2025年高考数学复习难题之平面向量及其应用

2025年高考数学复习难题速递之平面向量及其应用（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025•昌黎县校级模拟）已知△ABC的面积为6遍，4=60°,42=3,8的内角平分线交边AC于点。，

则的长为（）

12728

A.—B.一C.—D.7

525

2.（2025春•沙坪坝区校级月考）已知四边形A3CD满足且其外接圆半径为|,四边

22

形ABC。的周长记为L若AABD的面积S=皿一（•—一刃,则当乙取最大值时，四边形ABC。的面

积为（）

A.10B.15C.10V5D.20V3

3.（2025春•金华校级月考）已知向量a,b满足|a|=3,a-b=6,若对任意实数尤都有|a—>\a-b\,

—>

则。4=a（入ER）的最小值为（）

厂3/_V5

A.V2B.-C.V3D.—

22

—>—>—>—>

4.(2025春•盐城月考)已知点。为△ABC的外心，且向量4。=+(1—4)4C,AeR,若向量B4在向

T1T

量BC上的投影向量为贝UcosB的值为（）

遮V52V51

A.一B.—C.—D.-

2552

5.（2025春•鹤壁月考）ZkABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知Z?(cosA-cosC)(a+c)

cos3=0,且sinA=可，则cos8=()

V22V227

A.—B.——C.-D.-

3399

—>t—>t—>_>37r_—

6.（2025•昌黎县校级模拟）已知向量a,b满足|。|=/，|b|=l,a与b的夹角为一,且a_L(a-入b),则入

4

的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

―>

7.（2025春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知力（旧，0）,B（1,2）,动点尸满足0P=

—>—>

^OA+^OB,其中入1,入2日1,2],Ai+A2e[3,4],则所有点尸构成的图形面积为（）

A.V3B.2A/3C.3V3D.4百

202420241

8.（2025春•重庆校级月考）在443。中，内角A,5,C的对边分别为a,b,c,已知---+-----=-----，

tanAtanBtanC

a2+b2

则——=（）

cz

A.4049B.4048C.4047D.4046

二.多选题（共4小题）

—>—>

（多选）9.（2025•辽宁二模）在平行四边形ABC。中，AB=3,AO=2,AB-AD=-1,E为CD的中点，

T—>

AF=2FE,则（）

A.cosNDAB=-与B.BF=^AD-^AB

C.\BF\=驾^D.AF±BF

（多选）10.（2025春•河南月考）在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若6=2,且

（y/3tanA—1）（V3tanB-1）=4,则（）

A.C=J

B.〃的取值范围为2）

a+b

C.的最大值为2

c

D.sin2A-COS2B的取值范围为（上,刍

（多选）H.（2025春•鹤壁月考）定义：蔡。蔡是与向量茄，蔡在同一平面内，且与蔡+蔡绕其起点逆时针

旋转90°同向的向量，|血合川=|刑而应11071,n>（<m,九>为相，几的夹角）.规定：若m=0或£=0,

—>—>T—>TT

则TH③兀=0.设a,b,c均为同一平面内的非零向量，则下列结论正确的是（）

T——T

A.\a®b\=\b0a\

B.（a0b）2+（a.b）2=a2-b2

—>—"—>—>—>~—>

C.|（a+b）0c|=|a0c|+|b0c|

.T—T1—

D.右（a0h）-c=0,则a||b

（多选）12.（2025春•天河区校级月考）△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,则下列命题为

真命题的是（）

A.若A>5,则sinA>sin5

B.若sirrU+sidBAsinZc,则△ABC是锐角三角形

C.若acosA=bcos8,则△ABC为等腰三角形

D.若a=8,c=10,A=^,则符合条件的△48C有两个

三.填空题（共4小题）

13.（2025•浦东新区模拟）如图，某建筑物。尸垂直于地面,从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°,

从地面点8处测得建筑物顶部尸的仰角为45°,已知A、8相距100米，ZAOB=60°,则该建筑物

。尸高度约为米.（保留一位小数）

14.（2025春•沙坪坝区月考）在锐角△A2C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2B=sin2A+sinAsinC,

贝!JtanAtanB的取值范围为.

[T21—>2—>—>—>—>

15.（2025春•河南月考）已知在△ABC中，~CA+-CB+CA-CB=2,且|4B+4cl=1,则AABC

的面积的最大值为.

—>—>—>—>

16.（2025•新疆模拟）在△A8C中，+BC|=4,|4C+4B|=2,则△ABC面积的最大值

为.

四.解答题（共4小题）

17.（2025•海南模拟）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且6cosc+-a-c=0.

（1）求&

->—>

（2）若6=4,△ABC的面积为4百，D为AC边上一点，满足AC=34D,

①求△ABC的周长；

②求8。的长.

18.（2025•宁波校级模拟）在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知c=2,C=J.

（1）若AABC的面积等于百，求△ABC的周长；

（2）若sinB=2sinA,求cos（B-A）.

19.（2025春•云南月考）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,V3Z?=a^cosC+sinC）.

(1)求A；

(2)若a=遮，b=2虚cosB,求△ABC的面积.

,A

20.(2025春•秦皇岛月考)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinB=bcos?

(1)求A；

(2)若△ABC的周长为20,a+b=3c,求△ABC的面积.

2025年高考数学复习难题速递之平面向量及其应用（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案AAADDAAA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案BCDACDABAD

一.选择题（共8小题）

1.（2025•昌黎县校级模拟）己知△ABC的面积为68，A=60°,AB=3,8的内角平分线交边AC于点D

则的长为（）

12728

A.—B.-C.—

525

【考点】解三角形.

【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】A

【分析】由三角形的面积公式求出AC,再由余弦定理求出BC,得到两三角形的面积比沁然后在

S^BCD

△ABD中由三角形的面积公式可得.

【解答】解：因为△ABC的面积为68，A=60°,AB=3,

SAABC=^ABXACsinA=1x3XACx-=6百，解得AC=8,

由余弦定理8c2=AB2+AC2-2A8XACcos/A=9+64-2X3X8cos60°=49,得BC=7,

因为2。平分/ABC,所以由角平分线的性质可得号=!|，

ADABAD317

即------1/解得旬=中

AC-AD嬴'8-AD

故选：A.

A

D

B"--------------------、c

【点评】本题考查余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题.

2.（2025春•沙坪坝区校级月考）已知四边形A5CD满足N84D+N3CD=ir,且其外接圆半径为士四边

2

22

形ABC。的周长记为L若△ABD的面积S=皿一（警一在见，则当乙取最大值时，四边形ABC。的面

积为（）

A.10B.15C.10V5D.20V3

【考点】三角形中的几何计算.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】A

【分析】利用面积可求siM,利用余弦定理结合不等式可求周长最大时四边形ABC。的面积.

【解答】解：由题意，S=-%缪一题,又$=暴B-ADsinA,

〜1BD2-AD2-AB2+2AD-AB

所以一/8•ADsinA=----------------------------------，

22

由余弦定理得BD1=Ab1+AB2-2ADMBcosA,

八、-12AD-AB-2AD-ABcosA

代入上（式可得一AB•ADsinA=------------------------------，

22

整理得sinA=2（1-cosA）,

不妨设A6（0,刍，则由si/A+cos2A=1,

2*4

可得cosZ=耳或cosA=l（舍），所以sizh4=E，

BD5

在△A3。中，由----=2x可得BD=4,

sinA2

由BD2^AD2+AB2-2AD-ABcosA,

6

-

可得+.25

64

2

+A8---

所以16=AD?55即ADABW20,

当且仅当=AB=26时，等号成立，

又(AD+AB)2=AD2^AB2-i-2AD*AB=16+^-AD•AB<80,

所以4。+4B<4V5.

同理可求CD+CBW2花，当且仅当CD=CB=近时，取等号.

所以当L取最大值时，

11

四边形ABC。的面积为S=^AD-ABsinA+^CD-CBsinC=10.

故选：A.

【点评】本题考查三角形中的几何计算，属中档题.

3.（2025春•金华校级月考）已知向量a,b满足|a|=3,a-b=6,若对任意实数尤都有|a—>\a-b\,

—>

则。A=a（XeR）的最小值为（）

l3l遥

A.V2B.—C.遮D.—

22

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】作。a=a,OB=b,由任意实数尤都有|a—久b|>\a-b\,ABLOB,取OC=/a,设。P=

Ab+^a,可得P在直线8C上，即可求解答案.

【解答】解：已知向量a,b满足|a|=3,a-b=6,若对任意实数x都有|a-N|a—b|,

TTT—T

由|a|=3,a-b=6,可得b在Q上的投影为2,

即。0=2,DA=1,

TTT—

因为对任意实数尤都有|a—比6|2|a—b|,ABLOB,

由射影定理可得DB2=OD-DA,

所以D8=V2.

TT1—27

设OP—A.bH—g—

取。C=^a,

可得尸在直线BC上，

所以线段OP的最小值为。到直线BC的距离,

当OPJ_8C时，OP=DB=五.

故选：A.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题.

4.(2025春•盐城月考)已知点。为△ABC的外心，且向量力。=+(1-4)AC,人6R,若向量B4在向

T1T

量BC上的投影向量为-BC,则cosB的值为()

4

V3V52V51

A.—B.—C.-----D.一

2552

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】D

—>—>—>

【分析】根据4。=XAB+(1—Q4C判断出O,2,C三点共线，再结合外心的性质得到△ABC的形状，

最后根据投影向量的定义求出cosB的值.

-»—>—>

【解答】解：根据题意，点。为AABC的外心，向量4。=X4B+(1-4)AC,入6R,

TT—>—»—»T

变形可得：AO-AC=A{AB-AQ,即CO=4CB.

—>T

则C。与CB共线，所以。、B、C三点共线.

因为点。为AABC的外心，且O,B,C三点共线，

所以8C为△ABC外接圆的直径，那么NBAC=90°,即△ABC是直角三角形.

A

C'B

向量BA在向量BC上的投影向量为-BC,贝IJ|BA|COSB3=^BC,

4\BC\

t1--\BC\

变形可得：\BA\cosB=7\BC\,即cosB=3,

\BA\

—>

又因为cosB=^g,所以cos2B=1，

\BC\4

因为OVBV*,则cosB>0,故cosB另.

故选：D.

【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及投影向量的计算以及向量平行的判断，属于中档题.

5.(2025春•鹤壁月考)ZVIBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b(cosA-cosC)-(a+c)

1

cosB=0,且sinA=于则cosB=()

V22V227

A.—B.-----C.-D.-

3399

【考点】三角形中的几何计算.

【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解.

【答案】D

【分析】利用正弦定理与和、差角的正弦公式将题设等式化成sin(B-A)=sinA,再根据三角形的内

角范围推得5=2A,借助于倍角公式计算即得.

【解答】解：b(cosA-cosC)-(a+c)cosB=0,

则由正弦定理可知，sinB(cosA-cosC)-(sinA+sinC)cos3=0,

整理得sin(B-A)-sin(B+C)=0.

因为sin(8+C)=sin(n-A)=sinA,

所以sin(B-A)=sinA.

又A,BE(0,n),所以5-A=A或5-A=TT-A,

而由B-A=n-A可得显然不成立，

由3-A=A可得B=2A,此时cosB=cos2A=1—2sin2A=卷，

故cosB=3.

故选：D.

【点评】本题主要考查三角的几何计算，属于基础题.

）—>——>T—>37T—>T—>

6.（2025•昌黎县校级模拟）已知向量a,b满足|a|=&，闻=1,a与b的夹角为一，且a,（a—入6）,则入

4

的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据之•区-2%）=0,结合数量积的运算律计算可得结果.

【解答】解：已知向量b满足向=VL\h\=l,之与b的夹角为坪，

4

又a1（a—A/J）,

得a•（a—Ah）=0,

所以—Aci,b=0f

所以（鱼）2—2X&X1Xcos苧=0,

即2+A=0,

即入=-2.

故选：A.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题.

7.（2025春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知人（遮，0）,B（1,2）,动点P满足b=

―»->

^OA+^OB,其中Q,入2日1,2],Q+QH3,4],则所有点尸构成的图形面积为（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

【考点】平面向量的综合题；平面向量数乘和线性运算的坐标运算.

【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】设尸（x,y）,贝！JOP=及04+%2。8=（百及+22，2%）=Q，y），求出入1，入2,从而可得出

关于x,y得二元一次不等式组，作出图象，结合图象，从而可得出答案.

—>—>—>

【解答】解：设尸（x,y）,则。P=入1。2+入2。8=（V3A1+A2,2入2）=（无，y）,

所以=比，解得

由入1,入2日1,2],Q+入2H3,4],

1<^<2

(-2<y<4

,即<2^/3<2x—y<4A/3

、3M+亭（久一方＜4k6V3<2%+(V3-l)y<8V3

y=4与2x-y-4旧=0,2x-y-2g=0交于。(2+亚4),C(2+2®4),

y=4与2x-y+®-6V3=0交于E(1+2V3,2),

则所有点P构成图形如图所示（阴影部分）,

11

所以面积为SADCE=总X|CD|X2=^XV3X2=V3.

【点评】本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

202420241

8.（2025春•重庆校级月考）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知---+-----

tanAtanBtanc"

a2+b2

则nt---;一-（）

C2

A.4049B.4048C.4047D.4046

【考点】三角形中的几何计算.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】A

【分析】根据同角的三角函数关系结合两角和的正弦公式化简可得2024x，度「=cosC,利用正余

弦定理角化边可得4049c2=/+.，即可得答案.

202420241

【解答】解：在△ABC中，由--+--=-

tanAtanBtanC

cosB、_cosC

可得2。24得普

sbiB)-sinC'

即2024X，鬻梵=嚅,又A+B=n-C,

3LILJTJLLILLJISLft-€_/

则2。24义薪片骁，

所以2024x肃磊=cos。,

由正弦定理，可得弦24X）=）琳7c之

LVJLZ乙LVLZ

即4048c2=〃2+庐-。2,所以4049c2=ti2+Z?2,

,a2+b2

故T=4。49.

故选：A.

【点评】本题考查三角恒等变换及正弦定理、余弦定理的应用，属中档题.

二.多选题（共4小题）

—>—>

（多选）9.（2025•辽宁二模）在平行四边形A3CD中，AB=3,AD=2,AB*AD=-1,E为CD的中点,

—>—>

AF=2FE,则()

1T2T2T

A.cosAB=-^B.BF=^AD-^AB

->o/1.

C.\BF\D.AF±BF

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】BCD

【分析】利用给定条件，利用向量的基底表示及数量积的运算律逐项求解判断.

—>—>

ttAR-AD1

【解答】解：对于A,cosZDAB=cos(AB,AD〉=竽竺=人错误；

\AB\\AD\

对于8,T4F=^AE=^(AD+DE)=^AD+^AB,BFAF-AB^AD-^AB,8正确;

。。OKJOO

72I—T21TTT—22/dr

对于C,|BF|=^(AD-AB)2=j^AD2+XS2-2XD-AB=jV32+22+2=C正确;

对于D,AF-BF=(24。+AB)-{AD-XB)=j(24D2-AB2-AD-AB)

2

=^(2x22-32+l)=0,

则。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查向量的线性运算，属于中档题.

(多选)10.(2025春•河南月考)在锐角△ABC中，内角A,B,。的对边分别为mb,c,若b=2,且

tanA—l)(V3tan^-1)=4,贝|()

A.C=J

B.〃的取值范围为2)

C.四"的最大值为2

c

D.sMA-KB的取值范围为(上,1]

【考点】解三角形.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】ACD

【分析】对A：转化已知条件求得+8)=-V3,结合tanC=-tan(A+3),从而求得C；对B：

利用正弦定理和角度关系，求得〃关于A的函数关系，结合A的范围，求其值域即可；对C利用余

弦定理，求得。，c的齐次式，结合基本不等式，即可求解；对O：将si/A-cosZs转化为关于8的

函数，结合3的范围，求其值域即可.

【解答】解：对A：(yfStanA—l)(V3tanB-1)=4,§P3tanAtanB—y/3(tanA+tanB)=3,

tanA+tanB

整理可得:

1-tanAtanB

可得tan(A+8)=—V3,

itAABC中，tan(a+B)=-tanC,故tcmf=V3,

又△ABC为锐角三角形，故C=与,A正确;

对B：由A可知，。=E，可得sinB=sin(A+C)=sin(A+J),

abrra2

由正弦定理b=2,即二一

sinAsinB'sinAsin(A+^y

2sinA_2sinA

则a=

s讥("+,)^sinA+^-cosA

-JT4

又A6(0/5),故sinAWO,则a=------T=~^

l±tanA

0<A<^

由△ABC为锐角三角形可得：彳万n，

0<C=^--A<^

k3Z

TCTT

可得:<4V?,

6/

故tcmAG(丁,+oo),

V3

则——-G(0,3),则(1,4),故5错误；

tanA

2I_21

对C：由余弦定理cosC=--2ab'=2,可得(。+人)2-2=3ab,

等式两边同除。2可得：(写号2—1=3x^x(所以(噂)234,解得F«2,

ab

当且仅当一=一，即〃=/?时取得等号，故C正确；

cc

对D：sinA=sin(B+C)=sin(B+号)=^sinB+孚cosB,

故sin?A=^sin2B+^cos2B+字s讥2B,

故sin2A-COS2B=isin2B—icos2B+-^sin2B=—Jcos2B+卓sin28=isin(2B—5),

444442o

由8可知力刍，故2B一0第，

Tii17rli

sin(2B-g)(2玲5sHi(28--],

也即sir^A-COS2J5的取值范围为G,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题.

(多选)11.(2025春•鹤壁月考)定义：拓。蔡是与向量蔡，曾在同一平面内，且与蔡+曾绕其起点逆时针

旋转90°同向的向量，|m③川=|zn向sinVm,n>(<m,九>为租，九的夹角).规定：若租=。或n=0,

TTTTTT_

则?n区九=0.设a,b,c均为同一平面内的非零向量，则下列结论正确的是()

A.\a0b\=\b0a\

B.(a®bp+(a•b)2=a2-b2

—>—>—>—>—>—’—>

C.|(a+/?)0c|=|a0c|+|h0c|

.TTTC—

D.右(a®-c=0,则a||b

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解；新定义类.

【答案】AB

【分析】根据=|m||n|sm(m,5的计算公式，即可结合选项逐一求解A3。,举反例即可求解C.

【解答】解：定义：蓝。■是与向量蔡，盛在同一平面内，且与蔡+蔡绕其起点逆时针旋转90°同向的向

量，

—~~~»­>—>~»-»।-»-»।,、—>~〜—>~"—>—>~>

\m^n\=\m\\n\sin<m,n>(<m,几>为m,九的夹角)，规JE：右m=0或几=0,则m③?1=0,

设总h,1均为同一平面内的非零向量，

,TTTTTT―一―7T—

对于A选项，由题意可知，®b|=\a\\b\sin(a,b),|Z?0a|=\b\\a\sin{b,a”则|a③加=g③a|,

故A选项正确；

->TfT-->TT—cTT->T

对于B选项，由题意可知,(a0bp+(a•b)2=|a0d|2+(\a\\b\cos(a,b))2=\a\2\b\2(sin2(a,b)+

TTTT,

cos?(a,b))=a2-b2,故8选项正确；

对于。选项，取a=(l,0),b=(0,1),c=(1/1),则a+b=(L1)=c,从而K。+b)国c|=0，

由题意可知|aG)c|=|a||c|s讥(a,c)=1,\b®c\=\b\\c\sin{b,c)=1,故C选项错误;

.,—>~>—>—>-»―>—>~>—>—>~>—>

对于。选项，右(a®b)-c=0,则(a⑥b)•c=|a③b\\c\cos{a®b,c)=0,

T八T—TlTT,、7—T

则|a③b|=0或cos〈a0b,c)=0,即a||b或(a③b)1c,

T-T->7T

贝!J(aG)b)1(a+6),所以当(a+b)IIc时，满足cos〈a®6,c)=0,故。选项错误.

故选：AB.

【点评】本题考查了向量新定义的应用，属于中档题.

(多选)12.(2025春•天河区校级月考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题为

真命题的是()

A.若A>2,则sinA>sinB

B.若sin2A+sin2g>sin2c,则△ABC是锐角三角形

C.若acosA=6cosB,则△ABC为等腰三角形

D.若a=8,c=10,A=^,则符合条件的△ABC有两个

【考点】三角形中的几何计算.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】AD

【分析】根据正、余弦定理在解三角形中的应用，通过边角转化等一一判断即可.

【解答】解：对于A,当时，a>b,根据正弦定理得2RsinA>2RsinB,

整理得sinA>sin8,故A正确；

对于8,因为sin2A+sin2g>sin2c,由正弦定理得所以cosC=贮挈94>0,

Zab

可得。为锐角，但因为A,3中可能有钝角，故5错误；

对于C,acosA=bcosB,

由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

所以A=3或/+8=}

所以△A8C是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于£）,由正弦定理得sinC=us讥4=1°j互=可1,即它VS讥C<1,

CL002

因为c>a,所以C>A,A为锐角，所以存在满足条件的△A8C有两个，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查解三角形的相关知识，考查计算能力，属于中档题.

三.填空题（共4小题）

13.（2025•浦东新区模拟）如图，某建筑物O尸垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°,

从地面点3处测得建筑物顶部尸的仰角为45°,已知A、2相距100米，60°,则该建筑物

。产高度约为66.4米.（保留一位小数）

【考点】解三角形.

【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解.

【答案】66.4.

【分析】先在RtAAOP和Rt^BOP中，根据仰角分别用建筑物高度OP表示出0A和OB,然后在△

AOB中利用余弦定理建立关于0P的方程，最后求解方程得到0P的值.

【解答】解：由题意可得，在RtZXAO尸中，ZPAO=30°,

因为tanNK40=黑，所以。4=需和=日。2.

(-ZikVvv/l-vy

在RtZXB。尸中，ZPBO=45°，

np

因为tcm/PBO=潴，且tan45°=1,所以08=OP,

在△AOB中，42=100米，ZAOB=60°,

根据余弦定理O^+o#_2-OA'OB-cosZAOB,

1002=(V3OP)2+OP2-2-V30P-OP-cos60°,BP10000=(4-V3)OP2

F彳日Cp2_10000_10000(4+73)_10000(4+73)_10000(4+73)

可侍=4^7T=(4-0)(4+问=-16=3—=13-

则呵好鼠呵牢HL丽⑶66.4.

N13\13

故答案为：66.4.

【点评】本题主要考查了锐角三角函数定义，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题.

14.(2025春•沙坪坝区月考)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2B=sin2A+sinAsinC,

则tanAtanB的取值范围为(1,+8)

【考点】解三角形.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】(1,+8).

【分析】由正弦边角关系得y=。Q+c),再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公式可得

_,,7171

cosB=cos2A,进而有B=2A,C=n-3A,即可得一＜4V-,即可求tanAtanB范t围.

64

【解答】解：因为sin2g=sin2A+sinAsinC,

由正弦定理可得房=〃(Q+C)=a2+ac,

a2+c2—b2_a2+c2—a(a+c)_c1

由cosB=

2ac-2ac_2a2’

所以2acosB=c-a,

a(a+c)+c2一口2a+c

由

cos/=2bc2bc~2b~9

因为AABC为锐角三角形，所以4Be(0,J),2Ae(0,n),

22

所以cos2/=2COS2A—1=2("+f)——1=,笑？、—1=y——

4b，2Q(Q+C)2a

所以cos3=cos2A,则8=2A,C=n-3A,

因为△ABC为锐角三角形,

（0<A<l.........

77TCTT

则｛0<2AV^，解得:<4V：,

N64

[0<7i-3A

设tanA=/,则te（亭，1）,

2t9

贝（RcmAtcmB=t----Q—-yG（1/+8）.

j握T

故答案为：（1,+°°）.

【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题.

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15.（2025春•河南月考）已知在△ABC中，~CA+~CB+CA-CB=2,且|4B+AC|=1,贝ijZXABC

1

的面积的最大值为,.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】

【分析】先把条件转化成三角形的两条中线的长，再结合三角形面积的求法求最大值.