"sin2c=2siaS.

(1)求角C的大小；

(2)若6=4,求△48C的面积.

18.已知数列｛%｝的通项公式为外=3〃,数列也｝的通项公式为“=3x2".

(1)求数列｛%｝前6项的中位数和平均数；

(2)从数列｛4｝前6项中任取2项，求取出的2项中恰有1项是数列｛〃｝中的项的概率.

19.已知双曲线。：［一£=1(。〉0/〉0)的渐近线方程是2》±3；=0,右顶点是/(凡0).

(1)求双曲线。的离心率；

(2)过点A倾斜角为工的直线/与双曲线的另一交点是8,若|48|=8五，求双曲线。的方

411

程.

20.已知等差数列｛%｝满足%=—5,%=1，等比数列也｝满足4=%也=9.

(1)求数列｛4｝,也｝的通项公式；

(2)设数列｛g｝满足%=%・b”,求数列｛%｝的前〃项和7；.

21.如图，在四棱锥尸-Z8CD中，底面N8CD为菱形，△PCD是边长为2的正三角形，

NBCD=60°.

(1)求证：PBLCD；

(2)若平面PCDJ_平面48CD,求平面4P£)与平面PCD夹角的余弦值.

2

22.如图，已知椭圆E:亍+/=1的顶点4,4,片,与分别为矩形4SCD的边

—•1—■—-1—-

8c,48,。。的中点，点7,尺分别满足。7=^48,。氏=408,直线国7与直线为区的

交点为尸.

(2)设直线/与椭圆E相交于M,N两点，△尸内切圆的圆心为若直线尸已垂直于

x轴，证明直线/的斜率为定值，并求出该定值.

数学答案

一、单选

1.C2.B3.A4.B5.C6.D7.D8.B

8.【详解】圆C:（x—1）2+/=1的圆心半径厂=1,显然点为抛物线

E:y2=4x的焦点，其准线为x=-l,设则

|^5|=|^C|+|5C|=X1+I+X2+I=X1+X2+2,而|ACV|=2,由成等差数

列得，MM+|NB|=2|"M=4,因此|48|=6,即有毛+%2+2=6,解得天+》2=4，设直

线/的方程为y=A（x—1）,显然wwO,由卜—°消去y得：

J=4x

k2x2-（2k2+4）x+k2=0,则有X]+%=2+*=4,解得左=±拒，所以直线/的斜率为

±A/2.

二、多选9.AC10.ABD11.AD12.ACD

11.【详解】由&「2=37；可得&|+1=3（7；+1）,故｛1+1｝为等比数列，且公比为3,首

项为%+1=3,故7；+1=3",进而7；=3"-1,A正确，当〃22时，^=3^-1,所以

3"-1「

-----------n>Z

当〃=1时，/=2不符合上述表达，因此a“=3小-1'一，故C错误,

2,72=1

当〃22时，4=与二1=3+——,由于§1—”为单调递增数列，故

3—13—1

2,、3（1—3"）3"+i3

an=3+——为单调递减，故B错误，｛1｝的前〃项和为二———一〃一工故

3—11—322

D正确，

12.【详解】设直线48与直线4（分别交于G、H,由题可知|GN|=|4F|=2,归同=忸印=3,

所以|GM=|"M=10,|48|=5,故A正确；

如图以Z为原点建立平面直角坐标系，则尸（2,0）4:x=-2,

所以抛物线口的方程为/=8x,

连接尸尸,由抛物线的定义可知|PR|=|MP|,|?R|=|NP|,X|ACV|=IO,

所以Xp=3,代入/=8x,可得力=2而，

所以幽T|=|NS|=4n,X\MN\=1Q,故四边形MAST的面积为40后，故B错误；

连接0/，因为|09|=|0T|=|QS|,所以NQFT=NQTF,NQFS=NQSF,

所以NTFS=NQFT+ZQFS=7y++/QSF=',故丽•可=0,

故C正确；

根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，

设C,。在直线4,，2上的射影分别为G，2，

当点。在抛物线AP,点C在抛物线幺。上时，|CD|=|CG|+|°a，

当C,。与48重合时，|CD|最小，最小值为|CD|=5,

当。与尸重合，点C在抛物线N0上时，因为尸0,2遍）/（2,0）,

直线CQ:y=26（x—2）,与抛物线F］的方程为/=8x联立，可得3/-13x+12=0,

i32525

设C（XQi）,Z）（X2，y2），则芭+七=三,|。。|=七+%2+4=§，所以|co|e5,—;

当点。在抛物线尸N,点。在抛物线NQ上时，设CD:x=a+2,

与抛物线口的方程为必=8x联立，可得「一8少-16=0,

设C（X3，%）,D（X4，y4），则8+了4=8/,|。。|=七+》4+4=/（%+%）+8=8「+8＞8,

「25一

当/=0,即CC48时取等号，故此时|co|e8,y；

r25-

当点。在抛物线尸幺，点C在抛物线08上时，根据抛物线的对称性可知，|CD|e5,y；

「25一

综上，|CQ|e5,y,故D正确.

三、填空题

IT47r29

13.214.—/60°15.—16.一

392

15.【详解】点尸到8片的距离等于点尸到点5的距离，由1Pzl=2|尸可知点尸满足阿氏圆,

故点尸的轨迹为一段圆弧，圆弧半径为一4，圆心角为T勺C，圆弧长为47上r

339

29

16.—【详解】由题可设夕=1应=〃，则/+“=/+4.,./+〃+。“=2,则数列｛%｝是以2

为首项，2为公差的等差数列，%=2+（〃—l）x2=2〃,S“=©^"="+〃，

+60“2+〃+60601601w口e”

/（〃）=」-----=-----------=〃+-----=〃+1+------1,当且仅当

7?+1〃+177+177+1

〃+1=J初一1时/（〃）取得最小值，由〃wN*,所以〃=6或〃=7,因为

/（6）=^,/（7）=y,.'./（6）＞/（7）＞即/（〃）得最小值为g

四、解答题

17.【详解】（1）在△48C中，因为。=26,由正弦定理得sinC=2sin5,

所以sinC=2-sinC-cosC,

1rr

因为Ce（O,〃），所以sinCwO,所以cosC=',解得C=§；

(2)在△4SC中，6=4,则c=8,

由余弦定理得c?=a1+b~-2abcosC,即64=4+16-4a,

即下一4。—48=0,解得。=2+2旧或。=2—2万(舍去),

所以△NBC的面积为S&ABC=gabsinC=gx^+2V13)x4x^-=2V3+2V39.

18.【详解】（1）•.■数列｛%｝的前6项分别为：3,6,9,12,15,18

.•.前6项的中位数为10.5,

3+6+9+12+15+18

平均数为=10.5

6

（2）由（1）知，数列｛4｝的前6项中是数列｛4｝中的项有两个数，分别是6和12.

从数列｛%｝的前6项中任取两项的所有可能为：（3,6）、（3,9）、（3,12）、（3,15）、（3,18）、

（6,9）、（6,12）、（6,15）、（6,18）、（9,12）、（9,15）、（9,18）、（12,15）＞（12,18）、

（15,18）,共有15种取法，

记事件〃="恰有1项是数列｛〃｝中的项”，则事件M包含有：（3,6）、（3,12）、（6,9）、

（6,15）、（6,18）、（9,12）、（12,15）、（12,18）,共有8种取法,

Q

因此，所求概率为尸（河）=石.

19.解：（1）因为双曲线C:。—《=1伍〉0/〉0）,故渐近线方程是：y=+-x,又渐近

aba

线方程是2x±y=0,故2=2,.•.e=6

a

JT

（2）因为直线/的倾斜角为i，故直线/斜率是1,又直线/经过Z（a,0）,则直线/方程为

x=y+a,

设5（乙,%），由彳/—才—，消去x得4（y+a）2—4/=。，

x=y+a

故3y2+8即=0,解得力=_：*又乃=0,则以曰=71^!上一词=也义［。=8近,

解得。=3,

故Q?=9万=4a2=36,

22

故双曲线C的方程是t-二=1.

936

解（1）设等差数列｛4｝的公差为4.

由%=—5,（74=1,可得—5+3d—1,解得<7=2,

则%=-5+2-1）=2〃-7.

由4=%=3,仇=9=35],

可得｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列，则4=3".

（2）由（1）得％=（2zz-7）-3",

7；=—5x3+（-3）x32+…+（2〃一9）x3）,-1+（2n-7）x3",

37；=-5X32+（-3）X33+…+（2n-9）x3"+（2n-7）x3,,+1,

所以一27；=_5义3+262+33+...+3"）_（2"_7卜3"+1

=-21+2（3+32+33+---+3,,）-（2/7-7）X3,,+1,

=-21+2X-—（2〃—7）X3"+i=-24-（2«-8）x3n+1,

故7；=（〃—4）X3"M+12

21.【详解】（1）取CD的中点O,连接。尸,05,

因为△PCD是边长为2的正三角形，所以OPLCD,

在菱形N5CD中，ZBCD=60°,则△BCD为等边三角形，所以05LCD,

又O8n。P=。,。8,O尸u平面O尸8,

所以平面OP5,

又尸8u平面OP5,所以尸5LCD；

（2）由（1）得OPLCD,OBLCD,

因为平面PCD1平面ABCD,平面PCDA平面ABCD=CD,OPu平面PCD,

所以。尸，平面48CD,

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，OB=OP=6

则ZG2,G,0）尸（0,0,6）£）（一1,0,0）,

因为y轴，平面PCD,所以可取平面尸。的法向量为成=（0,1,0）,

DP=@0,6)方=(^1,73,0),

n-DP=x+V3z=0

设平面尸幺。的法向量为五=（x,y,z）,则有＜

n-DA=-x+Cy=0

令X=G，则y=l,z=—l,所以为=心,1,-1)，

则cos〈西力=箭=&=3