2025年高考数学压轴题：函数核心性质（原卷版+解析）

压轴题03函数核心性质应用

函数核心性质应用

添加导数的双函数型

3盘重点•抓核心

总论：

函数核心性质是：在定义域内单调性，奇偶性，周期性综合应用。

函数核心技巧是：利用函数左加右减，上加下减，分离常熟等技巧，寻找函数的单调性、奇偶型与周期性,

以用于解题。

函数性质：

1.中心对称性：

a+bc\,、

若〃x+a）+〃T+b）=c,则函数关于|2，］J中心对称,

2.轴对称性：

a+b

若=+6）,则函数““关于x=光一对称,

3.函数周期性：

函数的周期性：设函数y=〃尤），xeR,。＞0,a^b.

(1)若/（尤+。）=/（“一。），则函数“X）的周期为2”；

(2)若〃x+a）=-/（x）,则函数〃x）的周期为2a；

若〃x+a）=-焉，则函数的周期为2a；

(3)

(4)若"X+"）=TL，则函数的周期为2"；

（5）若./'（x+a）=〃x+b）,则函数的周期为

（6）若函数/（X）的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数外力的周期为2|6-4；

（7）若函数〃尤）的图象既关于点（。,0）对称，又关于点（瓦。）对称，则函数的周期为2。-4；

压轴题型一：广义奇函数“中心对称”

\/满分技法

中心对称常见关系式子:

1.已知定义在R上的函数〃力满足〃x）+/（4-x）=4,且函数/（尤）的图象与直线y=P（x-2）+2有加个

m

交点（%,%）,（%,%），，（x,"，％）,则£&+%）=（）

4=1

A.0B.2mC.4mD.8m

2.设/（x）=x+sinx,{%}为等差数列，S„=£>,,<=£/（《），贝lj“$2024=2024兀”是“4H4=20247t”的（）

i=li=l

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知定义在R上的函数〃元）的图象关于点。,0）对称，〃x+l）+〃x+2）=0,且当xe0,1时,

/（x）=^-+log2（3x+l）.若则实数7”的取值范围为（）

A.12发+耳，2左+§］（笈eZ）B.1上一上一Z）

C.1上一］,左+不］（笈eZ）D.（2上一%,2左+耳］（左eZ）

4.己知函数/（x）是定义域为R的函数，f（l+x）=-f（l-x）,对任意耳、x,e［l,+co）（^<%2）,均有

〃/）-/（占）>0,已知加、叩叱〃）为关于x的方程X2-2尤+产-3=0的两个解,则关于f的不等式

+的解集为（）

A.（-2,1）B.（F,1）C.（1,+<»）D.（1,2）

5.若定义在R上的函数/(x)满足〃x+2)+f(x)=/(4),/(2x+l)是奇函数，/[£|=1，则小小

A.2B.3C.4D.5

压轴题型二：广义偶函数“轴对称”

\/满分技法

轴对称常见关系式子：

1、f(a+x)=f(a-x)，则对称轴x=a

2、f(a+x)=f(b-x)，则对称轴x=g也

2

3、f(x)=f(2a-x),则对称轴x=a

轴对称函数，简称为“和定为轴”。

1.已知偶函数“X)满足〃3+x)"(3-x),且当xe［o,3］时，=若关于尤的不等式产(X)-犷(力>0

在［-150,150］上有且只有150个整数解，则实数f的取值范围是()

(J_A「二_3A<_3\<］_A

A.0,e-iB./5,3/5C.3/5,2"】D.e~^,2e-l

\7L7\J\7

2.设函数〃x)在R上存在导函数尸(x),对任意实数x,都有〃x)=/(-x)+2x,当x<0时，f\x)<2x+l,

若/(2-a)W/(-。)一4。+6,则实数々的最小值是()

A.1B.—1C.—■D.—

22

3.定义域为R的函数“X)满足x)=/(x)+2x,且当xNO时，f'(x)>2x-l,则不等式

“2X-1)-仆)<3/—5x+2的解集为()

A.B.gl)C.1

——,+00D.-00,

3

4.己知函数/(x)对任意xeR满足/(x)=/(-4-x),任意石，%2e(-oo,-2],且无产马，都有

"%)；[了f)>0,则不等式/(2x—2)>/(x+l)的解集是()

A.(一。,一1)。(3,+8)B.(-8,-1)

C.(3,+“)D.(-1,3)

/、/、|log7x|-m,0<x<2,

5.设硝0,1),函数2<X<4有4个不同的零点4,元3，元4，且石<々<%3<%4，

则石+4-26的取值范围是()

玉+/

压轴题型三：周期型

满分技法

1、f(x+a)=f(x+b),贝i]T=|a-b|

2、f(x+a)=-f(x)=>即f(x+a)+f(x)=0,则T=2同

k

3、f(x+a)=±-----nf(x+a)・f(x)=±k,贝|T=2|a|

f(x)*121

4、f(x)=f(x+a)+f(x-a),则T=6a

周期函数特征，简称为“差定为期”。

5.正余弦型函数对称性质，可类比正弦(或者余弦)简洁记忆:

(1)俩中心(a,0),(b,0),T/2=|a-b

⑵俩垂直轴x=a,x=b,则T/2=|a-b|

(3)一个中心(a,O)，一条轴x=b,则T/4=|a-b|

1.已知函数〃x)的定义域为R,/(x+4)为偶函数，/(-X+2)为奇函数，且〃x)在［0,2］上单调递增,

则下列错误的是()

A."2)=0

B.x=4为函数“X)图象的一条对称轴

C.函数在［4,8］上单调递减

D-AD〈/⑺

2.若定义在R上的函数“X)满足/(x+2)+〃x)=0,/(2x+l)是奇函数，=设函数

g(x)=V■卜一g),则g⑴+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)=()

A.5B.4C.3D.2

3.已知可导函数〃x)的定义域为Rjg-j为奇函数，设g(x)是的导函数，若g(2x+l)为奇函数,

110

且g(o)=7,则E依(26=()

2k=\

A11c11〃13c13

A.—B.——C.—D.-----

2222

20232n-\

4.已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+2)+f(x)=/(0)］(2尤+1)为奇函数，/，则2/

n=\2

()

1c2023c2023

八A・—2B.——D.--------

2*22

5.已知函数的定义域为R,且〃x+2)+/(x)=0,〃x+l)为奇函数，7］£|=1，则曹卜一;

)

A.2025B.-2025C.4050D.-4050

压轴题型四：双函数型

\/满分技法

“双函数”

双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。

双函数实战思维：

1.双函数各自自身对称性

2.形如g(x)=a・/(x+b)+c。借助数形结合，f(x)的性质，可以传递给g(x)。

3.形如f(x)=m・/(x+n)+h,与g(x)=a"(x+b)+c,可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函数,

再借助函数性质得到图像特征。

1.己知函数/(尤),g(x)的定义域均为R,/(x+l)的图象关于x=-l对称，g@-l)+l是奇函数，且

g(x)=/(x+2)+4,/(4)=-3,则下列说法正确的有()

A.〃x)=〃-x)B.g(-l)=O

2023

C.g⑵=1D.£g(i)=-2021

i=l

2.已知定义在R上的函数〃x),g(x)满足/(3—x)=/(l+x),g(2-x)+g(x)=2,+：="2x)+1,

则下列结论正确的是()

A."6—x)=/(6+x)B.g(x+2)=g(x)

24

c.f(6-x)+f(x)=0D.£["i)+g(i)]=48

i=l

3.设/(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且为单调函数，若对任意X6R有/(g(x)-力=。

(。为常数)，g(/(x+2))+g(/(x))=2x+2,则()

A.g⑵=0B./(3)<3

C.为周期函数D.宜f(4k)>2/+2,1

k=l

4.已知函数/(尤),g(x)的定义域为R,且/(x+l)g(y+l)=f(x-y)+f(y+l)g(x+l),

/(-2)=/(1)^0,/(2)=1,则()

A.g(0)=2B.f(x)为奇函数

20231

C.3是函数/(X)的周期D.⑻=工

k=i2

5.已知函数〃x),g(元)的定义域均为R,J.gM+/(-x+2)=1,f(x)-g(x+l)=l,若y=f(x)的图象关于

直线尤=1对称，则以下说法正确的是()

B.g(—|)=0

A.g(x)为奇函数

C.VxeR,/(%)=/(%+4)D.若/(x)的值域为刖,M,则/(x)+g(x)=〃?+M-l

压轴题型五：添加导数的双函数型

满分技法

利用函数/■(“与导函数尸(久)的相关构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：

比如：若/(x)+_f(x)>0,则构造g(x)=e，.〃x),

若/(力一广(力>0,则构造8(同=竽，

若/(%)+矿则构造g(x)=W(x),

若〃力一矿(x)>0,则构造g(x)=/?.

1.设定义在R上的可导函数“X)和g(x)满足尸(x)=g(x),g‘a)="x),为奇函数，且g(O)=l.而

下列选项中正确的有()

A.g(x)为偶函数B.为周期函数

C.g(x)存在最小值且最小值为1D.g(x+y)=g(x)g(y)+/(x)〃y)

2.已知函数/(x)及其导函数/'(x),若HreR,/(x+3)=/(3—x),尸(x)=/'(8-x),则()

A.f(-l)=/(7)B.r(-l)+r(3)=2

2024

c.E/⑴=0D./(O)+/(4)=2

i=l

3.设定义在R上的可导函数/(x)和g(x)满足/''(x)=g(x),g\x)=f(x),/(x)为奇函数，且g(0)=l.

则下列选项中正确的有()

A.g(x)为偶函数

B.〃力为周期函数

C.g(x)存在最大值且最大值为1

D.g(x+y)=g(x)g(y)+/(x)〃y)

4.已知函数〃x)及其导函数尸(x)的定义域为R,若/(2)=8,函数/(2x+l)和尸(x+2)均为偶函数，则

()

A.函数/⑺是周期为5的周期函数

B.函数r(x)的图象关于点a，。)对称

2023

c.Sr(0=8

i=\

D.函数的图象关于直线x=3对称

5.已知定义在R上的函数,g(x),其导函数分别为尸(x),g'(x),〃x)=6-g'(x),

/(l-x)=6+g/(l+x),且g(x)-2为奇函数，则()

A.g(o)=2B.r(x+2)=r(x)

C.g(x+4)=g(x)D.〃l)g(l)+/⑶g⑶=24

压轴题型六：指数-反比例复合型

%/满分技法

反比例与指数复合型性质:

指数型”反比例函数”：

a'+lax-l1-«'1+优

i-y=—~7，y=*1，y=-r

a—1a+11+al-ax

2以上几个类型都是奇函数

指数型“反比例函数”变化：

优+t优+tt—axt+优

Ly=-=-/~~r

a—1a+11+〃1—a

2以上几个类型都是对称中心函数，对称中心在y轴上

怎么找中心？

1.如果x=0有意义，直接（0,f（0））就是中心

2.如果x=0无意义，则（0「（T）+f⑴）是中心，即特殊值法

2

3.单调性：（1）、分离常数推导；（2）、带两个特殊值（必须同号）

1.已知函数〃=且〃x+l）为偶函数，则满足不等式“2+的）＜〃4）的实数机的取值

范围为（）.

A.（-8,-1）B.（2,+cc）C.（-1,2）D.（2,+oo）

2.2知函数/(%)=黄]，y=[%]为高斯函数,表示不超过实数元的最大整数，例如[-0.5]=-1,[1.3]=1.

记4={一2,-1,0,1},B=]yy=/(x)-1+/(l-x)-1,xeR>,则集合A,3的关系是()

A.AnB={-2}B.AB={-1,0,1)

C.AnB={-l,0}D.AB={0,l}

3.已知函数/。）=芸5,是定义在R上的奇函数，且对任意xe[L2],不等式三恒

成立，则实数。有（）

2323

A.最大值一大B.最小值一/C.最小值-xD.最大值一二

916916

4.已知函数〃町=》3+‘石，若实数a/满足/(〃)+/•(26。3)=2,贝必胡寿的最大值为()

A.述B.72C.述D.逑

444

5.己知函数〃-。，存在实数X”马，，%使得〃%)+，(9)++〃X,T)=/(X“)成立，若正

整数〃的最大值为6,贝心的取值范围为()

-35、,3

A.

B・[5,

~73、(37--35

C.D.

5a_2,3

压轴题型七：对数-反比例复合型

满分技法

对数-反比例复合型：

如下对数与反比例复合型，是奇函数，函数特征是上下“对偶”：

1m-wc1m+nx..1-x11-kx.x-1

y=log-------，y=log--------，如：log——，log-------，log——

am+nxam-nxa1+xa1+kxax+1

对数--反比例复合型函数常见变化：

(1)、中心上下平移：

mm

y=loga(t.)=y=loga+logat(是个不含X的常数)

m+nxm+nx

(2)、中心左右平移：

y=loga上士，或y=logaC，Eo左右平移，中心，可以通过定义域的中心值找

m+xx+m

2

1.已知函数/(x)=(x+l)ln+nx+w的图象关于直线x=-l对称，则"/+”=()

3—2x

A.In---B.In5-—C.In---D.In3--

555333

V-L1

2.已知函数/(%)=In——+2x(mw1)关于点(〃,4)中心对称,则曲线y=/O)在点(〃一根，/(〃—m))处的

x+m

切线斜率为()

73

c13

B.-48-D.

T

3.已知函数〃x)=log2--,g(x)=«-4^-2l+1,Vx-,6，丸40,1],有/■«)=g(x)成立，则实数x的

\X_1J_JJie

取值集合为()

A.bco,log2(6+l)]B.[log2(6+l),+8)

C.(O,log2(^+l)jD.(0,log2(73+l)]

4.已知函数g(无)=1叫^^一%+2,若g(x)=/(x+l)，则〃尤)图象与两坐标轴围成的图形面积为(

A.6B.810gs2C.4D.2

2a)

5.设函数〃x)=ln-------kb(〃,beR,且〃>0),则函数F(x)的奇偶性()

a-x)

A.与a无关,且与〃无关B.与〃有关，且与〃有关

C.与〃有关，且与Z?无关D.与〃无关，且与Z?有关

压轴题型八：对数无理型

满分技法

对数与无理式复合型，如下基本型是奇函数：k>0

y=loga(J(kxy+l土kx),如：y=loga(J(x>+1+x)

对数-无理型复合函数单调性特征：

引论：J(kx>+l+kx,k>0,是增函数；J(kx>+l-kx,k>0,是减函数；

(1)、a>l时，loga(J(kx>+l+kx)是增函数(复合函数)

(2)、0〈a<l时，loga(J(kx>+l+kx)是减函数(复合函数)

对数-无理型复合函数变形：

2

y=loga(V(kx)+T±kx),T>0--------是上下平移，且对称中心在y轴上

1.已知函数〃x)=4x+2sinr+ln("i+x),若不等式/(3,-叫+f(利守-2)<0对任意xeR均成立,

则加的取值范围为()

A.卜a,2A/^-1)B.+1j

C.(-272+1,2^-1)D.卜2^/^+1,+e)

/\u上-x/9133(1

2.已知函数/(x)=20252—20252+1082025什/一3%+7+工一［有唯一零点飞,^a=f^x0--

^=/(log45),c=-/^log3^,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

3.已知函数〃尤)=1暇(7?工+@+2，-27+1.若/R2-a)+/(4a-4)<2,则实数。的取值范围是()

A.(-1,4)B.(-<»,-l)u(4,+co)C.(-4/)D.(T,T)U(1,+OO)

4.4知〃x)=log”(J9d+1-办)是奇函数,若/(/+6x)+〃or+a)<。恒成立，则实数6的取值范围是

()

A.(-3,3)B.(-9,3)C.(-3,9)D.(-9,9)

5.已知函数f(x)=lg(-2x+2-x+1)，g(x)=a|则下列说法不正确的是()

A.，(尤)是奇函数

B.g(x)的图象关于点(1,2)对称

C.若函数F(x)=/(x)+g(x)在巳©[1-私1+向上的最大值、最小值分别为M、N,则V+N=4

D.令尸(x)=/(x)+g(x),若尸⑷+尸(一24+1)>4,则实数。的取值范围是(-L+s)

压轴题型九：对-指复合反比例型

满分技法

对数-指数复合反比例型：

对数-指数复合反比例型原理：

母函数：lOga(b、+4)

2x

1R4-1

2xx

转化：loga(bx)=loga()=loga(b+1)-loga(b)

其它，可以通过增减系数等等来转化

1.已知*^〃力=厩2(芈+1)+办是偶函数，函数8(力=22工+2小+%2外)的最小值为一3,则实数根的

值为(Y

技

法

2.已知函数〃x)=ln(e2，+e2)-x,若〃=/卜［/=，则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

3.已知函数〃元)=log/8句+2.)-无，现有如下说法：①函数了⑺的图象关于直线x=-l对称；②函数

在(-1,+8)上单调递减；③函数>=/(%)-3有两个零点.则其中正确说法的个数为().

A.0B.1C.2D.3

4.已知函数〃月=1。83出+1)-%,设。=/(1082)"=/(10853),c=(ln贝心也。的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<a<c

5.已知函数〃x)=log2(4，+4)-尤-1,设。=/(1(暇4),Z?=/(log23),c=/(logM3),则a,b,c的大小

关系为()

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c

压轴题03函数核心性质应用

添加导数的双函数型

电盘重点•抓核心

总论：

函数核心性质是：在定义域内单调性，奇偶性，周期性综合应用。

函数核心技巧是：利用函数左加右减，上加下减，分离常熟等技巧，寻找函数的单调性、奇偶型与周期性,

以用于解题。

函数性质：

2.中心对称性：

若〃x+a)+〃T+Z0=c,贝！)函数关于(审,£|中心对称,

2.轴对称性：

若"x+a)=〃f+b),则函数关于x=+对称，

3.函数周期性：

函数的周期性：设函数、尤)，xeR,。＞0,a^b.

(1)若f(x+a)=〃x—a),则函数的周期为2”；

(2)若/(x+a)=-〃x),则函数〃x)的周期为2a；

1

(3)若〃尤+。)=,则函数“X)的周期为2a；

(4)若f(x+a]=-.则函数“X)的周期为2a；

(5)若〃x+a)=/(x+b),则函数f(x)的周期为|。-4；

(6)若函数〃尤)的图象关于直线工=。与x=b对称，则函数的周期为

（7）若函数的图象既关于点（。,0）对称，又关于点（瓦。）对称，则函数）⑺的周期为2|6-

压轴题型一：广义奇函数“中心对称”

\/满分技法

中心对称常见关系式子:

1.已知定义在R上的函数〃x）满足/（x）+〃4-x）=4,且函数〃x）的图象与直线y=Mx-2）+2有加个

交点（占,%）,（%,%），,，（4,%）,则Za+%）=（）

i=l

A.0B.2mC.4mD.8m

［答案］c

【3析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得.

【详解】由题意可得直线＞=左（彳-2）+2恒过点（2,2）,且关于（2,2）对称.

函数“X）满足〃X）+/（4T）=4,则函数/（X）的对称中心为（2,2）,

所以为+%++/=2,-%++〃=2,

mm

m

所以Z（七+X）=2m+2m=4m.

Z=1

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出的对称中心为（2,2）,再结合直线过定点即可

求得结果.

2.设/（x）=x+sinr,{%}为等差数列，S,=£4,£=力小）则"S21m=2024兀”是“7^=2024兀，，的（）

Z=1Z=1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【分析】分析函数/（X）的单调性与对称性，得函数f（x）在R上单调递增，且图象关于点（无，无）中

心对称.再利用等差数列的性质可得4+%024=%+。23==01012+01013,然后从充分性与必要性两

个方面论证，用反证法进行必要性的证明.

【详解】已知/(x)=x+sinx,xeR,

则f'(x)=l+cosx>0,故/(x)在R上单调递增.

又由/(x)=x+sinr,得/(2兀一%)=2兀一无+sin(2;i—X)=2TI—x-sinx,

故/(x)+/(2兀一力=2兀，则函数了⑺的图象关于点(无,兀)中心对称.

已知数列｛q｝是等差数列，则。1+。2024=。2+。2023==«1012+^013.

①先证明充分性：

若邑必=2024兀，由数列｛%｝是等差数列，

202471

可得52024=2024Tq=，

贝！J4+“2024=2+“2023==。1012+a1013=2n,

所以由函数于(x)的对称性可知，

/■(1)+/(劭期)=2兀,/(a2)+/(a2023)=27t,L,/(aI012)+/(a1013)=27r,

2024

4。24=£/(《)=1012x2兀=2024兀，即“520〃=2024兀n%024=202471”得证.

1=1

因此，F°24=2024兀”是乜3=2024兀”的充分条件；

②再证明必要性：

下面用反证法证明：假设S改4<2024兀，

已知数列｛%｝是等差数列，则也竽邈<2024兀，

即%+。2024<2兀，由等差数歹U性愦可得％+。2024=+。2023==%012+。1013<2兀，

%<2兀一°2024，<2兀—“2023，'，%012<27t一，，,''，。2024<2兀一生,

由函数/(尤)=X+sin尤在R上单调递增，可得/(«1)<f3-a2024)=2K-/(a2024),

/(«2)<7(2兀-。2。23)=271-/(02023),

/(«2024)</(2jI-«1)=271-/(«1),

20242024

各式累加得，7^024=W>(4卜2024X2兀-£/(q)=2024x27r-T2024,

1=1i=l

所以2T2024<2024x2兀,即T2024<2024K,

这与已知凰24=2。247t矛盾，故假设错误；

同理，假设立〃>2024兀,可证得7^>2024兀,也与已知年必=2024兀矛盾,故假设也错误；

所以“金〃=2024兀=>S2024=2024兀”得证.

即“邑必=2024兀”是“7M24=2024兀”的必要条件.

综上所述，"2。24=2024兀”是“小4=20247t，，的充要条件.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于应用反证法进行必要条件的证明，基于自变量不等

(大小)关系的假设，借助函数Ax)单调递增等价转化为函数值的不等关系，进而结合函数对

称性推出与等量关系矛盾.

3.已知定义在R上的函数“X)的图象关于点(1,0)对称，f(x+l)+f(x+2)=0,且当xe0,1时，

7r3

f(x)=——-+log2(3x+l).则实数机的取值范围为()

x+12

A.(2左+§,2左+§)(左£Z)B.［左—］左—

C.1左一］,%+%］(keZ)D.12左一7,2左+§)(左£Z)

【答案】A

【分析】由图象关于点(1,0)对称和/卜+1)+/(》+2)=0找到图象的对称轴和周期，再由

〃x)=log2(3x+l)-鼻+2确定单调性，分别求出小"仁,巾，画出大致图象，最后数形结合求

出取值范围.

【详解】由/⑺的图象关于点(1,0)对称可得/(x+2)=-/(-%).

由“x+l)+/(x+2)=0,可得“x+l)=_/(x+2)="r),

故函数的图象关于直线x对称，

且〃尤+2)=-/(x+l)=-(-/(x))=/(x),得/(x)的周期为2.

故实数机的取值范围为12发+；,2左+(左eZ).故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据函数“X)的图象关于点(1,0)对称，/(x+l)+〃x+2)=0确定函

数的周期和对称轴.

4.已知函数/(X)是定义域为R的函数，f(l+x)=-f(l-x),对任意X］、x,e［l,+oo)(jq<x,),均有

〃占)>0,已知机、叩叱”)为关于尤的方程d-2x+产-3=0的两个解,则关于f的不等式

>0的解集为()

A.(-2,1)B.2,1)C.(1,-H®)D.(1,2)

【答案】D

【分析】由韦达定理可得出根+〃=2,可得出〃祇)+"〃)=0,旦△>€),分析函数的对称性和单调

性，将所求不等式变形为⑴，结合函数的单调性可求得/的取值范围.

【详解】因为机、为关于龙的方程/-2彳+/-3=0的两个解，

则△=4-492-3)=16-4/>0,解得一2</<2,由韦达定理可得利+九=2,

因为函数〃x)是定义域为R的函数，/(l+x)=-f(l-x),即“l+x)+〃l-x)=0,

所以，函数/(X)的图象关于点。,0)对称，贝机)+/(〃)=0且〃1)=。，

因为对任意毛、%«1,+8)(X</),均有/(三)—〃石)>0,即〃玉)</伍)，

所以，函数/(尤)在［1,+℃)上为增函数，则该函数在上也为增函数，

从而可知，函数/(X)在R上为增函数，

由/(/)+/(〃)+/•⑺>0可得〃。>0=/■⑴,解得/>1,所以，

因此关于/的不等式〃〃。+〃力+〃。＞。的解集为(1,2).

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用函数的对称性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式

来求解，方法是：

(1)把不等式转化为扛8(切＞打〃(切；

(2)判断函数/(x)的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组)，

但要注意函数对称性的区别.

5.若定义在R上的函数/(x)满足〃x+2)+/(x)=/(4),/(2x+l)是奇函数，/^=1,则£＞/(左一；)=

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.

【详解】根据/(x+2)+f(x)=/(4),以x+2代换x得:/(x+4)+/(x+2)=/(4),所以/'(x+4)=f(无),

可知函数/'(x)的周期为4,

因为〃2x+l)是R上的奇函数，所以/(一2x+l)+f(2尤+1)=0,即/(x)关于点(1,0)对称，

于是电m=。，/图+佃"图+/信卜。，

由f(x+4)+/(x+2)=/(4),取》=0得〃4)+/(2)=/(4),即〃2)=0,

则/(4)=/(0)=-/(2)=0,因此〃x+2)+/(x)=0,＜Xx=|,得+=

于是/=0,

因此，望5d4+[=5/，，5.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性.

压轴题型二：广义偶函数“轴对称”

满分技法

轴对称常见关系式子：

1、f(a+x)=f(a-x)，则对称轴x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，则对称轴x二廿B

2

3f(x)=f(2a-x),则对称轴x二a

轴对称函数，简称为“和定为轴”。

1.已知偶函数/(%)满足〃3+尤)=〃3-尤)，且当工£[0,3]时，/(力=九/,若关于X的不等式产(力—/(%)＞。

在［-150,150］上有且只有150个整数解，则实数方的取值范围是()

(J.)「J._3\(~\\

A.0,e2B.e2,3e2C.3e2,2^-1D.e2,2e-1

\JL7\)\7

【答案】B

【分析】根据偶函数满足〃3+X)=〃3-X),得到函数/(x)是以6为周期的周期函数，由xe[0,3]时,

=入二，用导数法结合偶函数,作出数“X)在(-3,3］上的图象，将不等式尸⑺-犷(x)>0在［-150,150］

上有且只有150个整数解，转化为在一个周期(-3,3］上有3个整数解分别为-2,2,3求解.

【详解】因为偶函数“X)满足〃3+x)=〃3-司，所以〃6-劝=〃力=〃r),即/(6+x)=〃x),

所以函数“X)是以6为周期的周期函数，当xe［0,3］时，〃x)=x/，所以/'(x)=e2(「标)，

当04x<2时，［(x)>0,函数递增；当2<xV3时，f\x)<Q,函数〃x)递减；

当当x=2时，函数〃尤)取得极大值〃力=：,作出函数在(-3,3］上的图象，如图所示：

因为不等式尸⑴-丁⑴>。在［-150,150］上有且只有150个整数解，

所以不等式「(力-/(力>0在(-3,3］上有且只有3个整数解，当〃尤)=0时，不符合题意，

故不等式〃力>r在(-3,3］上有且只有3个整数解，因为了⑴=/,〃3)=3/5，

所以需=j>l，BP/(l)</(3),故不等式在(-3,3］上的3个整数解分别为-2,2,3,

所以，/(1)</</(3),即二7<3/，故选：B

【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；

另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

2.设函数〃x)在R上存在导函数/⑺，对任意实数x,都有/⑺=/(』)+2x,当x<0时，r(x)<2x+l,

若/(2")4/(-4)-4q+6,则实数。的最小值是()

A.1B.—1C.—D.—

22

【答案】A

【分析】构造函数g(x)=/(x)—犬-%，根据等式〃x)=/(r)+2x可得出函数y=g(x)为偶函数，利用导

数得知函数y=g(无)在(-8,0)上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在(0,+8)上单调递增，由

/(2-a)</(-a)-4o+2,得出g(2-a)Wg(-。)，利用函数y=g(x)的单调性和偶函数的性质解出该不等

式即可.

【详解】构造函数g(x)=/(x)-d-x,对任意实数无，都有/(x)=〃-x)+2x,

则g(x)=/(x)-%2-x=/(-x)-x2+2x-x=/(-x)+(-x)--(-x)=g(-x),

所以,函数y=g(尤)为偶函数，，g(x)=g(|x|).

当尤<0时，g'(x)=/'(x)-2尤一1<0,则函数y=g(x)在(一8,0)上单调递减，

由偶函数的性质得出函数y=g(尤)在(0,+8)上单调递增，

/(2—a)<f(―cz)—4a+6,BP/(2—a)—(2—a)2—(2—a)</(—a)—(—a)"—(—a)>

即g