2024北京某中学初一（下）期中数学试卷（含答案）

2024北京广渠门中学初一（下）期中

数学

本试卷共4页，100分.考试时长100分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答

无效

一、选择题（共30分）第L10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1.9的算术平方根是（）

A.±3B.-3C.3D.9

2.如图，在数轴上表示的x的取值范围是（)

0123

A.x<2B.x<2C.x>2D.x>2

x=2

3.若<'是二元一次方程x—叼=1的一个解，则加的值为（）

b=1

1

A.-1B.一一D

2-T

4,下列变形错误的是（）

A.由。>b得a+2>b+2B.由a>b得2a—3>2b—3

C.由2x>—2得x>—1D.由—3x>3得x>—1

5.如图，直线DE过点N,且。/B=60。，ZEAC=50°,则NR4c的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.120°

6,下列命题中为假命题的是（）

A.对顶角相等

B.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等

C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

D.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

7.若点2（1-a,。+2）在第二象限，则。的取值范围是（）

A.a>1B.a<—2C.—2<a<1D.a<1

8.中国象棋中的马沿“日”形对角线走，俗称马走日.三个棋子位置如图，若建立平面直角坐标系，使帅、

相所在点的坐标分别为（-2,-1）,（0,2）,则马直接走到第一象限时所在点的坐标是（）

C.(LI)D.(1,2)

9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”.如图，竺的值接近黄金比好匚,

AP2

则黄金比（）（参考数据：2.12=4,4b2.22=4.84，2.32=5.29,2.42=5.76）

A

B

A.在0.50到0.55之间B.在0.55到0.60之间

C.在0.60到0.65之间D.在0.65到0.70之间

,,a（a>b\，/、

10.定义一种运算：=4I’，则不等式2x*（x—3）〉1的解集是（）

b（a<b）

A.x«-3或—3<x<—2B.x>-3

C.%〉!或-3Vx<-2D.

22

二、填空题（共16分）

11.用不等式表示“2加与7的差不小于3"：.

12.将含30。的直角三角板与直尺如图所示放置，若N2=40。，则/I的大小为（度）.

13.如图，雷达探测器探测到三艘船4B,C,按照目标表示方法的规定，8的位置分别表示为

2（5,30。），5（6,300°）,船。的位置应表示为

90°

14.若一个正数的平方根为x-1和4+2x,则x的值为.

15.如图，纸片的边缘48,CD互相平行，将纸片沿E尸折叠，使得点3,。分别落在点5',。'处.若

Zl=80°,则N2的度数是.

16.被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作.书中记载：“今有五雀、

六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几

何”？原文大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻.将一只

雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只x斤，燕

每只y斤，则可列出方程组为.

6-3x<0

17.关于x的不等式组《恰好有2个整数解，则。的取值范围是______________.

x<a

18.埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长.如图，A处是塞尼城中的一口

深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底.8处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距

离d约为800km,于是地球周长可近似为尊xd,太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方

向与太阳光线的夹角0为7.2。.根据a=7.2。可以推导出。的大小，依据是；埃

拉托斯特尼估算得到的地球周长约为km.

三、解答题(共54分，第19-21题每小题4分，第22、23题每小题5分，第24-26题每小题

6分，第27、28题每小题7分)

19.如图，直线CD与直线48相交于C,根据下列语句画图、解答.

(1)过点尸作尸。〃CD,交N3于点0；

(2)过点尸作垂足为R；

(3)若/DCB=120。,猜想/PQC是多少度？并说明理由

D

21.解不等式x+5-2(x+3)<0,并把解集在数轴上表示出来.

-4-3-2-101234

"4(x+l)<6x+10

22.解不等式组1、x-8，并写出它的所有整数解.

x-3<----

[4

23.按下图中程序进行计算，规定：从“输入x”到“结果是否>2”为一次程序操作.

(1)若开始输入的x值为1,则最后输出的结果是—；

(2)若最后输出的结果是4,则开始输入的x值是；若程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围

是—.

24.如图，已知四边形/BCD中，点£为/8上一点，4c与DE交于点、F,ED//BC.

（1）若ZACB=84°,求ZAFD的度数;

（2）若NBO）+ZAE7）=180。，4c平分NB4D,ZADC=4ZACD,求//CD.

25.某地新建的一个企业，每月将产生2020吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下

两个型号中选择：

污水处理器型号/型B型

处理污水能力（吨/月）240180

价格（万元/台）108

为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述两种型号污水处理器共9台，则

C1）该企业有哪几种购买方案？

（2）哪种方案费用最低？最低费用是多少？

26.如图，先将三角形45。向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形4片C-

（1）画出三角形4g4；

（2）求三角形45C的面积;

（3）设线段4G与x轴的交点为。，则点。的坐标为.

27.已知：ABHCD,E、G是4B上的点，F、〃是3上的点，Zl=Z2.

图1图2

（1）如图1,求证：EF//GH■,

（2）如图2,过9点作必交G”延长线于点河，作乙8£尸、/。四欣的角平分线交于点N,

EN交GH于点、P,求〃的度数.

28.对于平面直角坐标系xQy中的图形"，N,给出如下定义：尸为图形"上任意一点，。为图形N上任

意一点，如果尸，。两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“近距离”，记作

d（M,N）.如图，已知点/（—2,6）,5（-2,-2）,C（6,-2）,£>（6,6）.

8

7

-6-D

5

4

3

2

1

-5-4-3-I-1°

-1

-5

(1)d(点。，CD)=—,d(BC,AD)=_:

(2)记线段BC,40组成图形G已知点T（4,m）,若d（点T,G）<2,求加的取值范围;

（3）若四边形48CD内部的点£（/,0）和点E（0,4—。满足l<d（EF,四边形/BCD）<2,请直接

写出/的取值范围.

参考答案

一、选择题（共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

I.【答案】c

【分析】根据算术平方根的定义求解.

【详解】解：：32=9,

二9的算术平方根是3.

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握正数的算术平方根是正的平方根，0的算术平

方根是0,负数没有算术平方根.

2.【答案】A

【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可.

【详解】如图，

__।____I______।_____i_____I___>

-10123

在数轴上表示的x的取值范围为x<2,

故选：A.

【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提.

3.【答案】C

【分析】把x与夕的值代入方程计算即可求出加的值.

‘X=2

【详解】解：把<代入方程x—叩=1得：2—加=1,

b=1

解得：m=1>

故选：C.

【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

4.【答案】D

【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一

个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两

边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向.

【详解】解：A、由方得。+2>6+2,原式变形正确，不符合题意；

B、由方得2a—3〉2b—3,原式变形正确，不符合题意；

C.由2x>-2得x>-l,原式变形正确，不符合题意；

D、由-3x>3得％<-1,原式变形错误，符合题意；

故选：D.

5.【答案】C

【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出即可求出

【详解】解：

二Z8+Z&4£=180。，

NB=6。。,

/.ZBAE=180o-Z5=120°,

即：ABAC+ZEAC^UQ°,

■：NEAC=50°,

ABAC=120°-NEAC=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键.

6.【答案】B

【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题；

B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；

C、在同一平面内，垂直于同条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题；

D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题，

故选：B.

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等

知识，难度不大.

7.【答案】A

【分析】本题主要考查了第二象限内点的坐标特点，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标为

1-«<0

负,纵坐标为正得到c八，解不等式组即可得到答案.

【详解】解：：点2(1-d。+2)在第二象限，

1—。<0

[a+2〉0，

.•・Q>1,

故选：A.

8.【答案】C

【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，先根据帅、相所在点的坐标建立坐标系，再根据马

的走棋规则求解即可.

【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，根据马的走棋规则可知，马接走到第一象限时所在点的坐标是

(1,1),

故选：C.

y

X

9.【答案】C

【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质等知识.熟练掌握无理数的估算，不等式的性质是解题

的关键.

由题意知，4.84<5<5.29,即2.2〈逐<2.3,根据归士〈立匚<空匚，计算求解即可.

222

【详解】解:由题意知，4.84<5<5.29,

•••2.22(网2<2.32,即2,2<君<2,3，

故选：C.

10.【答案】D

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，新定义，根据新定义分当2x2x-3,即xN-3时，当

2x<x-3,即x<—3时，两种情况根据2x*(x—3)〉1建立不等式求解即可.

【详解】解；当2x2x-3,即时，

2x*(x-3)>1,

2x>1,

x>一;

2

当2x<x-3,即x<-3时，

2x*(x-3)>1,

「・x—3>1,

x>4,此时不符合题意；

综上所述，x>!，

故选：D.

二、填空题(共16分)

11.【答案】2m-723

【分析】本题主要考查了列不等式，2加与7的差为2加-7,不小于3即大于等于3,据此列出不等式即

可.

【详解】解：用不等式表示“2加与7的差不少于3”为2m-723,

故答案为：2加—723.

12.【答案】50

【分析】如图：根据平行线的性质和余角的性质即可解答.

AB//CD,

：.ZCEM=N2=40°,

Z1+ZCEM=90°,

：.Z1=90°-ZCEM=90°-40°=50°.

故答案为50.

【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案.

13.【答案】（4,240。）

【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键.直接利用坐标的意义得出。点

坐标即可.

【详解】解：如图所示：船。的位置应表示为（4,240。），

故答案为：（4,240。）.

14.【答案】-1

【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的平方根由两个，且二者互为相反数，据此可得

x-l+4+2x=0,解方程即可得到答案.

【详解】解：：一个正数的平方根为x-l和4+2x,

•**x—1+4+2x=0,

解得x=—1,

故答案为：-1.

15.【答案】50°

【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，根据两直线平行、同位角相等，可得N8'EZ=Nl=80°,

根据折叠前后对应角相等，可得NB'EF=N2=L/B'EB,由此可解.

2

【详解】解：：AB//CD,

ZB'EA=Z1=80°，

，ZB'EB=180°-ZB'EA=180°-80°=100°,

由折叠的性质可知NB'EF=Z2=-ZB'EB,

2

Z2=-xl00°=50°，

2

故答案为：50°.

4x+j=5y+x

16.【答案】《

5x+6v=1

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：

今有5只雀、6只燕，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只

燕重量为1斤，列出方程组求解即可.

【详解】解：设雀、燕每1只各重x斤、V斤.

4x+y=5.v+x

根据题意，得<

5x+6v=1

4x+y=5y+x

故答案为：<

5x+6v=1

17.【答案】4<a<5

【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到其解集为2<xWa,再根据

不等式组只有两个整数解求解即可.

6-3x<0①

【详解】解:

x<a②

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x<a,

...不等式组的解集为2<x<a,

6-3x<0

••・关于X的不等式组〈恰好有2个整数解,

x<a

4<«<5,

故答案为：4<a<5.

18.【答案】①.两直线平行，同位角相等②.40000

【分析】根据太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹

360°

角为同位角，利用两直线平行，同位角相等求出，，再代入工一xd计算求解.

【详解】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太

阳光线的夹角为同位角，

则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为6=7.2°,

理由是两直线平行，同位角相等.

因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km,

所以地球周长为-3^60x°800=40000km.

7.2°

故答案为：两直线平行，同位角相等；40000.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的乘除运算，确定出6=7.2°是解答关键.

三、解答题（共54分，第19-21题每小题4分，第22、23题每小题5分，第24-26题每小题

6分，第27、28题每小题7分）

19.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ZPQC=60°,理由见解析

【详解】解：如图所示：

（3）ZPQC=60°

理由是：因为PQ"CD

所以NDC3+/P0c=180。

又因为/。。3=120。

所以ZP0C=180°-120°=60°

‘X=2

20.【答案】。

Lv=-3

【分析】运用代入消元法或加减消元法求解

3x+y=3①

【详解】＜

x-2y=8(2)

解法一：代入消元法

由②，得x=2y+8③

把③代入①，得3（2歹+8）+y=3

解得产-3

把歹=一3代入③，得x=2

x=2

・・・方程组的解为1。

b=-3

解法二：加减消元法

①x2+②，得7x=14

解得x=2

把x=2代入①，得y=—3

x=2

・・・方程组的解为《,

b=-3

【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.

21.【答案】x>-1,数轴表示见解析

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类

项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出对应的解集即可.

【详解】解：.x+5-2（x+3）<0

去括号得：x+5-2x-6<0,

移项得：x-2x<6-5,

合并同类项得：-x<l，

系数化为1得：x>—1,

数轴表示如下：

_।----------1--------1—1—।---------1---------1----------1----------1__►

-4-3-2-101234

4

22.【答案］-3<x<-,整数解为一3、—2、-1、0、1

3

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据

“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其

整数解即可.

4（x+l）<6x+10@

【详解】解：\x-8^

X―3<-----（2/）

L4

解不等式①得：x>-3,

4

解不等式②得：%<-,

3

4

・・・不等式组的解集为-3<x<-,

3

・•・不等式组的整数解为-3、-2、-1、0、1。

23.【答案】（1）V7

(2)5,0<x<l

【分析】本题考查了代数式求值、算术平方根和一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序

运算方法进行计算判定是解题的关键.

(1)先把1代入代数式3x+l中，求值后再求其算术平方根，若大于2输出答案，若小于或等于2返回第

一步再次计算，判定即可得出答案，

(2)根据据运行程序，先把第一次运算结果小于等于2,第二次运算结果大于2列出不等式组，然后求解

即可.

【小问1详解】

输入x=1时，

第一次运算结果为：

3x+l=3xl+l=4,

取算术平方根为：、"=2，

•■-2=2,

返回计算，

输入x=2时，

3x+l=3x2+l=7,

取算术平方根为：币,

2<V7<3.

•••最后输出的结果是J7,

故答案为：、万;

【小问2详解】

若最后输出的结果是4,

贝氏+1=42

解得：x=5)

5>2,

程序操作进行了一次开始输入的x值是5；

若程序操作进行了两次才停止，列不等式组得：

'V3x+1<2

J3j3x+l+i>2

解得：0<xKl,

故答案为：5,0<x<l.

24.【答案】(1)96°

(2)30°

【分析】（1）根据平行线的性质以及平角的定义进行计算即可；

（2）利用角平分线的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可.

【小问1详解】

解：VED//BC,

NAFE=ZACB=84°,

ZAFD=180°-ZAFE=180°-84°=96°；

【小问2详解】

-：ED//BC,

：.ZAED=ZABC,

•：ZBCD+ZAED=130°,

ZBCD+ZABC=1SO°,

：.CD//BE,

ABAC=ZACD,

ZC平分NB4D,

ABAC=ACAD,

ACAD=ZACD

'：ZADC=4ZACD,ACAD+ZACD+ZADC=180°,

6乙4c0=180。

即44c0=30°.

【点睛】本题考查角平分线，平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内

角和定理以及角平分线的定义是正确解答的关键.

25.【答案】（1）方案1：购买/型号污水处理器7台、8型号污水处理器2台；方案2：购买/型号污水

处理器8台、8型号污水处理器1台；方案3：全部购买/型号污水处理器9台.

（2）方案1费用最低，最低费用为86万元.

【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，有理数四则运算的实际应用：

（1）设该企业决定购买/型污水处理器。台，则购买3型污水处理器（9-台，由题意可列出不等式为:

240a+180（9—a）之2021,由此得出a=7或8或9,据此可得答案；

（2）根据（1）所求分别计算出三个方案的费用，比较即可得到答案.

【小问1详解】

解:设该企业决定购买/型污水处理器。台，则购买3型污水处理器（9-a）台.

依题意得240a+180（9-。”2020.

解得a2—,

3

二整数a=7或8或9.

故该企业有三种购买方案：

方案1：购买/型号污水处理器7台、8型号污水处理器2台;

方案2：购买N型号污水处理器8台、8型号污水处理器1台;

方案3：全部购买/型号污水处理器9台.

【小问2详解】

解:方案1费用为：7x10+2x8=86（万元）；

方案2费用为：8x10+1x8=88（万元）；

方案3费用为：9x10=90（万元）.

*/86<88<90,

答：方案1费用最低，最低费用为86万元.

26.【答案】（1）画图见解析；

【分析】（1）利用平移的性质画图即可；

（2）利用割补法计算即可求解；

（3）利用待定系数法求出线段4G的解析式，再令>=0求出x,即可得出答案；

本题考查了作图-平移变换、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握

平移的性质、用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.

【小问1详解】

解：如图，△4名。1即为所求;

2222

【小问3详解】

解：设线段4G的解析式为>=丘+6,将4(—4,—1),G(T，3)代入得，

-4k+b=-1

<-k+b=3

卜」

解得〈二3,

713

b=——

I3

413

.・・线段4G的解析式为v=

413

令V=0,得一x+—=0,

33

13

解得x=——,

4

二点。的坐标为7，°］，

故答案为：

27.【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：

(1)由平行线的性质得N1=N3,再由内错角相等得出斯〃GW；

(3)过点N作NK〃CD,则KN〃CD〃4B,由平行线的性质得到/K7VE=/4,Z6=Z7,

设/4=x,Z7=y,由角平分线的定义得到/硒K=N5=/4=无，Z6=Z8=Z7=y,再由平行线的性质

得到/即0=180。一2苫；证明产“，防得到/£/»/=90。，则180。一2x+2y=90°,可得x—y=45°,

贝iJZE7VF=Z6W-N6=x-y=45°.

【小问1详解】

证明：•.•45〃CD,

N2=N3,

又；N1=N2,

/I=N3,

EF//GH-,

【小问2详解】

解；如图，过点、N作NK〃CD,

■：ABHCD,

KN//CD//AB,

ZKNE=Z4,Z6=Z7,

设/4=尤，47=y,

•：EN、FN分别平分NBEF、ZDFM,

:"ENK=Z5=N4=x,Z6=Z8=Z7=j,

又：AB//CD,

ZEFD=180°-(Z4+Z5)=180°-2x,

又•：FMLGH,EF//GH,

：.FMVEF

NEFM=90°,

.