2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：与平行四边形有关的折叠问题（解析版）

重难点21与平行四边形有关的折叠问题

m题型解读

国典题精练

【题型一平行四边形中的折叠问题】

1.（2024•临高县二模）如图，将平行四边形/5CD沿对角线5D折叠，使点4落在点£

处.若Nl=56°,Z2=40°,则//的度数为（）

D.112°

【分析】由平行线的性质可得N1=//8E=56°,由折叠的性质可得=

1

-ZABE=2S°,再根据三角形内角和定理即可求解.

【解答】解：・・•四边形45cZ）为平行四边形，

J.AB//CD.

；・N1=NABE=56°,

,1

由折叠的性质可得，/ABD=NEBD=3/ABE=28。,

AZA=180°-ZABD-Z2=180°-28°-40°=112°.

故选：D.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，熟知折叠的性

质是解题关键.

2.（2024春•曲沃县期末）如图，将平行四边形45CQ沿4C折叠，点。恰好落在。。延长

线上的点。处，AD交BC于点E,若NR477=40°,则NA4。的度数为（）

;AD

D，

A.142°B.140°C.138°D.135°

【分析】根据平行四边形的性质可得/8〃CD,即根据平行线的性质，折叠

的性质可得ND'=N24D'=40°=ZD,根据三角形内角和定理可得/Z）4D'=100°,由

此即可求解.

【解答】解：•.•四边形/BCD是平行四边形，

：.AB//CD,

•••折叠，

：.AD=AD',ND=/D,ZDAC=ZD'AC,AB//DD',

：.ZD^ZBAD'^40°=/D,

在△ND。中，ZDAD'=ISO0-ZD-Z£>r=100°,

：.ZBAD=ZBAD'+ZDAD'=40Q+100°=140°,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握这些性

质定理是解题的关键.

3.（2024春•邸城区期末）如图，将一张平行四边形纸片/BCD以DE为折痕进行折叠，点

C的对应点为C',若/1=20°,N2=60°,则/C的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】根据翻折的性质、平行四边形的性质解三角形的内角和定理求解.

【解答】解：由翻折的性质得：/CED=N2=60°,ZCDE=ZCDE,

在平行四边形43co中，有AD〃BC,

：.ZADE=ZDEC=60°,

DE=ZCDE=/l+N4D£=80°,

AZC=180°-ZDEC-Z£Z）C=180°-60°-80°=40°,

故选：A.

【点评】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角

和定理是解题的关键.

4.如图，平行四边形48co中，点E在边4D上，以2E为折痕，将△4BE折叠，使点/

恰好落在CD上的点F,若&BCF的周长为14,CF的长为3,贝也。£尸的周长为（）

A.8B.7C.6D.5

【分析】由折叠的性质得出8/=/8,EF=AE,由△3CF的周长得出8C+DC=11,即

可求出△£>£尸的周长.

【解答】解：由折叠的性质得：AFBE%AABE,

:*BF=AB,EF=AE,

•：四边形ABCD是平行四边形,

:.AB=DC,AD=BC,

「△BCF的周长为14,

：.BC+BF+CF=14,

：.BC+DC=14-3=U,

：./\DEF的周长=DE+EF+D尸=DE+/E+OC-CF=AD+DC-CF=11-3=8；

故选：A.

【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌

握翻折变换和平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

5.在口4BCD中，N/=60°,4B=4,点E、尸分别为AD、3c的中点，沿斯折叠平行

四边形，使线段C。落在直线上，点C的对应点为Ci，点。的对应点为。1，若町

=2,则4D的长为.

【分析】分两种情况讨论：①当点。在线段上时，②当点。在线段延长线上时,

再根据30度角直角三角形的性质求出AD长.

【解答】解：①当点。在线段N8上时，

；BDi=2,

.•.皿=4-2=2,

,.•//=60°,

：.Zy4Z)£>i=3O°,

.♦.40=2401=2X2=4；

②当点。在线段延长线上时,

=4+2=6,

•・・N4=60°,

・・・N4皿=30°,

・•・40=245=2X6=12；

故答案为4或12.

【点评】本题考查了轴对称，熟练运用30度角直角三角形的性质是解题的关键.

6.（2024春•宁海县期中）在平行四边形N5CD中，BC=3,CD=4,点石是CD边上的中

点，将N8CE沿翻折得N8GE,连结/£,A,G、£在同一直线上，则点G到的

距离为.

【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△/BGgZXE/。，可得4G=DE

2,然后利用勾股定理可得求出//的长，进而可得GF的值.

【解答】解：如图，于点R

•・•点E是CD边上的中点，

:.CE=DE=2,

由折叠可知：

/BGE=/C,BC=BG=3,CE=GE=2,

•・,在口45CD中，BC=AD=3,BC//AD,

：.ZD+ZC=180°,

VZBGE+ZAGB=l^0°,

：./AGB=/D,

:.BG=AD,

■:AB//CD,

：.NBAG=/AED,

工LABG安/\EAD(AAS)f

:・AG=DE=2,

：.AB=AE=AG+GE=^,

・・・G/，48于点尸，

AZAFG=ZBFG=90°,

在RtZXZbG和45bG中，根据勾股定理，得:

AG2-AF2=BG2-BF2,BP22-AF2=32-(4-AF)2,

解得4尸=石,

O

rcc121135

/.GF2=AG2-AF2=4-——~=

64~64

.「口3V15

.6=~1-

故答案为：女等

O

【点评】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行

四边形与折叠的性质是解题的关键.

7.已知，如图，把平行四边形纸片48CD沿2。折叠，点C落在。处，3。与4D相交于点瓦

(1)求证：EB=ED；

(2)连接/。，求证：AC//BD.

【分析】(1)由平行的性质和折叠的性质可得可得EB=ED；

(2)由线段和差关系可得/£=。及由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得/

EAC=ZECA=ZEBD=ZEDB,可得结论；

【解答】证明：(1)由折叠可知：ZCBD=ZEBD

四边形/8CZ)是平行四边形，

J.AD//BC

：.NCBD=ZEDB

：.ZEBD=ZEDB

：.EB=ED

(2)如图,

'：AD=BC=BC,EB=ED,

:.AE=CE

：.ZEAC=ZECA

'：ZAEC=ZBED

：.ZACB=ZCBD

：.AC//BD

【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些

性质进行推理是本题的关键.

8.（2024春•惠济区期末）如图，将平行四边形纸片4BCD按如图方式折叠，使点C与点/

重合，点。的落点记为点折痕为£尸，连接CR

（1）求证：四边形/尸CE是平行四边形；

（2）若N2=45°,/FCE=60°,AB=60,求线段DE的长.

【分析】（1）结合平行四边形的性质可证明/尸=EC,再由/尸〃EC可证明四边形NHCE

是平行四边形；

（2）作于点G,因为F=DF,又易证DF=BE,用勾股定理分别计算BG、

EB即可.

【解答】（1）证明：如图1,丁点C与点/重合，折痕为所，

AZ1=Z2,AE=EC.

•.•四边形/BCD为平行四边形，

C.AD//BC.

；.N3=N2.

；.Nl=/3.

：.AE=AF.

：.AF=EC.

又,：AFI/EC,

四边形/尸CE是平行四边形.

（2）解：如图2,作/G_LAE'于点G,则NNG2=N/GE=90°,

:点。的落点为点£>',折痕为ER

：.D'F=DF.

•.•四边形/BCD为平行四边形，

：.AD=BC,

又；AF=EC,

：.AD-AF=BC-EC,即DF=BE.

在RtZUGB中，ZAGB=90°,ZB=45°,AB=6五,

：.AG=GB=6.

•；四边形/FCE为平行四边形，

C.AE//FC.

.*.Z4=Z5=60o.

在RtZUGE中，ZAGE=90°,Z4=60°,

：.GE=2V3.

：.BE=BG+GE=6+2收

：.D'F=6+2V3.

【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用

折叠的性质和平行四边形的性质发现。'/=2E是解决第2小题的关键.

【题型二矩形中的折叠问题】

1.（2024秋•东营期末）如图，矩形48co边沿折痕NE折叠，使点。落在8C上的尸

处，已知/8=8,尸的面积为24,则EC等于（）

AD

;

BFC

108

A.3B.-C.5D."

【分析】先根据三角形的面积公式求得8尸的长，然后根据勾股定理可求得/尸=10,由

翻折的性质和矩形的性质可知8C=10,故此/C=4,最后在△£网?中，由勾股定理列方

程求解即可.

【解答】解：,.,$"8尸=24,

11

：.~AB^BF=24,BP-X8^F=24.

解得：BF=6,

在RtAABF中由勾股定理得：AF=V4B2+BF2=V82+62=10.

由翻折的性质可知：BC=AD=AF=1。,ED=FE.

."0=10-6=4.

设DE=x,则EC=8-x.

在RtAEFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2,

X2=16+（8-x）2.

解得：x=5,

：.CE=3.

故选：A.

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾

股定理列出关于x的方程是解题的关键.

2.（2024春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条/BCD沿ERG8同时折叠，B,C两点恰

好落在ND边的P点处，若/EW7的度数恰好为90°,PF=4,PH=3,贝U矩形48CD

的边的长为（）

【分析】利用折叠的性质得到时=9尸=4,CH=PH=3,再利用勾股定理得到产〃=5,

即可求解8c.

【解答】解：：矩形纸条/BCD沿EF,G"同时折叠，B,C两点恰好落在AD边的尸点

处，

:.BF=PF=4,CH=PH=3,

■:/FPH=90°,

FH-VPF2+PH2=V42+32=5,

BC=BF+FH+CH=4+5+3=12,

故选：C.

【点评】本题考查折叠的性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理和折叠的性质求

出加，BF,CH.

3.（2024秋•锦江区期末）如图，长方形/BCD中，AB=5,AD=25,将此长方形折叠，使

点。与点5重合，折痕为ER则的长为（）

A,ED

「一」

G

A.12B.8C.10D.13

【分析】根据折叠可得：BE=DE,在直角中,利用勾股定理可以即可求出BE.

【解答】解：将此长方形折叠，使点8与点。重合，

：.BE=ED.

;AD=25cm=AE+DE=AE+BE.

：.AE=25-BE,

根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.

：.52+（25-BE）2=BE2,

解得8E=13,

故选：D.

【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及方程思想的应

用是解此题的关键.

4.将矩形纸片/BCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形/ECE若40=百，则菱形

/EC尸的面积为（）

【分析】根据翻折的性质可得/D/尸OA=AD,再根据菱形的对角线平分一组

对角可得N。/尸=NONE,然后求出/CME=30°,再利用勾股定理求出OE,可得NE,

再根据菱形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】解：由翻折的性质得，ZDAF=ZOAF,0/=40=百，

在菱形/ECF中，ZOAF=ZOAE,

1

：.ZOAE^~X90°=30°,

；.AE=2OE,

在RtZXNOE中，由勾股定理得：OA2+OE2=AE2,

：.3+OE2^4OE2,

：.OE=l或OE=-1（舍去），

:.AE=2OE=2,

菱形AECF的面积=2V3.

故选：A.

【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含30°角的直

角三角形的性质，熟练掌握翻折变换的性质并求出NO/E=30°是解题的关键.

5.如图所示，长方形纸片ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,现将其沿斯对折，使得点C

与点/重合，则/厂长为()

C.5cmD.2V5cm

【分析】设/尸=xcm,则。尸=(8-X)cm,利用矩形纸片ABCD中，现将其沿防对

折，使得点C与点/重合，由勾股定理求N尸即可.

【解答】解：^AF^xcm,则=(8-x)cm,

:矩形纸片N8CO中，AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点/重合,

：.DF=D'F,

在RtZ\4D'尸中，\'AF2=AD'2+D'F2,

.".X2=42+(8-x)

解得：x=5(cm).

・•A.F~~5cm,

故选：C.

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质,勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键.

6.如图，折叠矩形纸片/5CD,使AD与3c重合，折痕为斯；把纸片展平后再次折叠,

使点/落在斯上的点处，折痕为8M,8M与族相交于点N,直线8T交CD于

2一

D.-V3

【分析】由N是中点，推出2N=M4',ZNBA'=/NA'B,再根据N/8N=//'

BN,所以NABN=/NBA'=NA'BN=30°,推出M=2=A'N,BE=如,

AB=DC=2五,推出GC=W，进而求出。。的值.

【解答】解：是8N中点，

：.BN=NA',

AZNBA'=NNA'B,

XVZABN=ZA'BN,

又,：/BEN=90°,

Z.ZABN=ZNBA'=//'BN=3G,

又•：EN=3

：.AM=A'M=2=A'N,

:.BE=K，AB=DC=2同

ZOBC=30°,BC=5,

.32/年圣

故选：A.

【点评】考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和

A'E的长.

7.（2024春•大观区校级期中）如图，矩形N2CD中，AD=BC=3,AB=CD=5,点E为

射线。C上的一个动点，将△/£>后沿/£折叠得到△/£>'E,连接B,当△/£>'B为

直角三角形时，OE的长为（）

4

C.1或9D.§或1

【分析】注意题目表述为射线DC,所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一

种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可.

【解答】解：①如图1,当点E在线段。。上时,

:・B,D',E三点共线，

11

XABXADXBEXAD，

'-S^ABE=2=2'

:・BE=AB=5,

U：BD'=7AB2—AD，2=,52—32=4,

：.DE=D'E=BE-BD'=5-4=1；

CD=5,

：.BD'=4,

设CE=x,贝U：

D'E=DE=x+5,

：.BE=D'E-BD'=x+l,

*：CE1+BC1=BE1,

.*.X2+32=(X+1)2,

解得：x=4,

：.DE=CD+DE=5+4=9,

综上，DE的值为1或9.

故选：c.

【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论,

特别时第二种比较容易遗漏.

8.如图，在矩形N2CD中，E是8c的中点，将△N5E沿/£折叠后得到△NFE,点尸在矩

形/BCD内部，延长/尸交CD于点G.

(1)求证：GF=GC；

(2)若幺B=3,AD=4,求线段GC的长.

【分析】(1)连接GE,根据点E是5c的中点以及翻折的性质可以求出BE=M=EC,

然后利用“血”证明AGFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

(2)设GC=x,表示出NG、DG,然后在RtZUOG中，利用勾股定理列式进行计算即

可得解；

【解答】解：(1)连接GE,

是2c的中点，

：.BE=EC,

:LABE沿AE折叠后得到△4FE',

；.BE=EF,

：.EF=EC,

:在矩形ABCD中，

.,.ZC=90°,

:./EFG=90°,

;在RtdGFE和RtAGC51中，

(EG=EG

IFF=FC

.".RtAG/^^RtAGCE(HL),

：.GF=GC；

(2)设GC=x=/G,贝ljDG=3-x,

U：AF=AB=3,

.•・4G=3+x,

在RtZXADG中，由勾股定理得，42+(3-x)2=(3+x)2,

4

解得x=§，

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的

性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件£F=EC是解题的关键.解题

时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中

点四边形是菱形.

【题型三菱形中的折叠问题】

1.如图，在菱形纸片/BCD中，N/=60°,折叠菱形纸片/BCD,使点C落在DP（尸为

N8中点）所在的直线上，得到经过点。的折痕。£.则N8EC的大小为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【分析】连接3。，由菱形的性质及NN=60°,得到三角形/8O为等边三角形，P为

42的中点，利用三线合一得到。尸为角平分线，得到//DP=30°,ZADC=120°,Z

C=60°,进而求出/P£>C=90°,由折叠的性质得到NCD£=/PZ）E=45°,利用三角

形的内角和定理即可求出所求角的度数.

【解答】解：如图，连接5。，

:四边形/BCD为菱形，N/=60°,

为等边三角形，ZADC=nO°,ZC=60°,

■:P为AB的中点，

尸为的平分线，即尸=/ADP=30°,

：.ZPDC=9Q°,

由折叠的性质得到/C£>E=/POE=45°,ZDEC=ZDEC',

在△DEC中，NDEC=/DEC'=180°-（NCDE+NC）=75°,

：.Z5£C=180°-ADEC-ADEC'=30°,

故选：C.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定

理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.

2.（2024春•海沧区期末）如图，在菱形/2C。中，E是边2c上一点，连接/£将菱形沿

直线NE折叠，点8恰与点C重合.若菱形的边长为4,则/£的长是（）

A.2B.4C.2V3D.4后

【分析】由菱形的性质可得N3=8C=4,由折叠的性质可得3E=EC=2,AELBC,由

勾股定理可求解.

【解答】解：•••四边形N3C。是菱形，

J.AB=BC=4,

•••将菱形沿直线AE折叠，点3恰与点C重合,

:.BE=EC=2,AELBC,

'.AE=yJAB2—BE2=V16-4=2百，

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用这些性质解决问题

是解题的关键.

3.（2024•平顶山二模）如图，菱形0/2C的顶点/在x轴上.CD_L4B于点、D,将菱形沿

CD所在直线折叠，点8的对应点为夕.若/NOC=45°,点夕的横坐标为2,贝IJ点8

的坐标为（）

A.（2近+2,2）B.（4,2）

C.（2V2+2,V2）D.（4,V2）

【分析】根据点女的横坐标为2,可得。£=2,则可求得OC=CB=2五,即可得到点

B坐标.

【解答】解：：四边形。48c为菱形，ZAOC=45°,

.,./5=N/OC=45°,OC=CB,

•：CD±AB,菱形沿CD所在直线折叠，点3的对应点为夕，

AZB'=45°,

\'ZOAB=U5°,

；./E4B=45°,

：.OA±CB',

•:点B'的横坐标为2,

：.OE=2,

:.CE=OE=2,

：.OC=yJcE24-OE2=2vL

CB=2VL

则点2的坐标为（2五+2,2）,

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，熟练利用相关

性质得到菱形的边长是解题的关键.

4.如图，已知四边形4BCD是边长为6的菱形，且NA4Z）=120°,点、E,尸分别在/瓦

8c边上，将菱形沿£尸折叠，点8正好落在边的点G处.TEGLAC,则尸G的长

为（）

A.3B.6C.3V3D.3五

【分析】如图，设NC与EG交于点O,FG交AC于H.只要证明尸GL4D,即可尸G是

菱形的高，求出尸G即可解决问题.

【解答】解：如图，设/C与EG交于点。，FG交4c于H.

:四边形45co是菱形，ZBAD=120°,

：.ZB=ZD=60°,

:.LABC、是等边三角形，

：.ZCAD=ZB^60°,

'：EG±AC,

：.ZGOH=90°,

；NEGF=NB=60°,

：.NOHG=30°,

:.NAGH=90°,

：.FG±AD,

."G是菱形的高，即等边△4BC的高=缗6=3收

故选：c.

【点评】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明线段

歹G是菱形的高，记住等边三角形的高=等是等边三角形的边长），属于中考常考

题型.

5.如图，菱形N8CD的对角线相交于点O,AC=4,8。=4百，将菱形按如图所示的方式

折叠，使点8与。重合，折痕为£足则五边形/EFCD的周长是（）

A.14B.16C.4+4百D.8+8百

【分析】由菱形的性质可得ACLBD,AO=CO=2,BO=DO=

2百，由勾股定理可求45=4,由折叠的性质可求=3=8/=2,由三角形中位线定

理可求跖=2,即可求解.

【解答】解：•・•四边形45cZ）是菱形，

：・AB=BC=CD=AD,ACLBD,AO=CO=2,BO=DOS，

=〃。2+B（J2==4+12=4,

:・AB=BC=CD=AD=4,

,・,折叠，

：.BF=OF,

：.ZFOB=ZFBO,

：./FCO=/FOC,

：・OF=CF,

：.OF=CF=BF=2,

同理可得BE=OE=AE=2,

1

：.EF=-AC=2,

:.五边形4EFCD的周长=4+4+2+2+2=14,

故选：A.

【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵

活运用这些性质解决问题是解题的关键.

6.如图，在菱形48。中，Z^5C=120°,将菱形折叠，使点N落在对角线8。上的点G

处（不与点8,。重合），折痕为斯，若DG=2,BG=6,则△BEG的面积为（）

【分析】作小，2。于8，根据折叠的性质得到EG=",根据菱形的性质、等边三角

形的判定定理得到△48。为等边三角形，得到设3E=x根据勾股定理列出方

程，即可解决问题.

【解答】解：作EHLBD于H,

由折叠的性质可知，EG=EA,

由题意得，BD=DG+BG=8,

•.•四边形/BCD是菱形，

1

：.AD=AB,ZABD=ZCBD=~ZABC=60°,

为等边三角形，

:.AB=BD=8,

设BE=x,则EG=AE=8-x,

1V3

在RtZ\E〃S中，BH=~x,EH=­x,

在RtAE7/G中，Ee=E侪+G资,即（8-x）?=（争）2+（6-p）2,

1414

解得，X=—,gpBE=—,

V3147Vl

'-EH=—x—=——,

/。J

LBEG的面积为51BG-EH=-1x6x^-=笠21仁V3.

故选：B.

D

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握

翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应

角相等是解题的关键.

7.如图，在菱形4BCD中，对角线/C、AD相交于点。，NC=16,BD=12,E是边/。上

一点，直线交8c于点尸，将菱形沿直线£尸折叠，点/、8的对应点分别为4、

B',若4£=4,则皮下的长为.

B

【分析】根据菱形的性质，由NC=16,BD=U,即可计算出8C的长，易证

COF,可得/E=CF=4,再根据翻折的性质即可得出答案.

【解答】解：•.ZC=16,BD=n,

111

.•.80=580=5x16=8,CO=]4C=8,

：.BC^IO,

•.•四边形/BCD是菱形，

:.AAOE冬ACOF（ASA）,

：.AE=CF^4,

根据折叠的性质可得，

B'F=BF=BC-CF=IO-4=6.

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）及菱形的性质，熟练掌握翻折变换（折

叠问题）及菱形的性质进行求解是解决本题的关键.

8.如图，将菱形纸片/BCD折叠，使点/恰好落在菱形的对角线交点。处，折痕为若

菱形的边长为2,乙4=120°,求斯的长.

【分析】连接2。、AC,则两条线交于点。.分析题意，首先根据菱形的性质得出NCL

HDdC平分结合已知可得//8。=30°；在RtZX/OB中，根据30°所对的直角边

1

为斜边的一半可得4。=/8,再由勾股定理可得到2。的长度，进而可得3。的长；接

下来，根据折叠的性质得出所垂直平分/O,推出即〃AD,则有EF为△/AD的中位

线，然后根据三角形中位线的性质即可求解.

【解答】解：连接出入AC,则两条线交于点。

•..四边形/BCD是菱形，

：.ACLBD,/C平分

VZBAD=nO0,

AZBAC=60°,

AZABO=90°-60°=30°.

VOB=90°,ZABO=30°,

11

.\AO=^AB=2=1,

:.BO=DO=®

：.BD=243.

,.Z沿E尸折叠与O重合，

；.即垂直平分NO.

'：AO±BD,AOYEF,

：.EF//BD.

'：EF//BD,E尸平分40,

；.EF为LABD的中位线，

1「

••.跖=严=百.

【点评】此题考查的是菱形的性质、翻折性质、等边三角形的判定与性质，正确作出辅

助线是解决此题的关键.

【题型四正方形中的折叠问题】

1.（2024•大冶市三模）如图，将边长为8c加的正方形纸片48c〃折叠，使点。落在边

的中点K处，点/落在点尸处，折痕为则线段CN的长是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】由折叠的性质可得。N=NE,由中点的性质可得EC=4c加，结合正方形的性质

可得N8CD=90°；设CN的长度为xc",则EN=Z）N=（8-x）cm,接下来在直角△

CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度.

【解答】解：：四边形脑VE尸是由四边形折叠而成的，

：.DN=NE.

：£是8c的中点且BC=8cm,

.,.EC—4cm.

•••四边形/BCD是正方形，

:.NBCD=90°.

设CN的长度为XC7M,则EN=ZW=（8-X）cm,

由勾股定理得/+42=（8-无）2,

解得x=3.

故选:A.

【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角

相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.

2.如图，将边长为8c加的正方形纸片48CD折叠，使点。落在48边中点E处，点C落在

点。处，折痕为户H,则线段/尸的长是()

4______f________D

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根据尸是直角三角形利用勾股定理求解即可.

【解答】解：由折叠可得。/=斯，设/尸=x,则斯=8-无，

'：AF2+AE2=EF2,

.,.X2+42—(8-x)

解得x=3.

故选：A.

【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关

键.

3.(2024春•满洲里市校级期末)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△/££)

沿着NE翻折得到△/£尸，点。的对应点尸恰好落在对角线NC上，连接8b.若EF=2,

则2#=()

.4一--------------D

A.4五+4B.6+4正C.12D.8+4V2

【分析】点尸作尸G，3C交于G点，设正方形的边长为x,则月。=缶，由折叠可知,

DE=EF,AD=AF,/D=NDFA=90°,可得。£=2,EC=x-2,在RtZ\£FC中，由

勾股定理可得(x-2)2=4+(V2x-x)2,解得x,即为正方形的边长为2女+2,再求

出尸C=2,由//C3=45°,可求尸G=CG=2,BG=V2+2,在RtZXBFG中，由勾股

定理可得5产=(V2+2)2+2=8+4V2.

【解答】解：过点尸作尸G,5c交于G点，

由折叠可知，DE=EF,AD=AF,/D=/DFA=90°,

设正方形的边长为x,

；EF=2,

；.DE=2,EC=x-2,AC=V2x,

在Rt△斯C中，EC2^FE2+FC2,

(x-2)2=4+(V2x-x)2,

解得X=2A/2+2,

：.FC=2x-x=2,

VZACB=45°,

:.FG=CG=五,

：.BG=\[2+2,

在RtAB尸G中，BF2=BG2+GF2=(a+2)2+2=8+4V2，

【点评】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定

理是解题的关键.

4.（2024秋•龙华区期中）如图，在正方形/BCD中，点M是48边的中点，连接MC,将

ND

△沿直线C"向正方形内翻折，点8的对应点为点N,连接。N,AN,则方等于

()

V2

c.逅D.驾

4

【分析】延长MN交40于点E,可证明RtZXNCE■qRt^DCE,得NE=DE,则CE■垂直

平分£W,设正方形的边长为6加，NE=DE=x,则九W=8M=/M=3加，由勾股

定理得(3m)2+(6m-x)2=(3加+x)2,求得x=2"?,则CE=2y[\Qm,由S四边形CDEN=

1._1,6V10NDVlO

—x2y/10m9ND=2x—X6mX2m,求得ND=---m,进而求得诉"=二一，于是得到

问题的答案.

【解答】解：延长交40于点K,

:四边形/BCD是正方形，

；./B=NBAD=/ADC=90°,AB=BC=AD=DC,

由翻折得/MVC=NB=90°,NC=BC=DC,

：.ZENC=ZEDC=90°,

,:CE=CE,NC=DC,

：.Rt/\NCE^m/\DCE(HL),

；.NE=DE,S&NCE=S/XDCE，

；.CE垂直平分ZW,

设正方形/BCD的边长为6m,NE=DE=x,贝ij/8=/D=3C=NC=Z)C=6加,

:点M是边48的中点，

：.MN=BM=AM=3m,

,：AM2+AE2^ME2,S.AE^6m-x,ME^3m+x,

(3m)2+(6m-x)2=(3m+x)

•，x=2m,

:.CE=7(2m)2+(6m)2=2V10m,

1_1

〈S四边形CZ>£N=5X2V10WA7)=2X-X6mX2m,

,ND^omViQ

,,丽=^~=M

故选：D.

【点评】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线

段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键.

5.（2024秋•青岛期中）如图，在正方形纸片A8CD中，M,N分别是ND,8C的中点，将

纸片沿过点C的直线折叠，使点。落在九W上的点E处，折痕CF交AD于点尸，连接

)

C.4—2V3D.8-

【分析】由四边形/BCD是正方形，M,N分别是ND,3c的中点，证明四边形CDW

是矩形,则垂直平分8C,所以EC=E5=4,由折叠得EC=DC=4,FE=FD,则

AD=BC=DC=MN=4,所以。M=/M=2,CN=BN=2,贝I]FA/=2-尸D,EN=

>/EC2-CN2=2百，所以EM=4-2V3，于是得(4-2百)2+(2-FD)2=FD2,求得

FD=8-4而,于是得到问题的答案.

【解答】解：:四边形48co是正方形，AD=AB=BC=DC,AD//BC,

'：M,N分别是8c的中点，

11

DM=AM=-AD,CN=BN=^BC,

J.DM//CN,且DM=CN,

，四边形CD九W是平行四边形，

VZ£>=90°,

，四边形CDMV是矩形，

:.NCNE=NFME=90°,

.•.龙W垂直平分8C,

:.EC=EB=4,

由折叠得EC=DC=4,FE=FD,

:.AD=BC=DC=MN=4,

11

：.DM=AM^~AD=2,CN=BN=]BC=2,

:.FM=2-FD,EN=7EC2—CN2=3—22=2百,

：.EM=4-2V3，

'：EM1+FM1=FE2,

：.(4-2V3)2+(22=FD2,

解得ED=8-4百，

故选：D.

【点评】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理

等知识，推导出/O=2C=OC=MN=4是解题的关键.

6.(2024秋•泗县期中)如图，在正方形488中，BE=\,将2c沿CE翻折，使2点对

应点刚好落在对角线NC上，将沿/尸翻折，使。点对应点刚好落在对角线NC上,

则AE—；EF—.

【分析】设点8、点。的对应点分别是点G、点〃，EG交/C于点O,由正方形的性质

得4B=CB=AD=CD,ZA=ZD=90°,则N5/C=N2C4=NDZC=Nr)G4=45°,

由翻折得/CGE=NB=90°,GE=BE=\,则/E/G=N/EG=45°,所以G/=GE=

BE=\,由勾股定理得/£=&G£=&，则/8=C3=/£+8£=&+1,所以/。=屈8

=2+72,再证明四边形/EC厂是平行四边形，则。/=OC=1+孝，所以OG=¥，

即可根据勾股定理求得OE=OF=y/GE2+OG2=则£F=后,于是得到问题的答案.

【解答】解：设点3、点。的对应点分别是点G、点〃，EG交NC于点。，

:四边形/BCD是正方形，

：.AB=CB=AD=CD,ZJ=Z£>=90°,AB//CD,

：.ZBAC=ZBCA=ZDAC=ZDCA=45°,

由翻折得/CG£=/8=90°,GE=BE=\,

：.ZAGE=90°,

：.ZEAG=ZAEG=45°,

GA=GE=BE=1,

：.AE=yJGA2+GE2=y/2GE2=近GE=五X1=五，

/.AB=CB—AE+BE=V2+L

=7AB2+CB2=72AB2=近AB=&X(V2+D=2+V2，

11

VAACE=ZBCE=-ZBCA,ZCAF=ZDAF=~ZDACf

：.ZACE=ZCAF,

：.CE//AF,

・・・四边形4EC厂是平行四边形，

11l、鱼

OA=OC=-AC=-x(2+V2)=1+—,

AOG=OA-GA=1+W-l=£

22

：.OE=OF=7GE2+0G2=J12+(孝:=当

：.EF=2OE=2x^-=4e，

故答案为：近,V6.

【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、平行线边形的判定与

性质等知识，正确地作出/C的长是解题的关键.

7.已知正方形/BCD中，48=6,点E