2025北京重点校九年级（上）期末数学汇编：圆（上）章节综合（京改版）（解答题）

2025北京重点校初三（上）期末数学汇编

圆（上）章节综合（京改版）（解答题）

一、解答题

1.（2025北京顺义初三上期末）数学课上，老师提出如下问题:

已知：如图，48是。的直径，射线AC交心。于点C.

①在射线AC上截取AE,使AE=AB；

②连接BE,交，。于点。.

所以点。就是所求作的点.

（1）按照小华的作法，补全图形；

（2）补全下面的证明.

证明：连接AD,

AB是；。的直径，

:.ZADB=（）（填推理依据）.

AB=AE,

：.ZBAD=ZEAD.

二点。为BC的中点.

2.（2025北京大兴初三上期末）如图，△A8C是:.。的内接三角形，延长BC至点。，CE平分NACD交

。于点E,连接AE,BE求证：AE=BE.

3.（2025北京大兴初三上期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点尸和半径为1的C给出如下定义：若

过点尸的直线/交C于A,2两点，在尸，A,B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点

时，则称点尸为C的关联点.

⑴当点C与。重合时，

①在点E（4,0）中，C的关联点是；

②已知点尸（孙〃）在直线y=r+3上，若点尸为C的关联点，求相的取值范围；

（2）C的圆心C（c,O）,直线>=一专了+26与x轴，y轴分别交于点M,N,若线段上存在C的

关联点P,则c的取值范围是.

4.（2025北京昌平初三上期末）在平面直角坐标系xQy中，。的半径为1,对于平面上的点N和M给出

如下定义：若在，：。上能找到一点P,使得=（%为常数），MZP2VM=a（O<a<18O°）,则称

（1）已知点4（3,3）.

①点3（4,0）,C（6,l）,D（l,6）中，是。关于点A。,90。）关联点的是；

②若点6）是］O关于点A的（2,90。）关联点，则6的取值范围是；

⑵点是直线>=了上一点，点G是。关于点尸的（0,45。）关联点，若存在点G在直线*=-2

上，求点尸横坐标七的取值范围.

5.（2025北京昌平初三上期末）如图，。是边长为4的正方形A38的外接圆.

AB

⑴求。的半径；

(2)求图中阴影部分的扇形面积.

6.(2025北京门头沟初三上期末)下面是圆周角定理的证明过程，选择情况2或情况3,补全该情况的证

明过程.

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

已知：在。中，8c所对的圆周角为/BAC,圆心角为/BOC.

求证：ZBAC=-ZBOC.

2

证明：情况1：如图1,当点。在/BAC的一边上时：

OA=OC,

:.AA=AC.

ZBOC=ZA+ZC,

:.ZBOC=2ZA.

即/BAcf/gOC.

情况2：如图2,当点。在/3AC的内部时：

情况3：如图3,当点。在/BAC的外部时：

7.(2025北京密云初三上期末)在平面直角坐标系中，。半径长为1,AB为。的一条弦，若

ZAPS=a(0°<«<180°),则称点P为。的弦A8的a度相关点.

（1）如图，直线y=x与：。交于A,8两点，在点G（l,o）,G（2,l），C37，"中，是弦A3的90。相关点

的有

（2）已知:。的弦C。的长为行，点P是弦C。的60。相关点，T是CD中点，则△PCD面积的最大值为，当

△PCD面积取得最大值时尸7长为一.

（3）已知点0是直线y=xT上的一个动点，且存在。的弦所，跖=2,点。为。的弦的60。相关

点，直接写出点。横坐标f的取值范围.

8.（2025北京密云初三上期末）如图，AB是:。的直径，是O的弦，45，。）于£.

B

⑴求证：NCOB=2NBAD；

⑵若CD=8,BE=2,求。的半径长.

9.（2025北京平谷初三上期末）我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G,点M到图形G上所

有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离.

（1）平面直角坐标系下，已知点尸（0,3）,以O为圆心，1为半径画圆，则点P到。的距离为；

（2）平面直角坐标系下，已知点尸（0,3）,在平面内有一个矩形ABCD,A（-2,l）,5（2,1）,£＞（-2,-1）.

①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为.

②若M为矩形ABC。上一点，连接OM,以0M为直径画圆，记作圆G,则点尸到圆G的距离d的取值

范围为•

10.（2025北京房山初三上期末）如图，48是。直径，C。是。的一条弦，且于点E,连接

AC,如和OC.

A

（1）求证：ZACO=ZD；

⑵若CD=4JI,tanZD=①，求O的半径.

2

11.（2025北京西城初三上期末）给定圆C和直线/,过圆C上一点尸作直线/于点H,直线PH与圆

C的另一个交点记为Q,将尸称为点P关于直线/的特征值.特别地，当点H与点P或。重合时，点

P关于直线/的特征值为0；当点尸和。重合时，点P关于直线/的特征值为PH?.

在平面直角坐标系xOy中，

⑴圆”是以点/（1,3）为圆心，2为半径的圆，

①若点P的坐标是（3,3）,则它关于y轴的特征值是：；

②点7是圆“上一动点，将点T关于x轴的特征值记为"贝V的取值范围是；

（2）已知圆。的半径为2,直线/:y=H+3（左＞0）,若圆。上存在关于直线/的特征值是3的点，直接写出女

的取值范围.

12.（2025北京门头沟初三上期末）如图，在中，是直径，C。是弦，于点E,

CD=24,BE=8.求：。的半径.

B

13.（2025北京通州初三上期末）在平面直角坐标系xQy中，。的半径是3.对于点P和O,给出如下

定义：过点C的直线与O交于不同的点N,如果点尸为线段的中点，我们把这样的点尸叫做关

于睦V的“弦中点”.

⑴如图1,已知点C(-2,0)；

①点6(-2,0),1(-1,1),6(0,2)中是关于肱V的“弦中点”的是；

②若一次函数>=无+6的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，求b的值；

(2)如图2,若C(-6,0),一次函数>=-氐+根的图象上存在关于MN的“弦中点”，直接写出相的取值范

围.

14.(2025北京西城初三上期末)如图，。是VABC的外接圆，油=才(？，直径3DLAC,垂足是E.

(1)求证：AABC是等边三角形；

⑵若AB=3,求OE的长.

15.(2025北京东城初三上期末)如图，圆形拱门的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果。是。中

弦A3的中点，连接。。并延长交。于点C,并且=CD=2.5m,求」。的半径.

16.(2025北京海淀初三上期末)已知：如图，AB是。的弦.

求作：。上的点C,使得NABC=45。.

作法：①连接AO并延长交1。于P；

②分别以点A,P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点。；

2

③作直线。。交C。于点C—G，连接BG，8c2.

所以，点C-C2就是所求作的点.

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明：

证明：连接AQ,PQ.

AQ=PQ,AO^PO,

：.OQ±AP（）（填推理的依据）.

ZAOC,=ZAOC2=90°.

A,B,G，C,都在〔O上，

.-.ZABC^^ZAOQ,ZABC2=1ZAOC2（）（填推理的依据）.

ZABQ=ZABC2=45°.

17.（2025北京东城初三上期末）己知：为△ABC的外接圆，。是3c边上的一点，连接A3.

求作：NBEC,使得点E在线段AD上，MZSEC=2ZR4C.

作法：

①连接OB，分别作线段02,2C的垂直平分线4，4,两直线交于点尸；

②以点尸为圆心，长为半径作圆，交线段AD于点E；

③连接BE,CE.

/BEC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接OC.

•.•点A,B,C在。上，

AZBAC=|ZBOC（_）（填推理的依据）.

:点3,O,E,（7在＜尸上，

NBEC=N_.

：.ZBEC^IZBAC.

18.（2025北京通州初三上期末）如图，在△ABC中，AB=AC.

求作：射线AE,使得AE〃台C.

小靖同学的作法如下：

①以点A为圆心，A3长为半径画圆，延长54交:A于点。；

②作一ABC的角平分线交＜A于点E；

③作射线AE.

所以射线AE即为所求.

A

请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明

证明：连接DC,AB=AC,.,.点C在上.

BD是，A的直径，,NBC£>=()(填推理依据)

BE平分^ABC,ZABE=NCBE.DE=CE>

ZDAE=ZCAE()(填推理依据).

AD=AC,AE±DC.()(填推理依据).AE//BC.

19.(2025北京丰台初三上期末)在平面直角坐标系xQy中，。的半径为1.对于。的弦48和点C,

给出如下定义：若在〈。上或其内部存在一点C'使得四边形。1C3是菱形且是该菱形的对角线，则称

点C是弦A3的“伴随点”.

⑴如图，点A(0,l),B(l,0).

②若点。是弦AB的“伴随点”且ZADB=120°,则OD长为二

(2)已知P是直线V=x上一点，且存在tO的弦“N=应，使得点P是弦的“伴随点”.记点尸的横坐

标为f,当t>0时，直接写出/的取值范围.

20.(2025北京平谷初三上期末)唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行

模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦A3长为8米，轮子的半径AO为5米，求轮子的吃水

深度CD.

21.（2025北京三帆中学初三上期末）下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规

作图过程.

已知：如图1,ABC.

求作：直线3。，使得BD//AC.

作法：如图2

①分别作线段AG的垂直平分线4，4两直线交于点。；

②以点。为圆心，Q4长为半径作圆；

③以点A为圆心，长为半径作弧，交劣弧AB于点D；

④作直线

所以直线3。就是所求作的直线.

根据设计的尺规作图过程，

⑴使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接AD,

点A,B,C,。在（。上，AD=BC,

AD^.（）（填推理的依据）.

:.ZDBA=ZCAB（）（填推理的依据）.

:.BD//AC.

22.（2025北京通州初三上期末）如图，，。的直径A3垂直弦于点E,尸是圆上一点，。是8尸的中

点，连结CP交于点G,连结BC.

c

B

E

D

⑴求证：GE=BE.

（2）若AG=6,3G=4,求CD的长.

23.（2025北京三帆中学初三上期末）如图，在。。中，点E是弦CD的中点，过点。，E作直径4B（AE

>BE）,连接8。，过点C作CT〃应）交A8于点G,交。。于点F连接AF.求证：AG=AF.

24.（2025北京平谷初三上期末）已知：如图，AABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：线段80,使得点。在线段AC上，^.ZCBD=-ZBAC.

2

作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；

②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交于点P（不与点8重合）；

③连接交AC于点D线段就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：连接尸C.

AB=AC,

...点C在，A上.

.点尸在1A上，

:.ZCPB=-ZBAC（_________）（填推理的依据）.

2

BC=PC,

:.ZCBD=

:.ZCBD=-ZBAC.

2

25.（2025北京燕山初三上期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水

面的距离为8根，桥拱半径OC为5帆，求水面宽48的长度.

参考答案

1.（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线

的性质.也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理.

（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）连接AD,根据圆周角定理的推论/ADB=90。，再根据等腰三角形的性质得到,所

以BD=CD.

【详解】（1）解：如图，点。为所作；

（2）证明：连接AD,

：AB是，：。的直径，

ZADB=90°（直径所对的圆周角为直角），

,/AB=AE,

：.ZBAD=ZEAD,

:•BD=CD，

点。为的中点.

故答案为：90°,直径所对的圆周角为直角，BD=CD-

2.见解析

【分析】首先根据圆周角定理可得：ZACE=ZABE,根据圆内接四边形的对角互补可得：

/E4S+NECB=180。，根据邻补角定义可得：ZDCE+NECB=180°,根据同角的补角相等可得:

NEAB=ZDCE,等量代换可证=,根据等角对等边可证AE=BE.

【详解】证明：CE平分ZACD,

:.ZACE^ZDCE,

根据圆周角定理得：ZACE=ZABE,

:.ZABE=ZDCE,

.四边形ABCE为Q的内接四边形，

:.ZEAB+ZECB=180°,

ZDCE+ZECB=180°,

:./EAB=/DCE,

:.ZABE=NEAB,

/.AE—BE.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义.解

决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系.

3.(l)®Z)(2)0<m<3

(2)0<c<9

【分析】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角形等

知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系.

⑴①点〃在c内，连接C。，过点。作的垂线，交二C于两点A,B,则。是48的中点，点E在圆

外，点E到C最小的距离为3,大于C的直径2,进一步得出结果；

②设直线>=-尤+3与尤轴和y轴分别相交于点A,B,则4(3,0),*0,3),点A、8到C的最小距离是

2,圆的直径是2,当点尸在线段时，点P是。的关联点，进一步得出结果；

(2)先求得M和N坐标，作C4LMV于A,作ABIx轴于2,当AC=3时，点A是iC的关联点，解直角

三角形ABC得出AB和2c的长，进一步求得点A,从而得出点C坐标；当M是C的关联点时，

MC=3,从而得出c=9,进一步得出结果.

【详解】(1)解：①点。在c内，连接C。，过点。作C。的垂线，交C于两点A,B,则。是的

中点(垂径定理)，

故点。是C的关联点，点E不是，

故答案为：D-,

②如图1,

图1

设直线丁=-尤+3与x轴和y轴分别相交于点A,B,则4(3,0),B(0,3),

点A、8到C的最小距离是2,圆的直径是2,

当点尸在线段AB时，点？是(。的关联点，

,,.0<m<3；

(2)如图2,

当x=0时，y=273,

.•.N(0,2⑹，ON=26,

当y=0时,

0=-—X+2A/3,

3

..x=6,

/.M(6,0),OM=6,

tanZWO=—=—,

OM3

:.ZNMO=300,

作C4_LM?V于A,

:.ZCAM=9QP,

.\ZACM=60°,

当AC=3时，点A是C的关联点,

AB=AC-sinZACM=3x0

2

3

BC=ACcosZACM=-,

2

当y=2叵时，

2

23

3

「.x=一

2

;.OB=BC,

••・点。在点。处，c=O,

当〃是。C的关联点时，MC=3（点c在图中C点处），c=9,

.-.0<c<9,

故答案为：0<c<9.

4.（1）①C和D；®7<b<ll,-5<b<-l；

⑵-2-忘WxV-2+0或2-夜4尤42+夜.

【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，一元二次方程，圆的基本性质，正确理解题意，掌握知识点

的应用是解题的关键.

（I）①根据“关联点”的定义逐一判断即可；

②由点E（a,b）是］。关于点A的（2,90。）关联点，即/PA£=90。，且AE=2AP,贝U。关于点A的

（2,90。）关联点在以A与4为圆心，半径为2的圆上，从而求出范围；

（2）先任取一点歹（租,机），作等腰Rt。耳尸与等腰RtOF2F,由定义可得点G在以耳（一加，相）为圆心，半

径为五的g上，或以玛（祖,-祖）为圆心，半径为血的耳上，若存在点G在直线x=-2上，则

—m-y/2<-2<-in+及或m-也<—2<m+y/2，从而求出范围；

【详解】⑴解：：A（3,3）,B（4,0）,C（6,l）,D（l,6）,

AB2=（3-4）2+（3-0）2=10,AC2=（3-6）2+（3-l）2=13,AD2=（3-l）2+（3-3）2=13,

设，:。上的点P（x,y）,则B42=（x-3）2+（y-3）\

•••点P（x,y）是。上的点，，。的半径为1,

•*.x2+y2=1,

①根据新定义知：当时，则=

；•AB2=PA2>

即（x—3y+（y—3）2=10,

x2-6x+9+y2-6y+9=10,

化简整理,得8/-12X+5=0,

二方程无解，

.••点2不是。关于点4（1,90°）关联点；

根据新定义知：当上4,AC时，则AC=lxR4,

/.AC2=PA2,

即（x-3『+（y_3）2=13,

/.x2-6x+9+y2-6y+9=13,

x+y=l,

y=l-x,

x2+（l-x）2=1,

化简整理，得/—％=o,

解得：玉=0,々=1，

・・・尸（0,1）或P（1,O）,

点C是。关于点4（1,90。）关联点；

同理点。是关于点4（1,90。）关联点；

故答案为：，。关于点4（1,90。）关联点的是点C、点D点；

②•.•点矶附）是（O关于点A的（2,90。）关联点，即/24£=90。，且AE=2AP,

.••将。绕点A顺时针旋转90。，并延长使得44,=204,同理将。绕点A逆时针旋转90。，并延长使得

At=2OA,

则、。关于点A的（2,90。）关联点在以片与4为圆心，半径为2的圆上，

（2）解：•..点厂（.另）是直线y=x上一点,

先任取一点F（m,m）,

•••点G是：。关于点厂的（3,45。）关联点，

ZPFG=45°,且FGfPF，

，作等腰RtOFXF与等腰RtOF2F,

•••点G是。关于点歹的（夜,45。）关联点，

.,.点G在以耳为圆心，半径为后的片上，或以月（孤-〃2）为圆心，半径为后的区上,

如图，

若存在点G在直线x=—2上，则-相―应4—2V—加+夜或根-&W—2W根+夜，

解得2-0V根42+夜或-2-应<加〈一2+血,

BP-2-V2<x<-2+^^2-A/2<X<2+A/2.

5.⑴2夜；

（2）271.

【分析】（1）由。是边长为4的正方形ABCD的外接圆，则NCOD=90。，然后用勾股定理即可求解;

（2）由扇形的面积公式即可求解；

本题考查了正多边形和圆，扇形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）解：：正方形ABC。，

360°

ZCOD=——=90°,

4

又＜OD=OC,

/.在RtAODC中，DC?+OD2=CD2,

OC1+OC2=42,即2OC2=16,

:・OC=2®(负值舍去)；

(2)解：由(1)得：NCOD=90。，oc=2j2,

,_n-7i-r2_90-7i-(2A/2)2_

**S扇形。co===2兀•

360360

6.见解析

【分析】情况2、连接A0,延长49交。于点。，根据等边对等角可知N1=NC、Z2=ZB,根据三角

形外角的性质可知/BAC=g/BOC；

情况3、连接A0并延长，交10于点。，根据等边对等角可知NC=NQ4C、ZB=/OAB,根据三角形

外角的性质可知NOOC=2NQ4C、ZDOB=2ZOAB,因为/BOC=ZDOC-/DOB,所以可知

ZBOC=2ZBACf可证结论成立.

【详解】解：选择情况2,证明过程如下：

连接49,延长A0交」。于点

OA=OC,

.-.zi=zc,

又NCQD=N1+NC,

.\ZCOD=2Zl,

OA=OB,

「.N2=ZB,

又/BOD=/2+/B,

:.^BOD=2Z2,

ABAC=Z1+Z2=-/COD+-/BOD,

22

=；(NCOD+N3OD)

=-ZBOC；

2

选择情况3,证明过程如下图所示,

连接49并延长，交。于点O,

OA=OC,

:.ZC=ZOAC,

ZDOC=ZC+ZQ4C=2ZOAC,

OB=OA,

:.NB=NOAB,

ZDOB=NB+ZOAB=2ZOAB,

NBOC=ZDOC-ZDOB,

ZBOC=2ZOAC-2ZOAB=2（ZOAC-ZOAB）2ABAC,

:.ZBAC=-ZBOC.

2

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质、圆周角定理，解决本题

的关键是添加辅助线构造等腰三角形，根据等边对等角找到相等的角，再根据三角形的外角等于与它不相

邻的两个内角之和得到圆心角与圆周角之间的关系.

7.⑴C和G

⑵地,3

42

22

【分析】（1）根据题意可判断出仅G（1，。）和Cs［曰,）］在。上，再由圆周角定理推论可得

NAGB=ZAC3B=90°,从而可判断C,和C3是弦AB的90°相关点；

（2）如图2所示，T为弦CD中点，当尸T_LCD时，PT最大,由垂径定理可知，PC=PD,得到△CP£>

为等边三角形，CD=PC=PD=y/3,PT=sin60°xPC=l，进而△产•）面积的最大值为工。。.尸7=地；

（3）由题知为。的直径，由题意及定弦定角原理，先判断出当两点在x轴上固定不变时，点。

在分别以-。为圆心，孚为半径的，弦所所对的优弧上运动（不含砂两点），如图

3所示.再判断得出当EP旋转起来后，。点在以原点为圆心，以君为半径的圆上运动，综合可得点。的

运动区域为以原点为圆心，1和百为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界），又点

。必须在直线y=x-l上运动，从而可得到点。的横坐标的取值范围.

【详解】（1）解：•.•12+02=1］#）+（£|=1,22+12=5,

.•.点G（l,o）和1等，，在o上，

：A5为直径，

由圆周角定理推论可得NAGB=3B=90°,

G和G是弦AB的90°相关点，

故答案为：G和C,.

（2）解：如图2所示，T为弦CD中点，

X

,/弦CD的长为出，点P是弦CD的60°相关点,

故ZCPD=60°,P点在弦CD所对优弧上,

当尸T_LCD时，尸T最大，由垂径定理可知，PC=PD,

3

为等边三角形，CD=PC=PD=6Pr=sin60°xPC=-,

/.面积的最大值为=

2224

故答案为：史之.

42

（3）解：：。半径长为1,故。直径为2,

：Q的弦EF=2,故E尸为（。的直径.

由于点。为.>0的弦EE的60。相关点，及定弦定角原理，

则ZEMF=120°,ZMEF=30°,OE=1,OM=tan30°X）E=—,

3

则当所两点在x轴上固定不变时，点。在分别以"卜，¥，NO,为圆心，与为半径的，弦EF所

图3

此时6；

当跖旋转起来后，。点在以原点为圆心，以Q为半径的圆上运动,

此圆交直线y=x-i于0和。2两点，

由题意可设点Q10JT）,

则由勾股定理可得—后，解得“等i（舍去正值）,

则公三叵，

2

同理可得。2的横坐标为匕好，

2

综上，点。的运动区域为以原点为圆心，1和百为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域(不含内圆

边界)，

又•••点。必须在直线y=xT上运动，

综上可得点Q横坐标f的取值范围为三54f<0或1<云叶城.

22

【点睛】本题以是一道圆的新定义综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等边三角形的判

定及性质，勾股定理，一次函数，定弦定角，(3)问难度较大，根据定弦定角找出。点的运动轨迹是解题

关键.

8.(1)见详解

⑵5

【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

(1)连接OD,利用垂径定理可得：BC=BD，从而可得=然后利用圆周角定理可得：

ZDOB^IZDAB,从而可得=即可解答；

(2)利用垂径定理可得：CE=DE=4,然后设。的半径为r,在RfOCE中，利用勾股定理进行计算

即可解答.

【详解】(1)证明：连接OD,

•.•直径ABLCD,

BC=BD，

：./COB=ZDOB,

•:ZDOB=2/DAB,

：.ZCOB=2ZDAB；

(2)解：u：ABVCD,

:.CE=DE=-CD=4,

2

设"。的半径为「,

在RfOCE中，OC-=CE2+OE2,

r-=42+(r-2)2,

解得：r=5,

.1，。的半径长为5.

9.(1)2

(2)®3-V5<iZ<2；②回

2

【分析】(1)根据点到圆上距离即可解答；

(2)①根据题意分别求出当。尸过的中点E时，此时点尸与矩形ASCD上所有点的连线中，d=PE；

当OP过顶点A时，此时点尸与矩形ABCD上所有点的连线中，d=PA；当。尸过顶点AD边中点尸时，

此时点P与矩形ABCD上所有点的连线中，d=PF,即可求解.由题意可得，点。为矩形ABCD的对称

中心，连接Q4,求出。4=逐；

②根据题意：点G是的中点，G点在长为gA8=2,宽为1的矩形PQRS边上运动，当点M为

OC中点时，连接尸G,点尸到圆G的距离有最大值，当点/与点A重合，点P到圆G的距离有最小值，

据此即可解答.

【详解】(1)解：根据题意，，。与y轴正半轴的交点为(0,1),

则点尸到。的距离为3-1=2；

(2)解：如图，当。尸过48的中点E时，此时点尸与矩形A2CD上所有点的连线中，d=PE,OE=1,

:.d=PE=OP—OE=2；

如图，当。尸过顶点A时，此时点P与矩形ABCD上所有点的连线中，d=PA,

矩形ABCD,AB=4,AD=2,中心为O,

BC=AD=2,ZB=90°,

AC=^AB2+BC2=2A/5，

OA=-AC=45,

2

：.d=AP=OP-OA=3-y/5；

如图，当OP过顶点AD边中点尸时，此时点尸与矩形458上所有点的连线中，d=PF,OF=2,

：.d=PF=OP-OF=l；

综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为3-V5<rf<2；

②根据题意：点G是OM的中点，

G点在长为］AB=2,宽为］AD=1的矩形PQRS边上运动，

如图，当点M为。C中点时，连接尸G,点尸到圆G的距离有最大值,

此时，OM=1,

：.OG=~,

2

Ad=PG-OG=PO=3-,

当点M与点A重合，点尸到圆G的距离有最小值,

B

-5-4-3-：345^

C

2-2

-3

-4

-5

«,八厂A/29—A/5

,・d=PG-OG=------;

2

综上，点尸到圆G的距离d的取值范围为叵二叵4d43.

2

【点睛】本题考查了点到圆上的距离，坐标与图形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确画

出示意图，利用数形结合的思想是解题的关键.

10.（1）见解析

⑵3

【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了垂径定理和解直角三角形.

（1）先利用。1=OC得到NACO=NA,再根据圆周角定理得到NA=",然后利用等量代换得到结论；

（2）先根据垂径定理得到CE=r>E=；CD=2应，再根据正切的定义计算出皿=2,设。的半径为r,

则OE=r-2,在RtOCE中利用勾股定理建立方程，然后解方程即可.

【详解】（1）证明：：Q4=OC,

ZACO=ZA,

,/ZA=ZD,

：.ZACO=ZD；

(2)解：VCDLAB,

：,CE=DE=LCD」X4母=2盘,

22

在中，VtanZ)=—=

DE2

设CO的半径为r,则OE=r—2,

在RtOCE中，CE-+OE-=OC2,

则+（一2）2=产，

解得r=3,

即。的半径为3.

11.（1）®3；②5W9；

⑵恒WA庭或上220.

7

【分析】（1）①由题意得尸〃=3,QH=1,再根据新定义即可求解；

②过7作7月，为于点直线7W与圆M的另一个交点记为。，过M作MKLQT于点K,根据新定义

即可求解；

（2）分当直线/在圆。的外部时当直线/在圆。的内部时两种情况分析即可；

本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，一次函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题

的关键.

【详解】（1）解：①如图，过尸作于点直线P”与圆〃的另一个交点记为Q,

:.PH=3,Q"=l,

点尸关于y轴的特征值为PH3=3义1=3,

故答案为3；

②如图，过T作TWLx于点直线7W与圆M的另一个交点记为。，过M作MKLQT于点K,

：.QK=TK=^QT,MK//x,

：.KH=3,

:.TH=KH—KT=3—KT,QH=KH+QK=3+QK,

：.QH=3+KT,

二关于x轴的特征值记为r=（3—KT）（3+KT）=9—KT2=9—1F）=9—午，

由题意可得：0<QT<4,

.•.当QT=O时，r=9；当QT=4时，f=5；

••"的取值范围是5V/V9,

故答案为：5<f<9；

（2）解：如图，当直线/在圆。的外部时，过P作尸”，/于点H,直线尸”与圆。的另一个交点记为

过。作OE，/于点E,过E作所于点尸，易得四边形OE〃K为矩形，

OE=KH,

"：0<PQ<4,

：.KH2=-i+^-,

4

：.y/3<KH<y/y,即也WOEW币,

当OE=J7时，

由勾股定理得：EN=y/ON2-OE2=J32一（司=夜,

S.EON=；ENXOE=；ONXEF,gp|xV2xV7=1x3x£F,

.e4

・・EF=-----,

3

7

由勾股定理得：OF=~,

・7A/14缶刀/曰i

••一=-------k+3,角牛彳仔•k=-------；

337

当OE=G时，

由勾股定理得：EN=JON。-0_2=J?_=瓜,

：.SFON=-ENXOE=-ONXEF,即,X石x"='x3xE厂，

-EON2222

•*-EF=6,

由勾股定理得：。9=1,

.-.£（-72,1）,

••1=—y/2k+3，解得：k=y/2;

••.%的取值范围为巫4/40;

7

同理可得：关于直线/的特征值是3的点，3=PHQH=^--KH2,

\-0<PQ<4,

:.KH<1

当PQ=4时，KH最大值为1,

OE=1,

同理求得：点半，!)，

.」=一逑左+3,解得：k=2历，

33

.♦•上的取值范围为人22后，

综上可知：%的取值范围为巫夜或人220.

7

12.13

【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.

连接OC,设。的半径为r,则OE=r-8,根据垂径定理可求出CE,再根据勾股定理得到关于r的方

程，求出即可.

【详解】解：如图，连结OC,

2

设。，。的半径为r,贝！JOE=r—8,

在RtZkCOE中，ZOEC=90°,

由勾股定理得CE2+OE。=OC2,

：.122+(r-8)2=r2,

解得r=13,

的半径为13.

13.⑴①片，P2-,②b=l+6或b=l-应

⑵-3』<mW6-3有

【分析】(1)①作直线OP,根据垂径定理可知/CPO=90。，则可得尸点在以(-1,0)为圆心，1为半径的

圆上，再结合所给的点进行判断即可；

②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心。(-1,0),由题意可知直线y=x+6与圆。

相切，过点。作。尸垂直直线>=尤+6交于点f，先证明EGOSEFD,根据相似三角形的性质即可求

解；

(2)由(1)可知，尸点在以OC为直径的圆弧斯上，由题意可得直线y=+与圆弧町相交或相

切，分两种情况求出加的值，即可得优的取值范围.

【详解】(1)解：①作直线。尸，

P点是弦的中点，

:.OP1MN,

:.ZCPO=90°,

：.P点在以CO为直径的圆上，

c(-2,0),

尸点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，

•.•点片(-2,0),鸟(-1,1)在该圆上，

.•.点片(-2,0),£(-1,1)是关于叱的“弦中点”，

故答案为：儿巴;

②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心。(-1,0),

•••直线y=x+b上只存在一个关于政v的“弦中点”，

二直线y=x+6与圆。相切，

过点。作o尸垂直直线y=x+6交于点/，

当直线y=x+b与y轴交于正半轴时，

•・,直线y=兀+。与x轴交于点E（-b⑼,与y轴交于点G（O,A）,

:.DE=-l+b,OG=b,

ZDFE=/EOG=90°,/DEF=AGEO,

/.EGOsEDF,

DFED

,GO-EG?

•1_b—l

.•厂正+/，

解得：/?=忘+1或b=0（舍去），

当直线y=与,轴交于负半轴时，同理可得b=i-

综上所述，人的值为1+及或1-8；

（2）解：由（1）可知，P点在以OC为直径的圆弧斯上，

・・・直线y=—氐+m上存在关于MN的“弦中点”，

「・直线y=-J5%+m与圆。相切或相交，

过点。作£>P垂直直线y=-J我+m交于点P，当直线y=-石%+m经过点P时，m取得最大值,

;直线y=-石力+根与x轴交于点（、一加,0）,与>轴交于点（0,加）,

7c°Gmr；

二.tan/GKO-.......=-r=—=

OK73

——m

3

...ZOKG=ZDKP=60°,

C(-6,0),

・••圆。的半径为3,

：.DP=OD=3,DK=OD+KO=3+—m,

3

皿=*左=26

2

2^/3=3+•tn,

3

m=6-36;

当直线y=-6工+加经过点尸时，机取得最小值,

,:DO=DF=OF=3,

・•・是等边三角形，

4/0=60。，

过点尸作FH1DO,

/.OH=-DO^~,HF=y/OF2-OH2=—,

解得：m=-3杷.

m的取值范围-3A/3<OT<6-3A/3.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角

形，勾股定理等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点尸的运动轨迹是解题的关

键.

14.(1)证明见解析

(2)Z)E=—

2

【分析】(1)根据垂径定理得出AB=CB，结合已知以及弧、弦的关系可得出AB=3C=AC,即可得证；

13

(2)根据等边三角形的性质和垂径定理、圆周角定理等可求出4石=彳4。=彳，ZADB^ZACB^6Q°,根

22

据含30。的直角三角形的性质得出DE=；AD,然后在Rt4出中根据勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：•••直径3D_LAC,垂足是E,

AB=CB

••---—*

­AB=AC，

••AB=BC=AC>

：.AB^BC^AC

：.△ABC是等边三角形.

(2)解:连接AD,如图.

,/△ABC是等边三角形，

AZACB=60°,AC=AB=3.

:直径3D，AC,垂足是E,

13

AZAED=90°,AE=-AC=-.

22

,?ZADB=ZACS=60°,

.,.在Rt^AED中，ZEAD=30°.

DE=-AD.

2

由勾股定理得的>2=隹2+062,即(2£>E)2=]|)+DE2,

解得DE=®.

2

【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系，圆周角定理，等边三角形的判定与性质以及勾股定理等,

熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键.

15.1.3m

【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接。4,并设圆的半径为r；由垂径定理推论得

AD=-AB=0.5m,OD=(2.5-r)m；在RtAOAD中，利用勾股定理建立方程即可求得半径.

2

【详解】解：如图，连接Q4,设圆的半径为r；

,；D是。中弦AB的中点，

/.AD=-AB=0.5m,OD±AB；

2

*.*OD=(2.5-r)m,

...在Rtz\Q4£）中，由勾股定理得：0.52+（2.5-r）2=r2,

解得：r=1.3；

答：。的半径为1.3m.

16.⑴见解析

（2）三线合一，圆周角定理

【分析】此题考查了尺规作图，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握以上知

识点.

（1）根据题干中的作图方法作图即可；

（2）首先由三线合一得到LAP,然后利用圆周角定理求解即可.

【详解】（1）如图所示，点G，G即为所求.

（2）证明：连接A。，PQ.

AQ=PQ,AO^PO,

■.OQ1AP（三线合一）（填推理的依据）.

ZAOCt=ZAOC2=90°.

A,B,G，g都在。上，

.-.ZABC^^ZAOQ,ZABC2=1ZAOC2（圆周角定理）（填推理的依据）.

ZABCj=ZABC2=45°.

17.⑴见解析

（2）圆周角定理；ZBOC

【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解

答的关键.

（1）根据题中作图步骤，结合垂径定理、线段垂直平分线的性质、和圆的基本性质画图即可；

（2）根据圆周角