2025年高考数学复习难题之函数应用

2025年高考数学复习难题速递之函数应用(2025年4月)

选择题(共8小题)

1.(2025•昌黎县校级模拟)某工厂的工业废液中含有污染物，需要净化处理才能排放.污染物含量y(单

位：g/L)与净化处理时间，(单位：h)的关系为丫=%)6-而(州，°为正的常数).已知经过5/7净化，

污染物含量减少了20%,那么要使污染物含量不足20%,至少还需要净化处理约(参考数据：log52心

0.431)()

A.27/?B.32〃C.37hD.42〃

2.(2025•道里区校级二模)已知函数了(无)—logax(a>0,a=l),若存在x使得身'(ar)—f(x+1)+f

(x+2)+3成立，则实数。的取值范围为()

11

A.0<a<4B.a>lC.0<a<lD.-<a<l

22

为2।।3xv0

l'「一，若方程/(x)-小+1|=0恰有四个不同实

(2V3Znx+4V3,x>0

数根，则实数。的取值范围是()

A.(2VL3)U(3,2V3]B.(0,2物U(3,2圾

C.(2近，2V3]D.(2V2,3)U{2圾

4.(2025•跳北区校级一模)已知函数“切=炉而-代刁，则下列命题正确的是()

A.3A£R,使得/(x)V<-->0

B.方程无)=加有两个不同实根，则实数"7的取值范围是(-1,1)

C.BxG(0,1),使得/(%)=/(2-尤)

D.若/(a)讨(2-a),则实数。的取值范围是[1,+°0)

(-1,%<0

5.(2025•天津一模)设符号函数sgn(x)={0,%=0,已知函数/(x)=2sgn(cosx)cosx,贝!]()

[1,x>0

A.2Tl为f(x)的最小正周期

B.f(x)图象的对称轴方程为x=hr(k€Z)

C.f(x)在[竽，粤]上单调递增

D.函数g(X)=/(无)-1在[-Tt,Tt]上有4个零点

—X3+x2,x<0

6.(2025•重庆校级模拟)已知/(无)=",g(x)=]2elnx，若函数y=/(g(x))-ag(x)-

，

---x----x>0

a恰有4个零点，则。的取值范围为()

A.(1,y)B.(y,+8)C.(1,y)D.(y,+8)

_%_1xvQ

'一，若g(x)=/(%)-QX至少有三个不同的零点，

\lnx\,x>0

则实数。的取值范围是()

11

A.(0,e)B.(0,e]C.(0,pD.(0,-]

8.(2025•山东模拟)若定义在。上的函数/(x),Vxi,xi,九3E。，f(xi),f(X2),/(X3)可以作为一个

三角形的三条边长，则称/⑴是。上的“三角形函数”.已知函数/(%)=协元+/是定义在区间吐，e2]

上的“三角形函数”，贝h的取值范围是()

2c1

A.(2e2+-/+oo)B.(2e2+-,+oo)

1I

C.(2e+-/+oo)D.(e+-，+8)

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025•湖南模拟)已知函数/(%)=幺等9(%)=幺*-,则()

A.p(x)-g2(x)=1

B.对任意实数x,y,g(x+y)g(x-y)=g2(x)+g?(y)

C.f(2x)=/(x)+g2(x)

D.若直线y=，与函数y=/(x)和y=g(x)的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为月，

X2,X3,则％1+久2+%3>,(1+V2)

%+2%v0

(多选)10.(2025春•金水区校级月考)设函数/(%)=，e%'-,函数g(x)=f(x)-m有三

xlnx+2,x>0

个零点XI,X2,X3,且满足2VX3,则下列结论正确的是()

A.函数/(x)有且仅有三个极值点

B.存在实数xoWO,/(-如)=f(xo)

C.实数优的取值范围是(2-■1，e)

2

D.若m<2,则[<x2+R〈I

(多选)11.(2025•焦作二模)塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩

—%QX

函数有汝九力(久)=*+0与，sig(%)=RF，设tanh(x)的值域为。，sig(x)的值域为则下列结论

正确的是（)

A.EQD

B.2誉［sig（j）+sig（T）］=2025

C.方程2sig（x）=l+tairv的所有实根之和为1

D.若关于x的不等式sig（/+e%）+sig（-m2+2m+l）>1恒成立，则实数机的取值范围为（-1,3）

（多选）12.（2025•鹤壁二模）塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩

tanh

函数有tanh（x）=汽％,sig（x）=百左，设（工）的值域为D,sig（x）的值域为E,则下列

e八十eL-T6

结论正确的是（）

A.EQD

B.+=2025

C.方程2sig（无）=l+tanx的所有实根之和为1

D.若关于x的不等式sig（e^'+ex）+sig（-m2+2/7?+l）>1恒成立，则实数机的取值范围为（7,3）

三.填空题（共4小题）

13.（2025•潮阳区校级模拟）已知函数f（x）=，），”41,设8⑴=|/'（x）|-or+a,若函数g

l-x2+1,x>l

（x）仅有一个零点，则实数。的取值范围是.

1丫2—AY—1I,X•X

11,若方程“尤）=办有4个不同

{ex—1,x<0

的实数根，则实数。的取值范围是.

2%I］_TT7丫VQ

‘一'恰有两个零点，则实数m的取值范

{（x—l）Znx,x>0

围是•

16.（2025•金凤区校级一模）已知定义在R上的函数了（无）满足/（x）+/'（-无）=0，且/（x+2）为偶函

数，则/（x）的周期为；当0Wx<2时，/（x）=V%,若关于尤的方程，（x）\+f（|x|）=ax有

4个不同实根，则实数a的取值范围是.

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•苏州校级月考）设函数/（%）=|sinx|-2cosx.

(1)若ee(0,n),f(0)=2,求tan0的值;

(2)设xoE(0,2n),f(x)在x=xo处取得最大值，求cos2xo；

(3)关于x的方程f(x)=k+*在区间[0,6川上恰有12个不同的实数解，求实数4的取值范围.

18.(2025春•上海校级月考)某公司生产的某批产品的销售量x万件(生产量与销售量相等)，x>0,已

知生产该批产品共需投入成本炉+12/+36X万元，产品的销售价格定为(180+挈)元/件.

(1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数；

(2)当销售量尤投入多少元时，该公司的利润最大，最大值多少？

19.(2025春•西城区校级月考)已知某地某一天4点〜16点的温度变化近似满足函y=10s讥(5%-左兀)+

20,xe[4,16].

(1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差；

(2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？

(3)某种细菌能在温度不低于25℃条件下生存，在4点〜16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时

间？

20.(2024秋•湖北期末)定义域为R的函数〃(x)满足：对任意xCR,都有/z(尤+2n)=〃(尤)+h(2TT),

则称〃(无)具有性质P.

(1)分别判断以下两个函数是否具有性质尸：m(x)=2x-l和〃(x)=1-cosx；

(2)函数/(%)=si九(3%+0)(|V3V|,101V分判断是否存在实数①，(p,使/(%)具有性质产？

若存在，求出3,叩的值；若不存在，请说明理由；

(3)在⑵结论下，若方程"X+9+翳)=a(a为常数)在区间信，普]上恰有三个实数根尤1,

X2,X3(X1<X2<X3),求sin(X3-X2-2x1)的值.

2025年高考数学复习难题速递之函数应用（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BCDDDCDA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACDBCDABDABD

一.选择题（共8小题）

1.（2025•昌黎县校级模拟）某工厂的工业废液中含有污染物，需要净化处理才能排放.污染物含量y（单

位：gk）与净化处理时间，（单位：h）的关系为丫=%6一.（州，。为正的常数）.已知经过5/7净化，

污染物含量减少了20%,那么要使污染物含量不足20%,至少还需要净化处理约（参考数据：log52心

0.431）（）

A.27hB.32/?.C.37/?D.42A

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】先确定污染物的初始含量第，再由y°e-atVO.2yo求解即可.

【解答】解：污染物含量y（单位：g/L）与净化处理时间r（单位：〃）的关系为丫=y0e-at,

令f=0,

得y=yo，

即污染物的初始含量为yo.

因为经过5〃净化，污染物含量减少了20%,

5a

所以0.8%）=y0e~.

4日1,5Zn5—Zn4Zn5—2Zn2

何。=针”=^^=-g—•

要使污染物含量不足20%,

则yoC-ay（）.2yo，

所以=湛嘉==1葭2=362,

又36.2-5=31.2,

所以至少还需要净化处理约32/7.

故选：B.

【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了对数的运算，属中档题.

2.(2025•道里区校级二模)已知函数/(x)=loga无(。>0,aWl),若存在x使得(⑪)=/(x+l)+f

(x+2)+3成立，则实数。的取值范围为()

11

A.0<a<4B.a>lC.0<a<lD.-<a<l

22

【考点】函数与方程的综合运用；对数函数图象特征与底数的关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意，分析/(x)的定义域以及4(依)=/(尤+1)+f(x+2)+3中尤的取值范围，将4

X22

(ax)=f(x+1)+f(x+2)+3等价变形，分析可得;---------=a,设g(x)=x,>.>(x>0),

(久+1)(久+2)r(x+l)(x+29)

分析g(x)的值域，结合函数与方程的关系，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，函数/(x)=\ogaX(G>0,。/1),其定义域为｛尤|x>0｝,

若2f(ar)=f(尤+1)+f(x+2)+3,

Cx>0

则21oga(OX)=loga(X+1)+loga(X+2)+3,有｛久+l>0,则有X>0,

U+2>o

该式变形可得：2(1+logaX)=loga[(尤+1)(X+2)]+3,

则有21ogaXToga[(x+1)(x+2)]=1,

22

BPlogfl(-~三~~—)则有7~三~--a,

(x+l)(x+2)(%+l)(%+2)

丫2丫2i

设g(x)=(x+l)(%+2)，(尤>°),则g(X)=(x>0),

XX，

易得g(x)在(0,+8)为增函数，且0<g(x)<1,

若存在无使得4(办)=f(x+1)+f(x+2)+3成立，则函数g(x)的图象与直线y=a存在交点，

必有0<a<l.

故选：C.

【点评】本题考查函数与方程的综合应用，涉及对数的运算性质，属于基础题.

丫2+2V+3VV0

(2a…4百二〉。’若方程/⑴一小+1尸。恰有四个不同实

数根，则实数。的取值范围是()

A.(2V2,3)U(3,2V3]B.(0,2a)U(3,2圾

C.(2V2,2V3]D.(2V2,3)U{2旧}

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；

运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，作出函数y=/(x),>=小+1|的图象，然后求得y=a(x+1)与y=28亿久+48相

切时a的值，然后分a6(0,2V3),a=2必以及ae(2汽，+8)讨论两函数图像交点个数，即可得到

结果.

【解答】解：因为方程无)-a|x+l|=0恰有四个不同实数根,

即/(x)=切尤+1|有四个不同根,

所以函数y=/(x)与y=a|x+l|的图象有4个不同交点,

作出函数y=/(x),y=a|x+l|的图象，如图所示：

易知a>0,

先求y=a(尤+1)与y=2於伍乂+4日相切时a的值,

设切点为(久°，2V3/n%0+4V3),

贝悯线方程为y一(28小。+4百)=等(、—3,

将(-1,0)代入，化简得必%o——+1=0,

因为y=/nr,y=+1均为单调递增函数，

所以函数g(X)=-g+1单调递增，且g(1)=0,

所以久o=1,a==2V3,

xo

所以当a6(0,2遮)时，y=a(x+1)与y=2百伍x+4旧有两个交点；

当a=2旧时，y=a(x+1)与y=2,伍x+4百有一个交点，

当a6(2遍，+8)时，y=a(x+1)与y=2次仇x+4百没有交点.

易知两函数图象均关于苫=-1对称，

联立［y=aQ+l)

ky—x2+2x+3'

得x2+(2-a)x+3-a—0,△=(2-a)2-4(3-a)—a1-8=0,贝！|a=2V2(a>0),

此时切点横坐标为迎-l>0,

当y=a|x+l|(尤W0)过点(0,3)时，。=3,

所以当ae(2&,3)时，y=f(x)与y=a|x+l|(xWO)有两个交点；

当a6(0,2/)时，y=/(尤)与y=a|x+l|(xWO)没有交点；

当改［3,+8)时，y=f(x)与丁=如+1］(xWO)有三个交点.

综上，若y=/(x)与y=a|x+l|有四个交点，

则ae(2V2,3)U{2V3},

故选：D.

【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查了导数的几何意义，属于中档题.

4.(2025•跳北区校级一模)己知函数/(*)=灰而-灰刁，则下列命题正确的是()

A.2x£R,使得了(尤)4/(-x)>0

B.方程/(x)=机有两个不同实根，则实数机的取值范围是(-1,1)

C.3xG(0,1),使得/(x)=/(2-x)

D.若/(a)2/(2-a),则实数。的取值范围是［1,+°0)

【考点】函数的零点与方程根的关系；命题的真假判断与应用.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可判断A；方程/(%)=加有两个不同实根，即>=/(无)与>=根的图象有两

个交点，求出y=/(x)的值域可判断8；由题意证得对Vxe(0,1),/(x)</(2-x)可判断C；分

类讨论oWO,aE(0,1),f(a)与于(2-a)的大小可判断D

【解答】解：对Vx€R,都有f(一久)=71-x+1|-VI-^-11=炉工不一代而=一十(久)，

所以VxCR,f(x)+fC-x)=0,f(x)为奇函数，A错；

—V1—x,0<x<1

当x>0时，f(x)=J|x+l|—J|久一1|=

一—1,X>1

易知了(无)在(0,1］上单调递增，此时/(x)e(o,V2］,

(_____2

当x>1时，/(%)=V%+1-Vx-1=;——一~尸言，

Vx+1+Vx-l

(X)在(1,+8)上单调递减，此时/'(%)e(0,V2)

，尤>0时，f(x)e(0,V2］,

...尤<0时，/(x)G［-V2,0),

而/(0)=0,所以%=0,方程/(无)=根仅有一根，B错;

xE(0,1)时，2-x&(1,+8),

此时/'(久)—/(2-%)=(Vx+1—V1—%)—(V2—x+1-V2—%—1)

=7x+1-V1—-A/3—%+71-x=7x+11V3—%,

而函数p(x)=77不1一7^二^在(0,1)上单调递增，得xe(0,1)时，p(x)<P(1)=o,

所以对Vxe(0,1),f(x)<f(2-x),C错;

综上，aWO时，2-a22,此时/(a)^0</(2-a),

aE(0,1)时，2-ae(1,+8),此时/(a)<f(2-a),

时，2-a€(0,1),此时/(a)可(2-a),。对.

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的性质应用，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题.

(一1,%<0

5.(2025•天津一模)设符号函数sgn(x)=10,%=0,已知函数/(x)=2sgn(cosx)cosx,则

［1,x>0

A.2TT为f(x)的最小正周期

B.f(x)图象的对称轴方程为x=hr(虻Z)

C./(x)在［竽，萼］上单调递增

D.函数g(x)=f(x)-1在［-ir,n］上有4个零点

【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用.

【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类.

【答案】D

【分析】作出图形，根据函数的周期性，三角函数的性质，数形结合，即可求解.

—2cosx,cosx<0

0,cosx=0

(2cosx,cosx>0

2cosx,cosx>0

0,cosx=0=/(%)，所以n为7(入)的周期，故A选项错误;

(—2cosx,cosx<0

由图象知/(x)图象的对称轴方程为无二号(k€Z),故5选项错误；

/(X)在［等，等］上先单调递增，再单调递减，故C错误；

函数g(x)=f(x)-1在［-n,n］上的零点个数，

转化为方程，(x)=1在［-11,冗］上的解的个数，

转化为函数(%)与y=l的交点个数，

由图知：函数y=/(x)与y=l有4个交点，

所以函数g(%)=f(x)-1在［-ir,川上有4个零点，故。选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查分段函数的应用，新定义的应用，数形结合思想，属中档题.

—X3+x2,%<0

6.(2025•重庆校级模拟)已知/(x)=",=\2elnx9若函数y=/(g(%))-(冗)-

-------，%>0

x

〃恰有4个零点，则〃的取值范围为()

A.(L第B.殍，+8)C.(L第D.(勖+8)

【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用.

【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；

运算求解.

【答案】c

【分析】分析函数g(x)的单调性与极值，作出图象，令t=g(x),可得关于f的方程e'=a(Z+1)要

有两个根外、ti,且Z1G(0,2),/2>2或/2<0,由e'=a(Z+1),参变分离得出一=——,令%(t)="其

aetec

中沱R,分析函数//(力的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.

【解答】解：令m(x)=-尤(xWO),

则m'(x)=-3/+2xW0对任意的尤W0恒成立，

所以函数相(无)在(-8,0］上为单调递减函数，

令n(x)=型”(久>0),则n，(乂)=2e(1~fnx),

由九'(％)>0,可得OVxVe,由〃'(x)<0,可得x>e,

所以函数九(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8),

令t=g(x),

由f(g(%))—ag(x)-a=0,

可得/(/)-at-4Z=0,即/(/)=at+a,et=a(什1),

作出函数g(x)的图象如下图所示：

由图可知，要使得函数y=/(gG))-ag(x)恰有4个零点，

则关于看的方程(什1)要有两个不等实根力、热，且九£(0,2),热>2或也V0,

当4=0时，方程e'=a(什1)无解;

1t+1

当时，由/=〃(什1),可得一=—「

ael

令力(t)=~~r~9其中怎R,

则〃⑷=-奈

由〃'⑺>0,可得r<0,由//'(?)<0,可得r>0,

所以函数/?⑺的单调递增区间为(-8,0),单调递减区间为(0,+8),

且当/V-1时，/«)=詈<0；当时，/(。=詈>0,

eza

直线y=I与函数"«)=胃口图象的两个交点的横坐标力、数满足九e(0,2),数>2或Z2〈o,

e2

因此实数。的取值范围是(1,y).

故选：C.

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题.

—x―1久v0

一，若g(x)=/(x)-办至少有三个不同的零点，

(\lnx\,x>0

则实数。的取值范围是()

11

A.(0,e)B.(0,e]C.(0,j)D.(0,1]

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑思

维；运算求解.

【答案】D

【分析】由函数零点的意义，把问题转化为直线与函数y=/(x)的图象至少有3个交点，作出

图象，利用导数求出相切的情况，然后数形结合求得.

【解答】解：由g(x)=f(x)-ax=O,得/(x)=ax,

又因为函数g(x)至少有3个不同的零点，

即直线与函数y=/(x)的图象至少有3个交点，

直线y=ox过原点，在同一坐标系内作出函数(x)的图象与直线

当直线y=ox与曲线(x>l)相切时，直线y=ax与函数y=/(x)的图象有3个交点,

1

由>=/几x,求导得y/=

设过原点的直线与曲线(x>l)相切于点(xo,live。),

,1

则切线/o方程为y—ITLXQ=—(%—%o)，

xo

代入(0,0),得-lnxo=-1,即/〃xo=l,

解得xo=e,此时切线/o的斜率a=g

当寸，直线与函数y=/(x)的图象有2个交点，不符合题意；

当aWO时，直线y=ax与函数y=/(x)的图象最多有2个交点，不符合题意；

1

当OVaV]时，直线y=ax与函数y=/(x)的图象有4个交点，符合题意.

所以实数。的取值范围是(0,1].

故选：D.

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及导数的几何意义，属于中档题.

8.(2025•山东模拟)若定义在。上的函数/(%),Vxi,xi,X3ED,f(xi),f(X2),f(X3)可以作为一个

三角形的三条边长，则称了⑴是。上的“三角形函数”.已知函数/(x)是定义在区间白，e2]

上的“三角形函数”，贝h的取值范围是()

7c1

A.(2/+,,+oo)B.(2e2+-,+oo)

11

C.(2e+-/+oo)D.(e+-，+8)

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】A

【分析】求导，得到函数单调性和最值，由题意得4(尤)*>/(x),皿，即3+2t>2e2+t,求出

答案.

2

【解答】解：f(x)=lnx+l,令f(九)=Znx+l>0,得"<x<e9

11

令f(x)=历计1<0,得一7<x<-,

e2e

故/(x)在G，》上单调递减，在g,e2)上单调递增，

所以/(%)在％=”处取得极小值，也是最小值，f(~)-^ln^+t-+^>

又f(-2)-—2In~2+t=—2+3/(e2)—e~ln<^+t—2e2+t,

故/'(X)max=2e2+t,

由题意得才'(无)min>f(X)max,即—工+2t>2e?+t,解得生(2e?+工，+°°).

故选：A.

【点评】本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025•湖南模拟)已知函数〃久)=竺展^g(x)=竺户，则()

A.f(x)-g2(x)=1

B.对任意实数％,y,g(%+y)g(%-y)—g2(x)+g?(y)

C.f(2x)=/(x)+g2(x)

D.若直线y=/与函数y=/(x)和y=g(x)的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为11,

XI,X3,则+也+%3>伉(1+V2)

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数思想；转化思想；极限思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算

求解.

【答案】ACD

【分析】代入化简即可求解ABC;

根据函数的单调性可大致判断函数y=/(无)和y=g(x)的图象，且y=/(无)为偶函数，结合图象可

判断xi+x2=0,且>1,再解不等式即可判断D.

【解答】解：对于A,因为/(%)=竺竽=，9(%)=竺夏二，

所以产⑺一必⑺=(竺展学一(竺安2

)

_e2x+2+e-2xe2x-2+e-2x

=44

=1,故A正确;

x+y_-x-yx-y_~x+y2x_2y_-2y_^~2x

对于3,因为g(%+y)g(%-y)=eeeeeeee

224

pX—p—X..ey-e-y.e2x_|_e2y+e-2y_|_e-2%-4

而g2(x)+g2(y)=(___)2+(.•)2=

24

所以g(x+y)g(x-y)Wg2(%)+g2(y),故3错误;

2x-2x+2x-2xp2x.ip-2x,

22e+e+2e+e2—=/(2x),故C正确;

对于C,/(x)+5(X)=44

zj—X

对于D,因为f/(%)=——

令f(x)=0,得冗=0,

当x>0时，/(%)>0,f(x)单调递增；当XV0时，/(x)<0,f(x)单调递减.

所以/(%)在x=0处取得极小值1,

当X-+8时，f(x)—+8;当%-—8时，f(X)—+8.

g/(x)=-2—>0恒成立，

所以gG)在R上单调递增，

当+8,g(X)f+8；当-8,g(X)f-8.

所以函数/(x),g(x)的大致图象如图所示:

不妨设Vx2Vx3,由/（%）为偶函数可得Xl+X2=0,

直线y=/与y=/（x）和y=g（x）的图象有三个交点，显然/〉1,

令g（x）=eX~2~X=t>l，整理得e2x-2,-1>0,

解得靖〉1+鱼或靖〈1-或（舍去），

所以%>m（1+/），即刀3>》（1+鱼），

又因为无1+%2=0,

所以久1+久2+久3=%3>）（1+/），故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了指数的基本运算及指数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题.

‘"+2x<0

（多选）10.（2025春•金水区校级月考）设函数f（x）=ex，一，函数g（无）=/（无）-m有三

、xlnx+2,x>0

个零点尤1,XI,X3,且满足X1<X2<_X3,则下列结论正确的是（）

A.函数/（x）有且仅有三个极值点

B.存在实数xoWO,/（-xo）=/（尤o）

C.实数机的取值范围是（2-■1，e）

„,2

D.右m<2,贝！］—<x2+叼〈I

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】BCD

【分析】对函数/（无）分段求导，可得到函数的单调性和极值点，作出函数图像，可判断A、C

设立新函数，结合零点存在定理，可求得满足题意的实数期，可判断距

通过设立新函数并求导，利用函数单调性可推导出。正确.

【解答】解：根据题意，尤W0时，函数/(久)=/，那么导函数/'(x)=#匕，

因此当-l<x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减；

当xV-1时，f(x)>0,f(x)单调递增，

因此函数/(X)在X=-1时取得极大值/(-1)=£.

x>0时，函数/(x)=xlwc+2,那么导函数，(x)=lnx+l,

因此时，f'(无)>0,f(x)单调递增；

OVxV：时，/(无)<0,f(x)单调递减.

因此函数了(无)在久=手寸取得极小值解)=2-|,

/(%)有且仅有两个极值点，所以选项A错误；

存在xoE(-2,-1),使/(-xo)=f(xo),证明如下：

如果xoE(-2,-1),那么/(g)=/(_%0)=-xo/"(-xo)+2,

X2

因此/(%o)-一％o)=^+xoln(-xo)-2.

设/(%)=—^―+%Zn(—%)—2,那么导函数4(%)=—+必(—％)+1，

当X>-1时，>0,Zn(-x)>0,那么导函数〃(X)>0,函数/?(X)单调递增,

ex

又由于7/(-2)=-2历2-2<0,7/(-1)=e-2>0,根据零点存在定理，

存在尤oe(-2,-1),使/?(xo)=0,即/(-xo)—f(xo).所以选项B正确；

根据上述分析，可作出函数图像如图，

1

由于g(无)=f3-%有三个零点，因此加6(2—，e),所以选项C正确;

1

当?nV2时，令xlnx+2=2,解得x=l,因此0O：2<^3<1•

17

当0<¥<工时,设函数t(x)-

97

那么导函数七/(%)=//(%)+//(万一%)=Inx+1+Zn(--%)+1

2i

=Zn(-x—%2)+2V伍丁+2=0,

ii7

因此/(x)在(0,》上单调递减，那么=0,即/(%)>/*—%).

1219

又由于OVx2V5，因此"一％2>"，/(%3)=/(%2)〉/(工一％2)，

由于％〉:时，函数/(X)单调递增，因此%3〉:一%2，即K2+%3〉'|・

1

当0<¥V］时，设函数s(x)=f(x)-/(1-x)=xlnx-(1-x)In(1-x),

那么函数s(x)=x(l—x)［若

设p(x)=怨，xe(0,1),那么导函数p'。)=亚竺二里，

1Xx(l-%)

设(p(x)=xlnx-x+l,xG(0,1),那么<p'(x)=lnx.

因此当比(0,1)时，导函数(p'(x)<0,所以叩(x)单调递减，

那么有(p(x)>(p(1)=0,所以p，(%)>0,因此p(x)单调递增.

由于当0VxV1时，0<x<l-x<L那么有p(x)<p(1-x)所以^—<-三_

因此当0<xG时，s(X)<0,即/此)</(1-X).

11

又由于OV^V^V分因此/(X2)</(1-X2),则/(X3)=/(尤2)</(1-X2),

111

因为1一X2>万，X3>-,且时，f(X)单调递增，所以X3<172即X2+X3<1.

2

x

所以m<2时，有一<%2+3〈I，故D正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题.

(多选)11.(2025•焦作二模)塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩

—%QX

函数有tcrn/(X)=7+e=，53(%)=讦讲，设tanh(%)的值域为。，sig(x)的值域为则下列结论

正确的是()

A.EQD

B.2j：：［sig(i)+sig(—i)］=2025

C.方程2sig(无)=l+taiu的所有实根之和为1

D.若关于x的不等式sigx)+sig(-m2+2m+l)>1恒成立，则实数机的取值范围为(-1,3)

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】ABD

【分析】根据解析式，结合分式型函数的性质判断tanh(x)、sig(x)的值域判断A；

首先得到sig(x)+sig(-无)=1,再对其求和判断民

111

由sig(x)、y=2+々tan久都关于(0,力对称即可判断C;

根据函数的单调性有"+黑工>根2_2相-1恒成立，再应用基本不等式求左侧最小值，即可求参数范围判

断D

px(x_p-x\2x_i9

【解答】解：对于选项A