2025北京重点校初二（上）期末数学汇编：角的平分线的性质

2025北京重点校初二（上）期末数学汇编

角的平分线的性质

一、单选题

1.（2025北京朝阳初二上期末）下面是“作的平分线”的尺规作图方法：

A.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等

D,三边分别相等的两个三角形全等

2.（2025北京二中初二上期末）如图，8。是△48。的角平分线，DE1AB,垂足为E.△NBC的面积为28,

AB=8,BC=6,DE的长为（）

3.（2025北京燕山初二上期末）如图，在Rt^4BC中，ZC=90°,以点/为圆心，适当长为半径画弧，分

别交NC于点。，E,再分别以点。，E为圆心，大于;为半径画弧，两弧交于点F,作射线/月交

边8C于点G,若CG=1,48=4,则点G到线段NB的最短距离是（）

第1页/共11页

4.（2025北京东城初二上期末）如图，AB=AC,BEl.AC,CFLAB,垂足分别为E,F,CF与BE交于点、D,

下列结论：①"BEaACF；②XBDFHCDE；③点。在/A4c的平分线上；@AB=DF+DB.其中

所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①②③D,①②③④

二、填空题

5.（2025北京怀柔初二上期末）如图，在△4BC和ACDE中，AACB=ADCE=90°,AC=BC,CD=CE.连

接AD,/E,交于点尸.以下四个结论-®BD=AE•，②BDLAE•，③N4EC+NDBC=45。⑥FC平分乙BFE,

其中结论正确有.（写序号）

6.（2025北京延庆初二上期末）如图，在Rb4BC中，08=90°,CD平分/4CB,AC=4,BD=1,则"CD

的面积是.

7.（2025北京石景山初二上期末）如图，Rt448C中，NC=90。，点。在3c上,DE」AB于点、E.若DE=DC,

AB=40°,则NCzLD=

8.（2025北京朝阳初二上期末）如图，0/平分NMCW,点尸在0/上，点、B,C分别在ON,ON边上，有

如下条件：①尸3_L（W,PCLON；®OB=OC；③NOPB=ZOPC,选取其中一个可以得到PB=PC

条件，序号是.（写出所有可能的情况.）

第2页/共11页

9.（2025北京大兴初二上期末）如图，0c是的平分线，点。尸分别在射线0c和03上，0D>DP

且NDPO=36。，点0是射线上的一点，若DQ=DP,则的度数为.

10.（2025北京东城初二上期末）如图，在四边形A8CD中，£8=90°,AD=BC=4,AB=6,若NC平分

/BAD,则四边形ABCD的面积为.

三、解答题

11.（2025北京燕山初二上期末）如图，4D是△48C的高，CE是△4DC的角平分线.NBAD=ZECD,

ZB=70°.

（1）画出△4DC的角平分线CE；

⑵求NC4D的度数.

第3页/共11页

参考答案

1.D

【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键.

由作图过程可知，OC=OD,CP=DP,结合全等三角形的判定可得答案.

【详解】解：由作图过程可知，OC=OD,CP=DP,

：OP=OP,

:.^OPC^^OPD[SSS),

二判定△OPCmAOPD的依据是三边分别相等的两个三角形全等.

故选：D.

2.B

【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.过点。作

DF1BC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得尸，再利用V/3C的面积求解即可.

【详解】解：如图，过点。作与1BC于F,

是△/BC的角平分线，DE1AB,

DE=DF,

,「△A8C的面积为28,AB=8,BC=6,

S=-AB-DE+-BC-DF=-x8-DE+-x6-DE=28,

HBC2222

DE=4,

故选：B.

3.A

【分析】本题考查了角平分线的性质定理的知识，掌握了以上知识是解题的关键；

本题根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”根据CG=1,ZC=90°,即可得到答

案；

【详解】解：由作图得NG平分NA4C,

ZC=90°,即CG_L/C,

.点G到线段AB的最短距离等于CG的长，

即点G到的距离为1,

第4页/共11页

故选：A

4.C

【分析】本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解

决问题的关键.根据垂直的定义得到乙4FC=4EB=90。，根据三角形的内角和得到乙B=NC,由全等三

角形的判定定理得到△"庐A/C^ASA),故①选项正确，由==得BF=CE,于是得到

△BDFACDE(AAS),选项②正确，根据全等三角形的性质得到/£=/£"=/凡连接NO,证得

Rt""RtA/ED(HL),根据全等三角形的性质得到=即点。在NA4c的平分线上，选项

③正确，由。£尸，得到DF+BD=DE+BD=BE,根据AB>DF+DB,选项④错误，进而

得到答案.

【详解】解：-/AB=AC,BE1AC,CF1AB,

:.ZAFC=ZAEB=90°,

在RtzUEB中，48=90°-乙4,在Rt△/尸C中NC=90°-4,

:.NB=ZC,

在A48£和/中，

'/LA=/LA

-AB=AC,

NB=NC

二△/哙"C尸(ASA),故①选项正确；

,：AABE%ACF,

AE=AF,

'：AC=AB,

得BF=CE,

在△3DF和.CDE中，

ZBFD=ZCED=90P

•Z5=ZC,

BF=CE

^BDF^^CDE{AAS),选项②正确；

WABEAACF,

AE=AF,AC=AB,

连接4D,

第5页/共11页

在RtAAFD和Rt/\AED中，

[AE=AF

[AD=AD'

Rt^AFD^RUAED(HL),

ZDAF=ZDAE,即点。在/A4C的平分线上，选项③正确；

:ABDFHCDE,

DE=DF,

DF+BD=DE+BD=BE,

AB>BE,

AB>DF+DB,选项④错误；

故正确的为①②③，

故选：C.

5.①②④

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找

出两个全等三角形是解题关键.①先证出NBCD=­C£,再证出ABC庐A/CE,根据全等三角形的性质

即可判断①正确；②设AD与/C交于点先根据全等三角形的性质可得NC8O=NC4E,再根据对顶角

相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设N/EC+ND8C=45。，从而可得N/EC+NE4c=45。，

根据三角形的内角和定理可得NNCE=135。，再根据角的和差可得=45。，由此即可判断③错误；④过

点C作CM18。于点M,CNLAE于点、N,先根据全等三角形的性质可得,比。=S-CE，BD=4E,再根

据三角形的面积公式可得CM=CN,然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确.

【详解】解：①•:AACB=ADCE=90°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,BPZBCD=ZACE,

在△3C。和△/(?£■中，

BC=AC

-NBCD=ZACE,

CD=CE

ABCD^"CE(SAS),

BD=AE,结论①正确；

②如图1,设8。与/C交于点H,

第6页/共11页

.・•△3C店△力C£,

/.ACBD=/CAE,

在△力,中，ZCAE+ZAHF+ZAFH=180°,

/.ZCBD+ZAHF+AAFH=180。，

在力。//中，/CBD+/BHC+ZACB=180。,

•；4AHF=4BHC,

ZAFH=AACB=90°,

/.BDVAE,结论②正确；

③假设ZAEC+ADBC=45°,

,/DBC=/EAC,

ZAEC+/EAC=45。,

：,ZACE=1SO°-{ZAEC+ZEAC)=135°,

ZDCE=90°,

:.ZACD=ZACE-ADCE=45°,根据已知条件无法得出这个结论,

即假设不成立，结论③错误；

④如图2,过点。作CM1AD于点M,CN1/E于点N,

「ABC庐&ACE,

••S.BCD=S"CE,BD-AE,

SABCD=；BD.CM,S^ACE=^AE-CN,

：.CM=CN,

又•：CMIBD,CNLAE,且点C在NBFE的内部，

:.FC平货ZBFE,结论④正确；

综上，结论正确有①②④，

故答案为：①②④.

6.2

【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

作。"1/C于根据角平分线的性质求出。X,根据三角形的面积公式计算即可.

【详解】解：作"71ZC于/

第7页/共11页

A

「C。是/NCB的平分线，ZB=90°,DH1AC,

DH=DB=\,

.•.△/CD的面积=L/CxZW」x4xl=2.

22

故答案为：2.

7.25

【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定

理求出/氏4c的度数，再证明4D平分NA4C,据此根据角平分线的定义可得答案.

【详解】解：•：NC=90。，4=40。，

^BAC=180°-ZC-ZB=50°,

DE=DC,ZC=90°,DE1AB,

:.AD平分NBAC,

：,ACAD=-ABAC=25°

2，

故答案为:25.

8.①②③

【分析】此题重点考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理

证明APOBWAPOC是解题的关键.

由。/平分/MON,点尸在上，PBLOM于点、B,PCLON于点、C,根据角平分线的性质得尸8=尸。，

可判断①符合题意；若05=OC,由4POB=NPOCQP=OP,根据“SAS”证明JOBm.POC,得PB=PC,

可判断②符合题意；若NOP8=NOPC,由OP=OP,NPOB=NPOC,根据证明APOB星△尸。C,得

PB=PC,可判断③符合题意，于是得到问题的答案.

【详解】解：①,.,C%平分NMCW,点尸在6M上，PBLOM于点B,PC【ON于点、C,

:.PB=PC,故①符合题意；

②,：OA平分ZM0N,点氏C分别在OM,CW边上，

APOB=ZPOC,

在VPO8和△尸OC中，

OB=OC

-4P0B=4POC,

OP=OP

第8页/共11页

，△尸0胫△尸OC(&4S),

:.PB=PC,故②符合题意；

在VP08和△尸OC中，

40PB=ZOPC

■OP=OP,

ZPOB=ZPOC

：4POB^APOC（ASA）,

:.PB=PC,故③符合题意,

故答案为：①②③.

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点，分类

讨论.

分类讨论：过点。作IOA于H,DNI0B千N,则由角平分线的性质定理得=DN；分两种情况考

虑：点。在点H的右侧时，证明心DPN^RUDQH,则有ZDPO=ZDQO=36。；点Q'在点H左侧时，同

理可求乙0。旧=36。，进而求得结果，最后综合两种情况即可.

【详解】解：如图，过点D作DH104于H,DN10B于N,

■：OD平分NAOB,DH1OA,DN1OB,

DH=DN,

当点。在点H的右侧时，

在Rt^DPN和Rt^DQH中，

[DN=DH

[DP=DQ，

Rt△。尸2RtSQH(HL),

ZDPO=ZDQO=36°,

当点。'在点石左侧时，同理可求及=36。,

:.ZDQ'O=144°,

综上所述：的度数为36。或144。，

第9页/共11页

故答案为:36。或144。.

10.20

【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键.过点C作

CELA