2025届河南省高三数学下学期5月冲刺试题（一）

2025届河南省高三数学下学期5月冲刺模拟试题（一模）

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若复数z满足I>，则z=（）

A2-iB.2+iC.iD.-i

,,1

2.己知集合/={xeZ|x2<9},5={-1,0,-,2,3},则ZuB中元素的个数为（）

A.9B.8C.5D.4

3.若贝心。>6”是“30—36>26—2"”的O

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/（x）=lnx——与直线x+y=0相切于点A,则点A的横坐标为（）

1

A.-B.1C.2D.e

e

5.设a=log321=log336,c=log220,d=2049,则（）

A.a<b=c<dB.d<c=b<a

C.a<d<b-cD.c<a<d<b

6.在△48。中，若Q—CCOS8=6—CCOS4,则△48。的形状是（）

A.等腰三角形B,直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y（单位：cm）与时间，（单位：s）之间的函数关系式是

y=Kcos（创+。）K〉0,0〉0,°e（一/]],其中,振幅为2,则前3秒该质点走过

的路程为（）

c.(5-百kmD.(7-V3jcm

8.已知点P在水平面。内，从P出发的三条两两垂直的线段PQ,PR,PS位于a的同侧，若Q,R,S到a的

149

距离分别为1,2,3,则至y+砺y+万己的值为（）

A.1B.V2D.2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的2x2列联表，其中

b=Ua,则（）

患疾病A不患疾病A合计

过量饮酒3ab

不过量饮酒a2b

合计400

1

9n(ad—be)

参考公式与临界值表：Z=(i)(c+d)S+c)(j)

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

A.任意一人不患疾病A的概率为0.9

3

B.任意一人不过量饮酒的概率为J

O

24

C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为一

D,依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关

22

10.已知椭圆r\:「+4=l（a＞b〉0）的左，右焦点分别为大，鸟，将八上所有点的横坐标与纵坐标分

ab

别伸长到原来的左（左＞0,左。1）倍得到椭圆「2,则下列说法正确的是（）

若，＞0,则自＜小

A.

aa+t

B.若「1，「2的离心率分别为,遂2,则q=02

C.若「］,「2的周长分别为贝UQ=6

k

D.若「1的四个顶点构成的四边形面积为匣止,则二的离心率为2（0-1）

4

H,将圆柱aQ的下底面圆a置于球。的一个水平截面内，恰好使得a与水平截面圆的圆心重合，圆柱

。1。2的上底面圆02的圆周始终与球。的内壁相接（球心。在圆柱。1。2内部）•已知球。的半径为3,

3

00,=-.若R为上底面圆。2的圆周上任意一点，设及。与圆柱。1。2的下底面所成的角为圆柱

的体积为修，则（）

A.0可以取到0,会中的任意一个值

B.V=-^^-cos2«(l+2sinct)

C.%的值可以是任意小的正数

T.8171

D嗫箕=工-

三、填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分.

12.若1=(—5,12),3=(3,4),则cos,,5)的值为

13.如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分别为4cm2和9cm2,高为3cm.

现在搜集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为______mm,（降雨量等于集雨器中积

水体积除以集雨器口的面积）

2

14.若点A在抛物线E:V=4x上运动，点8在圆(x-l)2+/=；上运动,IACI

C（2,0）,则的最小

II

值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在直四棱柱/BCD—44GA中，底面为矩形，AB=gD=Ca,AA\=h,。,£分别为底面的中

心和co的中点，连接。£，4。，4瓦。田,。。.

(1)求证：平面4。£J■平面cz)QiG；

(2)若"=逅，求平面与平面所成角的余弦值.

a2

16.某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求

设计难度相同的甲、乙、丙、丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为。，其中四种设计全

部合格直接晋升为高级程序员；至少有两种(包括两种)“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设

计：在4民。三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级

程序员.已知每位普通程序员设计4SC合格的概率分别为1,工,工，同一普通程序员不同的设计相互不

24

影响.

(1)已知4瓦。设计合格的得分分别为80,90,100,不合格得0分，若二轮设计中随机抽取到8,C的得

分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率.

17.在平面直角坐标系中，点/、E的坐标分别为卜2亚,0),(2行,0),以尸为圆心作一个半径为4的圆，

点H是圆上一动点，线段EH的重直平分线与直线HF相交于点P.

(1)求P的轨迹「的方程；

(2)已知/(—2,0),点。是轨迹：T在第一象限内的一点，R为的中点，若直线OR的斜率为6，

求点。的坐标.

18.已知函数/(x)=(…，：『)*,仁［2,+动.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

3亶

(2)当〃eN*时，求证：ln(n+l)<—.

19.在等差数列｛4｝中，已知名=7,%，%，4a2成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)数列｛2%｝是否为等比数列？若是求其前〃项和，若不是，请说明理由；

(1A**

⑶设log/“=^^——U0<q<一,且VkeN万〃eN4—=/+1+4+2,求勤勺所有取值.

数学答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若复数z满足（l+i"=T+i,贝i]z=（）

A.2-iB.2+iC.iD.-i

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数除法法则计算出答案.

【详解】因为（l+i）z=—1+i,所以z=±i=里+D=i.

1+i1+i

故选：c.

I91

2.已知集合/={xeZ|x2<9},5={-1,0,-,2,3},则ZuB中元素的个数为（）

A.9B.8C.5D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用列举法表示出集合A,再求出并集即可得解.

【详解】依题意，解不等式依49,得一34*W3,={xeZ|-3<x<3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},

而5={-1,0,1,2,3},因此/U3={-3,-2,-1,0,1,2,3,

所以中元素的个数为8.

故选：B

3.若a,6eR,则“a>b”是“3"-36>26—2"”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数/(x)=3*+2"根据函数单调性得到3"+2">3%+2J故。>人

【详解】构造函数/(力=3工+2)则/(x)在R上单调递增，

所以3"—3'〉2'—2"o30+2"〉3O+26

故选：C.

4.函数/(1)二欣-—与直线x+y=O相切于点A,则点A的横坐标为()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】设出/(%,%),求导，直线x+y=O的斜率为-1,根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标

【详解】设函数/(x)=lnx—x2与直线x+y=O相切于点/(%,%),

直线x+y=O的斜率为-1,

f(x\=--2x,所以所以x°=i.

XX。

故选：B.

5.设a=log32,b=log33A^,c=log22V^d=2M9,则()

A.a<b-c<dB.d<c=b<a

C.a<d<b=cD.c<a<d<b

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数幕与对数的运算性质，分别求得a,b,c,d的取值范围，即可求解.

【详解】由。=log32<log33=l,b=log33G=T，c=log22正=|,1=2°<d<2°5=正，

即1<1<血<—,所以Q<d<b=c.

2

故选：C.

6.在4/台。中，a-ccosB=b-ccosA,则4/台。的形状是（）

A.等腰三角形B,直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

〃2_|_序_2212_2

【分析】利用余弦定理将Q-ccos3=6-ccosZ化简为巴汇一J=—从而可求解.

ab

"22—序122_2

【详解】由a—ccos8=b—CCOS力，得a—cx巴工―建工——

2ac2bc

a2+b2-c2

化简得"+“一厂

ab

当/+/—02=0时，即/+/=/,则A/BC为直角三角形；

当02+/一°2/0时，得a=6,则A4SC为等腰三角形；

综上：△45C为等腰或直角三角形，故D正确.

故选：D.

7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移〉（单位：cm）与时间/（单位：s）之间的函数关系式是

y=Kcos（创+。）K>0,a）>0,（peL,其中/（0」）,5（4,1）,振幅为2,则前3秒该质点走过

的路程为（）

A.-V3cmB.GemC.(5-百kmD.(7-V3jcm

【答案】D

【解析】

（兀兀、22

【分析】根据题意，求得y=2cos[m/-分别令/=]、/=§和1=3,求得相应的函数值，进而求

得前3秒该质点走过的路程，得到答案.

【详解】由函数y=Kcos（&+。）的图象，可得K=2,周期为T=4,

27171(71]

可得G=-^=5，所以y=2cos[5,+0J,

因为/(O,l)在函数图象上，可得2cose=l,即cos0=g,

(7171)71

又因为Oe]一,,,)所以o=±1,

因为/=一1时，y<0,所以。二一三，所以y=2COS[57—1],

jrTT2

令一，---=kji,keZ,则，=2k+—,keZ,

233

2Q

故函数图像在v轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为，=§,，=§,

人2「(兀2兀)。人8。(兀8兀)。

令/=1,则rMy=2cos=2；令1=1,则rMy=2cos｝义.一4二—2；

D'乙DDJD\NDDJ

令/=3,贝i|y=2cos[x3-g]=-C,

2\28|,31的路程分别2_1=1,2_(_2)=4,-6-(—2)=2—6，

所以质点在o?—L

所以前3秒该质点走过的路程为(7-君卜m.

故选：D

8.己知点P在水平面a内，从尸出发的三条两两垂直的线段PQ,PR,PS位于a的同侧，若Q,R,S到a的

149

距禺分别为1,2,3,则/述+诙y+/尹的值为()

A.1B.y]2c.V3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】以｛闻，而，方｝为空间的一个基底，由此表示出平面。的单位法向量，再利用数量积的运算律

求解即得.

【详解】由PQ,R?,PS两两垂直，取空间的一个基底｛而，丽,方｝,

设云是平面a的一个单位法向量，依题意，可使拓与闻、丽、丽的夹角都是锐角，

则存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得万=xPQ+yPR+zPS，

显然网，丽，丽在方方向上的投影向量的长度分别为1,2,3,

1

于是万•①=1,IP(xPQ+yPR+zPS)-PQ=1,贝Ux.①？=i，即X二——►

\PQ\2

23，因此旌春,国23

同Jity=»i,z=»~+_.屋网+-PS,

■|PT?I2|PS|2同PF

耐司=1,所以向.网23

+_.丁■PS,

PR+2

同\PS\7

_\2_\2

因此+-PR+-PS=1，

77

所以+|尸网iW=1

故选：A

【点睛】关键点点睛:选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决

立体几何问题的关键,解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需

向量.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的2x2列联表，其中

b=12a,则()

患疾病A不患疾病A合计

过量饮酒3ab

不过量饮酒a2b

合计400

n(ad-be)2

参考公式与临界值表:

(o+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

A.任意一人不患疾病A的概率为0.9

B.任意一人不过量饮酒的概率为弓

O

24

C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为一

25

D.依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出a=10,6=120,利用古典概型概率公式求解判断AB,利用条件概率概念求解判断C,求

出力2的观测值，即可判断D.

【详解】由已知得4a+3b=400,又b=12a,所以a=10,6=120.

任意一人不患疾病A的概率为0.9,所以A正确；

400

任意一人不过量饮酒的概率为q4=*,所以B错误；

4008

任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为二^="，所以C正确；

a+2b25

对于D,2x2列联表如下:

患疾病A不患疾病A合计

过量饮酒30120150

不过量饮酒10240250

合计40360400

则/的观测值/=400x(30x240-120x10)2

=—xs2667,由于26.67〉10.828,

'40x360x150x2503

依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确.

故选：ACD

22

10.已知椭圆"：二+勺=1（。＞6〉0）的左，右焦点分别为大，鸟，将八上所有点的横坐标与纵坐标分

ab

别伸长到原来的左（左＞0,左。1）倍得到椭圆「2,则下列说法正确的是（）

A.若%＞0,则°

aa+t

B.若「”「2的离心率分别为，,出，则。1=。2

C.若「1，「2的周长分别为贝UQ=6

k

D.若「1的四个顶点构成的四边形面积为但?，则I；的离心率为2（、汇-1）

【答案】AB

【解析】

【分析】利用糖水不等式判断选项A；根据椭圆离心率的定义式判断选项B；利用相似图形的相似比即可

判断出选项C；综合运用椭圆的几何性质和四边形的面积公式判断选项D即可.

xr_

xr=kxk_”

【详解】设点（W）为椭圆的上任意一点，则由题意知1,7，即《，，代入椭圆心的方程得

[k-

=i.所以椭圆「2的方程为里+凶-

1(6Z>Z?>0).

k2a2k2b2

因为。＞方＞0,/＞0,所以2＜如人，所以A正确；

aa+t

由已知得，q=J"-Jd'""=所以B正确;

aka

C1

由已知得，其相似比为1：左，所以＞=工，所以。2=左01，因为左＞0,左W1，所以C错误;

设c7a2—b2，因为乙的四个顶点构成的四边形的面积为匣及，所以，.2a.2b=0^，所以

424

2ab=c2,所以2g//二7二。？，所以e'+4e2—4=0,所以e?=士比士»1=2（0—1）（负

舍），所以D错误.

故选：AB.

ii,将圆柱QQ的下底面圆a置于球。的一个水平截面内，恰好使得a与水平截面圆的圆心重合，圆柱

QQ的上底面圆02的圆周始终与球。的内壁相接（球心。在圆柱内部）•已知球。的半径为3,

3

00,=-.若R为上底面圆的圆周上任意一点，设及。与圆柱的下底面所成的角为圆柱

的体积为修，则（）

A.a可以取到0弓J中的任意一个值

B.V=cos2«(1+2sinct)

C.%的值可以是任意小的正数

8171

D.嗑X

4

【答案】BCD

【解析】

3

【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径r=3cosa,高为3sina+—,代入圆柱体积公式求解，再

2

过R作圆柱的轴截面P0AS,过O作跖VLQQ交圆柱轴截面的边于M,N,

由7?。与圆柱的下底面所成的角为a,则（W=3cosa,"R=3sin。，所以

27兀

V=TI-OM2-QR=7i・(3cosa)2(OO1+3sina)=^―cos2a(l+2sina),

即厂二^^cos2a(l+2sina)=^^(l-sin2(7)-(l+2sin(7),故B正确;

3兀

当点P,Q均在球面上时，角。取得最小值，此时。。1=0。2=大，所以a二：

26

所以4£,故A错误;

62

令sina=/e-,1所以「=^(l——)a+2Q=出(_2-—/+2/+1),

_2)22

所以4=笠£(_6/—2/+2),另—6d—2f+2=o,

解得两根t上叵/T+屈,

1222

所以片=出(_6/2_27+2)〈也义-6xW-2x-+2=—出＜0,

2212j24

所以「=等(一2-—/+2/+1)在江时单调递减，

所以＜ax=,x—-[；]+2x[g]+l=苧，0(%〈牛，故CD正确；

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题主要考查运用导数求最值的方法，难度较大，解决问题的关键在于先画出平面图，

3

得到圆柱的底面半径r=3cosa,高为3sina+—,代入圆柱体积公式求解，再令/=sina,利用导数求

2

最值.

三、填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分.

12.若2=(—5,12)3=(3,4),则cos伍5)的值为

【答案】=33

65

【解析】

【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解.

/一八a-b(-5,12).(3,4)-5x3+12x433

【详解】c°s")=丽『25+144娓9+16=13x5=1

故答案为：名33

65

13.如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分别为4cm2和9cm2,高为3cm.

现在搜集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为mm.（降雨量等于集雨器中积

水体积除以集雨器口的面积）

【分析】将三棱台补成三棱锥0-4片。1，求得三棱锥。-N3C的体积为8cm3,再设0-44孰和

、3

Qh

o-44。的体积分别为《，匕，结合则—=，求得乂和匕，根据匕F，即可求解.

^0广

2）

【详解】如图所示，将三棱台补成三棱锥。-4与。1，设三棱锥的高为，，

则=、口，解得力=6,所以三棱锥。一/5。的体积为』x4x6=8cm3,

h+3\93

再设。-14。。,。-481G的体积分别为《，匕,

/\3

则》h195

,所以匕=^-cm3,

同理§,所以匕x8=27cm3,

匕16+3；1UJ

v-V91455

所以该地的降雨量为」一^二一cm=——mm.

43216

455

故答案为：.

16

o

14.若点A在抛物线E:/=以上运动，点8在圆（x-ly+j?=；上运动,\AC\2

C（2,0）,则的最小

II

值为.

【答案】2

【解析】

【分析】设/（S/）,根据抛物线焦半径得到|//|=5+1,利用两点间距离公式得到

\AC\2?+4?+4_25

|/C|2=（S—2）2+/=§2+4,根据以同引4F|+：得到,变形得到U"=/+42

利用基本不等式求出最小值.

【详解】抛物线/=4x的焦点尸的坐标为（1,0）,准线方程为x=-1,

（1,0）为圆（x—I?+/=；的圆心，圆的半径为:，

设点/（s,。，则由抛物线的定义得=s+1/=4s,

）ACI2=（s-2）2+t2=S2-4S+4+4S=S2+4,

由三角形三边关系得到|AB|<|4F|+。，当且仅当4民尸共线时，等号成立，

\AC\2\AC\2_s2+4

所以西'而:"二f'

333

令S+3=则s=X—二，

222

所以『+4=

3

25s3IACI2

当且仅当彳=——，即2=二2±时等号成立，故—的最小值为2.

4222,同

故答案为：2

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数

的最值或范围.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在直四棱柱4SCD—44GR中，底面为矩形，AB=&D=®,AA=h,。,£分别为底面的中

心和CD的中点，连接OE,Afi,AxE,DxB,D{C.

Dx

(1)求证：平面4。£-L平面CDDXCX；

(2)若2=逅，求平面与平面。RC所成角的余弦值.

a2

【答案】(1)证明见解析

⑵速

3

【解析】

【分析】(1)由线面垂直得到线线垂直，即。ALOE,进而得到平面CDRG，证明出面面垂直；

rr、

(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量耳=(、同,0,6),%=拳0,道，利用法向量的夹角

余弦公式求出答案.

【小问1详解】

因为。£分别为底面的中心和CD的中点,

所以

因为£>£>i，平面/BCD,0£u平面/BCD,所以。ALOE,

又因为。2口。>=。，£>n，CDu平面CD2G，所以OEL平面CDRG，

因为。£<=平面40E,所以平面平面CD，G.

【小问2详解】

以A为空间坐标原点，40,日所在直线分别为x，V，z轴建立空间直角坐标系.

n)

由已知得4(0,0,h),D^O,a,h),0(Ga,0),。(0,。,0)，七——a.a,O,

\27

所以4。=，夕i，麻

设平面4OE与平面Q18C的法向量分别为万1=(占,必,zj,&=(%,%/2),

也aa

-x^-y.-hz7^QA,

所以《22，解得％=0,令4=6,则X]=—

[万a…a

，解得力=0，令Z2=百f-，则玉=一h，

一a

因为“=当，所以％=(Jd,O,百｝=4,o,G,

\7

设平面AQE与平面D.BC所成角的大小为a,

河•见272

所以cosa=

HN亍

16.某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求

设计难度相同的甲、乙、丙、丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为。，其中四种设计全

部合格直接晋升为高级程序员；至少有两种(包括两种)“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设

计：在4民。三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级

程序员.已知每位普通程序员设计4瓦。合格的概率分别为同一普通程序员不同的设计相互不

24

影响.

(1)已知4瓦C设计合格的得分分别为80,90,100,不合格得0分，若二轮设计中随机抽取到&C的得

分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率.

【答案】(1)分布列见解析；期望为70

⑵U

96

【解析】

【分析】(1)X的可能取值为0,90/00/90,分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；

(2)综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可.

【小问1详解】

X的可能取值为0,90100,190,

由题意知，尸(X=0)=1l——=g，尸(X=90)=[x[l—=

P（X=100）=1--

X的分布列为

X090100190

3311

P————

8888

311

E（X）=90x—+100x—+190义—=70.

V'888

【小问2详解】

因为同一普通程序员不同的设计相互不影响，所以每位普通程序员晋升为高级程序员的概率为

lxilxllxl13

+++

242496

17.在平面直角坐标系中，点E、E的坐标分别为卜2亚,0）,（2行,0）,以尸为圆心作一个半径为4的圆,

点H是圆上一动点，线段EH的重直平分线与直线HF相交于点P.

（1）求产的轨迹「的方程;

（2）已知/（—2,0）,点。是轨迹:T在第一象限内的一点，R为。/的中点，若直线OR的斜率为JU，

求点。的坐标.

22

【答案】（1）—-^-=1

44

（2）（3,75）

【解析】

【分析】（1）利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案；

（2）利用中点公式和OR的斜率为后建立方程组，求解方程组可得答案.

【小问1详解】

由题意可知，点尸在线段E〃的垂直平分线上，所以1PHl=归£|,

又点#是圆/上一动点，所以|W|=4.

①当\PH\>|PF|时，|P£|—|PF|=\PH\-\PF\=|77F|=4；

②当\PH\<|PF|时，归耳—卢£|=\PF\-\PH\=\FH\=4,

所以尸的轨迹r满足归制-归耳=4<\EF\=472,

根据双曲线定义可知，尸点的轨迹：T是以尸,£为左、右焦点，实轴长为2a=4的双曲线,

22

可得c=2后,4=2,6="2_°2=2，所以P的轨迹「的方程为二一匕=1.

44

【小问2详解】

设Q(Xo/o)，Xo>2,%>0,所以=4,

因为直线OR的斜率为石，所以』彳=右，即比=君(%—2),

七一2

与器=4联立解得演=2(舍去)或3.

18.已知函数小)=包皿+上竺人[2,+功.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

3〃

(2)当〃eN*时，求证：ln(/7+1)<.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见