2025年高考物理二轮复习：带电粒子在交变电磁场中的运动及磁聚焦（发散）

带电粒子在交变电磁场中的运动

及磁聚焦（发散）

【备考指南】从近几年高考命题来看，电磁学综合题以带电粒子在匀强电场和

匀强磁场中的运动为主，涉及粒子在交变电磁场中的运动、磁聚焦、磁发散等，

对考生的空间想象力有较高要求，考虑到多种情境，可画出运动的可能性轨迹示

意图，利用数学归纳法求解。

考向1带电粒子在交变电磁场中的运动

1.交变场的特点

空间存在的电场或磁场随时间周期性的变化，一般呈现“矩形波”的特点，交替

变化的电场及磁场会使带电粒子依次经过不同特点的电场、磁场或叠加场，从而

表现出多过程现象，其特点较为隐蔽。

2.解题策略

⑴变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性，这种情

况下要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、

磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图，然后

化整为零，逐一击破。

⑵粒子运动的周期一般与电场或磁场变化的周期有一定联系，可把两种周期的

关系作为解题的突破口。

⑶若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间或粒子穿越电场的时间极

短可忽略，则粒子在穿越电场的过程中，电场可看作匀强电场。

[典例1]（2024•广东卷）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加

上如图乙所示幅值为Uo、周期为久的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的

匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为瓦一带电

粒子在/=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在/=勿时刻从下板左端边缘位置

水平向右进入金属板间的电场内，在f=2/o时刻第一次离开金属板间的电场，水

平向右进入磁场，并在f=3力时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的

电场。已知金属板的板长是板间距离的三倍，粒子质量为相。忽略粒子所受的重

力和场的边缘效应。

金属板(

电场磁

及场

一<71

金属板

甲

u

U。

oO.5,o%;1.5%；2/t

-U。

乙

⑴判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量4；

⑵求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小V；

(3)求从，=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，静电力对粒子做

的功Wo

［解析］(1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正

电；粒子在磁场中运动的周期为

7=2力

根据，=翳

则粒子所带的电荷量

nm

q=­o

(2)若金属板的板间距离为。，则板长为拶，粒子在板间运动时

nD,

—=Vto

出电场时竖直速度为0,则竖直方向

尸2义"黑(°印。)2

“2

在磁场中时qvB=m—

其中的)=2/=写

qB

叫）

联立解得

D=7T248to

D=

(3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图。

由(2)的计算可知金属板的板间距离

D=3r

粒子在3加时刻再次进入中间的偏转电场，在4h时刻进入左侧的电场做减速运

动，速度为0后反向加速，在6加时刻再次进入中间的偏转电场，6.5力时刻碰到

上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间笫内静电力做功为0,在左侧电场

中运动时，往返一次静电力做功也为0,可知整个过程中只有从开始到进入左侧

电场时静电力做功和最后0.5勿时间内静电力做功，则

3

靖十Uoq*D_nmU0,TtmU。皿-0(口2+16)

2D3488to'3Bt0488to

nm3nt()UoTimt/o(n2+16)

［答案］(1)正电⑵Jn(3)

比08B24Bt0488to

【教师备选资源】

如图甲所示，一对平行金属板M、N,两板长为2L,两板间距离为遮L,置于。

处的粒子发射源可沿两板的中线彷。发射初速度为00、电荷量为外质量为m

的带正电的粒子，M,N板间加变化规律如图乙所示交变电压UMN,金属板的右

边界与y轴重合，板的中心线与x轴重合，y轴右侧存在垂直坐标平面向里

的匀强磁场。(=0时发射的粒子1恰好贴着N板右端垂直y轴射出，看时刻发

射的粒子2与粒子1的运动轨迹交于磁场中的尸点，已知尸点的横坐标为，。不

计粒子重力及相互间作用力，求：

y

XpXXXUMN

M

x・xXXUo—

VoXXXX

XXXXv°

123，/(xj

o7o__

XXXX-u.u

NXXXX

甲乙

(l)Uo的大小;

⑵磁场的磁感应强度的大小5。

［解析］⑴根据题意可知，/=0时刻入射的粒子在两板间运动轨迹如图所示

水平方向上做匀速直线运动，有2L=0ofo

竖直方向上做匀加速直线运动，有

段畤算X2

由牛顿第二定律有肉焉=»za

解得5=%逋。

2q

(2)由(1)同理可知/=上时刻，入射的粒子恰好贴着M板右侧垂直y轴射入磁场，

v0

粒子2进入磁场时的x轴方向的速度大小v=vo,两个粒子在磁场中的运动轨迹

如图所示

由几何关系可得两圆弧对应的圆心间的距离为d=V3L

且2断一(|)=d,解得r=L

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

DVQ

qvoB=m-^

解得5=哼。

qL

［答案］(1)用⑵唱

2qqL

考向2磁聚焦和磁发散模型

磁聚焦磁发散

电性相同的带电粒子平行射入圆形有带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上

界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半同一点射入，如果轨迹半径与磁场半

径相等，则粒子从磁场边界上同一点径相等，则粒子出射方向与入射点的

射出，该点切线与入射方向平行切线方向平行

XN-〈工、X

X

X

钦*、k；x

［典例2］（多选）（2024•湖北荆门9月检测）如图所示，半径为R的圆形区域内

有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为5的匀强磁场，磁场边界上的尸点有

一粒子源，能沿纸面向各个方向以相同速率发射同种粒子，粒子所带电荷量均为

+式4>0）,质量均为用，粒子的重力以及粒子之间的相互作用力均可忽略，进入

磁场的粒子会从某一段圆弧射出磁场边界，圆弧长度为磁场边界长度的士则下

71

列结论正确的是（）

，/XX

XXXX

XXX

XXX

'、、XX,/

、、—

A.若〃=2,则所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行

B.若〃=2,则粒子从尸点进入磁场时的速率为旅

m

C.若"=4,则粒子从尸点进入磁场时的速率为晔皇

2m

D.若〃=4,仅将磁场的磁感应强度大小由6减小到扭时，〃的值变为2

ABC［边界上有粒子射出的范围是以偏转圆直径为弦所对应的边界圆弧，若n

=2,则粒子在磁场中做圆周运动的直径等于磁场区域直径，所以运动的轨迹半

径为r=R,如图甲所示，由于粒子做圆周运动的轨迹半径与磁场区域半径相等，

则粒子做圆周运动的圆心。，、磁场区域的圆心。、射入点、射出点组成的四边

形为菱形，粒子离开磁场时的速度方向均与。尸垂直，即所有粒子离开磁场时的

速度方向相互平行，故A正确；若"=2,粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第

二定律得qvB=m^=nv^,解得v=—,故B正确；

rRm

.XX/

呼X乂'x\

真武.

'、、XX/'

、、、-_—一’

甲

若〃=4,粒子运动轨迹如图乙所示，粒子做圆周运动的轨道半径为，=Ksin45。

=^R,由牛顿第二定律得"5=吒7，解得U=与詈，故C正确；”=4时,

粒子做圆周运动的轨道半径为，=曰&仅将磁场的磁感应强度大小由5减小到

时，其半径变为短尺，而"=2时的运动半径为R,故D错误。

微专题突破练（四）

L（多选）如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板尸、Q,两

板间距为d,两板间加上如图乙所示最大值为Uo的周期性变化的电压，在两板

左侧紧靠尸板处有一粒子源A,自，=0时刻开始连续释放初速度大小为。0、方

向平行于金属板的相同带电粒子，/=0时刻释放的粒子恰好从。板右侧边缘离

开电场，已知电场变化周期T="，粒子质量为加，不计粒子所受重力及相互间

的作用力，贝!1（）

A.在f=0时刻进入的粒子离开电场时速度大小仍为0o

B.粒子的电荷量为萼

ZU。

C.在时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了畸

OO

D.在/=；T时刻进入的粒子刚好从尸板右侧边缘离开电场

4

AD［粒子进入电场后，在水平方向做匀速运动，则Z=0时刻进入电场的粒子

在电场中运动时间t=-,此时间正好是交变电场的一个周期；粒子在竖直方向

孙

先做加速运动后做减速运动，经过一个周期，粒子在竖直方向速度为零，故粒子

离开电场时的速度大小等于水平速度00,选项A正确；在竖直方向，粒子在5时

间内的位移为4则《=警（色『可得q=呼,选项B错误；在/=［时刻进入

222am\VQ/UQ8

22

电场的粒子，离开电场时在竖直方向上的位移为y=2x：a（|T）-2*；礁）=

故静电力做功为亚=哼•畸，即电势能减少了;m崎，选项C

错误；在/=;时刻进入的粒子，在竖直方向先向下做加速运动;，然后向下做减

速运动工，再向上加速工，向上减速工，由对称性可知，此时竖直方向的位移为零，

444

故粒子从尸板右侧边缘离开电场，选项D正确。］

2.（多选）如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子（不计重力），两板间距

离足够大。当两板间加上如图乙所示的交变电压后,选项图中反映的电子速度。、

位移x和加速度a三个物理量随时间t的变化规律中可能正确的是（）

AD［在平行金属板之间加上如题图乙所示的交变电压时，因为电子在平行金属

板间所受的静电力F=萼，所以电子所受的静电力大小不变，由牛顿第二定律

可知，电子在第一个工内向5板做匀加速直线运动；在第二个工内向5板

44

做匀减速直线运动，在第三个工内反向做匀加速直线运动，在第四个工内向A板

44

做匀减速直线运动，所以a"图像如选项图D所示，图像如选项图A所示；

又因匀变速直线运动位移》=00，+1於，所以x-f图像应是曲线。故选AD。］

3.（多选）如图甲所示，A5CD是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙

规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中A5=V14O=V^L,一质量为

带电荷量为q的正电粒子以速度。0在f=0时从A点沿A5方向垂直磁场射

入,粒子所受重力不计。则下列说法中正确的是（）

3nt

乙

A.若粒子经时间弓T。恰好垂直打在CD上，则磁场的磁感应强度5。=臂

B.若粒子经时间/=|北恰好垂直打在C。上，则粒子运动的半径大小R=9

C.若要使粒子恰能沿。。方向通过。点,则磁场的磁感应强度的大小坳=署（〃

2qL

=1,2,3,…)

D.若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则磁场变化的周期期=翳5=1,

2,3,…）

AD［若粒子经时间恰好垂直打在CD上，则粒子在磁场中做匀速圆周运

动的半径为L,根据牛顿第二定律有四出0=171苧，解得队=号故A正确；

若粒子经时间/=|n恰好垂直打在CD上，如图1所示，可知粒子运动了三段四

分之一圆弧，则运动的半径大小为故B错误；若栗使粒子恰能沿。。方

向通过。点,

如图2所示，则粒子运动的总时间一定为磁感应强度变化周期的整数倍，设粒子

运动的半径为r,则2L=2〃r(〃=l,2,3,…)，根据牛顿第二定律有qvoBo=m^,

联立解得5o=巴詈(〃=1,2,3,-),根据几何关系可知粒子在一个磁场变化的

qL

周期To内转过的圆心角为120。，则To=^——=产(〃=1,2,3,•••),故C错

%3nv0

误，D正确。］

4.(多选)(2024•广东二模)如图所示为某一科研设备中对电子运动范围进行约束

的装置简化图。现有一足够高的圆柱形空间，其底面半径为R,现以底面圆心为

坐标原点，建立空间直角坐标系。-町膜在圆柱形区域内存在着沿z轴负向的匀

强磁场和匀强电场，在x>R的区域内存在着沿x轴正向的匀强电场。坐标为(0,

-R,0)的尸点有一电子源，在xOy平面内同时沿不同方向向圆柱形区域内发射

了一群质量为用、电荷量为一《的电子，速度大小均为内。已知磁感应强度的大

小为肝，不计粒子所受重力，则从电子发射到完全离开圆柱形区域的过程中，

qR

下列说法正确的是()

A.粒子完全离开圆柱形区域时速度方向均不相同

B.粒子完全离开圆柱形区域时的速度方向均平行于xOy平面

C.所有粒子在磁场中运动的总时间均相同

D.最晚和最早完全离开圆柱形区域的粒子的时间差为里

AC［如图所示

粒子在磁场中做匀速圆周运动，有5/0=加去，解得R=H,由于粒子的轨迹圆

K

半径和原磁场半径相同，故粒子在xOy平面内将先后经历磁发散、进入电场做

匀变速直线运动、返回磁场磁聚焦三个过程，最终从xOy平面内的。点离开，

但是速度方向均不相同，再考虑到它们在z轴方向上的匀加速直线运动，离开圆

柱形区域时的速度方向不可能平行于xOy平面，故A正确，B错误；粒子在磁

场中均经历了半个周期，因此在磁场中运动总时间相同，故C正确；当粒子从

尸点沿x轴正向发射时，粒子在xOy平面内运动时间最长，相较于运动时间最

短的粒子，其多走的路程为2R,故时间差•=空，故D错误。故选AC。］

如

5.(2024•长沙雅礼中学'合肥一六八中学等名校10月联考)如图所示，足够长

水平挡板位于x轴，其下面为荧光屏，接收到电子后会发光，荧光屏的同一位置

接收两个电子，称为“两次发光区域”。在一、二、四象限足够大区域有垂直纸

面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为骨在第三象限有垂直纸面向里、半径为

［的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为5,边界与y轴相切于A点(0,-L)o

一群电子从与x轴平行的虚线处垂直虚线射入圆形磁场(边界上有磁场)后均从A

点进入右侧磁场，这群电子在虚线处的x坐标范围为(-加电子电荷量为

e、质量为机，不计电子所受重力及电子间的相互作用。

(1)求电子的初速度大小。0和落在荧光屏最右侧的电子进入圆形磁场时的横坐标;

(2)若入射电子在虚线处均匀分布，且各位置只有1个，求落在荧光屏上“两次

发光区域”和