2025届上海高三一模分类汇编：空间向量与立体几何（新题42题）原卷版

专题08空间向量与立体几何（新题速递，42题）

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一、单选题

1.（24-25高三上•上海黄浦・期末）若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D,则直线A2

与⑺所成角的大小不可能为（）

A.30°B.45°C.60°D.90。

2.（2024.上海长宁.一模）已知非零空间向量&石和人则下列说法正确的是（）

A.若aj_瓦则5〃^B.若万乙则62c

C.若瓦不〃不，则5〃不D.若不_L反万〃不，则

3.（2024・上海静安•一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖

朦’.如图是一个水平放置的△ABC,CO±AB,XA=30。,/8=45。.现将R3ACO沿C。折起，使点A移动

到点A,使得空间四面体A8CD恰好是一个“鳖席”，则二面角A-CD-B的大小为（）

BD/

A.60°B.90°C.arctan2D.arccos——

3

4.（2024.上海奉贤•一模）在四棱锥S-ABCD中，若西=x瓯+y无+z而，则实数组（x,y,z）可能是（）

A.（1,—1,1）B.（1,0,—1）C.（1,0,0）D.（1,—1,—1）

5.（2024・上海虹口.一模）已知边长为2的正四面体A-BCD的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）

的球心为O,若空间中的动点P满足加心+y砺+z历,x、y、ze[0,l],则点P的轨迹所形成的几

何体的体积为（）.

A.J2B.正C..2君D.B

33

6.（2024・上海宝山•一模）如图，正四棱柱458-4印乃的底面ABCD边长为1,E为AD上任意一点，F

为eq中点，若棱GR上至少存在一点P使得尸石，PR,则棱长A4的最大值为（）

A.变B.1C.J2D.2

2

7.（24-25高三上•上海浦东新•期末）设加、〃为两条直线，a、夕为两个平面，且。口£=".下述四个命

题中为假命题的是（）

A.若m_La,则机_L〃B.若mlla,则相〃〃

C.若加//a且根///，则根〃〃D.若mHn,则zn//a或根///

8.（2024・上海静安•一模）在四棱锥尸一ABCD中，AB=（4,-2,3）,AD=（^,1,0）,AP=（-6,2,-8）,则该四棱

锥的高为（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

9.（24-25高三上•上海黄浦・期末）若圆柱的底面半径与高均为1,则其侧面积为.

10.（2024・上海长宁•一模）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积是（结果保留兀）.

11.（2024•上海虹口•一模）若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为.（结果保留兀）

12.（2024•上海徐汇・一模）已知向量£=（2,5,1）3=（4,加,5）,若20=3,则实数机的值为.

13.（2024・上海崇明•一模）在空间直角坐标系中，点（1,2,3）关于xOy平面的对称点的坐标是.

14.（24-25高三上•上海松江•期末）已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积为15兀，则该圆锥的高为.

15.（2024・上海青浦•一模）已知圆柱M的底面半径为3,高为行，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆

柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为.

16.（2024.上海徐汇.一模）已知根，〃为空间中两条不同的直线，a,为两个不同的平面，若“zutz,an/?=〃，

则初/〃是根//£的条件（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中

的一个）

17.（24-25高三上•上海金山•期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为缶，半径为2的扇形，则该圆锥

的母线与底面所成角的大小为.

18.（2024•上海杨浦.一模）已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2,则该四棱锥的体积为.

19.（24-25高三上•上海黄浦・期末）在正四面体ABCD中，点N是VABC的中心，若

DN=ADA+〃DB+vBC（A,#,veR）,贝！|%+〃+□=.

20.（2024・上海嘉定•一模）已知空间向量函，的,两两两垂直，若空间点A满足|函|=|瓯|=|福|=1,

记次3=函+强+西，且|窈卜1,则|函|的取值范围为.

21.（2024・上海虹口•一模）如图，已知正三角形48c和正方形8CDE的边长均为2,且二面角A-3C-。的

大小为g则公.丽=.

O

22.（2024・上海徐汇・一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往

观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底

面直径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展开图

的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

23.（2024.上海宝山•一模）将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积

为.

24.（2024上海奉贤.一模）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2）,风

吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个

惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们

需要作出一些合理的假设：

假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；

假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；

假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下（图3）,其中QQ=20cm,<?2O3=18cm,AB=16cm,则制作100个这样的惊鸟铃的铃身

至少需要千克铜.（铜的密度为8.9g/cn?）（结果精确到个位）

25.（2024•上海杨浦•一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的

最大值为.

26.（24-25高三上•上海浦东新•期末）已知空间中三个单位向量两、西、两，

南•砒=砥・%=魄•弟'=（）,尸为空间中一点，且满足陛.西|=1,|赤.喝=2,”.网=3,

则点P个数的最大值为.

27.（2024.上海长宁.一模）点尸、M,N分别位于正方体ABCD-AB'C'。'的面上，AB^l,则两.丽的

最小值是

三、解答题

28.（24-25高三上•上海黄浦•期末）如图，在正方体A8C。-44GR中，E是的中点.

⑴求证：2£，平面。。四；

⑵求直线DE与平面ABCD所成角的大小.

29.（2024・上海虹口•一模）如图，已知在四棱柱中，平面ABCD,N、M分别是跖、

印）的中点.

⑴求证：上W〃平面ARW；

（2）若底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=EA=2,AD=DC=1,异面直线AB与E”所成角为方.求直线

AN与平面AFM所成角的正弦值.

30.（24-25高三上•上海金山・期末）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是直角梯形,

ZBAD=ZCDA=90a,PA_L平面A3CO,。是尸8的中点，PA=AD=DC=1,AB=2.

（1）证明：CQ〃平面PAD；

⑵求点D到平面PAC的距离.

31.（2024•上海宝山.一模）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面A5CD为矩形，PA=PB=AD=3,AB=4,

且该四棱锥的体积为46.

⑴证明：平面上钻，底面ABCD；

（2）求异面直线PC和AB所成角的余弦值.

32.(24-25高三上•上海松江•期末)如图，已知平面AC。，AB//DE,AACD为等边三角形,

力D=nE=2HB,点产为CQ的中点.

(1)求证：AF〃平面3CE；

(2)求直线BF和平面A3C所成角的正弦值.

33.(2024.上海奉贤.一模)如图为正四棱锥尸-ABCD。为底面A3C。的中心.

⑴图(2)图

(1)求证：CD〃平面平面尸AC_L平面PBD；

—.2—>

(2)设E为尸8上的一点，BE=-BP.

在下面两间中选一个，

①若AD=A尸=3后，求直线比与平面BED所成角的大小.

②已知平面ECD与平面ABCD所成锐二面角的大小为arctan*,若AD=3母,求AP的长.

34.(2024・上海青浦•一模)如图,在三棱锥P-ABC中，平面PAB，平面ABC,AB=6,BC=2百,AC=2瓜D、

E分别为线段AB、3c上的点，且AD=2DB,CE=2EB,PD，AC.

⑴求证：DE〃平面PAC；

⑵求证：P£>_L平面ABC；

35.(2024・上海嘉定•一模)如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，AB^AC,侧面底面ABC,点

反P分别为梭BC和AG的中点.

(1)若底面VABC为边长为2的正三角形，且CG=8C,侧棱CG与底面ABC所成的角为60。，求三棱

柱ABC-44G的体积;

⑵求证：砂//平面耳2.

36.(2024・上海静安•一模)如图的封闭图形的边缘由抛物线?和垂直于抛物线对称轴的线段AB组成.已知

AB=4,抛物线的顶点到线段A8所在直线的距离为2.

(1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘;

(2)在该封闭图形上截取一个矩形CDEP,其中点C、D在线段上，点及F抛物线「上.求以矩形CDE尸

为侧面，CF为母线的圆柱的体积最大值;

(3)求证：抛物线「的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.

37.(2024・上海静安•一模)如图所示，正三棱锥A-3CD的侧面是边长为2的正三角形.

C

⑴求正三棱锥A-BCD的体积V；

⑵设E、F、G分别是线段ACMBC的中点.

求证：①CD〃平面EPG；②若平面EPG交80于点则四边形瓦HG是正方形.

38.（2024・上海长宁•一模）如图所示，四棱柱AB。-44GR的底面ABC。是正方形，。是底面的中心,

AO_L平面A5CD,AB=AAl=y/2.

⑴求证：4。，平面8。口片；

（2）求直线。4与平面AA.B所成角的正弦值.

39.（2024・上海崇明・一模）如图,在直三棱柱ABC-44G中,E、P分别为A£、BC的中点，原产AB=BC=2,

C,F±AB

⑴求证：GF〃平面ABE；

（2）求点C到平面ABE■的距离.

40.（2024•上海杨浦•一