2024届河南省驻马店市经开区高考三模数学试题（解析版）

2024届河南省驻马店市经开区高考三模数学试题

一、单选题

1.若2+4i=(a+i)(l+i)(其中aeR,i为虚数单位)，贝1］。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

［分析］利用复数乘法及复数相等列方程求参数即可.

/、/、/Xf。—1=2

【详解】由2+4i=(a+i)(l+i)=a—l+(a+l)i,则”+1=4'解得

故选：C

2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是()

3

A.y=log3xB.y=x+x

C.y=3"D.v=-•-

尤

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.

【详解】y=logs》的定义域为(。,+8),是非奇非偶函数，A选项错误.

>=3,是非奇非偶函数，C选项错误.

>=-4的定义域是(—,0)1^0，口)，>=在定义域上没有单调性，D选项错误.

XX

令/(x)=d+x,“X)的定义域为R,

f(-x)=-xi-x=-f(x),所以/(X)是奇函数，

即y=Y+x是奇函数，

由于y==x在R上都是增函数，所以y=d+x在R上递增，符合题意，B选项正确.

故选：B

3.将函数y=sin(2x+?)向右平移7个单位长度，所得图象的函数解析式为()

A.y=sin2x+—B.y=cos2xC.y=sin2x--\

D.y=sin2x

【答案】D

【分析】利用三角函数平移变换求解.

【详解】••・函数"sin(2x+刍向右平移J个单位长度，

36

y=sin[2(x-6)+j|=sm2%.

故选：D.

22

4.椭圆工+匕=1的离心率是()

24

A.aB.V3C.4D.中

【答案】C

【解析】根据题意得到"=4,b2=2,02=2,再求离心率即可.

22

2

【详解】因为椭圆二+二=1,a=4,及=2,所以‘2=2,

24

故选：C

【点睛】本题主要考查直接法求椭圆的离心率，属于简单题.

5.已知x=0是函数〃x)=x2(x-a)的极小值点，贝心的取值范围为()

A.(-<»,0)B.C.(0,+oo)D.[T'+sJ

【答案】A

【分析】根据极小值的定义，在x=0的左侧函数递减，右侧函数递增可得.

【详解】由已知/(X)=/一。,,/、o2noZ2Q2a,

八)f(x)=3x^-2ax=3x(x-y)=3x(%-y)

令「(%)=0得*=0或工=半，

由题意x=0是极小值点，则会0,

若学<0,则2ay〃n时，尸。)<°，“X)单调递减，x>0时，/，(%)>0,/(元)单调递增,

J33—<%<0

则尤=0是函数的极小值点，

若学>0,贝时，f(x)<0,f(x)单调递减，尤<0时，八元)>0,/(X)单调递增,

3U<X<—4

则无=0是函数的极大值点，不合题意,

综上，＜0,即。＜0.

故选：A.

6.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器.由中国科学院空

天信息创新研究院自主研发的极目一号III型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛

峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032

米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力.“极目一号叩1型浮空艇长45米，高16米,

若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，贝广极目一号”111型

图1图2

A.2540KB.449%C.5627rD.561TI

【答案】C

【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解.

【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆

台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米，

圆柱的侧面积为2・兀•8x13=20871（平方米）,

圆台的侧面积为兀（8+l）xA/72+242=225K（平方米）,

故该组合体的表面积为128兀+208兀+225兀+兀乂俨=562jl（平方米）.

故选：C

7.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天

气温，并制作了对照表：

气温X(℃)181310-1

用电量（度）24343864

由表中数据得线性回归方程9=-2x+。，预测当气温为-4℃时用电量度数为

A.68B.67C.65D.64

【答案】A

【分析】根据回归直线方程过样本中心点G，3）,计算出京亍并代入回归直线方程，求得。的值，然

后将x=T代入回归直线方程，求得预测的用电量度数.

F、华蝌、版_18+13+10+（-1）_24+34+38+64

［详解］解：x=----------------------=10,y=---------------------=40,

44

a=y+2x=40+20=60,

线性回归方程为：y=-2x+60^

当X=T时，＞=8+60=68，

当气温为-4。（7时，用电量度数为68,

故选A.

【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点（；,］）,考查方程的思想，属于基础题.

8.已知a,b,c为三条不同的直线，a,B,7为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若a//6,bua,则a//a

B.若aua,buB,allb,则/

C.若a〃〃，alia,则。〃力

D.若ac/3=a,/3^y=b,acy=c,a//b,则6〃c

【答案】D

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析.

【详解】若a//6,bua,则a//cr或aua,故A选项错误；

若aua,bu/3,a//b,则&〃£或a与夕相交，故B选项错误.

若a〃6，alia,贝！|a/〃?或au£,故C选项错误；

若ac/3=a,P^\y=b,ec/=c,a//b,则6〃c,正确，

证明如下：；a//b,auy,buy,:.ally,

又aua,且tzc/=c,.-.a//c,则b〃c,故D选项正确；

故选：D.

二、多选题

9.若集合M和N关系的Venn图如图所示，则可能是（）

A.”={0,2,4,6},N={4}

B.M={x|x2<l},Af={x|x>-l}

C.M=[x\y-lgx},N={y\y=ex+5}

D.M={(x,y)|x2=y2],N={(x,y)|y=x)

【答案】ACD

【分析】根据Venn图可知NM,依次判定选项即可.

【详解】根据Venn图可知NM,

对于A,显然NM,故A正确；

对于B,M=(x\-l<x<1},N=[x\x>-1},则=故B错误；

对于C,M-{x\x>0],N-[y\y>5}>则NM,故C正确；

对于D,M-{(x,y)\y-x,或7=一行川={(%》)]旷=工}川={@7)|,=1},

则NM,故D正确.

故选：ACD

10.已知VABC内角A,8,C的对边分别为见瓦c,0为VABC的重心，_._i_^,则()

COcSA—「An一/

5

—.1—.1—._._.

A.AO=-AB+-ACB.ABAC<3

44

C.VABC的面积的最大值为36D.。的最小值为26

【答案】BC

【分析】利用重心性质及向量线性运算得而=；荏+；/，即可判断A,此式平方后结合基本不

等式，向量的数量积的定义可求得荏.恁，|布||加|的最大值，直接判断B,再结合三角形面积公

式、余弦定理判断CD.

【详解】。是VABC的重心，延长AO交2C于点。，则。是BC中点，

而=|而=|x,(与+硝=9+浑,人错；

.1,1.

由AO=§AB+]AC得荏+*=3同，所以

-->2--->--->2--->2--->2--->--->I--->■।--->■--->--->,

94。={AB+AC)=AB+AC+2/3•/CZ2胸||/c|+2/3・"

XABAC=\AB\\AC\cosA=福园，即|福园=5ABAC

所以2x5布•於+2通・Idv9x22，所以荏•正43，当且仅当|荏|=|祠时等号成立，B正确;

|砒时=诞工15,当且仅当|瓯=|祠时等号成立，sin4=Vl_cos24=等

1111cos/5

12A/61C正确

S^ABC=2ACsin4<-X15x=3V6

由9而2=(AB+AC)2=AB2+AC2+29.就得I祠2+|祠2=36—2超.正=36-。祠同'

所以。2=/+©2—2bccos4=|>4B|2+|>1C|2-2|AB|-|^4C|cos24==36—义48]|尼|>36—，X15'

a±2屈,当且仅当|荏|=|祠时等号成立，所以。的最小值是2痣，D错.

故选：BC.

11.已知函数/(x+4)是定义在R上的奇函数，函数g(x+2)是定义在R上的偶函数，且满足

g(x)=(x-2)/(x-l),g(3)=g(4)+2=6,则()

A.〃尤)的图象关于点(1,0)对称B.〃x)是周期为3的周期函数

2026

8

C.，⑴=0D.£/(0=

Z=1

【答案】ACD

【分析】A选项，根据g(x+2)的奇偶性得到f(x)的图象关于点(1,0)对称，A正确；再由/(x+4)

的奇偶性得到了(X)为周期为6的函数，再得到/(0)*/(3),B错误；CD选项，计算出

62026

/(1)=/(4)=0,结合AB选项，得到Z〃i)=0,由周期性得到X〃i)=8.

i=li=l

【详解】A选项，因为g(x+2)为偶函数，所以g(x)关于直线x=2对称，所以g(x)=g(4—x)，

所以(x-2)/(x—1)=(2—x)〃3—x),所以/(x—1)+〃3-0=0,

所以〃x)+〃2-x)=0,即/(x)的图象关于点(1,0)对称，A正确；

B选项，又/(x+4)是定义在R上的奇函数，所以〃4-x)+〃x+4)=0,

即〃2—x)+y(x+6)=0,所以〃x)=/(x+6),

所以/(x)是周期为6的周期函数.

在g(x)=(x—2)/•(无一1)中,当尤=3时,得〃2)=g⑶=6；

当x=4时，得/(3)=^1=2.

又由/(x)+〃2r)=0,得〃0)+〃2)=0,/(5)+/(-3)=0,

所以"6)="0)=—"2)=-6,所以〃5)=/(-1)=-f(3)=-2,

则〃0)=-6,"3)=2,因为〃0)-〃3),所以B错误；

CD选项，在〃4一%)+〃彳+4)=。中，令x=0,得2〃4)=0,所以〃4)=0,

在/(x)+〃2—x)=0中，令x=l,得2〃1)=0,所以"1)=0,

6

所以29)=。+6+2+。+(-2)+(-6)=。，

i=\

所以，C,D正确.

20266x337+4

故选E/(0=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=8：ACD.

z=li=l

【点睛】设函数V=/(%),xeR,a>0,awb.

(1)若,则函数〃尤)的周期为2〃；

(2)若〃%+〃)=一/(力，则函数/(力的周期为2a；

(3)右八)/(x)>则函数“X)的周期为2a；

(4)右若〃'x+a)=-则函数〃x)的周期为2a；

(5)若〃x+a)=〃x+»,则函数的周期为3-小

(6)若函数元)的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数〃元)的周期为2。-4；

(7)若函数尤)的图象既关于点(a,0)对称，又关于点伍,0)对称，则函数〃尤)的周期为2|。-4；

（8）若函数的图象既关于直线x=〃对称，又关于点0,0）对称，则函数的周期为你-4；

（9）若函数〃x）是偶函数，且其图象关于直线尤=。对称，则“X）的周期为2a；

（10）若函数/（X）是奇函数，且其图象关于直线尤="对称，则/（x）的周期为4a.

三、填空题

22

12.M是双曲线亍*=1上一点，点&F2分别是双曲线左右焦点，若四|=5,则期|=.

【答案】9

【分析】根据双曲线的定义即可求解.

X121/=4[a=2

【详解】M是双曲线L一v二=1上一点，所以，所以

412[。2=/+62=]6[c=4

由双曲线定义可知||M£H哂1|=2。=4,

所以W啊=1或者9,5L\MF2\>c-a=2,所以四闾=9,

故答案为：9.

13.已知向量°=（2,5）,&=（cosa,sin2a）,且；〃力.则sintz的值为_______.

【答案】±1

【分析】根据二倍角公式、向量共线的坐标表示及平方关系式求得结果.

【详解】因为，=（2,5）,S=（cosa,sin2a）,且二〃力，

所以5cosa=2sin2a,BP5cosa=4sin<zcostz,cosa（5-4sina）=0,

因为sinae[-l,l],所以5—4sina>0,

所以cosa=0,又sin?cr+cos2a=1,

所以sina=±1.

故答案为：±1.

14.由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不

同的站法有种.

【答案】480

【分析】由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果

【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有A：=4x3x2xl=24种,

4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有A；=5x4=20种,

由分步乘法计数原理得=480种，即不同的站法有480种,

故答案为：480

四、解答题

15.如图，在直三棱柱ABC-AAC1中，ZABC=pM=1,AB=BC=2,点、E、M分别为BC、

（1）求二面角A-QE-C的余弦值;

（2）若点G满足仁后=2加7,求直线A{B与直线CG所成角的正弦值.

【答案】⑴

⑵血

14

【分析】（1）以点B为坐标原点，BC、阴、所在直线分别为无、y、z轴建立空间直角坐标系,

利用空间向量法可求得二面角A-C.E-C的余弦值;

（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线与直线CG所成角的正弦值.

【详解】（1）解：在直三棱柱中，四，平面ABC,ZABC=p

以点8为坐标原点，BC、BA、B用所在直线分别为X、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

B

由题意，4（020）、C（2,0,0）、G（2,0,1）、£（1,0,0）,

设平面AGE的法向量为访=(x,y,z),E4=(-1,2,0),Eq=(1,0,1),

fh'EA=-x+2y=0

则取x=2,可得成=（2,1,—2）,

fh'EC1=x+z=0

易知平面CCtE的一个法向量为元=（0,1,0）,

则侬依*繇4,

由图可知，二面角A-。的平面角为钝角,

故二面角A-QE-C的余弦值为-g.

（2）解：易知4（0,2,1）、3（0,0,0）、G（2,0,1）,

=

点G满足C]G=2GM,则C}G=-CXM=1•[-■，-,

则箕=十+如=（0,0，1）+[-1，。一百=[一1，*，，且前=（0,2,1）,

5

——BACGi45

所以'cos网,CG=同同=总而=赤'

X3

则sinBA[,CG=J]—cos2M岳=Jl-工=,

因此，直线AB与直线CG所成角的正弦值为警.

16.某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛.为了解学生喜欢篮球是否与性别有关,

随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示:

喜欢篮球不喜欢篮球合计

男生40

女生30

合计

⑴根据所给数据完成上表，依据小概率值1=0.001的/独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮

球与性别有关？

（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范.已知这两名男生投

进的概率均为3这名女生投进的概率为2:，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进

43

总次数X的分布列和数学期望.

附：八______9d-知____

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)列联表见解析；与性别有关.

13

(2)分布列见解析，数学期望为三.

【分析】(1)根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可；

(2)根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可.

【详解】(1)依题意，2x2列联表如下：

喜欢篮球不喜欢篮球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

零假设Ho:该校学生喜欢篮球与性别无关,

Z2

根据小概率值1=。。01的独立性检验，推断久不成立,

即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.

(2)依题意，X的可能值为0,1,2,3,

1

48

P(X=lYx2汨1一|)21

X—=—

36

2

P(X=2)=C；x："3237

x—+

434

23

P(X=3)=x——=一，

38

所以X的分布列为:

X0123

1]_73

P

486168

W«E(X)=Ox—1+lx1-+2x7—+3x3^=1-3f.

4861686

17.知函数/(x)=奴2-x-lnx,其中aeR.

(1)若a=l,求函数的极值

(2)是否存在实数a,使得函数y=/(x)在(0,1)内单调？若存在，求出。的取值范围；若不存在,

请说明理由;

【答案】(1)极小值为0；(2)存在，a<l.

【分析】(1)求导后利用导数的正负求得函数的单调性，结合函数图象求得函数的极小值；(2)分

两种情况讨论分离常数转化为恒成立问题，利用二次函数的最值求得结果.

【详解】(1)函数的定义域为(0,+8)

12x2-x-l(2x+l)(x-l)

/(x)=2x-1——=---------=------------

xxx

当xe(0,l),尸(x)<0,函数单调递减，

当xe(l,+s),_f(x)>0,函数单调递增,

x=l是函数的极小值点，函数的极小值为了⑴=1-1-0=。

(2)若函数，=/(元)在(0,1)内单调递增,

则f\x)=2依一1一工20在(0,1)恒成立.

e(l,+oo)

所以使得函数y=在(0,1)内单调递增的a不存在,

若函数>=/(幻在(0,1)内单调递减

则f'(x)=2依一1一140在(0,1)恒成立.

X

在(0,1)恒成立.

在(0,1)恒成立.

4

又!32I一：e(l,+°o)

XX214

所以时，函数＞=/(尤)在(0,1)内单调递减.

18.设A,3为曲线C:_/=4x上两点，A与3的横坐标之和为4.

(1)若A与3的纵坐标之和为4,求直线A3的方程.

(2)证明：线段A3的垂直平分线过定点.

【答案】⑴尤-，=0

(2)证明见解析

【分析】(1)曲线C:V=©,由题可得直线AB的斜率不为0,设直线AB方程为：⑺=X—,4占,%),

次尤2,%)，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，即可得出直线A3的方程.

(2)设线段A8的中点为利用中点坐标公式可得M坐标，用机表示.，利用点斜式即可得

出直线线段A3的垂直平分线的方程，进而证明结论.

【详解】(1):曲线C:/=4x,由题可得直线A3的斜率不为0,设直线A3方程为：my=x-t,

4占，%),B(x2,y2),

fv2=4x

联立'一，化为：y2-4my-4f=0,

[my=x—t

A=16m2+16方>0,

%+%=4机=4,%%=-今，

解得m=\,

x1+x2=my{+t+my2+/=lx4+2z=4,解得才=0,

•・・直线AB的方程为：y=x,即X—y=0.

(2)设线段AB的中点为

：=2，%==2m，

则线段A3的垂直平分线的方程为：y-2m=-m（x-2）,

化为：y=-mx+4/w=—，w（x—4）,

可得直线A3经过定点（4,0）.

19.在信息论中，嫡（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息燧、信源嫡

、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.（燧最好理解为不确定性

的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的燧越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分

布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，

把信息（燧）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成

了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即崎）“商

的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作

为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了ISh的信息，而掷机次就为机位.更一

般地，你需要用log?见位来表示一个可以取〃个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力

学的嫡，引入到信息论，因此它又被称为香农滴.而正是信息嫡的发现，使得1871年由英国物理学

家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机

变量4所有取值为L2,…定义J的信息燧"C）=-£平常2<,（£<=1,，=1,2,….