2025年高考数学复习 解题思路训练：第19题 新结构定义题（平面向量与解三角形部分）含答案

2025年高考数学复习解答题解题思路训练专题0319题新结构定义题

（平面向量与解三角形部分）（典型题型归类训练）（含答案）专题0319

题新结构定义题（平面向量与解三角形部分）

（典型题型归类训练）

1.（2024上•福建宁德•高一统考期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691

XX

年，莱布尼茨等得出“悬链线"方程V_c（.+e工），其中C为参数.当c=l时，就是双曲余弦函数coshX==二

"22

类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx=三匚.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.（只写出

即可，不要求证明）；

（2）VXG［-1,1］,不等式85112%+加8511%之0恒成立，求实数加的取值范围；

⑶若型］,试比较cosh（sinx）与sinh（cosx）的大小关系，并证明你的结论.

42

2.（2023下•贵州贵阳•高一统考期末）阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提

出了“三斜求积术"：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为。，中斜为匕，大斜为

则三角形的面积为S=a%?-［匕；一行］］这个公式称之为秦九韶公式;材料二：古希腊数学家海伦

在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即己知

三角形的三条边长分别为。，瓦c,则它的面积为S=,其中p=g（a+6+c）,这个公

式称之为海伦公式；材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题.海

伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美，秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公

式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学

水平；材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在

直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即设凸四边形的四条边长分别为a,6,c,d,p=g（a+b+c+d）,凸

四边形的一对对角和的半为e，则凸四边形的面积为s=](p-a)(p—b)(p-c)(p-d)-abedcos?8这个公

式称之为婆罗摩笈多公式.请你结合阅读材料解答下面的问题：

⑴在下面两个问题中选择一个作答：(如果多做，按所做的第一个问题给分)①证明秦九韶公式与海伦公

式的等价性；②已知圆内接四边形MNP。中，MN=2,NP=4,PQ=5,QM=3,求“NPQ的面积；

(2)ABC中，的对边分别为,已知ABC的面积为6,其内切圆半径为La=4,b<c,求5,c.

3.(2023下•广东广州•高一统考期末)古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边

长〃，b,c计算三角形面积的公式：S=y]p(p-a)(p-b)(p-c),这个公式常称为海伦公式.其中，

p=g(a+6+c).我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a,b,c计算三角

形面积的公式：s=；,这个公式常称为"三斜求积〃公式.

⑴利用以上信息，证明三角形的面积公式S=：acsin2；

RsinA

(2)在ABC中，a+c=8,tan-=------求.ABC面积的最大值.

22-cosA

4.(2023下•江苏宿迁•高一统考期中)设"次多项式£。)=""+4_1尸++生/+卬+4(%7。)，若其

满足匕(cosx)=cos〃x,则称这些多项式勺⑴为切比雪夫多项式.例如：由cos(9=cos(9可得切比雪夫多项

式4(无)=尤，由cos26»=2cos2e-l可得切比雪夫多项式£。)=2/一1.

(1)若切比雪夫多项式月。)=加+"2+5+1,求实数处b,c,d的值；

(2)已知函数/(x)=8尤3一6x-l在上有3个不同的零点，分别记为占,马，与，证明：x1+x2+x3=0.

5.(2022上•河北邢台•高三统考期中)阅读下面的两个材料：

材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术"：若把三角形的三条边分别称为小

斜、中斜和大斜，记小斜为。，中斜为6,大斜为，，则三角形的面积为S=一-］这

个公式称之为秦九韶公式；

材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，

即已知三角形的三条边长分别为。，4c,则它的面积为S=Jo(p-a)(。一6)(p-c),其中p=g(a+6+c),

这个公式称之为海伦公式.

请你解答下面的两个问题：

(1)已知；ABC的三条边为a=71=8,c=9,求这个三角形的面积S；

(2)已知，ABC的三条边为。=下由=瓜＜=6,求这个三角形的面积S；

⑶请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明.(如果多做，则按所做的第一个证明记分).

6.(2024上•河南•高三校联考期末)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下:

%2的ijk

4b24=%/?2c3+〃2b3。1+〃34c2-。3b2。1一〃281。3—〃也。2.若〃X。二%%4，则称4XZ?为空间向量4与

q0C3%2%Z?

〃的叉乘，其中a=xj+yj+z/(xl,yl,zleR),b=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2eR),/j,%｝为单位正

交基底.以O为坐标原点、分别以次的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,

5是空间直角坐标系中异于O的不同两点.

(1)①若4(1,2,1),求OAxOB;

②证明：OAxOB+OBxOA=D.

AOB

(2)记aAOB的面积为S，证明：5AOB=^\OAxOB\.

⑶证明：(04x08)2的几何意义表示以二AO3为底面、|OAxO@为高的三棱锥体积的6倍.

7.(2023下•北京•高一北京八十中校考期中)在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整

点列(整点即横纵坐标都是整数的点)A(〃)：A，4，&，…，A“与B2,S3,纥，其中

若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段其中i=L2,3,,n-l,则称A(w)与

8(”)互为正交点列.

(1)求4(3)：4(0,2),4(3,0),4(5,2)的正交点列2(3)；

⑵判断A(4)：4(0,0),4(3,1),4(6,0),4(9」)是否存在正交点列8(4)?并说明理由；

(3)V«>5,WGN,是否都存在无正交点列的有序整点列A(〃)？并证明你的结论.

8.(2023下・北京东城・高一统考期末)对于三维向量以=(4，%­)(4，%*小2％=0,1,2,),定义"F变

换"：必二=网区)，其中，xk+l^\xk-yk\,yk+l=\yk-zk\,zk+l^\zk-xk\.记(％)=4"左，+%+

(1)若&=(3,1,2),求㈤及同;

(2)证明：对于任意7,经过若干次尸变换后，必存在KeN*,使卜。=。；

⑶已知%=(P，2,q)(qZp),同=2024,将％再经过机次尸变换后，卜』最小，求加的最小值.专题03

19题新结构定义题(平面向量与解三角形部分)

(典型题型归类训练)

1.(2024上•福建宁德•高一统考期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691

XX

年，莱布尼茨等得出"悬链线"方程±41，其中C为参数.当C=1时，就是双曲余弦函数coshx==:

"22

类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx=三匚.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

⑴类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2]=.(只写出

即可，不要求证明)；

⑵不等式cosh2x+mcoshxZO恒成立，求实数机的取值范围；

⑶若%£[；,=]，试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.

42

【答案】(l)2sinh(%)cosh(x)；

(2)m>—1；

(3)cosh(sinx)>sinh(cosx).

【分析】(1)利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解.

(2)根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得.

(3)作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.

2x_-2x/x-x\zx।

[详解](1)sinh(2%)=-----------=------------------------=2sinh(x)cosh(x).

2x.—2xx.—x

(2)依题意，VXG[-1,1],不等式cosh2%+加coshxNOo------------\-m----------->0,

22

函数”=砂在[-Ml上单调递增，wete-\ej,令仁6、+尸="+匕

U

显然函数:w+!在上单调递减，在[l,e]上单调递增，/e^e-'+e],

U

又e?x+e-2%=(e"+e-")2—2=/一2,于是VX£[-L1],cosh2x+mcoshx>0<=>-——-+—>0,

22

29

因此V、w[2,e—i+e],m>——t,显然函数》=—1在[2,匕一】+e]上单调递减，

tt

当％=2时，Nmax=T，从而根之T，

所以实数机的取值范围是机>-1.

兀3兀

(3)Vxe[—,——],cosh(sin%)>sinh(cosx).

3%esmx+e-smxgCosx_e-cosx

依题意,xe[―,—」，cosh(smx)-sinh(cosx)=--------------------------------

4222

1

=—(ze„sinx—e—cosx+.ec-sinx+.e^-cosx)\,

当JT时，兀一巴£[0,兀],sinx-cosx=V2sin(x--)>0,即sinx>cosx,

4444

于是esinx-e8sx>0,而e-sinx+e-cosx>0,因此cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,

5兀3兀

当兀£(一,一]时，cos%<0,贝!J-cosxNcos%,ecosx<e-cosx,

42

cosxcosxsinx-sinx

即e_e_<o,而e+e〉0,因此cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,

于是Vx£[四,—],cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,所以cosh(sin%)>sinh(cosx).

【点睛】结论点睛：函数y=/(x)的定义区间为。，①若VxeO,总有相</(尤)成立，则机</(x)血“；②

若VxeD,总有机〉/(%)成立，则m>/(x)111ax；③若BXED,使得机</(%)成立，则m</(%)max；④若*e。,

使得m>f(x)成立，则加〉/(x)min.

2.(2023下•贵州贵阳•高一统考期末)阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提

出了"三斜求积术"：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为。，中斜为匕，大斜为。，

则三角形的面积为5=：a2c2一-6].这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家海伦

在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即己知

三角形的三条边长分别为。，瓦c,则它的面积为S=Jp(p_a)(p_：)(p_c),其中p=J(a+6+c),这个公

式称之为海伦公式；材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题.海

伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美，秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公

式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学

水平；材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在

直线，其余各边均在此直线的同侧)中，即设凸四边形的四条边长分别为a,Ac,d,p=^a+b+c+d),凸

四边形的一对对角和的半为e,则凸四边形的面积为s=J(p-a)(°-6)(°abedcos?8.这个公

式称之为婆罗摩笈多公式.请你结合阅读材料解答下面的问题：

⑴在下面两个问题中选择一个作答：(如果多做，按所做的第一个问题给分)①证明秦九韶公式与海伦公

式的等价性；②已知圆内接四边形MNP。中，MN=2,NP=4,PQ=5,QM=3,求MNP。的面积；

(2)ABC中，A,B,C的对边分别为瓦c,已知ABC的面积为6,其内切圆半径为1,a=4,b<c,求6,c.

【答案】(1)答案见解析

(2)6=3,c=5

【分析】(1)若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式化简得到SjC=Jp(pi)(0-b)(p-c)，即可求解；

若选择②：根据题意得到。=7,得到四边形的面积为s=J120-a60fcos2。，结合四边形"NPQ是圆内接

四边形对角和为180。，代入即可求解；

(2)设内切圆半径为人根据S3BC=:(。+人+c)〃，求得6+。=8,再由海伦公式化简得到历=15,联立

方程组，即可求解.

【详解】(1)解：若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式:

°ABC

a+b+ca+c-bb+a-cb+c-a

2222

设〃=；(a+6+c),

c\a+b+c(a+b+ca+b+ca+b+c、

所以一",V一一4V一F

=Qp(p_a)(p_b)(p_c)

上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的.

若选择②：因为p=；(a+b+c+d),且跖V=2,NP=4,PQ=5,QM=3,

代入可得P=gx(2+4+5+3)=7,

所以S=J(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos。®=d120-abcdccs*192,

因为四边形间3。是圆内接四边形，对角和为180。，

所以8=90。，可得S=20-2x4x5x3腐90°=2病.

(2)解：设内切圆半径为乙因为5AAsc=；(4+b+c)v,

代入SABC=6,a=4,r=l,可得Z?+c=8,①

iq

又由p=—(a+b+c)=q^=6,

2r

由海伦公式s.即c=Jp(p-a)(0-1)(p-c),可得6=>y6(6-4)(6-Z?)(6-c),

化简得(6-b)(6-c)=3,即6c-6(6+c)+36=3,

代入①，可得秘=15,②

g+c=8

联立方程组，《,S.b<c,解得。=3,c=5.

也。=15

3.(2023下•广东广州•高一统考期末)古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边

长〃，b,。计算三角形面积的公式：S=yjp(p-a)(p-b)(p-c),这个公式常称为海伦公式.其中，

p=g(a+6+c).我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a,6,c计算三角

形面积的公式：S=：,这个公式常称为“三斜求积”公式.

⑴利用以上信息，证明三角形的面积公式S=；acsin2；

RsinA

（2）在ABC中，a+c=8,tan-=---------求,ABC面积的最大值.

22-cosA

【答案】（1）证明见详解

（2）473

【分析】（1）根据题意结合余弦定理分析证明；

（2）利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得26=a+c,再运用题中公式结合基本不等式运算求解.

【详解】（）因为」一

1coSB+LJgpc-+a--b-^accosBf

lac2

且5£（0,兀），则sin5>0,所以S=；〃csin5.

.Bc.BB

2sm-cos—

Bsin7sin3

(2)因为tan,=——与22

cos—2cos一1+cosB

22

由题意可得=sinA,即sjn/2-cosA)=sinA(1+cosB),

1+cosB2—cosA

整理得2sin5=sinA+sinAcosB+cosAsin5=sinA+sin(A+5)=sinA+sinC,

Z74-f

由正弦定理可得2b=a+c=8,gpZ?=—=4,

ABC的面积S=

=/c2a2-―2a2_（24—ac）2]=J12ac-144,

因为m4（"+c）=16,当且仅当。=。时，等号成立，

一4

贝！]S=V12ac-144<^12x16-144=4G，

所以帅C面积的最大值为46.

4.（2023下•江苏宿迁•高一统考期中）设〃次多项式£«）=%〃+%/"—++出》+0/+4（。“力0）,若其

满足E,（cosx）=cos依，则称这些多项式心⑺为切比雪夫多项式.例如：由cos6»=cos6可得切比雪夫多项

式6（x）=x,由cos26=2cos2。一1可得切比雪夫多项式E（x）=2--1.

⑴若切比雪夫多项式6（%）=依3+法2+4+〃，求实数〃，b,c,d的值;

⑵已知函数，(x)=8d_6尤-1在上有3个不同的零点，分别记为花,马，鼻，证明：玉+%+%=0.

【答案】(1)。，b,c,d的值分别为4,0,-3,0；

⑵证明见解析.

【分析】(1)利用给定的定义，结合和角的余弦化简并求出月(x)作答.

(2)利用(1)的结论，求出，，再利用和差角的余弦计算作答.

【详解】(1)依题意，

鸟(cos0)=cos33=cos(26>+0)=cos26cos6-sin20sin0^(2cos20-1)cos6(-2sin26cos6

=2cos30-cos0-2(1-cos20)cos0=4cos36-3cos6,

因此居(x)=4d-3x,即0^+陵2+cx+d=4x3-3x,则4=4,5=1=0,。=一3,

所以实数a,b,c,d的值分别为4,0,-3,0.

(2)函数于(x)=8/-6x-1在(-1,1)上有3个不同的零点%,马,三，即方程4无3_3x=g在(-1,1)上有3个不

同的实根，

17757r77r

令工=85仇。£(0,兀)，由(1)知cos39=-,而3。£(0,3兀)，贝|3。=—或36=—或36=—,

2333

兀5717717157r7兀714兀2兀

于是％=cos—,x2=cos—,x3=cos—,贝！J%+x2+x3=cos—+cos—+cos—=cos--(cos—+cos—),

,4兀2TI/3兀兀、/3兀兀、小兀兀71

而cos----Fcos—=cos(—+—)+cost--------)=2cos—cos—=cos—,

999999399

所以玉+%+%=0.

【点睛】思路点睛：由方程4/_3x=g的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求

角的问题求解.

5.(2022上•河北邢台•高三统考期中)阅读下面的两个材料：

材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小

斜、中斜和大斜，记小斜为。，中斜为6,大斜为〜则三角形的面积为S=J；a*一-］这

个公式称之为秦九韶公式；

材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，

即已知三角形的三条边长分别为。也c,则它的面积为S=(。一6)(0-c),其中p=；(a+6+c),

这个公式称之为海伦公式.

请你解答下面的两个问题：

(1)已知,ABC的三条边为a=7/=8,c=9,求这个三角形的面积S；

(2)已知：ABC的三条边为a=Eb=®c=&,求这个三角形的面积S；

⑶请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明.(如果多做，则按所做的第一个证明记分).

【答案］⑴126

(2)叵

2

⑶证明见解析

【分析】(1)利用海伦公式求解即可；

(2)利用秦九韶公式求解即可

(3)在ABC中，过点A作设AD=肌BD=x,CD=y,算出人=+c?〃),

2a

然后利用面积公式即可证明

【详解】(1)由题意得：p=gx(7+8+9)=12,

由海伦公式得：S=J12x(12-7)x(12-8)x(12-9)=^12x5x4x3=12下

(2)由题意得：a2=5,b2=6,c2=7,

由秦九韶公式得：S=£5x7一=v1X(35-9)=2•

(3)证明秦九韶公式如下:

在，ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,

过点A作AD13C,设AD=〃，BD=x,CD=y,

x+y=aI

由/72=c2_,得：x/+C2-Jy=2-c\,J--4--a---2--c-r,

ccc2a2〃c

h2=b2-y22a

设夕=g(Q+Z?+C),

a+b+c(a+b+c0a+b+c©a+b+c

•qP(PP-b)(p-c).

一QABC---------ci=小-矶

222

6.（2024上•河南•高三校联考期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下:

axCl?iJk

Ab2b3=岫2c3+a2b3cl+a3ble2-a3b2cl-a2b1c3-01b3c?.若QxZ?=石X4，则称axZ?为空间向量〃与

qC2C3犬2%Z2

」的叉乘,其中〃=%i+x/+z/（项,如4wR）,b=x2i+y2j+z2k（x2,y2,z2eR）,为单位正

交基底.以O为坐标原点、分别以，，/次的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,

B是空间直角坐标系中异于。的不同两点.

（1）①若A（l,2,1）,B（0,-l,l）,求OAxOB；

②证明：OAxOB+OBxOA=Q.

（2）记AO3的面积为S&B，证明：SA0B=^\0Ax0B\.

⑶证明：（04x0町的几何意义表示以3Aa为底面、|OAXO4为高的三棱锥体积的6倍.

【答案】⑴①。4xO3=（3,T-l）；②证明见解析

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】（1）利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.

（2）利用数量积公式求得cos/AO5,则有sinZAO5=J1-cos?ZAOB可知

s,,烟.sin=_（04.08）2,借助叉乘公式,利用分析法即可证得结果.

（3）由（2）S*OB=化简可得（OAxOB）2=gsAOB.|oAxO@><6,即可得出结果.

【详解】（1）①因为4（1,2,1）,3（0,-1,1）,

ijk

则04*03=121=2z+O+（-l）^-O-j-（-l）z=3i-j-A：=（3,-l,-l）.

0-11

②证明：设A（%，x，zJ,B（x2,y2,z2）,

贝！]OAxOB=y1z2i+zxx2j+-x2ylk—z^j-y2zxi={ylz2-y2z1,zlx2—z2xl,xly2-x2yj,

将巧与Xi互换，方与%互换，Z?与Z1互换，

n]"OBxOA=（y2zi-y1z2,z2xx-zxx2,,

故OAx03+O3xOA=(0,0,0)=0.

226

(OAOB)2_VOAOB-(OAOB)2

(2)证明：因为sinNAOB=Jl-cos?NAOB=

1-|2|2

OB\w囱

故SAOB=；|。410B\-sinZAOB=|JOA"OB『_(OAOB)；

故要证SAOS=』%xO@,

只需证|OAx=J|OA|2|OB|2-(<9A-OB)2，

即证|0Ax08『『一(OA-O8)2.

由(1)OA=(xl,yl,zl),OB=(x2,y2,z2),OAxOB=(yYz2-y2z1,zxx2-z2xT,-x2^),

22

故|OAxOq=(yjZ2-^z；)+(ZjX2-z^)+(^^2~x2yI)~,

z

=yi2+£z：+z；考+z；龙:+年为+X；y；-2ylz2y24T2Zlx2z,xx-2xly2x2yl

2

又|OA「=x；+y：+z：,\OB\'=%|+yf+zf,{OAOB^=(Xjx2+yxy2+zxz2),

zz2

故阿］时70A.08)2=(x；+W+z；乂4+£+z；)-a%+%%+i2)

=(寸+y；+z：)(x：+y；+z；)一(国々+丫跖+2必2)2

=y；z；+y；z；+z；x；+z；片+x；货+-2y1z2y2zl-一2x1y2x2yl

贝“OAx08/=|(?A|2|OB|2-(OAOB)2成立,

故SA°B=JOAX。Q.

(3)证明：由(2)5A0B=||0AX0B|,

22

(OAxOB)=|OAxG>fi|=11OAxOfi|-21OAxOfi|=SAOB-21OAxOB|,

故(04x08)2=|sAOB-\OAxOB\x6,

故(04x08)2的几何意义表示以一AOS为底面、|0Ax。目为高的三棱锥体积的6倍.

7.(2023下•北京•高一北京八十中校考期中)在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整

点列(整点即横纵坐标都是整数的点)A(〃)：A，4,43,…，4与3(〃)：与，与，鸟，…，凡，其中“23,

若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段4AM，瓦4包，其中i=l,2,3,,n-l,则称A(〃)与

8(")互为正交点列.

(1)求A(3)：4(0,2),4(3,0),A(5,2)的正交点列2(3)；

⑵判断A(4)：A(0,0),4(3,1),A3(6,0),4(9,1)是否存在正交点列8(4)?并说明理由；

(3)V«>5,MGN,是否都存在无正交点列的有序整点列A(")?并证明你的结论.

【答案】⑴4(0,2),4(2,5),4(5,2)

(2)不存在，理由见解析

⑶不存在，证明见解析

【分析】(1)由正交点列的定义可知片(0,2),B3(5,2),设坊(工广)，由正交点列的定义可知

4A-=o,4A-BIB3=°>即可得出结论；

)设点列耳，是点列，AA的正交点列，则可设

(2B2,B3,4A,3,A4

4名=4(-1,3)心员=4(1，3),&4=4(-1,3),4，%,4eZ,因为A与耳，A,与相同，即可得到结

论；

(3)Vn>5,neN,都存在整点列A(〃)无正交点列.设4其二=(%〃)，其中为，〃是一对互质整数,

n-1n-\

E(-咕)=£%

i=1,2,3,,n-l,则有：二；M,分类讨论，即可得出结论.

£(皿)=%

、i=lz=l

【详解】(1)设点列4(。，2),4(3,0),4(5,2)的正交点列是与，星，B3,

由正交点列的定义可知与(。,2),四(5,2),

设星（x,y）,A4=（3,-2）,4A=（2,2）,BA=（x,y-2）,B2B3=（5-x,2-y）,

由正交点列的定义可知44•4旦=o,4A•B2B3=0,

3x-2（y-2）=0x=2

即解得

2（5-x）+2（2-y）=0,y=5

所以点列4(。，2),4(3,0),43(5,2)的正交点列是用(0,2),8式2,5),B3(5,2).

(2)由题可得A4=(3,1),44=(3,-1),44=(3,1),

设点列4，纥，B3,凡是点列A，4,4,4的正交点列，

则可设4鸟=4(-1,3),8283=4(1,3),四鸟=4(-L3)，4，&，4eZ

f—4+办—A,=0①

因为4与4，4与4相同，所以有°：I台

因为4，4，4eZ,方程②显然不成立，

所以有序整点列4(。,0),4(3,1),4(6,0),4(9,1)不存在正交点列；

(3)Vn>5,neN,都存在整点列A(")无正交点列.

V/z>5,“cN,设A4+i=（q,〃），其中生，2是一对互质整数，i=l,2,3,…,“-I

若有序整点列与，层，四，…B,是点列印，4,A3,…4正交点歹U,

则44+1=4(-2,q),7=1,2,3,-1,

n—1n—1

S(-2A)=Ea-'I)

Z=1Z=1

n-\n-1

£(皿)=力(2*)

,Z=1i=l

l,i为奇数

当〃为偶数时，取A（o偶），a,=3,4=,z=1,2,3,...,n—1.

-甲为偶数

由于与，B2,层，…纥是整点列，所以有4eZ,7=1,2,3,,n-l.

等式（2*）中左边是3的倍数，右边等于1,等式不成立，

所以该点列A,4，&，…4无正交点列;

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