2025年高考数学复习 解题技巧：圆锥曲线小题（易错点+九大题型）学生版+解析

秘籍08圆锥曲线小题

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：基本结论

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】圆锥曲线定义型

【题型二】焦点弦与焦半径型

【题型三】定比分点

【题型四】离心率综合

【题型五】双曲线渐近线型

【题型六】抛物线中的设点计算型

【题型七】切线型

【题型八】切点弦型

【题型九】曲线轨迹型

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测圆锥曲线几何原理

应试秘籍

圆锥曲线属于高考难点，也是解析几何的主要内容，多出现在压轴题的位置，考察的内容和题型也偏

多，需要学生对于基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决

相应问题。需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，这里通过梳理题型来理解其

中的含义和方法。

误区点拨

易错点：基本结论

1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数24>尸1B］这一条件.

2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.

3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后

再根据条件建立关于。，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可

把椭圆方程设为mx2+〃y2=］（M>0,n>0,相加）的形式.

22

例（2024•全国•模拟预测）设双曲线十方=1（。>0油>0）的一个顶点坐标为（-虚,0）,焦距为2石，则双曲

线的渐近线方程为（）

A.y=+y/2xB.y=±2x

15

C.y=±-xD.y=±^±x

272

2222

变式1：（2024.全国•模拟预测）设双曲线C］:=-当=1,椭圆C?:=+当=1（。>>>0）的离心率分别为6,

abba

%若这4个焦点所形成的封闭图形中最大的内角为120。，贝上一e?分别为（）

A,空,叵B.53C.旦,BD.显，显

2232222

变式2：（2024•江苏扬州•模拟预测）已知椭圆片+/=1（”>1）的离心率为且，则抛物线〉=依2的焦点坐

a2

标为（）

a-GMb-H］mD.［。，总

,抢分通关

【题型一】圆锥曲线定义型

基本定义：

（1）椭圆定义：动点P满足：|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2C且a>c（其中a>0,c0,且a,c为常数）

（2）双曲线定义：动点P满足：||PFi|-|PF2||=2a,|FiF2|=2c且a<c（其中a,c为常数且a>0,c>0）.

（3）抛物线定义：|PR=|PM，点F不在直线/上，于M

拓展定义：

2

A-2y2b

l.A,B是椭圆C：U+"=1（a>0,6>0）上两点，M为A,B中点，则/iolyivi=一一/-（可用点差法快速证明）

a

x2y2卜2

2.A,B是双曲线C：/—尻=l（a>0,b>0）上两点，M为A,B中点，则长钻・勺知==（可用点差法快速证明）

a

典例精讲

22

【例1】（2024•广东深圳•二模）P是椭圆C：=+3=1（a>8>0）上一点，月、居是C的两个焦点,

ab

丽•雨=0,点。在/耳P8的平分线上，。为原点，。。〃尸耳，且|OQ|=b.则C的离心率为（）

A.|B.3C."D.也

2332

【例2】（2024•全国•模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点尸（1,0）,E（-2,0）,M（2,2）,动点尸满足线

段尸石的中点在曲线V=2x+2上，则|PM|+|P同的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【例3】（多选）（2024.河南开封.三模）椭圆C：T^+E=1（m>。）的焦点为耳，尸2,上顶点为4直

m+1m

TT

线AG与C的另一个交点为2,若/片A8=§,则（）

A.C的焦距为2B.C的短轴长为2相

C.C的离心率为"D.ZXAB凡的周长为8

2

名校模拟

,2

【变式1］（2024・贵州安顺•一模）已知椭圆八夕+方y=l（a>b>0）的左、右焦点分别为耳,g,P为T上一点,

且N耳尸招=60。，若「周|尸闾=三，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T的离心率

【变式2】（2024.上海奉贤.二模）点P是棱长为1的正方体ABCO-44CR棱上一点，则满足|必+|尸。=2

的点尸的个数为.

22

【变式3］（2023•河南焦作•模拟预测）己知双曲线C:二-3=1（4>0）的左焦点为耳，。为坐标原点,

a3a

D（a,^a）,线段OD的垂直平分线与C交于AB两点，且与C的一条渐近线交于第二象限的点E,若

2

\DE\=~,贝耳的周长为.

【题型二】焦点弦与焦半径型

1.已知F是抛物线y2=2px的焦点，点P在抛物线上，则|PF|=—2_,其中9=/PEx

1-cos0

2.若焦点弦A3的倾斜角为贝U|AB|=々一（横放）若AB的倾斜角为。，贝［知|=々一（竖放）

sinacosa

«—।

典例精讲

【例1】已知A,8为椭圆总+］=1上两个不同的点，尸为右焦点，|/回+怛川=4,若线段AB的垂直平分

线交x轴于点T,则|口|=.

22

【例2】已知椭圆宗+券=l（a>6>0）的左右焦点分别为耳，F2,抛物线丁=2夕武。>0）的焦点为B，设

两曲线的一个交点为尸，若理・耳月=!加，则椭圆的离心率为

0

A.|B.—C.走D.反

2242

I—I

名校模拟

22

【变式1】已知椭圆C:1+4=1（a>3>0）的焦点为耳，F2,若点尸在椭圆上，且满足陷「=阀卜闸|

ab

（其中。为坐标原点），则称点尸为点，则椭圆上的点有个

A.0B.2C.4D.8

【变式2］（多选）设耳，入为椭圆C：］+\=1的两个焦点，九）为C上一点且在第一象限，/（%,%）

为工的内心，且工内切圆半径为1,贝IJ（）

A.\ip\=y[5B.毛=孚c.占=2D.k呜吗=_：

【变式3】已知抛物线C：y=4x的焦点为尸，尸为抛物线C在第一象限内的一点，抛物线C在点P处的切

线与圆尸相切（切点为M）且交x轴于点Q,过点尸作圆厂的另一条PN（切点为N）交了轴于点7,

若IFQ|=|FP|,贝ijIFTI的最小值为.

【题型三】定比分点

1.过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为

6,且存=273（注意方向）则ecos8=|叁|（e为离心率）

X+1

2.已知AB为抛物线y2=2px的焦点弦，

其倾斜角为aIAF|=m,|BF|=n,=九则|cos01=|上?-1=|4|

|BF|m+n2+1

।—।

典例精讲

22

【例1】（多选）在平面直角坐标系尤Oy中，已知八分别是椭圆C:土+匕=1的左，右焦点，点A,B

42

是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足乐1=九书，则（）

A.的周长为定值B.AB的长度最小值为1

C.若贝厂=3D.2的取值范围是［1,5］

【例2】（2022・浙江•模拟预测）已知椭圆C的离心率e=；,左右焦点分别为用B，尸为椭圆C上一动点，

则导的取值范围为________.

\PF,

名校模拟

【变式1］（多选）（2024•甘肃兰州・三模）已知抛物线＞2=2x的焦点为尸，准线为/且与x轴交于点。P

是/上一点，直线尸尸与抛物线交于M,N两点，若丽=3而F,则（）

2Q

A.\MF\=-B.\MN\=-

C.|F<2|=1D.|P0=2

22i

【变式2】已知椭圆C:占r+4v=1（。>b>0）的离心率为-，过右焦点F作倾斜角60。的直线/交C于A,8两

ab2

AF

点（A在第一象限），贝1寸=______.

BF

22

【变式3］（2022•安徽马鞍山•三模）双曲线C："0）的焦点为耳、F,P在双曲线右

ab2

支上，且归团=3归阊，y=±x为C的渐近线方程，若△即区的面积为40，则双曲线c的焦距长为.

【题型四】离心率综合

解题时要把所给的几何特征转化为"c的关系式.求离心率的常用方法有：

⑴根据条件求得a，"，c,利用e，或eJ+X求解；

aVa2

（2）根据条件得到关于。，4c的方程或不等式，利用e=£将其化为关于e的方程或不等式，然后解方程或

a

不等式即可得到离心率或其范围.

I—I

典例精讲

22

【例1】（2024•全国.模拟预测）已知。为坐标原点A,B,C为椭圆E：］+方=l（a>"0）上三点，且

OA+OB=Q>OA-AC=0>直线与x轴交于点Z）,若4次.历二初二则E的离心率为（）

A.袅B.也C.2D.迪

5225

22

【例2】（2024.广东佛山.二模）已知椭圆C:1y+方=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳（-G0）,8（c,0）,

2

点A,8在C上，且满足不=2孽，~^B-AB=4c2-—,则C的离心率为（）

A.也B..D.息

C.-

3333

I—I

名校模拟

22

【变式1］（2024•四川德阳.三模）设耳,耳是双曲线C:1-当=1（。>0,6>。）的左、右焦点，。是坐标原

ab

点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若|「月||「乙|-|。刊2=2",则（？的离心率为（）

A.V3B.V2C.3D.2

【变式2］（2024.四川遂宁.二模）已知耳（一c,0）,B（c,0）分别是双曲线C：鸟―1=1（。>0,。>0）的左、右

ab

焦点，过耳的直线与圆（x-gc）2+y2=，相切，与c在第一象限交于点尸，且产工，x轴，则c的离心率为

（）

A.3B.2非C.2D.75

22

【变式3］（2024•陕西西安・模拟预测）己知椭圆C:=+"=1（。>>>0）的左、右焦点分别为月,工，上顶

ab

点为A,过6作AF2的垂线，与y轴交于点尸，若I尸耳|=g,则椭圆c的离心率为.

【题型五】双曲线渐近线型

（1）焦点到渐近线的距离为b

（2）定点到渐近线的距离为2

a

典例精讲

【例1】（2024・福建.模拟预测）设双曲线C其中一支的焦点为死另一支的顶点为4其两渐近线分别为相，”.

若点8在机上，且8尸_1_7”,48_177,则加与〃的夹角的正切值为（）

A.0B.73C.2D.75

【例2】（2024•江苏南通•模拟预测）己知双曲线C:?-丁=1,直线/：x_y+i=o.双曲线C上的点P到直

线/的距离最小，则点尸的横坐标为（）

A2gR4^/3「2石n473

3333

名校模拟

22

【变式1】（2024.山西晋城二模）已知双曲线二一与=1（。>0,b>0）的两条渐近线均和圆

ab

。:/+丁+舐+7=0相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）

A.片-片=1B.把二”LlC.尤一更=1D.片=1

97977979

/v2

【变式2］（2024.山东聊城二模）已知双曲线U三-2=的右焦点为人一条渐近线的方程为

y=2x,若直线>与C在第一象限内的交点为尸，且PRLx轴，则％的值为（）

A.且B.@C.迪D.迪

2255

22

【变式3］（2024.全国.模拟预测）已知双曲线二一与=1（fl>0,b>0）的左、右焦点分别为小F2,

ab

点尸为双曲线右支上一点，尸片交双曲线的左支于点直线尸工交双曲线的右支于另一点N,若

|PN|=|£N|=5,MF21PN,则该双曲线的渐近线方程为.

【题型六】抛物线中的设点计算型

是抛物线V=2px的焦点弦，设4和％）,5（々,％），A3在准线上的射影分别为小4，则：

，P2

⑴%%=一夕=—;

（2）|AB|=\+x2+p-

（3）若AB倾斜角为。，则|筋|=3一；

sin6

（4）以A5为直径的圆与准线相切；

（5）\FLB.F

（6）若Af是4片中点，则AM,®欣，MF±AB；

（7）A,O，B共线,3,。,4共线;

I—I

典例精讲

［例1］（2023•河南焦作•模拟预测）已知直线>=工-1交曲线C：V=4x于A,3两点（点A在点3的上方），

厂为c的焦点，则।（）

\AF\-\BF\

A.2A/3B.2及C.2D.0

【例2】（2024.北京顺义.二模）已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，准线为/,尸为C上一点，直线P尸与/

相交于点Q,与>轴交于点若尸为尸。的中点，则归“卜（）

A.4B.6C.4A/3D.8

【例3】（2024•全国•模拟预测）已知点尸（2,~4）是抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，直线x=冲+〃与抛物

线C交于与尸不重合的两点A8.若尸3,则（）

A.n=10—4mB.n=4m—lQC.n=4m—6D.n=6—4m

।—।

名校模拟

【变式1］（2024・四川成都・三模）已知点P,。分别是抛物线C:y=4x和直线/:x=g上的动点，若抛物线

C的焦点为尸，则同的最小值为（）

A.3B.2+73C.2A/3D.4

【变式2］（2024.江苏苏州•模拟预测）设椭圆脱巴+¥=1（°>6>0）的离心率等于且，抛物线f=4y的

b~2

焦点厂是椭圆E的一个顶点，4、2分别是椭圆的左右顶点.动点P、Q为椭圆上异于48两点，设直线AP、

BQ的斜率分别为%，h，且抬=2勺.则（）

A.AP的斜率可能不存在，且不为0

B.P点纵坐标为4^2

C.直线AP的斜率片?:

8

D,直线PQ过定点||,o］

【变式3］（2024•山东枣庄•一模）已知产为抛物线E:y2=4x的焦点，UlBC的三个顶点都在E上，P为AB

的中点，且^^=2而，则|E4|+|EB|的最大值为（）

A.4B.5C.3y/3D.40

【题型七】切线型

1.椭圆：

22

若6（%,稣）在椭圆5+当=1上，则过外的椭圆的切线方程是警+理=1.

a-b-ab'

2.双曲线：

22

若兄（不，儿）在双曲线与一当=1（a>0,b>0）上，则过兄的双曲线的切线方程是号—理=1.

«-b-a-b-

3.点p（4,人）是抛物线丁=2所（加学0）上一点，则抛物线过点P的切线方程是：yoy^m（xo+x）；

（—1

典例精讲

【例1】（2024•全国•一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体n•黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使

用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料

水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线

所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一

固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别

为4,%,则（）

空气夕

附：椭圆）+/=1（"6>0）上一点（无。,%）处的切线方程为竽+爷=1.

A.4<%B.4=%

c.D.4和%的大小关系无法确定

【例2】（2023・浙江•模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，

22

如：点P为椭圆（斗鸟为焦点）上一点，则点P处的切线平分/KP8外角.已知椭圆C:鼻+誉=1，。为坐

标原点，/是点尸（2,0）处的切线，过左焦点片作/的垂线，垂足为则10Ml为（）

A.2A/2B.2C.3D.243

名校模拟

【变式1］（2023•陕西咸阳・模拟预测）已知圆J:（尤-道了+/=/（0</<书与圆C?:（尤+若了+/=（4-r）2

交点的轨迹为M,过平面内的点P作轨迹/的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为（）

A.x2+y2=5B.x2+y2=4

C.x2+y2-3D.x2+y2=-|

【变式2］（2023•山东•模拟预测）已知抛物线C：x2=4y,过直线/：x+2y=4上的动点尸可作C的两条

切线，记切点为A,B,则直线AB（）

A.斜率为2B.斜率为±2C.恒过点（0,-2）D.恒过点（-1,-2）

【变式3］（2024•吉林白山・二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的

应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆傕曲线中，称圆锥曲线的弦

与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C:V=心的焦点为尸，顶点为

0,斜率为§的直线/过点/且与抛物线C交于",N两点，若APMN为阿基米德三角形，则|。"=（）

A.7TTB.2币C.VBD.714

【题型八】切点弦型

1.椭圆：

22

若《（%,%）在椭圆［+当=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线方程

ab

2.双曲线：

若《(%,%)在双曲线=—2=1(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切线切点为Pi、P2,则切点

ab

弦P1P2的直线方程是誓-理=1.

ab

3.点尸(演,几)是抛物线=2m(mw0)外一点，则抛物线过点P的切点弦方程是：%丁=加(%+力；

।—।

典例精讲

22

【例1】已知直线/与椭圆C：5+?=l切于点P,与圆C2：x2+y2=16交于点.，圆C?在点A3处的切线交

o4

于点Q,0为坐标原点，则AOPQ的面积的最大值为

A.2.72B.2C.0D.1

【例2】抛物线C:Y=4y,过户(-3,-1)作抛物线的两条切线，分别切抛物线C于A、B两点,则线段A3中

点又与y轴的距离为()

A.1B.2C.3D.4

I—1

名校模拟

【变式1】.抛物线C:/=4y的焦点为f准线为/,斜率为2的直线机与抛物线C切于一点A,与准线/

交于点B,则AABF的面积为()

25

A.15B.—

2

「25n7

C.—D.一

42

【变式2】已知抛物线C：x2=4y,点M为直线y=-l上一动点，过点M作直线M4,MB与抛物线C分别

切于点A,B,则正.诙=()

A.0B.1C.-1D.0或1

【题型九】曲线轨迹型

求轨迹方程：

(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

(3)相关点法：用动点。的坐标X、y表示相关点尸的坐标与、％,然后代入点尸的坐标(％,%)所满足的

曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；

(4)参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找X、y与某一参数/得到方程，即

为动点的轨迹方程；

（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

«—I

典例精讲

【例1】（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2,P是平面ABCD外一点，设直线PB与

平面ABCD的夹角为a,若PA+PC=27L则a的最大值是（）

7171

A.B.-D.

642

【例2】（2024.全国.模拟预测）已知正四棱锥尸的体积为逑

,底面ABCD的四个顶点在经过球

3

7T

心的截面圆上，顶点尸在球。的球面上，点E为底面A3CD上一动点，PE与尸。所成角为:，则点E的轨

6

迹长度为（）

A.缶B.4扃C.色D.巫n

33

名校模拟

【变式1］（2024•全国•模拟预测）在三棱锥A-3CD中，底面3CD是等边三角形，侧面ABD是等腰直角三

角形，AB=AD=y/2,尸是平面BCD内一点，且AP=1,若AC=后，则点P的轨迹长度为（）

卜扃nac2技„£

2X•D.•--------•

3333

【变式2］（多选）（2024.湖南.二模）如图，点尸是棱长为2的正方体ABC。-ABGA的表面上一个动点，

A.若点尸满足qC,则动点尸的轨迹长度为4&

B.三棱锥体积的最大值为g

C.当直线钎与A3所成的角为45。时，点尸的轨迹长度为兀+4&

D.当尸在底面ABCD上运动，且满足尸产〃平面时，线段尸产长度最大值为2亚

【变式3］（2024.广东梅州.二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为.已

知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为

秘籍08圆锥曲线小题

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试秘籍】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：基本结论

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】圆锥曲线定义型

【题型二】焦点弦与焦半径型

【题型三】定比分点

【题型四】离心率综合

【题型五】双曲线渐近线型

【题型六】抛物线中的设点计算型

【题型七】切线型

【题型八】切点弦型

【题型九】曲线轨迹型

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测圆锥曲线几何原理

应试秘籍

圆锥曲线属于高考难点，也是解析几何的主要内容，多出现在压轴题的位置，考察的内容和题型也偏

多，需要学生对于基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决

相应问题。需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，这里通过梳理题型来理解其

中的含义和方法。

误区点拨

易错点：基本结论

1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|BB|这一条件.

2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.

3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后

再根据条件建立关于匕的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可

把椭圆方程设为如2+九,2=1（心0,H>0,初初）的形式.

22

例（2024•全国•模拟预测）设双曲线二-2=1（。>0,10）的一个顶点坐标为（-0,0）,焦距为2TL则双曲

ab

线的渐近线方程为（）

A.y=土6xB.y=±2x

।万

c.y=±-xD.y=+^x

【答案】D

22

【详解】双曲线=-2=1中，半焦距为石，即C=6，

ab

又双曲线一个顶点坐标为（-&,0）,即0=a2一/=/我2一片=0,解得6=1,

所以双曲线的渐近线方程为y=土叵x.

2

故选：D.

2222

变式1：（2024.全国.模拟预测）设双曲线C]:=-2=1,椭圆C?:=+当=1（">>。）的离心率分别为4,

abba

%若这4个焦点所形成的封闭图形中最大的内角为120。，贝代一e?分别为（）

A.空,@B.百，且C,迎是D.显，叵

2232222

【答案】D

由题意可设双曲线G的左、右焦点为A,B,设椭圆c2的上、下焦点为C,D,记坐标原点为

因为这4个焦点所形成的封闭图形中最大的内角为120。,

由此可得NG4T>=60。，则NC4O=30。，

\co\1

所以薪=可3。。=7r

所以一万=B,两边平方后即可求得储=2炉，

故令勺分别为如，e.

22

故选：D.

变式2：（2024•江苏扬州•模拟预测）已知椭圆工+丁=10>1）的离心率为且，则抛物线>=以2的焦点坐

a2

标为（）

ab

-GM-cIT口.I。，高

【答案】D

【详解】因为椭圆J+y2=l（a>l）的离心率为乎，所以卜：=乎,解得“=4,

则抛物线y=”的标准方程为f=口，它的焦点坐标为（。，白］.

4I16；

故选：D.

抢分通关

【题型一】圆锥曲线定义型

基本定义：

⑴椭圆定义：动点P满足：|PFi|+|PF2|=2a,|FiF2|=2c且a>c（其中a>0,cO,且a,c为常数）

（2）双曲线定义：动点P满足：||PFi|-|PF2||=2a,|FiF2|=2c且a<c（其中a,c为常数且a>0,c>0）.

（3）抛物线定义：|PF|=|PM，点E不在直线/上，于

拓展定义：

X2y2b2

1.A,B是椭圆C：7+Z?2=l3>0,匕>0）上两点，M为A,B中点，则——-（可用点差法快速证明）

t\D\JlyLa/

/Wb2

2.A,B是双曲线C：/—"=13>0,b>0）上两点，M为A,B中点，则长秒.%〃二=（可用点差法快速证明）

a

I—I

典例精讲

22

【例1】（2024•广东深圳•二模）P是椭圆C：'+与=1（a>8>0）上一点，月、居是C的两个焦点,

ab

西・走=0,点。在/与P8的平分线上，。为原点，OQ〃PF[,且|OQ|=b.则C的离心率为（）

A.1B.昱C.逅D.也

2332

【答案】C

【详解】如图，设|尸耳|=加，归局=〃，延长OQ交尸居于A,

由题意知。。〃尸耳，。为月耳的中点，故A为尸鸟中点，

7T

又由="则是等腰直角三角形，

m+n=2a

m—n=2b\m=a+b

故有病+/=4。2,化简得即一

m+n=2a

b7+—1n=—1m

[22

代入川+〃2=41?得(1+〃)2+(a—b)2=4/,

即〃+"=2。2,由/=/—。2所以2/=3。2,

所以e2=],e=亚.

33

故选：C.

【例2】（2024・全国•模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点尸（1,0）,£（-2,0）,M（2,2）,动点尸满足

线段PE的中点在曲线产=2工+2上，则|尸闾+|尸尸|的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】设尸（x,y）,则PE的中点坐标为代入y?=2x+2,可得y?=4x,

故动点尸的轨迹是以厂为焦点，直线/：彳=-1为准线的抛物线旷=4彳，

由于2?<4x2,故Af（2,2）在抛物线丁=4x内部，

过点P作尸Q，/,垂足为。，贝1尸河|+|尸耳=|尸根+|尸。］,（抛物线的定义），

故当且仅当P,Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|尸闾+归尸|最小，

最小值为点M到直线I的距离，所以尸|）111ta=2-（-1）=3,

故选：B.

22

【例3】（多选）（2024•河南开封•三模）椭圆C:J^+3=1（机>0）的焦点为耳，B，上顶点为A,直

TT

线A［与C的另一个交点为8,若/片A8=§,则（）

A.C的焦距为2B.C的短轴长为2后

C.C的离心率为"D.AAB与的周长为8