2025届北京市朝阳区高三年级下册质量检测二数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知集合"={"必+兀＜0},集合8={也"叫，则集合AU3=（）

A.(-a),0]B.1)C.(-1,0)D.(-1,0]

2.若抛物线。：％2=町（%wO）的焦点坐标为（0,-1）,则抛物线C的准线方程为（）

A.x=2B.x=lC.y=2D.y=l

3.已知〃=k)go5().2,6=0.5°,5,C=2°5,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

4.已知［必+工］的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则〃=（）

A.7B.8C.9D.10

5已知函数"x）=|x|—|元—2|+1,则对任意实数无，有（）

A./(1-x)=2-/(1+%)B./(-%)=-/(%)-2

C./(2-x)=2+/(x)D./(2+x)=/(2—x)

6.在矩形ABCD中，A81AQ,AQ=2,A8=J5,点E为线段的中点，鹿与AC交于点尸.设

•=+其中„分别是与荏，正方向相同的单位向量，则()

A」小—也——也」

A.h一马,卜B._——^2_—

1J2,1,2

C.&=一，鼠=-----D,k=-,^=—

3■3t323

7.设aeR,则“sin2a="是"tana=G"的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知函数/(x)=x—d,曲线y=/(x)在点尸”,/。))。€(。,1))处的切线方程为丁=8(%),设函数

〃(幻=/(%)—g(x)，则C)

A.当x>0时，h(x)>/;(0)B.当尤<0时，h(x)<h(0)

C.当x>0时，A(x)<0D.当x<0时，A(x)>0

9.金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的

每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分

布在一个正四面体的4个顶点A,B,C,D处,中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置(点

E处)，如图2所示，设=则E到平面A血的距离为()

A.当4=1时，詈

J20251

B.当巴=(-1)1时，詈<J

32025，

C当%="(”+])时，则02025一邑025>0

D.当4=(Q)时，。2025一$2025>—2Q25

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数Z满足Z-i=2+i,则|z|=.

12.已知等差数列｛a“｝满足%+%=-8,%+/=8,贝|]。3+4=；设S“为｛4,｝的前〃项

和，则使S“〉0的〃的最小值为.

13.在VA3C中，a+c=2逐，且tanB=2,则sinB=；VA3C面积的最大值为

1-

14.若直线y=与双曲线C:V—记=1(6〉0)没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为

15.设。>0,过原点。的直线(不与X轴重合)与圆4：%2+。一。)2="2交于点尸与直线y=2a交于点

Q.过点尸作为轴的平行线，过点。作无轴的垂线，这两条直线交于点M(x,y),称y为X的箕舌线函数，

记作y=/(x),给出下列四个结论：

①函数y=/(x)的图象关于y轴对称；

②若看<々，则/(%)>/(%)；

③设函数"(x)=xf(x),则〃(x)的最大值为2a2;

④设函数g(x)=f(x)+x2,则g(x)的最小值为2a.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.

(1)求了(%)的最小正周期和单调递增区间；

(2)设函数g(x)=/(x-9)[。＜夕＜]],再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使函数g。)存在且唯一，求g。)在区间0,y上的最大值和最小值.

7171

条件①：gO)区间-上单调递增；

_44_

条件②：g(x)最大值为血；

条件③：gCO为偶函数.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

17.如图，在三棱柱ABC—4与G中，底面侧面ACGA，侧面ACG4是边长为4的菱形，

4AC=120°,BC]=5,AB=3.

(1)求证：侧面为矩形；

(2)求直线A/与平面3CC1与所成角的正弦值.

18.某电商平台为了解用户对配送服务满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户

进行问卷评分调查，将评分数据按［40,50),［50,60),…，［90,100］分组整理得到如下频率分布直方

图:

(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；

(2)从8地区评分为［80,100］的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X,求X的分布

列和数学期望；

(3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计

为〃1，48两地区评分的平均值估计为〃，比较〃1与〃的大小关系.(直接写出结论)

22

19.已知椭圆E:J+2T=l(a〉6〉0)的焦距为2,且过点(0,«).

ab~

(1)求椭圆E方程；

(2)设直线y=Ax+2(左＜0)与椭圆£交于不同的两点A,B,直线丁=兀与直线A3交于点N,若

ZAON=ZBON(。是坐标原点)，求上的值.

20.已知函数y(x)="In?1(a20).

(1)若a=0,求函数/(%)在区间［L+s)上的最大值；

(2)若了(“在区间(0,1)上存在单调递减区间，求。的取值范围；

(3)若/(%)存在极值点%,且/(%)=1，求。的值.

21.已知｛%｝是无穷正整数数列，且对任意的“23,a“+i=card｛用以左e｛l,2,…，研，其中cards

表示有穷集合S的元素个数.

(1)若q=2,4=3,&=2，求%的所有可能取值；

⑵求证：数列{4}中存在等于1的项；

(3)求证：存在/eN*，使得集合kwN*|4="为无穷集合.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知集合A3集合8={也'叫，则集合AU3=()

A.(-a),0]B.1)C.(-1,0)D.(-1,0]

【答案】A

【解析】

【分析】首先，求解集合A3中关于x的不等式，然后求解A,3的并集.

【详解】对于集合A,/+为<。，化简得％(x+l)<0,所以—1〈尤<0.

所以集合4=5|—1<%<0}.

对于集合8,2,<1，根据指数函数的性质可得xWO.

所以集合3={x|xW0}.

所以AD5={X|XW0}.

故选：A.

2.若抛物线。：％2=町(加。0)的焦点坐标为(0,-1),则抛物线C的准线方程为()

A.x=2B.x=lc.y=2D.y=1

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程.

【详解】因为抛物线。：％2=切(根。0)的焦点坐标为(0,—1),

所以抛物线方程为/=—4y,

准线方程为y=l.

故选：D

3.已知a=logos0.2,/?=0.5°',c=2°，,贝ij()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性及塞函数的单调性比较大小即可.

05

【详解】a=log050.2>log。$0.25=2>2=c,

又y=%05在（0,+。）上为增函数，

所以人=0.5°5<2°5=c，

综上，b<c<a,

故选：D

4.已知（犬+工］的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则〃=（

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】由小=c，厂即C：=c：,利用组合数的性质即可求解.

根据题意有C：=c：,由组合数的性质有”=8.

故选：B.

5.已知函数/'0:)=1尤IT龙一21+1,则对任意实数x,有()

A./(1-x)=2-/(l+x)B./(-%)=-/(%)-2

C./(2-x)=2+/(x)D./(2+x)=/(2—x)

【答案】A

【解析】

【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB,取特殊值判断CD.

—1,x<0

［详解］因为/(x)=NTX—2|+1=<2%-1,0<X<2,

3,x>2

作出函数图象，如图，

由图象可知，函数图象关于点（U）中心对称，故A正确；

图象不关于点（0,-1）对称，故B错误；

当x=l时，/（2-1）=1^2+/（1）=3,故C错误；

令x=—l,则/（2—1）=1//（3）=3,故D错误.

故选：A

6.在矩形ABCD中，A81AQ,AQ=2,A8=J5，点E为线段的＞的中点，3E与AC交于点凡设

Q=+其中分别是与荏，正方向相同的单位向量，则（）

A.k=-,k=—B.=—,k=-

x2123

13~333

1,J2,1,2

c.k[=一，鼠=---D.k=-,^=—

3-3x323

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加法运算和共线运算，可用来表示/=去,+^£,然后利用平面向量基本定理

即可确定选项.

DC

【详解】E

AB

APAJ711

在矩形ABC。中，因为点E为线段AD的中点，所以一=——=-^AF=-AC,

FCBC23

则有衣=；恁=；（顺+而）=；通

因为A。=2,AB=J5,分别是与W反布方向相同的单位向量，

所以:W=2£^=夜冢，

^AF=-AB+-AD=^el+-^，

3333

又因为/=勺1+左2段（勺,左2wR），所以&=¥，&=g，

故选：B.

7.设aeR,则“sin2a=且”是“tana=6”的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即

可得解.

■、斗加、..c2sin（7cos6/2tanaA/3

【详角牛】由sm2a=---------=——-----=——，

sina+cosatana+12

得V3tan2。一4tana+6=6,解得tana=6或tana=,

3

,公用.c2sin6/cost/2tan。26百

由tan。=，倚sinla-——----------=——------=-----=——，

sin\z+cosatana+13+12

所以“sin2a=走”是“tana=也”的必要不充分条件.

2

故选：B.

8.已知函数/(x)=x—d,曲线y=/(x)在点尸""⑺)Qc(O,l))处的切线方程为y=g(x),设函数

h(x)=f(x)-g(x),则()

A.当龙>0时，/?(%)>力(0)B.当x<0时，h(x)<h(0)

C.当x>0时，A(x)<0D.当x<0时，//(%)>0

【答案】c

【解析】

【分析】利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程g(x)=r-r+(1-31)(X-力，根据题意，得到

/z(x)=—1+3"—2汽求得〃(x)=-3(x+r)(xT),求得函数人⑺的单调性与最值，结合选项，即可

求解.

【详解】由函数/(x)=x—/，可得/'(x)=l—3必，可得/")=1—3产,/«)=♦—广，

所以曲线y=/(X)在点P(Z,/(O)处的切线方程为：g(x)=/⑺+/'⑺(X—。=/—/+(1—3r)(x-o,

又由h(x)=/(x)—g(x)=(x—d)—上—「+(1—3r)(x—力=-X3+3t2x-2t3,

因为丸(x)=/(x)-g(x)=-x3+3t2x-2t3--(x7)2(x+2t),其中0</<1,

若x>0时，h'(x)=-3%2+3t2=-3(%+t)(x-t),其中0<f<l,

当xe(0,f)时，h'(x)>0,函数力(九)单调递增；

当xe(/,+oo)时,h'(x)<0,函数&(%)单调递减,

所以〃(Mmax=〃⑺=一/+3/一2/=0,所以〃(九)40，

又由丸(0)=—2-，且可2/)=-4/<力(0),即〃(%)>〃(0)不恒成立，

所以C正确，A不正确;

若x<0时，〃'(x)=-3(x+/)(x-/),其中0</<1,

当xe(—8,T)时,h'(x)<0,函数单调递减，

当xe(T,O)时，〃(x)>0,函数/l(x)单调递增，

所以双X)而n=■—/)=—4产<0,所以入⑺20不恒成立，

又由丸(0)=-2t3,丸(―3。=16?,此时〃(—3。>A(o),所以//*)<"(0)不恒成立，

所以B、D均不正确.

故选：C.

9.金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的

每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分

布在一个正四面体的4个顶点A,B,C,。处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置(点

E处)，如图2所示，设=则E到平面A3。的距离为()

—a

9

【答案】C

【解析】

【分析】沿四面体的两条侧棱和高,切出一块几何体如下图，计算所需线段长度，即可得解.

【详解】沿四面体的两条侧棱和高,切出一块几何体如下图,

A

B

O是顶点A在下底面的射影，石是正四面外接球的球心，A0是正四面体的高，是下底面的外接圆半

径，区4=班=石C=H是球的半径，

则2。3=^^,解得03=1。，

sin6003

2

在RIAAOB中，AO=J«-a=a，

在中，OE2=BE2-OB2，

即(OA_R)2=R2_OB2,即1，=R2_y,

解得R=《ta，

所以OE=OA-R=^-a-^-a=^-a，

3412

由于E到正四面体各面的距离相等，则E到平面A血的距离为二2a.

12

故选：C

10.设无穷数列｛4｝的前W项和为s“，定义％='±苦二七&(4=1,2,3,…)，则()

当4=1时，警1

B.当4=(一1产时，泮＜不

Docx乙

C当"〃"一+1）时'则02。25-^2025>°

D.当％=j时，°-2025一$2025>—2025

【答案】D

【解析】

【分析】根据选项不同的通项公式，求出s“与巴一逐一验证即可.

【详解】对于A选项：当g=1时,

左(4+1)

Sn=n，9==浮，二52025=2025,5。25=笋，•.箸1〉；‘不正确;

」》2025」

对于B选项：当4=(-1)"T时，S”在〃为奇数时为1,偶数时为0,故

1013“0251

^2025=1，O2025------，------->一不正确;

2025S20252

对于C选项：当4=拓匕时，

。〃1、/1、/1、11nc2025

"223nn+\n+1zi+120252026

一nn+1

又——-<——-，所以

n+1n+2

12k122025202520252025

—I----F…-I----------—I-----F…-I------------\----------+,,,+---------

_=23-+1_=232026<202620262026c二2025••。2025<*^2025，

卜=I乌必=^252025=2026；

不正确；

对于D选项:

2024+]

十22025

S=1—-—S=1———n

12«5202522025520252025~

120261

--------1>

20252025x22025-----2025

故选：D.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数z满足z-i=2+i,则|z|=

【答案】75

【解析】

【分析】根据复数的除法可求得z=l-2i,结合模长公式运算求解.

2+i(2+i)Gi)

【详解】因为z-i=2+i,所以z=—=l-2i

1i(-i)

所以闫=Ji3+(—2)2=-

故答案为：y/5

12.已知等差数列｛4｝满足%+。2=-8,%+/=8,贝1］。3+。4=；设S”为｛。“｝的前〃项

和，则使s“>0的〃的最小值为.

【答案】①.0②.7

【解析】

（、2a+d=—8

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d，根据条件得到Ll,。，从而得到%,=2〃-7,即可求出

+yd-o

%+%的值，再利用等差数列的前〃项和公式，即可求解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,由％+%=—8,%+为=8,

2ald——8/、/、

得到L,°，解得4=一5,1=2,所以4=4+("-1)2=-5+2(〃-1)=2〃一7,

2〃]+9d-o

贝|/+%=2x3—7+2x4—7=0,

又S"=小H="+；”7）“6）〉O,得到"6或〃<。（舍）,

又〃eN*，所以使S,〉0的〃的最小值为7,

故答案为：0,7.

13.在VA3C中，o+c=2j?，且tan5=2,则sin8=；VA3C面积的最大值为

①.空

【答案】②.

5

【解析】

【分析】利用同角公式列式求出sin8；利用三角形面积公式及基本不等式求出最大值.

【详解】在VABC中，由tanB=2,得sinBuZcosB〉。，而sin25+cos?5=1，所以

,2A/5

sinBD=----；

5

NABC的面积SvMe=^acsinB=^-ac<^（£±£）2=非,当且仅当。=C=J?时取等号，

所以NABC面积的最大值为小.

故答案为：2,；出

5

12

14.若直线y=—x与双曲线C：V-二=1（6〉0）没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为

3b~

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据直线与双曲线没有公共点求出》的范围，进而求出离心率的范围，在该范围内取一个值即可.

21

【详解】。：丁―斗=13〉0）的渐近线为y=±7尤，且焦点在y轴上，

bb

由题知：因Z?>0,解得0</?W3,

3b

所以离心率e=9=Jl+（2y=J1+/,

aVa

故离心率的一个取值可以为3.

故答案为：3（答案不唯一）.

15.设。＞0,过原点。的直线(不与无轴重合)与圆A：f+(y—。)2=/交于点尸与直线＞=2.交于点

Q.过点尸作X轴的平行线，过点。作无轴的垂线，这两条直线交于点M(x,y),称y为X的箕舌线函数，

记作y=/(X),给出下列四个结论：

①函数y=/(x)的图象关于y轴对称；

②若X]＜々，则/㈤＞/(七)；

③设函数丸(x)=j/(x),则〃(龙)的最大值为2a2；

④设函数g(x)=/(x)+x2,则g(x)的最小值为2a.

其中所有正确结论的序号是.

【解析】

【分析】设。(七,2a),联立直线和圆的方程，求出尸点纵坐标即可得出/(九)解析式，根据函数的奇

偶性可判断①，对〃力求导，求出〃力的单调区间，可判断②，对于③，分工＜0,无＞。，再利用基本

不等式，即可求解；对于④，根据条件得g(%)=T^+d+4〃2—4",令/=炉+4〃224〃2,则

%+4〃

父〃3

y=t+--4a2,利用其单调性，即可求解.

【详解】圆d+(y—。)2=片的圆心(0,。)在y轴上，设圆A与y的另一个交点为8,

/、2a

设。(x0,2a),当点。不与点8重合时，直线的方程为＞=——％

X。

2a

y=——x

冗°8〃8a§

联立x2+y2-lay=0,解得y=—/方，所以尸点纵坐标为力=一―,此时点加

A。尤：+4〃

(8a3]

父〃3父3

当点。与点5重合时，点M的纵坐标也满足丁=丁,所以/(%)=102

%+4〃冗+4〃

父〃3

对任意的xeR,9+4/>o,所以〃x)=1°的定义域为R,

')x2+4«2

对于命题①，因为3(2^8/

2上42=/(%)，所以“X)是偶函数，故①正确;

X十4。

-16〃%

对于命题②，因为/'(x)=T,当无＜0时，/'(尤)＞0,即〃力在区间(0,+")上单调递增,

/+4〃

所以当王，W«0，+°°)时，若石＜々，贝!I/(%)＜/(%),所以②错误,

区〃3

对于命题③,h(x)=xf{x}--........y,因为〃>0,当％VO时，/z(%)W。,

x+4。

力(%)-T74〃

当工＞。时,4a2,又x+——>2用=4a,当且仅当了=宜，即尤=2。时取等号,

X+----XX

X

8a38a3

所以心)=_______<_____—2

4/一4〃一，故③正确,

%+---

x

区〃3

对于命题④，g(x)=f(x)+x2=—------+x2+4tz2-4a2,^t=x2+4a2>4a2>

x+4a

El8/2易知y=f+%—4a2在区间（0,屈）上单调递减，在区间（J彳,+"）上单调递

则y=1H------4〃,

增,

/]]_____o33

若应/>4a2即Qe0,_时，v.=,8/——4片=4y/^a2—4^z2,

I2j屈

即当〃£o,g时，g（x）的最小值为40aL4a2,所以④错误,

故答案为：①③.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.

（1）求了（%）的最小正周期和单调递增区间;

（2）设函数g（x）=/（x-。）0<9<],再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使函数g（x）存在且唯一，求g。）在区间0,y上的最大值和最小值.

7171

条件①：g（x）在区间-上单调递增；

条件②：g（x）的最大值为&；

条件③：g（x）为偶函数.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

3兀兀

【答案】（1）最小正周期兀，单调递增区间为一丁吟+尿（左eZ）

OO

（2）答案见解析

【解析】

【分析】(1)由两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期性、单调性求解；

(2)分别选择条件后根据条件分析。的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求最值即可，若不

唯一，则放弃该条件的选择.

【小问1详解】

由题意得/(x)=sin2x+cos2x=+,

2兀

所以了(%)的最小正周期丁=——二兀，

2

JC兀兀

由-5+2kli<2x+—<—+2kli(keZ),

311jr

得-----\-kn<x<—+hi(keZ).

88

3兀7T

所以/CO的单调递增区间为-k+械7+防r(左CZ).

OO

【小问2详解】

选择条件①：

由题意得g(x)=0sin-2夕+

3兀兀

由(1)可知g(%)的单调递增区间为----+H,—+HeZ).

88

兀7、兀

[--1—Fku+02-,

717184

由g(x)在区间-7,丁上单调递增，得。

44371,71

---+kn+(p<——,

[8-------------4

71

解得(p=——hi(keZ).

8

jrJT

又因为o<e<《，所以。=石.

28

从而g(x)=五sin2%存在且唯一，

2冗47r

当OVX〈一时，042x4”，

33

所以当2x=],即％=:时，/(x)取得最大值也；

当2x=生，即工=女时，/(幻取得最小值—逅.

332

选择条件②：

由题意得g(x)=0sin12x-2Q+：；

jrjr

函数最大值为a,则只需2x—2°+Z=2E+5，

由于无eR,故。的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②；

选择条件③：

由题意得g(x)=0sin12x-2Q+

jrjr

由g(尤)为偶函数可知-2(p+1=3+E也GZJ),

解得夕=————(A:EZ).

82

又因为o<e<S，所以。=」.

28

从而g(%)—A/2sin=—y/2cos2x存在且唯一•.

当0<X〈&时，042x4也，

33

所以当2x=0,即x=0时，/(幻取得最小值—、反；

当2》=兀，即x=］时，/(©取得最大值&.

17.如图，在三棱柱A3C—4与G中，底面侧面ACG4,侧面ACC14是边长为4的菱形,

ZAiAC=12Q°,BCl=5,AB=3.

(1)求证：侧面为矩形;

(2)求直线A3与平面BCq与所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)^2-

35

【解析】

【分析】(1)设AG中点为。，连接A。，由面面垂直的性质定理得到底面ABC，再由

AB1ACX,人£)人43得到43_1平面4。£4,从而证得，A&即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值求解线面角正弦值即可.

【小问1详解】

连接AC1，因为四边形为菱形，且NAAC=120°,

所以△ACC1为正三角形，从而A£=4.

因为A82+AC；=3。；，所以A3,AC「

设AC中点为。，连接AD，则

又AC〃AC「

所以AD_LAC.

因为底面侧面ACGA,

底面ABCD侧面CC]4=AC,

ADu侧面ACG4,所以AD,底面ABC，而A5u平面ABC.

所以

又A81AG，AGnAD=A,ADu平面ACGA，A£u平面ACG4，

所以A3,平面AC£A，而A$u平面ACGA，

所以A3,Ad

又因为侧面ABB,A,为平行四边形，

所以侧面为矩形.

【小问2详解】

(2)由(1)可知平面ACG4,所以A31AC.

所以A3,AC,AD两两垂直.

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-孙z,

则4(-2,2百,0),3(0,0,3),C(4,0,0),q(2,2石,0)•

所以“=(2,—26,3),CCX=(―2,26,0),CB=(T,0,3).

设平面3CG用的法向量为方=(再y,z),则

n-CC[=0,f-2x+273y=0,

<一.即V

n,CB=0.-4-x+3z=0.

令x=3,则2=4,y=6.所以〃=(3,省,4).

设直线A5与平面BCCXBX所成角为。，

所以.仙A'=3设E@=型而词=中12=三6百

因此，直线43与平面3CG与所成角的正弦值为辿.

35

18.某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户

进行问卷评分调查，将评分数据按［40,50),［50,60),…，［90,100］分组整理得到如下频率分布直方

图:

A%区

(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率;

(2)从8地区评分为［80,100］的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X,求X的分布

列和数学期望;

(3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计

为〃1，A,8两地区评分的平均值估计为〃，比较〃1与〃的大小关系.(直接写出结论)

【答案】(1)0.8

(2)分布列见解析；期望为工

3

(3)>〃

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图计算概率即可;

(2)应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可;

(3)根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可.

【小问1详解】

设事件从A地区抽取500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于.由频率分布直方图可知A地

区抽取的500名用户中评分不低于的人数为500x(0.025+0.035+0.015+0.005)xl0=400,

所以「(“)=黑=0.8.

【小问2详解】

8地区评分为［80,100］的样本用户共有100x(0.01+0.005)x10=15人,

其中评分不低于的人数为5人.

由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2.

2

P(x=o)=qC=33,

C：57

11

P(X=1)=c^4C^=U10

C；521

C：2

P(X=2)T=—

氏21

所以X的分布列为:

X012

3102

P

72121

3in22

则X的数学期望EX=0＞＜三+l＞＜，+2x——=—

721213

【小问3详解】

从＞〃.

19.已知椭圆E:=+==l（a〉6〉0）的焦距为2,且过点（0,6）.

ab~

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线y=Ax+2（左<0）与椭圆E交于不同的两点A,B,直线丁=兀与直线交于点N,若

ZAON=ZBON（。是坐标原点），求人的值.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

⑵左=—逅

3

【解析】

【分析】（1）由椭圆的几何性质易得结果；

（2）联立直线和椭圆方程，由A>0及左<0可得左<-；,设A（七,乂）,5（工2，%），由韦达定理得

JT

为+々,石々，由倾斜角的概念可得直线08的倾斜角a和直线的倾斜角夕满足a+夕=5,从而直线

OA和OB的斜率kOA和kOB满足kOA-kOB=1,代入石+々,\x2的值，化简可得k的值.

【小问1详解】

b=A/3,R

a=2.

由题意得＜2c=2,解得〈

2722[c=1・

a=b+c,

22

所以椭圆E的方程为土+匕=1.

43

【小问2详解】

y=kx+2,

2

由＜xy2得（3+442）/+16丘+4=0.

I43

由4=256左2—4（3+4/卜4＞0得上2＞；.

又左＜0,所以左

2

设4（%，%），5（/，%），则%+%=,石当=

J十Q：K：?3十'T：*/V

不妨设点A在点8上方，

7T

因为/AON