2025年高考数学复习难题之相等关系与不等关系

2025年高考数学复习难题速递之相等关系与不等关系（2025年4月）

选择题（共8小题）

2222

1.(2025•玉溪二模)已知x>0,x-2xy+z=0,x>0,x-2xy+z=0f/〈yz,则()

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

2.(2025•昆明一模)已知尤>0,/-2尤y+z2=0,x2<yz,贝1I()

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

3.(2025•广东模拟)已知正数〃，b,c满足2〃+。+3c=8,则组>文+一一的最小值为()

b+ca+c

L3+2V2「5+2V2

A.2V2B.---------C.3V2-1D.---------

44

4.(2024秋•济源期末)已知s<t,若VxER,(x-m)(x-n)-2=(%-s)(x-t),则()

A.m<.n<sB.s<.n<tC.m<s<nD.m«n

5.（2025春•辽宁月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，

a2b2（a+b}2ab

其表述如下：设mb,x,y〉0,则一+—2s—当且仅当一=一时等号成立.根据权方和不等

%yx+yxy

式，函数/（x）的最小值为（）

A.39B.52C.49D.36

1414

6.（2025春•重庆校级月考）已知正实数X,y满足％+7+y+a=10，贝卜+一的最大值为（）

xyxy

A.5B.2C.9D.8

7.（2024•涪城区校级模拟）若实数x,y满足4加什2姐2~+4y-4,则（）

A.xy=^-B.%+y=V2C.x+y=l+V2D.x3y=l

34

8.（2024秋•晋城期中）若存在x>0,y>0,且3x+y=l,使不等式---+----Vzn?—2zn—3能成立，则

x+1y+1

实数机的取值范围是（）

A.（-4,2）B.（一8,-4）U（2,+8）

C.（-2,4）D.（-8,-2）U（4,+8）

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024秋•易门县校级期末）已知mb,cGR,则下列结论正确的是（）

11

A.右a>b>3则一V—

ab

B.若a>b,则〃。2〉历2

1

C.若贝！|〃+匕>0

11

D.右〃>/?>（）,则a+1<b+—

（多选）10.（2025•宁远县校级开学）若实数x,y满足x+y22,则下列选项一定正确的有（）

A.（x+l）2+y2》5B.%2+y2卜（%；y）

C.2^+2y2>x+yD.\x-2/|+|y-2?|^2

（多选）11.（2025•玉溪校级模拟）已知关于元的不等式（机+〃）/+（m-2Z?）x-1>0（〃>0,Z?>0）的

1

解集为（_8,-l）U（1,+8）,则下列结论正确的是（）

A.2。+/?=1

B.VH+2逐的最大值为百

44

C.不+杀的最小值为3+2/

1

D.搭店的最小值为1

（多选）12.（2025春•临泉县校级月考）下列命题中，真命题是（)

1

A.函数y=%+审万的最小值为3

1

B.（（x>r是“一VI”的充分不必要条件

x

ff

C.。=1是方程以2+法+o=0的一个实数根，，的充要条件是-a+b+c=0

D.设ai=2,ai,bi,bi,ci,C2都不为0,不等式的/+瓦％+q>0的解集为M,不等式gM+b2x+c2

>0的解集为N,则“也=3是"M=N”的充要条件

。2匕2C2

三.填空题（共4小题）

13.（2025•河南模拟）关于x的不等式"Nlogd（〃>0且恒成立，则实数a的取值范围

是.

14.（2025•邢台模拟）已知正实数〃,匕满足—V4—b2=bln华,则小+2迎/7的最小值为

c2CL

15.（2025•沙坪坝区校级模拟）已知a>2,b>0,a2-6a+2b=0,则——+一的最小值为

a-2b-------

16.（2025•承德一模）已知函数/（%）=2（%-/?）（x-2c）,0</?<2c<l,则/（（））•/（1）的取值范围

是.

四.解答题（共4小题）

17.（2024秋•西双版纳期末）已知函数/（%）=716-2%-白〒的定义域为集合A,集合5=｛刃2根-1<

VZx—1

x^m+1｝.

(1)当m=0时，求AU&

(2)若xEA是在5的必要不充分条件，求实数机的取值范围.

18.(2024秋•深圳校级期末)设全集U=R,已知集合力=｛久|关|W0｝,集合8=｛尤|»+3x-10<0｝,

(1)求an)和cu(AUB)；

(2)若C=｛尤laWxW2a+2｝且Anc=c,求实数a的取值范围.

19.(2024秋•浦东新区校级期末)完成如下问题：

z

(1)解方程：logx(x-lx+13)=0；

(2)设/(x)=log2(尤-1)+3,解不等式：f(2J3)</(21-2户1).

20.(2024秋•临夏州期末)已知函数/(无)-ax+b.

14

(1)若/(-1)=3,且〃>0,b>0,求一+二的最小值；

ab

(2)若b=2a,解关于x的不等式/(x)-2xW0.

2025年高考数学复习难题速递之相等关系与不等关系(2025年4月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

题号12345678

答案AADBBCAD

二.多选题(共4小题)

题号9101112

答案ACBCDBCBC

选择题(共8小题)

1.(2025•玉溪二模)已知%>0,x2-2xy+z2=0,尤>0,x2-2xy+zz=0,/〈yz,则()

A.y>z>xB.%>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】易得/+Z222XZ,再结合已知可得y>z,由x2-2xy+z2=0,x2-2xy+y2=y2-z2,即可比较

x,y,利用作差法即可比较x,z,即可得解.

【解答】解：由/-2xy+z2=0,得X2+Z2=2X»

VX2+Z2^2XZ,当且仅当x=z时取等号，

•\2xy^2xzf且x>0,

.\y^z,

当y=z时，y=x=z,此时与/〈尸矛盾，.\y>z,

由f-2xy+z2=0,得x2-2孙+/=/_?,

I.(y+z)(y-z)=(x-y)2^0,当且仅当％=y=z时取等号，

由Ay>z知，等号取不到，

(y+z)(y-z)=(x-y)2>0,

由y>z,可得y+z>0,

・・，z>/>①所以y>z>0,

y2>yz,

Vx>0,x2-2xy+z2=0,WVyz,.*.y2>x2,.\y>x,

由了2-2孙+z2=0,得z2=2孙-/,

则x2-Z2=2--2xy=2x(x-y),

Vx>0,y'>x,

.'.x2-z2=(x+z)(x-z)=2x(x-y)<0,

又x>0,z>0,.\x-z<0,.*.x<z,

综上所述，y>z>x.

故选：A.

【点评】本题考查了不等式次+房22",不等式的性质，是难题.

222

2.(2025•昆明一模)已知x>0,%-2xy+z=0,x<yzf贝!]()

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】根据题意，由原式可得y=T^，然后由作差法分别比较y与％，y与z的大小关系，即可得

到结果.

【解答】解：由x>0,且/-2孙+/=()可得2xy=/+z2,即y=%?；

x2+z2x2+z2—2%2z2—x2

则y-x=

2xX-2x2x

又/<”，即/V袈化简可得2X3-/Z-Z3<0,

即(x-z)(2x2+xz+z2)<0,其中2%2+%z+Z?=2(%+彳)2+gZ?>0,

所以％-z〈0,即OVxVz,所以/Vz?,

一72T2一

所以y-%=2x所以y>x，

-nx2+z2X2+Z2-2XZ(X-Z)2g、1、

又y—z=F--z=一获一二r^>o,所以>>z,

综上所述，y>z>x.

故选：A.

【点评】本题考查不等式的性质和应用，涉及不等式的证明，属于中档题.

a+b+2c1

3.(2025•广东模拟)已知正数“，b,c满足2〃+。+3c=8,则■+----的最小值为()

b+ca+c

3+2V25+2V2

A.2^2B.------C.3V2-1D.------

44

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】D

a+b+2c1411

【分析】设令〃+c=m,b+c=几,故2帆+〃=8,m>0,及>0,变形得到--------+-----=—+—+-,

b+ca+cnm2

41

由基本不等式“1”的代换求出一+一的最小值，从而得到答案.

nm

【解答】解：正数a,b,c满足2〃+Z?+3c=8,故2(a+c)+(b+c)=8,

令a+cm,b+c几,故2徵+几=2(a+c)+Z?+c=8,m>0,几>0,

a+b+2c1a+c+b+c1a+c1m1

-------+----=+——=——+——+1=—+—+1

b+ca+cb+ca+cb+ca+cnm

^±4ll

2n+m+1=n+m+2

4114118mn13+2V2

一十一=-(―+—)(2m+n)=-(---+4+2+—)>-(6+2)=^

nm8nm8nm8、

8Tn

当且仅当---=—，BPn=16-8A/2,徵=4鱼—4时，等号成立,

nm

d+d+2c141113+2V22V2+5

故-z----+—=-+—+->-+------=-------

b+ca+cnm2~244

故选：D.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

4.(2024秋•济源期末)已知机〈小若VxER,(x-m)(x-n)-2=(x-s)(x-/),则()

A.m<.n<sB.s<n<tC.m<5<nD.m<t<n

【考点】不等式比较大小.

【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维.

【答案】B

【分析】由二次函数的图象及其变换，作出图象即可求解.

【解答】解：设/(x)=(x-s)(x-/),g(x)=(x-m)(%-〃)，则g(x)-2=f(x),

即g(%)的图象向下平移两个单位可得/(%)的图象，在同一坐标系中作出g(x)和/(x)的图象,

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数的图象及数形结合思想，属于中档题.

5.（2025春•辽宁月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，

a2b2（。+匕）2db

其表述如下：设。，b,x,y>0,则一+一—当且仅当一=一时等号成立.根据权方和不等

xyx+yxy

式，函数/（x）=竽+的最小值为（）

A.39B.52C.49D.36

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解；新定义类.

【答案】B

22

【分析】根据权方和不等式的定义，将函数/（无）变形为：/0）=32+』4+3,再根据权方和不等

D人J.

式求出最小值即可.

【解答】解：因为叫）=苧+昌=京禹+3=。昌+3（0«》,

1

因为0Vr

916(3+4产

所以h++3>+3=52,

l-3x3%+1-3%

当且仅当3获=匚4获时'即久=:1时等号成立•

故选：B.

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了最值求解，关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变

形，从而利用权方和不等式求最值，属于中档题.

1A14

6.(2025春•重庆校级月考)已知正实数居y满足％+2+y+?=10,贝卜+一的最大值为()

%y%y

A.5B.2C.9D.8

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】c

【分析】根据X+*+y+*=10,由©+)(比+*+y+}=10©+3，结合基本不等式求解.

【解答】解：因为％+《+y+：=10,x>0,y>0,

xy

所以=i°6+》,

g2

P(-+y-)J+5+x-+—y=1y0J(-+-),

当且仅当y=2x,即X=y="^x=3,y=6时，等号成立，

14c1414

所以(鼠+1)2—log+歹)+9W。,<-+-<9.

故选：C.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

7.(2024•涪城区校级模拟)若实数x,y满足4瓦什2历y2/+4y-4,贝U()

A.孙=孝B.x+y—V2C.x+y—1+V2D.x'y—1

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；直观想象；运算求解.

【答案】A

【分析】将原不等式转化加[(-％2)・(2y)]>^2+2y-2,再设〃=尹2,b=2y,进一步转化为/也+/泌

^a+b-2,再构造函数g(x)=lwc-x+1,求出g(x)在(0,+°°)上的最大值，求出〃，Z?的值，从

而解出％,y的值即可.

【解答】解：•；4/几x+2/几y2/+4y-4(x>0,y>0),

•\2[ln(x2)-4,

BPIn(x2)+lny>yx2+2y-2,

1If

ln[(-x9z)*(2y)]>2^+2)；-2,

设〃=4X2,b=2y(Q>0,b>0),

贝I有InabNa+b-2,

BPlna+lnb^a+b-2,

Zntz-tz+l+(Inb-b+1)20,

令g(x)=Znx-x+1,

则g'(x)=:1=F，

工当比(0,1)时，g，(x)>0,g(x)单调递增；当工€(1,+°°)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

・・g(%)max=g(1)=0，

要使g(a)+g(.b)20成立，

只有当a=Z?=l时即g(a)=g(/?)=0时才满足，

**.x=V2,y=经检验选项A符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了利用导数求函数的最大值，多次使用了转化思想，难度较大，属于难题.

34

8.(2024秋•晋城期中)若存在无》0,y》0,且3x+y=l,使不等式---+----〈川—2m-3能成立，则

"'x+1y+1

实数机的取值范围是()

A.(-4,2)B.(-8,-4)U(2,+8)

C.(-2,4)D.(-8,一2)U(4,+8)

【考点】运用“1”的代换构造基本不等式.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】D

【分析】由已知结合基本不等式及不等式成立由最值关系的转化即可求解.

34□A

【解答】解：因为—-+On?-2m—3能成立，所以+亦日6讥Vm2一2根一3.

x+1y+1x~r1y十人

又因为x>0,y>0,3x+y=l,所以3(x+1)+(y+1)=5.

―3413413(y+1)12(x+l)

所以---+----=-(----+----)[3(x+1)+(y+1)]=-[13+----------+-------------]>5,

x+1y+15、+1y+1八'，u力5Lx+1y+1」

当且仅当匕口=胆+D,即x=(),y=l时等号成立，

x+1y+1

所以52-2机-3,BPm2-2m-8>0,所以mV-2或加>4.

故选：D.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024秋•易门县校级期末）已知〃，b,cGR,则下列结论正确的是（）

11

A.右a>b>0,则—V—

ab

B.若a>b,则ac2>bc2

C.若2a>G）b,则a+>>0

11

D.右a>Z?>0,则a+万<b+—

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】AC

【分析】由作差法即可判断A。，当c=0时，即可判断B,由指数函数的单调性即可判断C.

11"bCL11

【解答】解：对A,因为。>人>0,所以一一三二~二〈°，则一〈口故A正确；

ababab

对3,当C=0,则碇2=0=历2,故3错误；

对C,若2a>（｝%即2。>2",贝！故4+人>0,故C正确；

对D,因为Q+称一（b+）=（a—b）+=（a—b）（l+,而a>b>0,

则Q—b>0,1+>0,

所以a+五一（b+公）>0,即a+石>b+石，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查不等式相关性质，属于中档题.

（多选）10.（2025•宁远县校级开学）若实数x,y满足x+y22,则下列选项一定正确的有（）

A.（尤+1）2+/25B./+y2n（X?）

C.2?+2/>尤+yD.\x-2y2\+\y-2^\^2

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】BCD

【分析】特殊值法判断4应用基本不等式计算即可判断8,C,绝对值不等式计算结合不等式性质判

断。.

【解答】解：实数X,y满足x+y22,

令尤=：,y=|,A选项显然错误；

因为2(/+/)=/+廿+/+丫22/+/2+2孙=(/y)2,

所以久2+y22a£,当且仅当x=y时取等号，8选项正确；

因为2(W+y?)2(x+y)2,所以2(f+y?)2(x+y)12>x+y,。选项正确；

因为2(/+/)>x+y,

所以仅-2y2|+|y-2%2|邦(九-2/)+(y-2X2)|=|(x+y)-2(『+/)|=2(y2+x2)-(x+y),当且仅

当(x-2y2)(y-2%2)20时取等号，

又因为2(x2+y2)2(x+y)2,且1+y，2,

所以仇-2y2|+|y-2%2|22(产+^2)-(x+y)>(x+y)2-(x+y)=(x+y)[(x+y)-l]>x+y^2.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式性质的应用，属于中档题.

(多选)11.(2025•玉溪校级模拟)已知关于元的不等式(机+〃)/+(m-2b)x-1>0(〃>0,Z?>0)的

1

解集为(—8,—1)U/+8),则下列结论正确的是()

A.2〃+Z?=l

B.历+2历的最大值为百

44

C.—7+二工的最小值为3+2/

a+1b+1

1

D.『+房的最小值为一

4

【考点】运用基本不等式求最值；解一元二次不等式.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】BC

【分析】由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得a+2b=l,然后结合基本不等式的乘“1”法可

判断C,利用向量的性质可求解B,根据二次函数的性质可判断D.

【解答】解：因为关于x的不等式(m+a)(m-2Z?)%-1>0(〃>0,/?>0)的解集为(——1)U8,

+8),

1

所以-1和一为方程(徵+〃)/+(m-2b)x-1=0的两根，

2

2b-m

a+m

所以所以2b-m=-1,

___1Q+W=2,

a-\-m

所以a+2Z?=l,故A车曰误；

对于B,因为〃>0,b>0,由A选项分析，〃+2匕=1,

、一>->__.—.—>—>—>—>

设m=(1,\2)/n=«a,72b),由于TH•九m•|九|,

Vay]2b1

故乃+2y/b<V3(Va+2b)=V3,当且仅当三二十°…严等号成立，故B正确;

对于C,因为。+20=1,

~,4448148

所以示+何=肃+五-(——+--)[(a+1)+(2b+2)]

4%+l2b+2小'''」

=*2+”+寨抄2扣2+24(2b+2)8(a+l)市

a+12b+2」-3+"2'

当且仅当专受=今翳，即6=3-2a,a=4/-5时取等号，C正确;

711

对于D,a2+fa2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5(b-j)2+j>|,

当且仅当仁看，a=9寸取等号，故最小值为"。错误.

D。5

故选：BC.

【点评】本题主要考查一元二次不等式与一元二次方程的关系、基本不等式的应用，属于中档题.

（多选）12.（2025春•临泉县校级月考）下列命题中，真命题是（）

1

A.函数y=x+己科勺最小值为3

1

B.“尤>1”是“-VI”的充分不必要条件

X

C.“x=l是方程办2+b尤+c=o的一个实数根”的充要条件是“a+6+c=0”

D.设ai=2,。2,bi,历，ci,C2都不为0,不等式内久2+b]X+q>0的解集为M,不等式a2/+b2x+c2

>0的解集为N,则此=察=—"是"M=N”的充要条件

a2b2c2

【考点】运用基本不等式求最值；充分不必要条件的判断；充要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；不等式；运算求解.

【答案】BC

【分析】举反例判断A,D,利用充分不必要条件的定义判断8,利用充要条件的定义判断C即可.

【解答】解：对于4令x=-2,y<0,最小值不可能为3,故A错误；

对于8,对于充分性，当x>l时，9Vl成立，则充分性成立；

X

1

对于必要性，令I=-2,满足-VL,不满足x>l,则必要性不成立，故3正确；

x

对于G对于充分性，将X=1代入ax2+/?x+c=0中，

得到〃+Z?+c=O,故充分性成立，

对于必要性，当”+Z?+c=O时，贝！Jc=-4-/?,

代入方程ax1+bx+c=O中，得至ljaW+bx-a-b=0,

则〃(x2-1)+b(x-1)=0,显然x=l是方程的一个根，即必要性成立，故。正确，

对于。，令m=l,Z?i=-1,ci=-2,a2=-L历=1,C2=2,

满足二=—=—=—1,此时Qi/+b]X+Ci>0化为x2-x-2>0,

a2b2c2

解得xE(-8,-1)U(2,+°°),故加=(-8,-1)U(2,+°°),

此时a?"+b2x+。2>。可化为-/+%+2>0,

解得在(-1,2),故双=(-1,2),显然MWN,

则"£1=*=%不可能是“M=N”的充要条件，故。错误.

。2匕2C2

故选：BC.

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，充分必要条件的判断，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

1

13.(2025•河南模拟)关于x的不等式(〃>0且恒成立，则实数。的取值范围是_[〃

+8).

【考点】指、对数不等式的解法.

【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

1

【答案】[e.+8).

【分析】〃210gox(〃>0且1)等价于仇a之竽，即仇。之(卓)ma*，令f(%)=竽，对/(x)求导

得出/(%)的单调性，即可得出答案.

【解答】解：因为不等式/210gd(。>0且〃W1)恒成立，可知〃>1,切〃>0,

由/210gM(。>0且"W1)可得e31°之需(%>0),

贝ljxlna•^lna^xlnx=elnx•Inx,

令h(/)=tef,h'(/)=ef(Z+1),

令h'⑺>0,解得：>-l；令今⑺<0,解得：/〈-I,

所以/l(/)在(-1,+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减,

f

当」V0时,h⑺=te<09当/>0时，h⑺=必>0,

因为％>0,lna>6,所以冗/〃。>0,

所以要使xlna•^xlnx=elnx*Inx,故只需xlna^lnx即可，

故"。>号即可,

令f[x)=畔,/(%)=也普=土争=0,解得：X=e,

令f(尤)>0解得：0<x<e；令f(x)<0解得：x>e,

所以/(无)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

111

所以/'(x)max=/(e)=工,所以Ina2工,即a2e^,

1

所以实数a的取值范围是[e],+oo).

1

故答案为：[ee,+co).

【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.

14.(2025•邢台模拟)已知正实数a,b满足bVa?-1-V4—b2=bln华,则a?+2&b的最小值为6.

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；不等式；运算求解.

【答案】6.

【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数确定单调性可得。=宗再利用基本不等式求出最小值.

【解答】解：正实数〃，b满足军Va2—1—74—b?=bln与07乃—\—Ina=一1一伍，,

令/(%)=V%2—1—Inx,%>1,

当x>l时，f'(x)=F—-^=X>0,

Jx2—1xjx2—1

函数/(%)在[1，+8)上单调递增，

又-1—Ina=J(各2_1_In*of(a)=f(^),于是a=奈

a2+2A/2£)=—2+2V2/)=—2++y[2,bN3/—2,V26,y/2.b=6,

bbNb

当且仅当企6=当即6=/时取等号.

b

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题.

c2CL

15.(2025•沙坪坝区校级模拟)已知a>2,b>0,a2-6a+2b=0,则——+一的最小值为2.

a-2b-------

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】2.

【分析】根据题意可得6=鸣©,2<。<6,代入可得二一+7=2(—+—根据乘“1”法结

2a-2ba-26-a

合基本不等式运算求解.

【解答】解：因为a>2,b>0,/一6。+26=0,

b6—a

则一=——>0,解得2<〃<6,

a2

一2a2211

可得---+-=----+----=2(------+------),

ct—2bCL—26—aCL—26—CL

11111

则2(不与+言)=2[(a—2)+(6—a)](谓五+言)

6—CLCL—20、

V(W+W+2)村G0.■+2)=n2,

当且仅当------,即〃=4时，等号成立.

d—2o—d

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

16.(2025•承德一模)已知函数/(无)=2(x-6)(x-2c),0<b<2c<l,则的取值范围是

1

(0,》•

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】(0,

【分析】利用基本不等式即可求解.

【解答】解：f(0)./(1)=86c(1-b)(1-2c),

由于0<b<2c<l,故8bc(l—6)(1—2c)M4x(与当2产一b”(l—2c)产,当且仅当人2。时等号成立,

b+2c(l-b)+(l-2c)12

-Z--1-------------

b+2c(1-匕)+(1-2c)21

又一^X-------------------<[―-]=-

222」4

b+2c(1f)+(-2c)等号成立,

当且仅当丁

2

2

因此8bc(l-b)(l-2c)<4x(与当2产一叱(1—2*<4x(1)=

当且仅当b=£,c=J等号成立，由于0<6<2c<l,故等号取不到，

Z4,

所以。</(())•/(1)<|,即/(())•/(1)的取值范围是(0,1).

故答案为：(0,1).

【点评】本题主要考查基本不等式在最值求解中的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

四.解答题(共4小题)

_______1

17.(2024秋•西双版纳期末)已知函数/(久)=—的定义域为集合A，集合2={尤2根-1<

V2x—1

XWMI+1}.

(1)当初=0时，求AUB；

(2)若xCA是尤&B的必要不充分条件，求实数相的取值范围.

【考点】指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法；充分条件与必要条件.

【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】(1){x|-Kx<4};

(2)区，+8).

【分析】(1)先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合4从而利用集合的并集运算即可得

解；

(2)由题意得到8是A的真子集，分别讨论8=0和8#0两种情况，根据集合的包含关系即得解.

【解答】解：(1)因为f=716一2久一

V2x—1

所以*°，解得:<%<4,所以4={%||<%<4},

(.2%—1>02'"

当机=0时，集合8={x|-

所以AUB=x|-1<尤W4}.

(2)因为x&4是x&B的必要不充分条件，则8是4的真子集，

因为2={x|2〃z-1<尤W〃z+1},

当8=0时，2m-l^m+1,解得机N2,符合题意；

2m—1<m+1

2m_x>1(等号不同时成立)，解得：三爪<2,

{m+1<4

22

综上，m>^,故根的取值范围为+00).

【点评】本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于中档题.

18.(2024秋•深圳校级期末)设全集U=R,已知集合4={x|禺W0},集合8={尤|/+3x-10<0},

(1)求AC8和Cu(AUB)；

(2)若C={尤|aWxW2a+2}且ACC=C,求实数a的取值范围.

【考点】分式不等式；集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】(1)AAB={x|-lWx<2}；Cu(AUB)={x|xW-5或尤》-4}；

⑵(-8,-2)U[-1,1).

【分析】(1)解分式与二次不等式化简集合A,B,从而利用集合的交并补运算即可得解；

(2)根据题意得到CUA,再利用集合的包含关系，分类讨论C=0与CW0两种情况，得到关于a的不

等式组，解之即可得解.

%4-1

【解答】(1)由一<0,得-1WXV4,则4=凶-1W无V4},

X-4

解了+3x-10V0,得-5<x<2,则B={x]-5<u<