2025届高三年级下册复习备考高考数学模拟预测试题

2025届高三下学期复习备考高考数学模拟预测试题

一、单选题

1.已知集合。=3-3＜尤43,尤eZ},A={0,l,2},B={-3,-2,-l},则nA）c3=（）

A.{-1,1}B.{-2,-11C.{-1,2}D.{-2,0}

2.复数z=总，

则复数z的虚部是（：)

2+1

33.-33.

A.-B.-1C.--D.——1

5555

3.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（)

11-1]_

A.-B.-C.—D.

3456

4.等轴双曲线C过点尸（3,1）,则双曲线C的右焦点尸2到其中一条渐近线的距离为（）

A.6B.2c.2V2D.273

5.若cos(a—分)=2COS(6Z+/J),贝Utanatan〃=()

11-11

A.——B.，C.一D.——

2233

6.已知圆台的母线长为4,下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60。，那么圆

台的外接球的表面积为（）

A.-7TB.—7TC.28?tD.^^兀

333

（TTyjr37r

7.已知函数/（x）=sin2x+acos2无满足/［五）恒成立，则当xe时，曲线y=/（x）与

y=sinx的交点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

8.若存在玉超e（e,+oo）使得芯尤2=dJn%成立，贝!）4%-尤?的最大值为（）

A.41n2—2B.41n2-4C.81n2-2D.81n2-4

二、多选题

9.为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对A、3两个社区随机选择

100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.

甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为4、叫、伪、当，乙组同学所得数据的

中位数、平均数、众数、标准差分别记为出、/、%、$2.则下列判断正确的有（）.

A.%<%且玉<%2.B.a</?2且耳〉”.

C.%>玉且。2=工2.D.

JT

10.如图1,在VABC中，AC±BC,ZB=y,AB=8,D、E分别在AB,AC上，且4OE=3BC.

将VADE沿DE翻折得到图2,其中±怎.记三棱锥A-38外接球球心为。一球&表面积为Si，

三棱锥A-ECD外接球球心为。2,球。2表面积为S?,则在图2中，下列说法正确的有()

A.BDLAD

B.直线A3与。E所成角的正弦值为叵

5

C.。。2〃平面

D.S{+S2=78万

11.斜率为后的直线/过抛物线C:x2=ay(a>0)的焦点尸，且与抛物线C交于M、N两点，。为抛物

线C的准线y=-l上任意一点.则()

A.a=2

B.以MN为直径的圆与直线>=-1相切

C.△MNQ为等边三角形，则上2=2

D.QN为抛物线C的切线，则MN-QB=0

三、填空题

12.直线尤+2y-5=。被圆/+/=9截得的弦长为—.

13.要安排4名学生到3个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，

则不同的安排方法共有一种.

14.函数〃x)=|3x-l|-3hx的最小值为.

四、解答题

15.在VA2C中，已知角A=60，边J?C=V7,且AB3+AC3=28.

⑴证明：AB+AC=4；

(2)若点。在上，且为角平分线，求的长度.

16.在四棱锥尸-ABC。中，底面A3CD为边长为2的菱形，ZBAD=60,底面ABC。，且

PA=2亚，点E为PB中点,点〃■为尸。上靠近点。的一个三等分点，点尸在线段PC上的动点.

⑴若〃平面求出点厂的位置；

(2)求直线跖与平面PDC所成角的正弦值的最大值.

17.某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子A：四个面，分别标有数字1,1,3,4；骰子8：四个

面，分别标有数字2,4,5,6；骰子C：六个面，分别标有数字1,3,5,7,9,11；玩家按骰子面

数比例随机选择一个骰子(即选择概率等于其面数占总面数的比例)，然后掷该骰子两次，记录两次

结果的最大值.请解答以下问题：

(1)若玩家选择骰子A,求两次投掷的最大值为4的概率；

(2)求两次投掷的最大值为4的概率；

(3)设奖金为最大值的平方(单位：元)，若玩家获得的奖金超过16元，求玩家选择骰子3的概率.

18.已知函数/'(彳)=10%-(。+1)*2+3依-2,其中。为常数.

⑴当。=2时，求曲线y=在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

⑶若函数在区间(0,3)内存在两个不同的极值点，求。的取值范围.

2222

19.已知椭圆和双曲线q：2-%=1(根＞0,共0)有共同的焦点，设椭圆和

双曲线的离心率分别为G和e?.

(1)求证：a2—ni2=b2+n2;

⑵设点P为椭圆G与双曲线G在第一象限的交点，且N£P&=60,求3彳+4的最小值，并求此时G

与e?的值;

（3）在（2）的条件下，设点Q为椭圆C1上任意一点，过点Q作双曲线的两条渐近线的垂线（点Q不在

两条渐近线上），垂足分别为/和N,试问面积S是否有最大值，如果有最大值，求出此时彳

a

的值，如果没有最大值，请说明理由.

参考答案

题号12345678910

答案BABCCDBDABDAC

题号11

答案BCD

1.B

【分析】由集合的补集和交集运算可得结果.

【详解】由题知，C/={-2,-1,0,1,2,3},则»1={-2,-1,3},故@A)B={-2,-l}.

故选：B.

2.A

【分析】利用复数的除法法则求得复数z,可求z的虚部.

(i-l)(2-i)_-2+3i+l__j_3.3

【详解】z=----故z的虚部是:

2+i(2+i)(2-i)-5--551

故选：A.

3.B

【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果

数，应用古典概率的求法求概率.

【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有6x6=36种不同的结果，

向上的点数之和为4的倍数，

共有(1,3),(3,1),(2,2),(3,5),(5,3),(2,6),(6,2),(4,4),(6,

6),共9种情况，

91

所以概率为

364

故选：B.

4.C

【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公

式进行求解即可.

【详解】设等轴双曲线方程为丁2=彳(彳工0),代入点P(3』)，可得2=8,所以双曲线方程为

22

二-匕=1,

88

所以双曲线的右焦点为居(4,0),渐近线方程为x±y=0,

所以右焦点鸟(4,0)到渐近线x-y=0的距离为1=美=2夜.

故选：c.

5.C

【分析】利用两角和与差的余弦公式展开cos(a-£)=2cos(a+£),化简得到cosecos尸与sinasin4

的关系，再根据正切函数定义求出tanatan/?的值，从而确定答案.

【详解】由cos(«-p)=2cos(a+/7),可得

cosacos)3+sinasin(3=2(coscrcos4一sinesin/7),

n

则cosacos尸=3sinasin/?,贝|tanatan(5="si'-=1,

coscosP3

故选：C.

6.D

【分析】由圆台的几何结构特征，以及球的截面圆性质及表面积公式可得结果.

【详解】因为母线与底面所成的角为60。，则圆台的高£＞尸=2石，上底面半径9=1,下底面半径

AC=3,

R2=h2+ls巧

设外接球的半径为R，球心到上底面的距离为心则2/厂f，解得〃=之，

R-=(2近叫+93

所以店=川+1=吏，所以S=4TIR2=重上

33

故选：D.

7.B

【分析】先根据函数/(%)的对称性，确定。的值，利用辅助角公式把函数/(%)化成

/(x)=2sin12尤+1的形式，再利用数形结合法，观察曲线丫=〃力与一卷在工6的交

点个数.

【详解】因为〃尤)W/仁)恒成立，所以X*为〃x)的一条对称轴，

那么"0)=711所以。=日+3,

解得a=g,/(x)=sin2x+若cos2x=2sin(2x+|J,

/(苫)=2$亩］2_¥+3与〉=5皿兀的图象如图所示：

，七尸山

由图可知，曲线、=/(尤)与7=$垣》的交点个数为4.

故选：B

8.D

【分析】对/(x)=±求导，根据〃力的单调性，结合/="=器可得玉=ln%,进而构造函

数Mx)=41nx-x(x>e),利用导数求解函数单调性，即可求解最值得解.

【详解】由.=，1除，贝日=*，对4)=?求导，所以尸(x)=管，

当尤武1,+⑹时，l-x<0,e，>0,所以/'(力<0,〃尤)在。,+力)上单调递减.

当x=l时，*1)=：，当X-+8时，〃x)-0,所以的值域是

(、/xxInx2Inx2

又当£(e,+8),ln%2£(L+8)，了=二/1，所以％=ln%2，那么4%一9=41n%2—%.

设/z(x)=41nx-x(x>e),贝lj〃(x)=--1=---,

xx

当e<x<4时，〃'(x)>0,当尤>4时，

所以〃(x)在(e,4)上单调递增，在(4,+动上单调递减，则〃(x)的最大值为〃(4)=41n4-4=81n2-4.

故选：D.

9.ABD

【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的

离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差.

【详解】中位数的计算与比较：

由图甲可判断甲组数据的中位数为在［7,10.5)内，

第一组［0,3.5)的数据的频率为0.01x3.5=0.035,第二组［3.5,7)频率为0.10x3.5=0.35,

则0.035+0.35+(q—7)x005=0.5,解得q=9.3,

由图乙可判断乙组数据的中位数出在［10.5,14)内，

则0.01x3.5+0.07x3.5+(4—10.5)x0.105=0.5,解得。？212.595,所以可＜出.

平均数的计算与比较：

甲组平均数4：

%=(1.75x0.01+5.25x0.1+8.75x0.05+12.25x0.04

+15.75x0.03+19.25x0.03+22.75x0.025)x3.5。10.811.

乙组平均数乙：

x2=(1.75x0.01+5.25x0.02+8.75x0.05+12.25x0.105

+15.75x0.06+19.25x0.025+22.75x0.015)x3.5«12.648.

所以为＜々.

众数的计算与比较：

由图甲可得甲组众数伪=3^=5.25；

由图乙可得乙组众数仇=工口4=12.25,所以伪＜4.

标准差的比较：

因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以电＞S2.

对于A,由前面计算可知4＜。2且芭＜马，故A正确；

对于B,因仇且。＞$2，故B正确；

对于C,由前分析得占”10.811,4=9.3,%＞国，

%=12.648,a2»12.595,a2＞x2,故C错误；

对于D,因4=5.25,6=9.3,x,«10.811,则白＜q＜占，故D正确.

故答案选ABD.

10.AC

【分析】根据勾股定理和线面垂直的判定定理、性质定理可判断A,根据3C〃£)E,确定NABC为

异面直线与DE所成角的平面角，求解后可判断B；确定。1为的中点，。?为AD的中点，可

得O0J/BD,进而得〃平面BCZJE,从而可判断C；根据球的表面积公式计算即可判断D.

【详解】选项A：由图1,在直角VABC中，BC=AB-cos|=4,AC=AB-sin|=473,

—33

因为。石=—5C,所以。£〃皮7,且OE=—5C=3,

44

AE=-AC=3y[3,CE=-AC=y/3,AD=-AB=6,BD=-AB=2,

4444

由图2,在直角△AEC中，AC=1AE2-CE2=2屈，

因为DE〃BC,且AC_L3C,所以DE_LEC,

所以在直角力EC中，DC=4DE-+EC2=2A/3>又AL>=6,

所以=AD,,所以AC_LCD,

又因为47_LCF,CDCE=C,CD,CEu平面3CED,所以AC_L平面8c,

又比）u平面8CED,所以AC工BD；

在一BDC中，BD=2,DC=2y/3,BC=4,所以3加+DC?=gc?,

即BDLCD,又ACCD=C,AC,CDu平面ADC,所以班）工平面ADC,故A正确；

选项B：因为8C/ADE,所以NABC即为所求，

因为AC_L平面BCED,3Cu平面3CED,所以AC_L3C,

所以在直角VABC中，AB=JAC?+BC?=小（2娓）+4?=sinZABC=,故B

不正确；

选项C：由上可知班>工平面AE>C,BDJ.AD,则A3的中点到4瓦。距离相等，

因为AC,平面3OC,BDVCD,则A3的中点到A氏C距离相等，所以。1为A3的中点，

同理可知。2为的中点，所以O。""。，0020平面BC£>E,5£>u平面BCDE,所以O。2//平

面BCDE,故C正确；

选项D：由选项C可知：球01的半径凡==&3,球。2的半径与=可=3,

所以岳+邑=4兀（尺；+比）=76兀，故D不正确.

故选：AC.

11.BCD

【分析】由准线方程求出“判断A；利用抛物线的定义，结合圆的切线判断B；设出直线/方程，与

抛物线方程联立，借助韦达定理求解判断C；利用导数的几何意义求出切线方程求解判断D.

【详解】对于A,抛物线C:/=ay（a＞0）的准线为丫=-£,则-==-1,解得。=4,A错误；

44

对于B,设加（外,%）小（%2，%），则1脑^|=|“/|+|而|=%+1+%+1=%+%+2,

线段的中点到准线＞=-1的距离为"适+l=g|“N|,因此以为直径的圆与直线＞=-1相切,

B正确；

y=Ax+1

对于C,由（1）知，F（O,1）,设直线/方程为丁=&+1,由-4Ax-4=0

炉=4y

则占+々=4鼠玉々=-4,线段肱V的中点。（2鼠2左2+1）,线段跖V中垂线方程为

y-2k2-\=-^-{x-2k）,则点。（2/+软,-1）,\QD^2（fc2+1）＞/F+1-

K

而IMN1=a+1.J（西+尤2）2—4/尤2=4（r+1）,由△MVQ为等边三角形，

得I20=¥|MN|,即2（左2+1）收+1=2石（r+1），解得左2=2,C正确；

对于D,由＞=；/求导得/=直线QV的方程为，一%=:9。一々），

_,一

丫''lr----1--—--1-----—-4--X-9/—Z---1--------1

则。（十一一，一1）,直线的斜率2"一五二一鸟工厂获二7一一五三「一K

尤22x2x2

因此。尸，MV,MN-QF=O,D正确.

故选：BCD

【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由垂径定理及勾股定理计算可得.

【详解】圆/+丁=9的圆心为（0,0）,半径r=3,

5

又点（。,0）至IJ直线尤+2y-5=0的距离d=

赤+22

所以弦长/二2介一筋=2小2一同=4.

故答案为：4

13.36

【分析】部分平均分组，先分组，再进行全排列，利用排列组合知识进行求解

【详解】由题意，这4名学生只能进行1,1,2的安排，

故不同的安排方法有专工•A；=36种.

A2

故答案为：36

14.2

【分析】由题意，根据函数常见不等关系，结合绝对值不等式性质，利用放缩法，可得答案.

【详解】令g(x)=x—17nx,则g，(x)=l=彳，令尤)=0,解得x=l,

当0<x<l时，g,(x)<0,则g(x)单调递减；

当l<x时，g'(x)>0,则g(无)单调递增；

故g(x)Ng⑴=0,则x-INlnx.

因为Inx4x—1,所以/(尤)=|3x—1|—31型上(3x—1)—3(无-1)=2

当且仅当x=l时等号成立，因此了。)的最小值为2.

故答案为：2.

15.(1)证明见解析

⑵AD=史

4

【分析】(1)利用余弦定理结合立方和公式，可得到证明；

(2)利用方程组思想求出两边长AB,AC,再结合三角形面积相等公式SMC=SABO+SAC。，即可求

出AID长度.

【详解】(1)由余弦定理可知，BC2=AB2+AC2-2xABxACcosA,即7=AB?+AC?-ABxAC,

XAB3+AC3=(AB+AC)(AB2-ABxAC+AC2)=28,

所以28=7(AB+AC),

解得AB+AC=4.

(2)由AB+AC=4

R.7=AB2+AC2-ABxAC=(AB+ACf-3ABxAC=16-3ABxAC,

可以解得ABxAC=3,再与AB+AC=4联立解得：AB=1,AC=3或AB=3,AC=1,

利用三角形的面积相等公式，

-q4q

即SABC一0.ABD丁uACD^-ABxACsm-=-ABxADsin-+-ADxACsin-,

232626

不妨用AB=1,AC=3代入可得：3x^=lxAD-+3xAr>-=>Ar>=^.

2224

16.（1）厂为尸C上靠近C的三等分点

s、2而

⑵寸

【分析】（1）假设歹为尸C上靠近C的三等分点，利用线面平行的判定定理直接证明即可;

（2）过点A作AD垂线Ax,利用线面垂直判定定理可得心，平面PAD,以A为原点，及,ARAP所

在直线分别为X、V、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解线面夹角正弦值即可得到结果.

【详解】（1）假设尸为PC上靠近C的三等分点,

M、产分别为P。、PC的三等分点,

:.MF//CD,

ABCD,

:.MF//AB,

又,平面上4B,ABu平面

〃平面A4B,

所以歹为尸C上靠近C的三等分点.

（2）在平面A5CD内，过点A作4。垂线Ax,

H1_L底面ABC。，PAA.Ax,

AxlAD,PAr>AD=A,尸AA。u平面pAD,

.,.Ax_L平面尸AD,

以A为原点，及,ARAP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则尸（0,0,20）,£>（0,2,0）,C（百,3,0）,网61,0）,

设而=/定=(&,34-2岳),[0,1],

.'.F(V32,32,2A/2-2A/22),2e[0,l],

(/?!A

EF=^2-—,3/1——,加-2衣I,

22

\7

且尸£>=(0,2,-2后)，CD=(-73,-1,0),

设平面PCD的一个法向量”=（x,y,z）,

y=yjlz

2y—2y[2z=0

则y/3A/6

x=----y=----z

I33

二.〃—A/2,^/6,^/3j,

设直线EF与平面PCD所成角为巴

EF-nA

则sing—cos(EF,n

⑼网VTTV2022-142+3)

72回

当4=」时,2-142+，(sin。)

20iin20\/max11

即直线族与平面S所成角的正弦值的最大值为誓.

7

17.(1)—

16

呜

呜

【分析】（1）由独立事件乘法公式及对立事件概率计算求解即可;

（2）由全概率公式代入数据即可求解;

（3）由全概率公式及条件概率公式求解即可.

【详解】（1）骰子A的面为1,1,3,4,每个面出现的概率为两次投掷共有16种可能的结果

组合,

3

最大值是4的情况包括至少有一次掷出4,两次都不出现4的概率为I=w

97

因此至少有一次出现4的概率为1-/=/

1616

446

（2）玩家选择骰子的概率分别为R（骰子A）、而（骰子8）和五（骰子,）；

7

计算各骰子最大值为4的概率：骰子A：概率为一；

16

骰子8：两次投掷共有4x4=16个结果，两次投掷的最大值为4的情况是两次结果都不超过4且至少

有一次为4,

3

共有3种情况((2,4),(4,2),(4,4)),故概率为二；

16

骰子C：没有数字4,因此概率为0.

工+匕』+幺」

总概率为:P—x0

141614161428

(3)奖金超过16元意味着最大值超过4,

计算各骰子最大值超过4的概率:

骰子A：不可能超过4,概率为0；

骰子8：至少有一次掷出5或6共有16-4=12种，故概率为£12=3

164

骰子C：共有6x6=36个结果，至少有一次掷出超过4,共有36-4=32,故概率为甘=；.

369

设最大值超过4为事件选择骰子B为事件N,

计算全概率：尸(M)=1x0+±x：+二=

v71414414942

43

---X—Q

则P(N|=

42

18.⑴y=%

⑵答案见解析

9

【分析】(1)711)=1，求导，得到广⑴=1,利用导数几何意义求出切线方程;

(2)求定义域，求导，结合导函数特征，分＜7+1=0,。+1＞0和。+1＜0三种情况，解不等式，求出

函数单调性；

八3。一/、17

(3)在(2)基础上，得到。＜一1,由二次函数对称轴得到°＜而用＜3,且g(3)＞0,解得。＜-至.

【详解】(1)当。=2时，/(x)=lnx-3x2+6x-2,/(1)=1,

尸-6无+6,此时((1)=1,

因此曲线y=“X)在点处的切线方程为y=X.

(2)函数的定义域为(0,+s),尸⑺=92(a+l)x+3a「2(a+l)：+3ax+l,

当4+1=0,即a=-l时，r(x)=1-3,令尸(力=0,解得尤=：,

令广（》）＞。得令广（x）＜0得工叫收］,

此时函数/（x）在（0,上单调递增，在1，+口）上单调递减；

当°+1力0时，-2（°+1）%2+3依+1=0中，A=9a2+8（a+l）=9^a+^+^＞0,

当〃+1＞0,即4＞一1时，

方程—2（。+1）1+3依+1=0在（0,+“）上仅有一个正根/=3。+*广+1+8,

令/'（力＞。得xe（O，Xo），令尸⑺＜0得x«Xo，+oo）,

..，一\_j_c3a+，9矿+8a+8.N升、乂…3a+J9a〜+8a+8................

此时函数/'（x）在0,---------------7-------上单调递增，在-----------------,+8上单倜递减;

I4（«+1）JI4（a+l）J

当a+lvO,即av—1时，

方程-2（a+l）尤2+3依+1=0在（0,+功上有两个不等正根，

八口I、r3tz++8a+83Q—d9f+8a+8

分别为西二----77―n-------'x2=-------J7―n-------'

4（〃+1）4（tz+l）

3Q+J9f+8a+83Q—+8〃+82,9—2+8o+8„

x.-x=---------7------7-------------------7------;-------=-------7-----r——<0,

24（〃+1）4（〃+1）4（〃+1）

故再<%2，

令令/'（%）＞0得X£（。,石）U（九2，+8），令令（%）V。得力«%,工2），

,../\„3〃++8〃+83〃—J942+84+8.乂、

此时函M数z//（%）在0,——'―-——和一3―-——,+00上单调递增,

I4（〃+1）II45+1）I

3ci++Set+83〃—J9/+8a+8

上单调递减.

4（«+1）4（a+l）

综上，当。=-1时，函数了（无）在上单调递增，在［g+s］上单调递减；

,t一、/\_2_八3〃+，942+8〃+