2025年高考数学复习难题之复数

2025年高考数学复习难题速递之复数（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2024春•万源市校级期中）若复数z=〃z-2+（2m+l）i（mGR）为纯虚数，则复数z-m在复平面对

应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2024春•洛阳月考）已知复数z满足z（1-0:=i,则下列结论正确的是（）

A.z=7+于B.z的虚部与实部相等

C.\z\=lD.存在复数Z1,使zzi<0

3.（2024春•城区校级月考）在复平面内，复数zi,Z2对应的点关于直线x+y=0对称，若zi=2+i,则|Z2

-1+3;|=（）

A.V29B.1C.5D.V5

4.（2024春•雨花区校级月考）若复数z满足|z+2i|+|z-2i|=8,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.圆D.线段

5.（2023秋•湖州期末）已知复数z满足（z-1）i=4+3i（i为虚数单位），贝吻+2=（）

A.8B.6C.-6D.-8

6.（2023秋•宁波期末）设i为虚数单位，且z（1+0=2,则2=（）

A.-1-zB.1-zC.-1+zD.1+z

z4—3i

7.（2023秋•邵东市校级月考）已知复数z满足一；=——，则|z|=（）

3+4iz

A.3B.5C.9D.25

8.（2023秋•山东月考）复数z满足|z-i|=|z-1|,则|z+l|的最小值为（）

V2l1

A.—B.1C.V2D.-

22

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•重庆模拟）已知复数zi、Z2,下列说法正确的有（）

A.若|Z1|=|Z2|,则Z1^=Z2a

B.若z刑+z：=0,则zi=z2=0

C.若Z1Z2=O,则Z1=O或Z2=O

D.若|Z1-Z2|=|Z1+Z2|,则Z1Z2=O

（多选）10.（2025春•济南期中）已知复数zi,Z2,则下列命题一定成立的有（）

A.若|zi+z2|=0,则"=—私

B.若|Z1|=|Z2|,则呼=z/

C.ki-z2l=瓦,列

D.（Z1+Z2）2=（药+为2

（多选）11.（2025春•渝中区校级月考）复数Z满足|z|=|z+i|=l,则（）

A.|z|=1B.z为纯虚数C.z—z——iD.z+z=±V3

（多选）12.（2025春•鼓楼区校级月考）设Zl,Z2均为模是1的复数，则（）

A.zl=zlB.|zi-Z2|W2

C.IZ1Z2I+IZ1刃=2D.|zi-3+44的最大值为5

三.填空题（共4小题）

13.（2025春•余姚市校级月考）设z为复数，若|z|=l,则|z+2i|的最大值为.

14.（2025•南沙区校级模拟）已知公式”=cosx+isiru,其中i是虚数单位，根据此公式计算i•底务的虚部

是.

15.（2024春•高新区月考）已知复数zi,Z2满足|zi|=阂=1,Z]+Z2=得+字i,则zl•z2

16.（2024春•鼓楼区校级期末）已知复数z满足iz=2+i,则z的虚部为.

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•雁塔区校级月考）己知复数z=/2020+（1-0〜（其中,•为虚数单位），若复数z的共朝复数

为2,且2,Zi=4+3i.

（1）求复数2；

（2）求复数zi；

（3）若zi是关于x的方程7-px+q=0的一个根，求实数p,g的值，并求出方程x2-/zx+q=0的另一

个复数根.

18.（2024秋•周口校级期末）对任意一个非零复数Z,定义集合Mz=｛回3=z2nT,neN）.

（1）设a是方程x+1=&的一个根，试用列举法表示集合Ma；

（2）若复数36环，求证M3aMz.

19.（2025春•河北月考）已知复数z=2+ai（a€R,i为虚数单位），其共轨复数为2.

（1）若复数（3+力”为纯虚数，求实数a的值；

（2）若复数（3+1A2是实数，求实数a的值；

(3)若21=白，且复数zi在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数。的取值范围.

20.(2024秋•唐县校级期末)对于zo,zi,Z2GC,记k=||为zi,Z2关于zo的“差比模”.若取遍|zo|

z32~z0

=r(r>0),记Zl,Z2关于3|=-的“差比模”的最大值为―，最小值为的沏，若kma/hnin=2,则称

Zl,Z2关于『的“差比模”是协调的.

(1)若Zo=2+日>Z1=1,Z2=—1,求Zl,Z2关于Z0的“差比模"；

(2)若Zi=l+Bi,Z2=l-V3i,是否存在r<2,使得zi,Z2关于厂的“差比模”是协调的？若存

在，求出厂的值；若不存在，说明理由；

、b2—a2

(3)若ZI=Q,z2=bi,a,/?ER且a,b>r,若zi,z2关于r的“差比模”是协调的，求——■一的值.

2025年高考数学复习难题速递之复数（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BDDAADBA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACACACDBC

一.选择题（共8小题）

1.（2024春•万源市校级期中）若复数z=〃z-2+（2m+l）i（mGR）为纯虚数，则复数z-%在复平面对

应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数对应复平面中的点.

【答案】B

【分析】由题意可得m=2,再由复数的几何意义求解即可.

【解答】解：因为复数z=m-2+（2s+l）i（偌6R）为纯虚数，

所以优-2=0,解得：m=2,

所以z=5i,则z-机=57-2,

复数z-相在复平面对应的点为（-2,5）,在第二象限.

故选：B.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的概念，属于基础题.

2.（2024春•洛阳月考）已知复数z满足z（1-D=i,则下列结论正确的是（）

A.z=1+|iB.z的虚部与实部相等

C.|z|=lD.存在复数zi,使zzi<0

【考点】复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】D

【分析】根据已知条件，先对z化简，即可判断A,再结合实部、虚部的定义，复数模公式，即可判断

BC,再结合特殊值，即可判断D

【解答】解：z（1~力=i,

z的实部为-短虚部为：，故AB错误；

乙2

|z|=+/=与,故C错误；

11111

当Z1=2+2，时，ZZ]=一[―4=-2V。，故D正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题.

3.（2024春•城区校级月考）在复平面内，复数zi,Z2对应的点关于直线x+y=0对称，若zi=2+i,则0

-]+3i\=（）

A.V29B.1C.5D.V5

【考点】复数的模.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】D

【分析】根据对称性可求Z2,故可求|z2-l+3i|.

【解答】解：因为zi=2+i,故其对应的点为（2,1）,该点关于直线x+y=0对称的点为（-1,-2）,

该点对应的复数为z2=-1-2i,故忆2—1+3i|=|-1—2i—1+3i|=|-2+i|=通.

故选：D.

【点评】本题考查复数的模长，属于基础题.

4.（2024春•雨花区校级月考）若复数z满足|z+2i|+|z-24=8,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.圆D.线段

【考点】复数与复平面中的轨迹问题.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】A

【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解.

【解答】解：设尸（x,y）,Fi（0,2）,Fi（0,-2）,复数z对应点P,

因为复数Z满足|z+2i|+|z-2z|=8,

由复数的几何意义，可得|PF2|+|PFi|=8=2a>|FiF2|=4=2c,

所以复数z对应的点满足椭圆的定义，复数z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆.

故选：A.

【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题.

5.(2023秋•湖州期末)已知复数z满足(z-1)i=4+3iM为虚数单位),则z+。=t)

A.8B.6C.-6D.-8

【考点】共辗复数；复数的运算.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】A

【分析】由题意，利用复数代数形式的运算法则求出z,再根据两个复数相等的充要条件，共辗复数的

定义，得出结论.

【解答】解：,复数Z满足(z-1)i=4+3i(，为虚数单位)，设2=0+万，a、bGR,

则｛a+bi-1)i=4+3i,即-b+(a-1)z=4+3z,：.\~b=4

求得《二：4'可得z=4+4i,

则z+2=4+4i+4-4i=8.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，共轨复数的定义，两个复数相等的充要条件，属于基础题.

6.(2023秋•宁波期末)设i为虚数单位，且z(1+0=2,则2=()

A.-1-zB.1-zC.-1+zD.1+i

【考点】共乐复数；复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合共轨复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

【解答】解：z(1+z)—2,

制22(1-0..

贝』宜=许产历=1-，

故2=1+1.

故选：D.

【点评】本题主要考查共轨复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

7.(2023秋•邵东市校级月考)已知复数2满足三=」，则|z|=()

3+4iz

A.3B.5C.9D.25

【考点】复数的模；复数的运算.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】B

【分析】利用复数的模的性质可求答案.

【解答】解：由已知有=与＞，即|矛=25,

|3+4i||z|

所以|z|=5.

故选：B.

【点评】本题考查复数的乘法运算，复数的模，考查学生的数学运算能力.

8.(2023秋•山东月考)复数z满足|z-i|=|z-1|,则|z+l|的最小值为()

V2厂1

A.—B.1C.V2D.-

22

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案.

【解答】解：设复数z在复平面上的对应点为尸(a,b),

则|z-i|可表示为复平面上点尸(a,b)到A(0,1)的距离，

|z-1|可表示为复平面上点尸(a,b)到8(1,0)的距离，

由题意可知：点尸在线段A8的中垂线上，如下图：

线段的中点为》，直线AB的斜率上AB=-1,

则P的轨迹方程为y=整理可得x-y=0,

由|z+l|可表示为点P(a,6)至!JC(-1,0)的距离d,

,1-1-01_72

Umin—71+1—2•

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的模，复数的几何意义，属于中档题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025•重庆模拟)已知复数zi、Z2,下列说法正确的有()

A.若|zl|=|z2|,则Z1元=Z2卫

B.若z£+z：=0,则zi=z2=0

C.若Z1Z2=O,则Zl=0或Z2=0

D.若|ZLZ2|=|zi+z2|,则Z1Z2=O

【考点】复数的运算；共轨复数；复数的模.

【专题】方程思想；转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】AC

【分析】利用特殊值法可判断5、。选项；利用共轨复数的定义结合复数的乘法可判断A选项；设Z1

=a+bi,a,Z?eR,Z2=c+力，c,旄R,利用复数的乘法和复数相等可判断C选项.

【解答】解：对于A,设九n—1,2),

则zZ=(ai+bii)(ai-bii)=忧+*=区『,同理得z2私=⑸产,

所以，若|zi|=|z2|,贝!JzZ=忆1『=忆2『=Z2五选项A正确；

对于5,若赞+z：=0,不妨取zi=l+i,Z2=l-i,

贝ljz"+z：=(1+z)2+(1-f)2=2Z-2/=0,但ziWO且Z2W0,选项3错误；

对于G设zi=〃+Z?i,a,bER,z2=c+di,c,d£R,

若ziz2=0,贝！J(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0,

所以｛:、普二:‘即｛屈:线4两式相乘变形得，(d+庐)cd=O,

则〃2+。2=0,或c=0,或d=0,

①当次+廿=o时,a=b=O,即zi=O；

②当a2+b2^0,且c=0时，贝ljbd=ad=O,

又因为a,不同时为0,所以d=0,即z2=0;

③当〃2+。220,且d=0时，则〃c=bc=O,同理可得c=0,故Z2=0；

综上，命题“若Z1Z2=O,则Z1=O,或Z2=O”成立，选项C正确；

对于。，若|zi-Z2|=|zi+Z2|,不妨取zi=l+i,Z2=l-i,

则|zi-z2|=|2i|=2,|ZI+Z2|=2,|ZI-Z2|=|ZI+Z2|,但ZIZ2=(1+Z)*(1-D=2,选项。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，是中档题.

(多选)10.(2025春•济南期中)已知复数zi,Z2,则下列命题一定成立的有()

A.若|zi+z2|=0,则五=-z7

B.若|zi|=|z2|,则贫=z：

C.\zr-z2\=瓦•可

D.(Z1+Z2)2=(zj+z7)2

【考点】复数的运算；共辗复数；复数的模.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据共轨复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.

【解答】解：设zi=〃+/?i,z2=c+di(a,b,c,JeR),则痣=a—bi,~z^=c—di.

zi+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i,若|zi+z2|=0,贝U4+c=0,Z?+d=0,

所以有+私=a-bi+c-di=(a+c)-(b+d)z=0,即/=一五，A正确；

2222

\zr\=Va+b,\z2\=Vc+d,若|zi|=|z2|,则42+62=02+^^0，

zf=a2+2abi+(bi)2=a2—b2+2abi,同理域=c2—d2+2cdi,

若z/=z：,则需满足-b2=c2-d2且次?=cd,与①式不同，8错误；

22

\zr-z2|=|(a+Z?i)(c+di)|=|(ac—bd)+(ad+bc)i\=^/(ac-bd)+(ad+be),

\z[•z^|=|(a-bi)(c—di)|=|(ac—bd)—(ad+bc)i\=—bd/+(ad+be?,

所以IZ1Z2I=瓦•可，C正确;

2222

⑵+z2)=[(a+c)+(b+d)i]=(a+c)—(b+d)+2(a+c)(b+d)i②,

(五+z7)2=[(a+c)—(b+d)i]2=(a+c)2—(Z?+d)2—2(a+c)(b+di),与②式不同，D错误.

故选：AC.

【点评】本题考查复数的运算，属于中档题.

(多选)11.(2025春•渝中区校级月考)复数z满足|z|=|z+i|=l,则()

A.团=1B.z为纯虚数C.z-z=-iD.z+z=±V3

【考点】复数的模；复数的混合运算；纯虚数；共辗复数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据复数的模、纯虚数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【解答】解：设z=a+bi,其中bER.

根据|Z|=1列出方程：根据复数的模的计算公式，对于复数Z=Q+山，

其模|z|=7a2+b2,已知|z|=l,则+炉=1,两边同时平方可得〃2+廿=1①.

根据|z+i|=l列出方程：先计算z+i=〃+初+，=〃+（Z?+l）i,

再根据复数模的计算公式可得|z+4=Jq2+（b+i）2,

2

已知|z+i|=l,则JQ2+（匕+1）2=1,两边同时平方可得/+（6+1）=1,

即〃2+.+2"1=1②.

将①代入②可得：1+20+1=1,化简可得2b=7,解得力=一去

把b=-^代入①可得：a2+（—^）2=即。2+.=1,a2=

解得a=±孚.所以z=±孚—

选项A：根据共朝复数的模的性质，对于复数z,团=|z|,已知|z|=l,所以|2|=1,故A正确.

选项b纯虚数是指实部为0,虚部不为。的复数，而2=士字一9的实部土学大0,所以z不是纯虚

数，故8错误.

选项C：当z=苧—:i时，z-+gi，贝Uz—z—（空一gi）—（字+:,）=T；

当z=一空一；i时，则z—z=（一字一；i）一（一字+}i）=­i,故C正确.

选项D当2=学—会时，则z+2=（字—权）+（¥+畀）=百；

当2=一卓一枭时，2=—卓+安，则z+2=（一卓一为+（—字+枭）=一百.

乙乙乙乙乙乙乙乙

所以z+2=士百，故D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

（多选）12.（2025春•鼓楼区校级月考）设zi,Z2均为模是1的复数，则（）

A.Zi=Z2B.|zi-Z2忘2

C.%Z2|+Iz^l=2D.|zi-3+4i|的最大值为5

【考点】复数的模；共轨复数.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据题设，复数Z1和Z2均为模是1的复数，意味着它们在复平面上表示的点位于单位圆上，

利用这一性质，可以对各选项进行分析，从而找出正确的选项.

【解答】解：对于A,Z1,Z2均为模是1的复数，

可设Z1=1,Z2=i,贝!Jz：=1,zj=-1,故A错误；

对于8,Zl,Z2均为模是1的复数，

则|zi-Z2|W|ZI|+|Z2|=2,故B正确；

对于C,Zl,Z2均为模是1的复数，

可设zi=cosa+isina,z2=cos0+isinB，(a,0eR),

则z]z2=(cosa+zsina)(cos0+isin0)=cos(a+0)+zsin(a+p),

所以\zrzi\=-Jcos2(a+P)+sin2(a+=1,=(cosa+isina^cos^—isin^')=cos(a—0)+

isinQa—/?),

\z-^\=y]cos2{a—/?)+sin2(a-=1,所以,逐2|+Z司=2,故C正确；

对于。，|z「3+4i|的几何意义为复平面内以(0,0)为圆心的单位圆上的点到(3,-4)的距离，

Zl,Z2均为模是1的复数，

因为圆心(0,0)到点(3,-4)的距离为5,则最大值为6,故D错误.

故选：BC.

【点评】本题主要考查复数的模，以及复数的几何意义，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025春•余姚市校级月考)设z为复数，若|z|=l,则|z+2i|的最大值为3.

【考点】复数的模.

【专题】函数思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】3.

【分析】设z=a+bi,由模长公式得到/+庐=1.然后由模长公式得到归+20的代数式，由函数的单调性

可知，当b取最大值时|z+2i|取得最大，由/+庐=1求出办的最大值，从而得出结果.

【解答】解：由题意，设z=a+/?i,a,Z?GR,

则|z|=Va2+b2=1,即〃2+房=1,

z+2i=a+(b+2)i,\z+2i|=-y/a24-(h+2)2=Va2+Z)2+4b+4=二5+4b,

令/（x）=>5+4x,则函数在［一^,+8）上单调递增，

又6=±V1-a2<1,当b=l时，|z+2力取最大值3.

故答案为：3.

【点评】本题考查复数的模长，属于中档题.

14.（2025•南沙区校级模拟）已知公式e"=cosx+isinx,其中i是虚数单位，根据此公式计算i•下的虚部

【考点】复数的代数形式与三角形式互化；复数欧拉公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解.

V2

【答案】y.

【分析】根据题意可得小刍=cos（-J）+i-s出（-力，由此计算可得结果.

【解答】解：已知公式*=cosx+isinx,其中i是虚数单位，

由题意得，e/=cos（_/+i.s出（一今）=日—暮3

・・3/V2_V2V2.

•»i'e4=I•-----ij=——|—E，

.”•工）的虚部是座.

2

V2

故答案为：y.

【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

15.（2024春•高新区月考）已知复数zi,Z2满足|zi|=|z2|=l,Zi+z2=*+字i,则zi-Z2=+.

【考点】复数的乘法及乘方运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解.

【答案】—生+空>

【分析】直接利用复数的运算求出结果.

22

【解答】解：由于复数Zl,Z2满足|zi|=|z2|=l,Z1+z2=±+孚3则（Z1+Z2）=z/+2•Z1•Z2+z2=

8+乎i）2=T+亨i'

故Zl,Z2=+

故答案为：一2+字>

【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

16.(2024春•鼓楼区校级期末)已知复数z满足iz=2+i,则z的虚部为-2.

【考点】复数的实部与虚部.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】-2.

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可.

【解答】解：因为iz=2+i,所以2=铝=转＞=1—2i,

所以z的虚部为-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•雁塔区校级月考)已知复数z=*20+(1-z)2(其中，为虚数单位)，若复数z的共轨复数

为2,且2・ZI=4+3i.

(1)求复数2；

(2)求复数zi；

(3)若zi是关于尤的方程/-px+q=0的一个根，求实数p,g的值，并求出方程/-px+q=0的另一

个复数根.

【考点】复数的运算.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】(1)z=l+2i；

(2)zi=2-z；

(3)p=4,q=5,另一根为2+i.

【分析】(1)化简复数z,再根据共辗复数的概念求解；

(2)根据复数的除法的运算求解；

(3)将zi=2-i代入方程/-px+q=0运算求出p,q,代回方程求解.

【解答】解：(1)z=z2020+(1-/)2=z4-万=1-2i,

所以复数z的共轨复数为2=1+21.

(2)因为2/1=4+33

所以7_4+3i_(1-20(4+30_10^_

叫以Zi-耳下-(1_2j)(l+2i)—一§~一/一,

所以zi=2-i.

(3)由题可得：(2-i)2-p(2-z)+q=0,

即(p-4)计3-2夕+q=0,

所以[3-2p+q=0'

解得：p=4,q=5,

贝ij/-4x+5=0,即(尤-2)2=r,

所以方程7-px+q=O的另一根为2+z.

【点评】本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于中档题.

18.(2024秋•周口校级期末)对任意一个非零复数Z,定义集合Mz={3|3=z2nT,n£N].

(1)设。是方程X+3=鱼的一个根，试用列举法表示集合Ma；

(2)若复数36腔，求证MoUMz.

【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)求解方程X+3=/得的=¥(1+i),=¥(1—i),再由有理指数累及i的运算性质

,i-1-i1V2V2V2V2一

可得Mai={—，一，—，—}={—(1+-—(1-i),--(1+-y(1-i)};同理求得

1al2222

—i—1i1

M„={—,一，一，—}=M.则K,可求；

仇2a2a2a2a

(2)由36MZ,可知存在加6N,使得3=z2k1,则对任意尤N,有32〃-1=Z⑵联1)⑵「1)，结合(2机

-1)是正奇数，得32〃「ieMz,即M3cMz.

【解答】(1)解：由x+[=V2»得/—V2x+1=0,

Gt]=(1+i),0.2=(1-i),

当a[=¥(]+')时，：ai2=j,三产-1=")=宗,

i-1-i1V2V2V2V2

•'•Ma]={丁，—,­,—}={—(1+--(1+i)/—(1-0)；

ct-ya】a】a】2222

当©=(1—i)时，・二的？二-i,

—i—1i1

・・・MQ2={二，丁，丁，—}=Ma-

。2。2。2。2r

：.Ma={—(1+i),-—(1-i)/--(1+0^—(1—i))；

(2)证明：-：MEMZ,

，存在〃£N,使得smz2”!

于是对任意游N,32"-1=Z<2L-P,

由于(2机-1)(2n-1)是正奇数，M2nlEMz,

【点评】本题考查了复数的周期性、指数塞的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19.(2025春•河北月考)已知复数z=2+ai(“CR,i为虚数单位)，其共朝复数为2.

(1)若复数(3+i)・z为纯虚数，求实数a的值；

(2)若复数(3+力吃是实数，求实数a的值；

(3)若zi=白，且复数zi在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数。的取值范围.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共辗复数；复数的除法运算；纯虚数.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】(1)a=6；

(2)a=^；

(3)(2,+8).

【分析】(1)由复数的乘法运算以及纯虚数的定义即可得出。=6；

(2)结合共朝复数以及实数的定义即可得出a=|；

(3)利用复数除法计算以及复数的几何意义解不等式即可求出结果.

【解答】解：复数z=2+ai(a€R，，为虚数单位)，其共轨复数为2.

(1)易知(3+i)，z=(3+z)(2+山)=6+3ai+2i+由2=6-〃+(3〃+2)i,

若复数(3+z>z为纯虚数，可得仁一：二0°，

解得«=6；

(2)由z—2+ai可得，=2—ai,

所以(3+i),z=(3+i)•(2—山)=6—3山+2i—山2=6+a+(2—3a)i,

若复数(3+i)D是实数，可得2-3〃=0,

解得Q=1;

c、巨左n-z-2+山_(2+ai)(l+i)_2+2i+ai+ai12_2—a+(2+a)i_2—a2+a.

G)易知zi=^=177r=(l—6(l+i)=IZp=2=丁+丁°'

易知复数Z1在复平面内所对应的点坐标为(号，争)，

p?<0

叫争为

解得。>2.

即实数〃的取值范围为(2,+8).

【点评】本题主要考查复数的定义以及分类，考查计算能力，属于中档题.

20.(2024秋•唐县校级期末)对于zo,zi,Z2GC,记々I为zi,Z2关于zo的“差比模".若取遍|zo|

=T(r>0),记Zl,Z2关于|zo|=〃的“差比模”的最大值为女"%,最小值为的1加，右kmax^kmin=2,则称

Zl,Z2关于厂的“差比模”是协调的.

(1)若Zo=^+孚力Z1=1,Z2=—1,求Zl,Z2关于Z0的“差比模”；

(2)若Zi=l+V^i,z2=1-V3i,是否存在r<2,使得zi,Z2关于厂的“差比模”是协调的？若存

在，求出厂的值；若不存在，说明理由；

22

、Nb—a

(3)若zi=a,Z2=bi,a,Z?ER且a,b>r,若zi,Z2关于厂的“差比模”是协调的，求一~■一的值.

【考点】复数的模；复数的三角表示.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解；新定义类.

【答案】(1)Zl,Z2关于Z0的“差比模”为日；

(2)不存在厂<2,使得zi,Z2关于厂的“差比模”是协调的，证明详见解析；

【分析】(1)根据“差比模”的定义进行运算；

(2)根据“差比模”协调的定义以及共辗复数的性质、复数的模的性质，可推出kmax+kmin>2,故不

存在r<2,使得Z1,Z2关于/"的“差比模”是协调的；

(3)根据“差比模”协调的定义结合复数的三角表示，根据三角函数的有界性将问题以及韦达定理对

所求式子进行转化和求解.

【解答】解：(1)由题意得：k=\^^-\=|-―1|=|一7rl

(1—3+V3i)1=卢智=冬故zi,Z2关于Z0的“差比模”为坐;

(―3—(―3+V5i)1253

(2)不存在rV2,使得zi,Z2关于厂的“差比模”是协调的.理由如下:

先证明共舸复数有如下性质：若任意Zl,Z2CC,则五土W=Z1+Z2,==(―).

z2z2

证明：设zi=〃+Z?i(〃，/?GR),z2=c+di(c,dCR),

则Zi+z2=a+bi±(c+di)=a±c-(b土d)i,

而有土豆=a-初土(c-di)=a±c-(b±d)i,故五±W=Zi+z2，

z7a-biac+bdad-bc

—=----=-------+-------i，

c-dic2+d2c2+d2

_a+bi_ac+bd+(bc—ad)i

W~c+di~c2+d2

zz

_ac+bd—(be—ad)i_ac+bdad—be.±.i_ri.

c2+ac2+ac2+dzz2z2

综上，共辗复数性质等土药=Zi+Z2,盘=3)得证.

z2z2

记当“差比模”取最大值岫ax时的复数Z0为Zmax,即％陋=I汨淮I，

z2~znicix

由己知z1=l+V^i,z2=1—V3i,所以|zi|=|z2|,

由已证明共辗复数的性质与复数模的性质|z|=|2|可得，

Zz

Z1-Z^a%Z2-Z2-If2-mcix>.I_IZ2—Zma%1

因为|

z2~zTnaxzi~zmaxzi~zmaxzi~zmaxz±~zmaxkmax

所以当Z0=Z%ax时取得kmax,则Z0=Z7n时取得kminJ故可知kmax*kmin=\j

1+V^i—z0

由取遍|zo|=r(r>0),k=\|不恒为常数，则kmax丰kmin.

1—z。

故由基本不等式可得kmax+kmin>2,

故不存在rV2,使得21,Z2关于厂的“差比模”是协调的;

(3)zi=a,z2=bi,a,Z?eR且a,b>r,设zo=r(cos6+/sin0),

a-rcose-irsin0a2-^-r2-2arcos6

wyk=\-----――——^-|=-2-；---------，

-rcose+(b-rsinO)iIb+r2-2brsin6

平方整理得：(d+J)-(必+r2)^2=2tzrcos0-2brl^sinQ=V4a2r2+4b2r2sin(6+(p),

所以|sin(0+w)|=|嗒江曲|W1,即

J4a2r2+4b2r2k4

[(d+J)-(廿+J)女4,

整理得：(廿一7)2/一2(d+，)(庐+7)Q+(〃2_於)2<0,

令t=话,设方程(射-7)2?-2(次+於)(射+,)什(«2-r2)2=0,

则A=[2(次+/)(■+r2)]2-4[(Z?2-r2)(/-a)]2=16(«2/?2+r4)(/+廿)^>0,

故方程有两个不等的实数根，设为如n,不妨设机〈九,

由题意知〃>r>0,b>r>0,〃2-，>o,庐一J〉。,

2222222

mii2(a+r)(b+r)、八(a—r)

则+n=----D?——->0,且mn=>0,

m(b—r2)(b2—r2)2

故方程（房-J）¥-2（次+，）（■+/）t+（/-胫）2=0有两不等的正实数根相，小

由关于M的不等式（庐-a）2/-2（〃2+於）（■+於）F+（〃2--）2・0,

解得n],则kmax=Vn,kmin-4m,

由已知zi,z2关于「的“差比模”是协调的，则+遮=2所以m+九+=4,

知田主在E2（」2+厂2）（匕2+—2）面—产）_

利用韦L7E里，（/一产产+2（匕2_厂2）一％

匕2—Q2

则有2(/+/)(庐+/)+2(/-a)(._/)=4(庐-r2)2,化简可得a2=b2-2?,故———=2.

【点评】本题主要考查复数的模和复数的三角表示，属于较难题.

考点卡片

1.集合的包含关系判断及应用

【知识点的认识】

概念：

1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；Acs；如果集合A

是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于4那么集合A叫做集合B的真子集，即AuB；

2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那

么我们就说集合A等于集合8,即A=B.

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义

域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.

2.复数的实部与虚部

【知识点的认识】

i是数学中的虚数单位，%=-1,所以i是-1的平方根.我们把a+bi的数叫做复数，把。=0且bWO的

数叫做纯虚数，且b=0叫做实数.复数的模为Va2+炉.形如历，（小beR）的数叫复数，其中

a,6分别是它的实部和虚部.

【解题方法点拨】

-分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部.

-应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程.

【命题方向】

-实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部.

-实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题.

若复数Z=/-3+2山的实部与虚部互为相反数，则实数a=.

解：若复数z=cr-3+2出的实部与虚部互为相反数，

贝!I/-3+2a=0,解得：.=-3或.=1,

故答案为：-3或1.

3.纯虚数

【知识点的认识】

形如Z?GR）的数叫做复数，a,6分别叫做它的实部和虚部，当。=0,6=0时，叫做纯虚数.

纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果.

【解题方法点拨】

复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路.要完整理解复数为

纯虚数的等价条件，复数z=a+应（a,bER）为纯虚数的充要条件是a=0,bWO.

实数集和虚数集的并集是全体复数集.虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一

个真子集.

【命题方向】

纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度不大，多为低档题