2025届高考数学一轮复习讲义：平面向量基本定理及坐标表示

2025届高考数学一轮复习讲义平面向量、复数

之平面向量基本定理及坐标表示

一'知识点讲解及规律方法结论总结

1.平面向量基本定理

（1）定理：如果ei，e?是同一平面内的两个①不共线向量,那么对于这一平面内的任

一向量a,②有且只有一对实数一,%2，使a=4iei+%e2.

（2）基底：若ei，e?③不共线，我们把｛ei，e?｝叫做表示这一平面内所有向量的一个

基底.

注意（1）基底向量ei,e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作为基

底向量；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的坐标表示

（1）把一个向量分解为两个④互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

（2）平面向量运算的坐标表示

坐标表示

已知a=（xi，yi）,b=（%2，"），则a+4=⑤（即十元2,yi+y2），a-

和（差）

办二⑥（即一％2，乃一V2）•

数乘已知a=（X1，刀），则Aa=（An，2%）,其中丸是实数.

任一向量

已知A（xi，%）,B（冗2，）2），则彳月二⑦（检―xi，m―yi）.

的坐标

说明（1）相等向量的坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无

关，只与其相对位置有关.

（3）平面向量共线的坐标表示

如果a=（xi，yi）,b=（%2，＞2），那么a〃♦的充要条件为⑧尤/2——丫1=0.

注意的充要条件不能表示成包=左的形式，因为尬，?有可能等于0.

x2y?.

二'基础题练习

1.下列说法正确的是（B）

A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底

B.设｛a,6｝是平面内的一个基底，若实数九,fii,B，仅满足力a+位5=22。+〃25,则刈=

义2，林\=林2

（2.若a=（xi，y\）,b—（%2，,2），则〃〃力的充要条件可以表示成包

x2y?.

D.平面向量经过平移后其坐标改变

解析对于A,共线向量不可以作为基底，故A错误；对于B,同一向量在给定基底下的

分解是唯一的，B正确；对于C,若b=(0,0),则辽=左无意义，故C错误；对于D,

xzy-i

平面向量不论经过怎样的平移，其坐标都不变，故D错误.

2.［教材改编］已知M(—2,7),N(10,—2),点尸是线段上的点，且两=

一2两，则点P的坐标为(A)

A.(2,4)B.(-14,16)

C.(6,1)D.(2,-11)

解析设P(x,y),则丽=(10-x,~2-y),丽=(一2—x,7~y),又丽=

-2PM,所以「°久-2(2%)，解得2,所以点尸的坐标为⑵4),故选A.

I—2—y=—2(7—y),ly=4,

3.已知ei，e2不共线，a=ei+2e2,B=2ei+初2，要使｛a,%｝能作为平面内所有向量的一个

基底，则实数力的取值范围是(一处4)U(4,+、).

三'知识点例题讲解及方法技巧总结

命题点1平面向量基本定理的应用

例1(1)［全国卷I］在△ABC中，为8c边上的中线，E为的中点，则丽=

(A)

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

解析解法一根据向量的运算法则可得，在AABE中，丽=丽+荏.因为E为的中

点，所以瓦?=:瓦?，在△ABD中，瓦?=丽+瓦?=砺一万,因为。为8c的中点，所以砺

=号荏.在AA8C中，荏=荏一旅.逐步代入，可得丽=丽+万=之方2+国=号(.DB-

AB)+AB=-(-CB-AB)+AB=-CB+-AB=-(AB-XC)+工荏=三南一三前.故选A.

22424244

解法二由。为8c的中点，得而上(荏+左)，由E为的中点，得荏=工而上

224

(.AB+AC').在AABE中，EB='AB-~AE=AB--C.AB+AC')=三屈一工左.故选A.

444

(2)如图，在直角梯形ABC。中，DC=^AB,BE^IEC,且荏=Dc

rAB+sAD,则2r+3s=(C)/

A.lB.2

C.3D.44^-----------------Ig

解析根据题图，由题意可得荏=万+就=荏+|而=荏+|(BX+AD+OC)=^AB

+|(Z5+DC)=［屈+|(AD+^AB)=之屈十|而.因为族=而+5而，所以r=T，s

=|,所以2r+3s=1+2=3.故选C.

方法技巧

1.应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的

加、减或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将相关向量

表示出来，再通过向量的运算来解决.

注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.

训练1(1)[2024昆明市模拟]在平行四边形ABC。中，点T为的中点，则(A)

AAT=-AB+ADBAT=AB+-AD

22

CAT^-AB+-ADDAT^-AB+-AD

3333

解析因为四边形ABC。是平行四边形，所以反=4反因为T为。。的中点，所以词=

|DC,则方=砺+讨=砺+|反=|荏+而，故选A.

(2)[2024广东省模拟]已知△OAB中，OC=CA,OD=2DB,AO与8c相交于点M,OM

—xOA+yOB,则有序数对(尤，y)=(D)

解析如图，依题意A,M,。三点共线，故前=44，所以丽=方

+AM^OA+AAD^OA+^(OD-OA')=OA+A(-OB-OA)=~~0B

33

+(l-A)OA,又C,M,8三点共线，故雨=N而，则而=瓦+,•

CM=OC+fiCB=OC+^(OB-OC)=(1一〃)反+〃雨=宁成+〃砺，所以

(---=1—A,(2=：，__>1>1,__,,,(久=；，

(2解得｛:所以0M=L0B+±O4,^OM=xOA+yOB,所以〈:所

I—1『，24

以有序数对(无，y)=q,|).故选D.

命题点2平面向量的坐标运算

例2(1)［全国卷I］已知点A(0,1),B(3,2),向量前=(-4,-3),则向量而

=(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析因为屈=(3,2)-(0,1)=(3,1),所以说=前一标=(-4,-3)-

(3,1)=(-7,一4).故选A.

(2)己知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，以a,5为基底，则(C)

•**'1

A.c=-2。+3力B.c=—3〃+25：......!

C.c=3a—2万D.c=2a—35，7)：

•y>・•・«

解析建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(1,1),b='

(—2,3),c=(7,—3).设c=xa+yZ>,贝J''解得>

1%+3y=-3,

故c=3a-2Z>.故选C.

iy=-2,

方法技巧

1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，根据“两个向量相等

当且仅当它们的坐标对应相等''这一原则，化归为方程(组)进行求解.

2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解

答转化为我们熟知的数量运算.

训练2(1)如图，在直角梯形A8CZ)中，AB//DC,AD1DC,AD=DC=2AB,E为AD

的中点，若襦=/而+〃而(九〃GR),则汁〃的值为(B)

A.-B.-'、/

55

8\\

C.2D.-

31/

rX------

解析建立如图所示的平面直角坐标系，则。(0,0).不妨设A8=l,则

CD=AD=2,：.C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),：.CA=，:.

(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),VC4=2CF+/zOB,.

(-2,2)=/(-2,1)+〃(1,2),—2，解得!'「

鼠+2〃=2,(〃=葭

故2+〃=:

(2)已知平面上的三个点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),若A,B,C,。四

点能构成平行四边形，则点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(一6,0).

解析由四边形ABCZ)为平行四边形，得荏=比，可解得。(2,2).

由四边形ABZJC为平行四边形，得荏=而，可解得。(4,6).

由四边形AD2C为平行四边形，得前=而，可解得。(-6,0).

因此，使A,B,C,。四点构成平行四边形的点。的坐标为(2,2)或(4,6)或

(—6,0).

命题点3向量共线的坐标表示

例3(1)[2021全国卷乙]已知向量.=(2,5),b=(九4),若a//b,则/=|.

解析因为a〃4所以2义4—52=0,解得

(2)已知点。(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=-OA,OD=-OB,A。与8C交于

42

点M,则点〉的坐标为(£,2).

解析由已知可得点C(0,§),点。(2,-).因为A,M,。三点共线，所以前与砺共

42

),77

线，设"的坐标为(x,y),则力M=(无，J-5),又(2,一,,所以一夕一2。

-5)=0,即7x+4y=20.因为C,M,8三点共线，所以两与方共线，又两=(无，y—

-),CB=(4,-),所以4—4(y--)=0,即7x—16y=—20.由+-2°'得

444-4(7x-16y=-20,

12

X=—,I?

7所以点M的坐标为(又，2).

)=2，

方法技巧

平面向量共线问题的解题策略

(1)若“=(尤1,州)，b—(尤2,＞2),贝Ia〃，0I”一X2yi=0.

(2)若a//b(厚0),贝！Ia=M.

训练3(1)[2023贵州省联考]已知尸1(3,2),P2(9,11),P(5,y),第二丽,

则y与2的值分别为(D)

131

A.y=8,A=2B.y=—,丸=鼻

C.y=牛，^=2D.y=5,A=|

解析因为尸i(3,2),02(9,11),P(5,y),所以瓦A=(2,y—2),囤=(4,

11—y),由R7=/l配，得(2,y—2)=2(4,11一y)=(42,112—心)，所以

P=4A，解得卜林故选D.

ly—2=11A—Ay,(y=5.

(2)设0＜。＜泉向量a=(sin2acos0),b=(cos0,1),若。〃①贝Utan8=_

1

2—,

解析**a//b,sin20=cos20,

/.2sin0cos0=cos2ft

•：0G(o,=),

2sin8=cosOftan0=~.

2

提升思维快速解题

奔驰定理

例4[2023江苏南京三模]如图，。是△ABC内一点，且乱?+赤+2而=0,

则S"BC=4

S"OCA，

解析解法一取AB的中点。，连接。。，则成"(.OA+OB'),又瓦?+赤+2•=

0,所以而=一无，即。为C£)的中点.

又。为AB的中点，所以SAAOC=也AOC=；SAABC,故受生=4.

解法二OA+OB+2OC=0,则由奔驰定理得义理=上空=4.

S^AOC1

方法技巧

奔驰定理：尸为△ABC内一点，贝［Sr园+SB•丽+Sc・同=0,其中SA,SB,Sc分别是

△BPC,ACPA,AAPB的面积.

证明过程如下.

延长AP交边8C于点Q,如图所示.

用S表示AABC的面积，则5=8+58+5小用加表示△BPC的边2C

.,P\

上的高，用力表示△ABC的边BC上的高.麻2才一

则PQ一九1一』BC•41—SaZP_4Q-PQ_］_PQ_］_SA_SB+SC所以—S'+Sc

、,4Qh^BC-hS9AQAQAQSS9S

用力2表示△CPA的边AP上的高，用力3表示△APB的边AP上的高.

则*=『=再所以前=占轴+/r•无，则和=9•屈十当前，

BQ"3scSB十ScSB十s

epS-AP=SB-CPB-PA)+SC-(PC-PA),所以STM+SB・丽+Sc•丽=0.

训练4［2023江苏苏州市第六中学三模］已知0是4ABC内一点，i^OA+2OB+mOC^

0,且红四=£,则%=(C)

SxABC7

A.2B.3C.4D.5

解析解法一由瓦?+2而+加方=0,得一g反=》瓦5+|南，令丽=—£反，则丽

^-OA+-OB,所以A,B,〃三点共线，所以包四=!驾=」;-==解得机=4.

33''''S^ABCIOCIm+37’

解法二由奔驰定理得SABOC,OA~\-SAAOCOB+S\AOB,OC=0,又瓦1+2赤+〃疝？=0,所

以SABOC:SAAOC:SAAOB=1：2：m,所以冲=招上=：,解得加=4.

S&ABCl+2+m7

四、命题点习题讲解

1.［命题点1］如图是由等边三角形A/E和等边三角形KGC构成的六角星，

图中的8,D,F,H,J,L均为对应线段的三等分点，两个等边三角形的

中心均为。.若反=痴？+/画，贝哈=(B)

A.-B.-

23

C.-D.1

4

解析因为等边三角形A/E和等边三角形KGC的中心均为。，所以已

A

0,8三点共线，J,0,。三点共线.如图，连接MB,0D,则四边形、r..,

\/l.'Of/

AJHB,80DC都是平行四边形，且点0为HB,〃)的中点.瓦?=9+用=

OJ+HB=OJ+2OB,又丽=反=丽+瓦=刃+沆，所以司+2砺=7

+2(OC+OJ)^2OC+3OJ,即瓦1=2瓦+3可，又市=,/?+//,所以相=2,”=3,

所以一=一.

n3

2.［命题点2/多选］已知向量ei=(-1,2),62=(2,1),若向量4=九61+>1262，则使

九%<0成立的a可能是(AC)

A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)

解析因为ei=(―1,2),e2=(2,1),所以向量”=九01+义202=(―/i,2/1)+

(2益，右)=(2A2-A1,221+/2).当a=(1,0)时，2九+%=0,满足题意；当a=

(0,1)时，2/12—九=0,不满足题意；当a=(-1,0)时，2/1+22=0,满足题意；当

=(0,-1)时，2弱一九=0,不满足题意.

3.［命题点2］在矩形ABCZ)中，AB=3,AD=4,尸是以点C为圆心，2为半径的圆上的动

点.设丽=几同+〃而，则4+〃的最小值为(B)

7

A.lB.-

6

C.2D.-

3

解析如图，以点A为原点，以A8和AZ)所在直线分别为x轴

和y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),

D(0,4),圆C的方程为(x—3)2+(y—4)2=4.

因为点尸在圆。上，所以可设点尸的坐标为(2cos<9+3,2sin0+

4),又族=%荏+〃而，所以(2cos6+3,2sin9+4)=A(3,

0)+〃(0,4)=(3九4〃)，即1所以zl+〃=

(2sin6+4=4〃，

-cos0+-sin0+2=-sin(8+p)+2>-(其中tan夕=3).故选B.

32663

4.［命题点3］已知向量。=(1,尤)，》=(y,1),尤>0,y>0.^a//b,则三+的最大值为

(A)

A.-B.lC.V2D.2

2

解析a//b=>xy=1所以y==又x>0,y>0,所以丹~=一一=二r0—^=3当且仅当

9X，x+yx+yx+-L.i2

2qx

x=-即x=l时取等号，所以丹-的最大值为士

x9x+y2

五、习题实战演练

“2024山东荷泽模拟］设｛ei,e2｝为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的

是(C)

A.ei+«2和—%B.4ei+2e2和2«2—4ei

C.2ei+e2和ei+一改D.ei—2«2和4c2+2«1

解析平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，选项C中，22+«2=2(ci+

$2),即2ei+c2和ei+*2为共线向量，所以它们不能作为基底，故选C.

2.［2024河南商丘期末］已知点A(8,-1),B(1,—3),若点C(2机一1,m+2)与

A,5共线，则实数加=(C)

A.-12C.-13

解析因为点。与A,B共线，且屈=(-7,-2),AC=(2m-9,m+3),故迎二=

-7

—,所以m=—13.故选C.

-2

3.[2023山东省实验中学开学考试]已知向量0=(2,-3),b=(m,1),若I〃+2万I

=Ia~2bI,则m=(A)

3322

A.-B.--C.-D.--

2233

解析由〃=(2,—3),b=(m,1),可得Q+2方=(2+2m,—1),a—2b=(2—

2m,-5),又Ia+2bI=Ia~2bI,所以Ia+2bI2=Ia~2bI2,(2+2m)2+l

=(2—2〃z)2+25,解得加=|,故选A.

4.[2023河北石家庄质检]AABC中，点M是BC的中点，点、N为AB上一点,AM与CN交

于点。，且诟=：前，AN=AAB,贝iU=(A)

2345

A.-B.-C.-D.-

3456

解析如图，因为点M是BC的中点，所以同=：前(AB+Zc)

=|(XB+XC).因为N,D,C三点共线，所以砺=〃而+(1—〃)

AN,又前=4屈，所以|(,AB+AC)=7〃定+(1-〃)XAB,由平面向

量基本定理可知・解得《:故选A.

-=(1一〃)A,

15

5.在平面直角坐标系尤Oy中，已知A(1,0),B(0,1)，点C在第二象限内，/AOC=

MIOCI=2,若而=/02+〃砺，则九〃的值分别是(D)

A.V3,1B.l,V3C.-l,V3D.-V3,1

解析设C(x,y),丁点C在第二象限，JLZAOC=—,OCI=2,

6I

=|OC-cos—=—V3,y=OC-sin—=1,

I66II

：.C(-V3,1),：.0C=(-V3,1).

又•瓦=4市+〃砺，；.(-V3,1)=7(1,0)+〃(0,1),

即(一V3,1)—(九〃),A——V3,ju—1.

6.［多选］已知等边三角形ABC内接于。。，。为线段04的中点，E为BC的中点，则丽=

(AC)

A.-BA+-BCB.-BA--BC

3636

C.B1+-Z5D.-B1+-ZE

333

解析JD=BA+AD=BA+-AE=BA+-(AB+5E)=BA--BA+-x-BC=-BA+-BC.

3333236

故选AC.

7.［多选］已知向量瓦?=(1,-3),砺=(2,-1),OC=Cm,加一2),若连接A3,

BC,AC能构成三角形，则实数相的值可以是(ACD)

A.-2B.3

C.lD.-1

解析由题知，AB^OB-OA^(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA^

(m,m—2)—(1,-3)=(m—1,m+1).假设A,B,。三点共线，则lx(m+1)—

2(m-1)=0,即m=3.所以若连接A5,BC,AC能构成三角形，则相#3.故选ACD.

8.［2024河南信阳模拟］已知两点A(3,-2)和8(—5,—1),点尸满足方屈，则点

P的坐标为(—1,一|).

解析解法一设点尸的坐标为(尤，y),由屈，得(无一3,y+2)=|(一8,

1).

%-3=-4,

1解得，3’所以点尸的坐标为（一1,-|）

+2=-

解法二由布=（屈，得尸为AB的中点，则由中点坐标公式得，点尸的坐标为（宁,

二F),即(一1,—|).

9.在△ABC中，点跖N满足前=2标，JN^'NC.^'MN^xAB+yAC,则x==,y=

解析由题意得丽=流+丽=工前+工方=工前+工（.AB-AC}=-AB--AC=xAB+

323226

yAC,所以y=—3

10.如图，在平行四边形ABC。中，E,尸分别为边AB,的中点，连接CE,DF,交于点

G.若德=北方+〃而（九蚱R）,贝哈=_4—.

解析由题图可设方=屋（尤＞0）,则次=尤（CB+BE）=x（CB+|CD）=；丽+

x济因为葡=标+比瓦而与彘不共线,所以n=x,所以楙，

11J2023陕西安康一模］已知。是△ABC内一点，2方+3砺+根泥=0,若AAOB与

AABC的面积的比值为:，则实数m的值为（D）

A.--B.-C.--D.-

3333

解析解法一由2就+3加=一7〃而得|次+|梅=一£瓦，设弋祓

=0D,则砺=|。1+|砺，则A,B,。三点共线，如图所示，,:就与

话反向共线,・I00Im.IODIm•S^AOB\OP\

\0C\5'**ICDIm+5'S^ABCICDI

^=?解得片拿故选D

解法二\-2VA+3OB+mOC=0,由奔驰定理（。为△ABC内一点，贝”SABOC•瓦?+

SAAOC-OB-\~SAAOB-OC=0')

陕nSABOC,SAAOC,SAAOB-2.3・〃z,••AOB,SAABC—m.(2+3+m),••2+3+血一

点解得机=g,故选D.

12.［与基本不等式交汇］在正方形ABC。中，。为两条对角线的交点，E为边BC上的动点.

若祸=夜？+〃而(40,〃>0),贝畤+工的最小值为(C)

A.〃

A.2B.5

914

C.-D.—

2