2024-2025学年云南省玉溪市高二数学下学期5月期中检测试题（含答案）

2024-2025学年云南省玉溪市高二数学下学期5月期中检测试题

一、单选题.（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.）

设集合人｛（0,1），（1，。）｝,6=｛（"）|x—y=l｝,则/8=（）

1.

A.｛0,1｝B,｛（1,0）｝C.｛（0,1）｝D.（1,0）

2.已知复平面内坐标原点为0,复数z对应点Z,Z满足Z（4-3i）=3+4i,则唇=（）

43

A.-B.-C.1D.2

54

3.在等比数列｛4｝中，公比2且q+%=1，则%=（）

84

A.—B.—C.8D.4

33

6

4.已知实数巴"C满足2"+<7=2，2+6=75»c=log163,则（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

5.将甲、乙、丙等7名志愿者分到48,C三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分

到同一个地区的概率为（）

1111

A.—B.—C.—D.—

48247035

6.如图，四边形为正方形，ED上平面4BCD,FB//ED,AB=ED=3FB=3,则三棱

锥尸-ZCE的体积为（）

E

二

AB

c3屈口3国

A.12B.6

44

7.已知的内角4B,C的对边分别是a,b,c,A=25，b=2,c=—,则。=（）

2

A.1B.2C.3D.4

8.若对于任意正数x，y,不等式x(l+lnx)之xh9-ay恒成立，则实数。的取值范围是

)

1]_1

A.0,-B.~~3厂C.二,+ooD.

eeee

二、多选题.(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求,全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

丫2

9.已知双曲线C:--y2=l的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是()

m

A.实轴长为6B.虚轴长为2C.焦距为D.禺心率为

2V2

亍

'兀

10.将函数/(x)=2si:inCDX+—(①>0)的图象向左平移个单位长度后，函数图像关于y轴

I3

对称，则下列说法正确的是()

A.0可能等于3B./(x)的周期可以是4兀

71

一定为奇函数D./(x)在0,上单调递减

c-/X-T3G

11.已知函数/(x)的定义域为R,满足/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),且/(1)=—1,

则()

A.f(0)=1B./(x)为奇函数

C〃l)+〃2)+…+/(2024)=0D.[/(x)]2+[/(x+l)]2=l

三、填空题.(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.如图，已知正方体48CD—44GR的棱长为2,若《为棱44的中点，过4C,4三点作

正方体的截面，则截面的周长为

22

13.已知椭圆C：*+a=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为片和鸟，N是椭圆。上一点，

线段大N与y轴交于若NN及用=三，|片=则椭圆C的离心率为

21m

14.已知a>6>,且--+----->-----恒成立，实数加的最大值是__________.

a-bb-ca-c

四、解答题.(本大题共5小题，共77分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.设数列｛%｝的前〃项和为已知外=1,2〃。“—25“=/一〃,〃eN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令％二与产,求数列出｝的前〃项和北.

16.在直角梯形/BCO中，4D//BC,BC=24B=24D=4,4BLBC,点E为4D中点、,沿

将折起，使CO,

(1)求证：481平面ZCD；

(2)求二面角E-BC-£>的余弦值，

17.某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分.某人答对每道题的概率都是工,

4

每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为Z.

(1)求此人得分的期望；

(2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由.

18.如图，已知抛物线C:y2=2.5>0)的焦点为尸，抛物线C上的点到准线的最小距离为1.

(1)求抛物线。的方程；

(2)过点尸作互相垂直的两条直线乙12,，与抛物线。交于48两点，力与抛物线。交于G

2两点，M,"分别为弦阳磬的中点，求|明•|加的最小值.

19.已知函数/(x)=ar-21nx.

(1)试讨论函数/(x)的单调性；

(2)当x>l时，不等式/(x)<(x—2)lnx+2x+a—1恒成立，求整数。的最大值.

数学答案

一、单选题.(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.)

1.设集合人{(°,1),(1,叫,B={(x,y)\x-y=l}t则()

A.{0,1}B.{(l,o)}C.{(0,1)}D.(1,0)

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断点是否在直线上，再求出交集即可.

【详解】因为点(1,0)在直线X—y=l上，点(0,1)不在直线X—y=l上，

又4={(0』),(1,0)},S={(X,J)|X-J=1),

所以ZcB={(l,0)}.

故选：B

2.已知复平面内坐标原点为。，复数z对应点Z,z满足z(4—3i)=3+4i,则|历卜()

43

A.-B.-C.1D.2

54

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的除法运算易求出z=i,再根据复数的几何意义即可得|9|=1.

3+4i（3+4i）（4+3i）12+9i+16i+12i225..

【详解】由z（4—3i）=3+4i可得z=z与-----------------------=--1=1

（4-3i）（4+3i）42-9i225

所以可得Z（0,l）,即9=（0,1）；

BPM=A/O2+I2=1.

故选：C

3.在等比数列｛%｝中，公比9=2且q+g=1，则％=（）

84

A.—B.—C.8D.4

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比数列的通项公式结合已知条件求出力=;,再利用等比数列的通项公式求出火

即可.

【详解】根据等比数列的通项公式，由%+%=1，可得q+%p=l,即3%=1,

[8

解得=§，所以&二a】q=—•

故选：A.

4.已知实数。,女。满足2"+a=2，2/?+Z）=y/5，。=logi63，则（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】由对数函数单调性得c<|，构造函数/（x）=2*+x,xeR,由函数的单调性得g<a<b

及，即可得出判断.

【详解】由对数函数单调性得，c=logi63<log]64=log]6162=j

构造函数/（x）=2，+x,xeR,则/（a）=2〃+a=2,f（b）=2b+b=45

因为y=2'和'=x单调递增，所以〃x）单调递增，

因为2<百，即/（。）</（与，所以

又/（g）=2；+g=^|^<2,所以/（。）〉/（；），即a〉J，

所以c<a<Z?，

故选：A.

5.将甲、乙、丙等7名志愿者分到4瓦。三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分

到同一个地区的概率为（）

1111

A.—B.—C.—D.—

48247035

【答案】D

【解析】

【分析】先求出将甲、乙、丙等7名志愿者分到4瓦。三个地区，每个地区至少分配2人共有多

少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答

案.

【详解】将甲、乙、丙等7名志愿者分到4民。三个地区，每个地区至少分配2人，

C3c2

则有3人分到一个地区，分配方法共有种,

r2

其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有港一A；,

屋人

A2A3]]

故所求的概率为方元一=-r=—

L7L4A3I7J)

故选：D

6.如图，四边形/BCD为正方形，ED工平面4BCD,FB//ED,AB=ED=3FB=3,则三棱

锥尸-ZCE的体积为()

,…03766n

A.192B.bC.------D.-3-晒---

44

【答案】B

【解析】

【分析】连接8。交/C于点证得平面5。斯，得到四边形5DG厂为矩形，分别求

得近0,尸河,石尸的长，利用余弦定理求得COSNEMR=-Y亘，得到sinNEMR=m叵，结

3333

合面积公式和锥体的体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，连接5。交ZC于点连接尤以,

因为四边形/BCD为正方形，所以/C/8D,

又因为平面4BC2/C1平面48C。，所以EDL/C,

因为矶)ClAD=。,EZ),ADu平面BDEF，所以/C平面BDEF，

又因为BM=DM==BD，过尸作尸3，。£于6,可得四边形3DG尸为矩形，则

22

FG=BD=30EG=2,

所以EM=：32+半=乎,FM=j+半■=容，EF=«+(3亚『=应，

由余弦定理得cosZEMF=ME'ME—EF?=_V|3,

2ME-MF33

所以sinZEMF=&-cos?/EMF=生画

33

所以…；ME-MFS3',

=

所以VF-ACE『A-EFM+^C-EFM=§/C，^^EFM=6-

故选：B.

7.已知AZ8C的内角4B,C的对边分别是a,b,c,A=2B,b=2,c=~,则。=()

2

A1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦定理及余弦定理解三角形即可得解.

【详解】在中，由正弦定理得一竺=」一=——&——

sinBsin2B2siiLBcos5

得。=2Z)cos5=4cos瓦

由余弦定理得a=4cos5=4x十°——

2ac2xax一

2

化简整理得/=9,得。=3.

故选：C

8.若对于任意正数方y，不等式x(l+lnx)之xh9-町恒成立，则实数。的取值范围是

111「1)「1)

仁/'+°°D-7,+c0

DC」l_C/Lc/

【答案】c

【解析】

【分析】对不等式分离参数得到-'，令/=上，构造函数g«)=电3,/e(0,+8),

yxyxt

则a>g(Omax，通过导数研究g(O单调性求出最大值即可・

【详解】由不等式》。+1曲)之对取一犯恒成立，且x>0,j>0,

XXXV

分离参数得盯之ImO一x,所以a2—(lny-lnx)—,即a2—In1----,

,jjyxy

设/=上，得ri1"T,/e(0,+oo),设g")=='1,Ze(0,+oo),则

Xtt

g'(7)=T-,由g'⑶=0得"e?,当fe(0,e2)时，g'⑶>0,g⑺单调递增；当/e@,+8)

时，g")<0，g«)单调递减;

所以g«)而=gC)=m=J

所以a2—.

e

故选：C

二、多选题.(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.已知双曲线C:--y2=l的实轴长是虚轴长的3倍,则下列关于双曲线C的说法正确的是（）

m

A.实轴长为6B.虚轴长为2C.焦距为20D.离心率为

2^/2

亍

【答案】AB

【解析】

【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基

本量，再逐一判断选项即可.

2

【详解】由双曲线方程上―/=1可知加>0,且。=通力=1,由题意，a=3b,代入解得：

m

m=9,

故实轴长为2a=2®=6,虚轴长为2b=2,故A项，B项都正确；

焦距2c=251=2痴，故C项错误；离心率为e=£=巫，故D项错误.

a3

故选：AB.

10.将函数/（》）=25吊10%+:］（0>0）的图象向左平移日个单位长度后，函数图像关于y轴

I”3

对称，则下列说法正确的是（）

A.0可能等于3B./（x）的周期可以是4兀

小）在［。喘

一定为奇函数D.上单调递减

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知条件平移后的图像为偶函数，确定口的取值，利用。=^+3人（丘2）判断A、

B两个选项；求出/解析式，利用奇函数定义判断函数的奇偶性进而判断C选项；利用

换元法令/=+利用函数/«)?</(冬的单调性，判断/(X)0<x<=J的单调

3<33y<3(0J

性进而判断D选项.

【详解】函数/(X)=2sinLx+yj(«>0)的图象向左平移1个单位得：

c.[697171

g(x)=2sin。x+9+E—2sincoxH------F_,因为g(x)图像关于y轴对称,

I33,

所以g(x)为偶函数，所以m+1=3+也(丘Z)解得0=；+3k(keZ)；

若刃=3,则工+3左=3,解得左=»,因为左eZ,所以4=3不成立，A错误;

266

O1j

若/(X)的周期可以是4兀，则」=4兀，解得。=彳，又因为0=—+33

co22

即1=工+3左，解得左=0符合斤eZ,B正确；

22

因为幻=一+3左(丘Z),所以/二2sin

2

_

_.।17।71j71-+3kjx2kit=2sin[；+3左)x

=2sin—+3kx------2左兀+一=2sin

U)33

令〃(x)=2sin—+3左\x,/z(-x)=2sin--+3k\x=-2sin—+3k\x

所以〃(—%)=—〃(x),所以/［x--一定为奇函数，C正确；

TTTTTT/TTITT।

令1=0X+—,则因为0<x<—,则一</<—,所以y(x)=2sin|twx+—K0〉o)化为

33033v3J

/«)=2sin/,/(/)在［§,5］上单调递增，在I，,3-］上单调递减，

所以/(X)在［(),1］上不单调，D错误.

故选：BC

11.已知函数/（X）的定义域为R,满足/（x+y）+/（x—y）=2/（x）/（y）,且/⑴=—1,

则（）

A./（0）=1B./（x）为奇函数

C/⑴+/⑵+…+”2024）=0D.[/（x）]2+[/（x+l）]2=l

【答案】AC

【解析】

【分析】利用赋值法可求周期，/（0）,结合赋值法可以排除选项B,D.

【详解】对于A,令x=l,y=0得，2/（1）=2/（1）/（0）,因为/。）=—1,所以/（0）=1,A

正确；

对于B,因为/（0）=1片0,所以/（x）一定不是奇函数，B不正确；

对于C,由/（2）+/（0）=2/（2）/（0）得/（2）=1；由/（3）+/（1）=2/（2）/。）=—2得

/⑶一1；

由/（4）+/⑵=2/（3）/（1）=2得44）=1；由〃5）+/⑶=2/（4）/⑴=—2得

/（5）=-1,L,

所以/（x）的周期为2,所以/⑴+/（2）+…+42024）=0,C正确;

对于D令x=l,/2（1）=1,/2（2）=1,所以[/⑴T+[/（2）T=2/1,D错误.

故选：AC

三、填空题.（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.如图，已知正方体48co—4AGA的棱长为2,若人为棱44的中点，过力，c,4三点作

正方体的截面，则截面的周长为

【答案】3亚+2石##2宕+3行

【解析】

【分析】取斗。的中点M,连接KM,MC,作出截面KMC4,分别求出边长，进而求出截面的

周长.

【详解】如图，取4G的中点“，连接KN,MC,则KA///&G，

则在正方体ABCD一451GA中，AA{ICC、,AAX=CCX,

所以四边形Z4GC是平行四边形，

所以ZC//&G，

又KA///4G，所以KM///C,

则四边形KMC4即为过4C,4三点截面，

因为正方体力BCD-4AG2的棱长为2,

所以ZC=2后，KM=曰4K=MC=&=6

则其周长为ZC+KA/+ZK+MC=2亚+行+&+指=3拒+26•

13.已知椭圆C：W+%=i（a〉b〉O）的左、右焦点分别为片和鸟，N是椭圆。上一点，

线段大N与y轴交于若NN及用=三，|片=则椭圆C的离心率为

【答案】3-V7

【解析】

【分析】设|"凶=加，贝I山闾=2加，由条件得。=加，在△△有月中，由余弦定理得

（2«-3C）2=7C2,即可求解椭圆的离心率.

【详解】因为阳叫：|人明=2:1,所以设MV|=加，则阳"|=2加，

因为/入%乙=百，所以=F=cosg=g,所以c=加，所以出N|=3加=3c,

32MJ2

由椭圆定义知：优N|=2a—3c,

在ANFiF2中,由余弦定理得：（2a—3c『=（2c『+（3c）2—2x2cx3cxg,

所以（2a—3c『=7。2,所以2a—3c=/或2a—3c=—瓦，所以2。=（3+不卜或

2a=（3-近卜，又a〉c,所以2a=（3+6卜，

所以椭圆。的离心率为e=£=^^=3—近.

a3+J7

故答案为：3-J7

恒成立，实数加的最大值是

【答案】3+2行##2行+3

【解析】

【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.

【详解】由题意，a-b>0.b-c>0,a-c>0f

1m....2(Q—a—c

所“以it——2-——>----转化为一^----c-)+----->m,

a-bb-ca-ca-bb-c

2(a-b+b—c)a-b+b-c日口2(b-c)a-b

可得「------------+-----------Nm,即2+=------+1+------->m,

a-bb-ca-bb-c

因为2+21叱0+1+区心23+2五，当且仅当a—6=/(人—c)时等号成立，

a-bb-c

所以实数加的最大值是3+2夜.

故答案为：3+2亚

四、解答题.(本大题共5小题，共77分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.设数列｛%｝的前"项和为S,，已知%=l,2〃a“-2S“=eN*.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)令〃=当2,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】(1)an=n

VI

(2)T“=—

"2"

【解析】

【分析】(1)由退一步相减得出数列｛6｝的通项公式；

(2)由错位相减得出也｝的前〃项和却

【小问1详解】

由题知：—2S"=〃〜—”①，

当〃22时，

①-②得：2“%-2(“-1)4_]-2(S“-S“_J=-1)+

即2(〃-l)a“=2(〃-1),

所以。〃一。〃一1=L〃22,〃EN*，

从而数列｛%｝是首项%=1,公差d=l的等差数列，

所以数列｛%｝的通项公式为%=〃.

【小问2详解】

因为%=〃，所以〃="&===（2—，

"2"2"I<2）

H+b2+b3+---+bn,

即1=lxg]+°x[]+（T）xg]+…+（2-"U③，

京i（£|+”出+（T）*出+…+（2-"）x出®.

③-④得：

+（-l）x[]+（T）xg]+..•+（T）xg]_（2-〃）x

2

n

n+\

ri

所以。=袤•

16.在直角梯形/BCO中，AD//BC,BC=2AB=24D=4,ABLBC,点E为4D中点,沿

将△45。折起，使5£J_CO,

（1）求证：481平面/CD；

(2)求二面角E—5C—。的余弦值,

【答案】(1)证明见解析

⑵

11

【解析】

【分析】(1)利用平面几何的知识证得8。，再利用线面垂直的判定与性质定理即可得证；

(2)根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面BCD的法向量，再利用空间向

量法即可得解.

【小问1详解】

在梯形中，AB=2,AD=2,AB±AD,

所以BD=2叵,CD=26,

又BC=4,所以台/^+⑺？=台。2,.

又BE1CD,BDcBE=B,BD,BEu平面ABD,故CD_L平面ABD,

AB（z平面ABD,.\ABYCD,

又_L&D,CDcAD=D,CD,AD<=平面/CD,.：NB1平面ACD.

【小问2详解】

取BD中点。，连接/。，由于48=4。，则A0=6，

因为CD_L平面N8D,ZOu平面N8。，所以49d.eD,

又BDcCD=D,BD,CDu平面BCD,所以4。工平面BCD,

以08,04分别为x轴、z轴建立如图空间直角坐标坐标系，

5

则8（正,0,0）,。（—行,0,0）,C（—夜,2行,0）,2（0,0,行）,.•・£—芋,0二,

7

设平面EBC的法向量为m=(x,y9z)，

又砺=--,0,—,5C=(-272,272,0),

、22,

'3亚行八

------XH------Z——0

22，令x=l,则y=l,z=3,.,.加=(1,1,3),

—2A/2X+2y/2y-0

易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),

TT

设二面角£—8C—£>为仇0<e<一,

2

由2/)_!/--\|」应向_3_3A/TT

所以COS。=COS〈加,〃〉=,.=—7==———，

\m\\n\Vil11

故二面角E-BC-D的余弦值为土叵.

11

17.某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分.某人答对每道题的概率都是,,

4

每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为Z.

(1)求此人得分的期望;

(2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由.

【答案】(1)10

(2)此人答对2道题的可能性最大；理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据已知条件，确定X〜,得分为5X,求£(5X)=5£(X)=5x2=10

即可;

(2)根据二项分布概率公式有尸(X=k)=C；k=0,1,2…，8,通过作商法求出

十=I+三一，与I比较大小即可确定4在k=2时取最大值.

【小问1详解】

某人答对每道题的概率都是工，则答对题目的个数X服从二项分布,

4

即X〜£(X)=8X1=2,由于每道题答对得5分，

所以此人答题得分为5X,因此，在此项测试中,

此人答题得分的期望为£(5X)=5£(X)=5x2=10.

【小问2详解】

设此人答对k道题的可能性为尸(X=k)=cj；],左=0,1,2,…,8,

P（X=k）

t己p=P（X=k）,则片

kP[X=k-\）

____8_!___x_1

=上产-小+普，15

_____oj_____x£3k3k

[k-\)\[9-k)\4

9

当左<W时，Pk>Pk-1，Pk随左的增加而增加，即22〉Pl〉Po；

9

当左〉[时，Pk<Pk_x,P上随左的增加而减小，即％<27<…<夕2；

所以当左=2时，22最大，因此此人答对2道题的可能性最大.

18.如图，已知抛物线(7:r=2/5>0)的焦点为尸，抛物线C上的点到准线的最小距离为1.

(1)求抛物线。的方程;

(2)过点尸作互相垂直的两条直线012,人与抛物线C交于46两点，4与抛物线C交于G

〃两点，M,N分别为弦48缪的中点，求|诙|•I舷'I的最小值.

【答案】(1)y2=4x

（2）8

【解析】

【分析】(1)由抛物线c上的点到准线的最小距离为1,所以2=1,即可求得抛物线的方程；

2

(2)设直线的斜率为A,则直线3的斜率为-1，得到直线43的方程为歹=k(x-1),联立

k

方程，求得乂+%=±进而求得MN的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，

k

即可求解.

【小问1详解】

解：因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1,所以5=1,解得。=2,

所以抛物线C的方程为/=4x.

【小问2详解】

解：由(1)可知焦点为6(1,0),

由已知可得所以直线切的斜率都存在且均不为0,

设直线的斜率为A,则直线圈的斜率为-工，

k

所以直线4夕的方程为y=k(x-l)f

y=k(x-l)

联立方程＜2:,消去X得02—4〉—4左=0,

y=4x

、4

设点A(jq,%),B(X2,%),则必+y2~一，

k