2025年广东省深圳市南山区多校联考中考数学二模试题（学生版+解析版）

2025年广东省深圳市南山区多校联考中考数学二模试题

（总分：100分考试时间：90分钟）

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸

福.以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（）

2.“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输

等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨.将数据60000用科学记数法表示应为（）

A0.6xlO5B.6xl04C.60xl03D.6xl05

3.若“※”代表一种运算，且则“※”代表的运算符号可以是（）

A.+B.-D.4-

4.泡泡玛特”《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵

手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真

人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（）

5.利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线匕的是（）

6.己知关于x的一元二次方程（a+c）f+2加;+（a—c）=0有两个相等的实数根，则以°,b,c为边长的

三角形说法正确的是（）

A.三角形是锐角三角形B.三角形是钝角三角形

C.边长c所对的角是90。D.边长。所对的角是90。

7.圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱

AC的根部与圭表的冬至线的距离（即6C的长）为a.已知冬至时北京的正午日光入射角NA5C约为

26.5°,则立柱AC的高约为（）

立冬秋分立秋

aa

B.dtan26.5°C.asin26.5°D.

tan26.5°cos26.5°

8.如图，直线/]、，2表示一条河的两岸，且现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村

A.唯方案一可行B.唯方案二可行

C.方案一、二均可行D.方案一、二均不可行

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

x=2

9.已知《。二元一次方程1+矽=8的一个解，则％的值为_________.

[y=3

10.因式分解：5a2_5=

11.已知一个扇形的半径长是4cm,圆心角为45°,则这个扇形的面积是cm2.

k

12.如图，在平面直角坐标系中，A、8两点在反比例函数y=—(左>0,x>0)的图象上，延长交x轴

于点C,且45=3。，。是第二象限一点，且若的面积是12,则女的值为

13.七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”.小明用一个边长为4的正方形制作出如

图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图.过该图形的三个顶点作圆，则这

个圆的半径长为.

三.解答题(共7小题，满分61分)

14计算：4]—(6—1)°+2cos45°+(—g)+O

15.先化简：fl--+再从一2,—1,1,2中选择合适的。的值代入求值.

16.2025年横空出世的OeepSe或可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会

如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡.某校对学生进行了

DeepSe或的相关培训并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查

报告，请根据调查报告，回答下列问题：

课题XX学校学生对DeepSeek掌握情况

调查方式抽样调查

调查对象XX学校学生

分组成绩x/分频数频率

A60<%<7080.16

B70<x<80m0.24

C80<x<90n0.48

D90<x<1006P

数据的整理与描述

濒数

24

20

16

12

8

O6

4

0।

60708090100成绩，分

调查结论

（1）上述表格中，机=，〃=，p=;

（2）所抽取学生成绩的中位数落在_____组；补全频数分布直方图；

（3）若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？

17.近日，《我阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮.该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的

故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界.某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但

同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传

承》.经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元.该公司以8100

万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同.

（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元.

（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少

于《希望的田野》集数的2.完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的

3

田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购.若要使该影视公司收益最大化，应该

如何制作这两部文艺作品？

18.如图，已知AB是。。的直径，AC是。。的弦，点。在。。外，延长。C,AB相交于点E，过点

。作AB于点足交AC于点G,DG=DC.

^\FOBE

(1)求证：DE是0。的切线；

(2)若。。半径为6,点尸为线段。4的中点，CE=8,求QE的长.

19.民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图(1),“空

中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评.如图(2),演员从浪桥的

旋转木梯点尸处抛出(将身体看成一个点，身体摆动忽略不计)飞到吊下的平台上，其飞行路线可看

作抛物线的一部分.下面有一张平行于地面的保护网MN,以保护演员的安全.建立如图所示的平面直角

坐标系，已知：点A的坐标为(0,8),OC=11.4m,CE=2.1m,=ZFEC=135°,

AB=Im.

图⑴图⑵

(1)当抛物线过点B,且与y轴交于点H(o,6)时，点E的坐标为,抛物线的解析式为

(2)在(1)的条件下，若点N的坐标为18,g),为使演员在演出时不受伤害，求保护网(线段

MN)的长度至少为多少米;

(3)设该抛物线的表达式为y=a%2—8ax+c,若抛射点尸不变，为保证演员表演时落在平台AB上

(即抛物线与线段有交点)，请直接写出。的取值范围.

20.【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的

___________倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

图1图2

操作实践】

(2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边。、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所

示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为

端点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】

(3)如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点尸逆时针旋转，他发现旋转过程中NZM尸存

在最大值.若FE=8,PF=5,当NZMP最大时，求的长;

图5

(4)如图6,在RtAABC中，ZC=90°,点。、E分别在边AC和8C上，连接。£、AE,BD.若

AC+CD=5,BC+CE=8,求AE+皿的最小值.

B

图6

2025年广东省深圳市南山区多校联考中考数学二模试题

（总分：100分考试时间：90分钟）

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸

福.以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋

转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.据此逐项判断即可.

【详解】解：A项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转180。，旋转后的图形能够与原来的图形重

合，所以是中心对称图形；

B、C、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转180°,旋转后的图形能够与原来的图形重合,

所以都是中心对称图形，

故选：A.

2.“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输

等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨.将数据60000用科学记数法表示应为（）

A.0.6xlO5B.6xl04C.60xl03D.6xl05

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为4义10〃

的形式，其中14时＜10,w为整数.确定"的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝

对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于1。时，〃是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃

是负整数.

【详解】解：将数据60000用科学记数法表示应为6x104；

故选：B.

3.若“※”代表一种运算，且小※43=。，则“※”代表的运算符号可以是（）

A.+B.-C.xD.-r

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了同底数幕除法，根据当底数相同的两个幕相除时，其结果为底数不变，指数相减，据即

可得出答案.

【详解】解：；。4十足二。,

“※”代表的运算符号可以是一,

故选D.

4.泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵

手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真

人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（）

1111

A.-B.—C.-D.-■

8432

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现

机种结果，那么事件A的概率尸（A）=生.利用概率公式可得答案.

n

【详解】解：由题意知，共有8种等可能的结果，其中，买中"藕粉哪吒”的结果有1种，

・••买中"藕粉哪吒”的概率为

故选：A.

5.利用下列尺规作图中，不一定能判定直线。平行于直线b的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定.根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可.

【详解】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可判定直线。平行于直线匕，故不符合题意；

B、根据内错角相等，两直线平行，可判定直线。平行于直线6,故不符合题意；

C、根据同旁内角相等，不能判定直线。平行于直线故符合题意；

D、根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线。平行于直线匕，故不符合题意；

故选：C.

6.已知关于x的一元二次方程(a+c)d+2加;+(a—c)=0有两个相等的实数根，则以a,b,c为边长的

三角形说法正确的是()

A.三角形是锐角三角形B.三角形是钝角三角形

C.边长c所对的角是90。D.边长。所对的角是90。

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程ax1+bx+c=0(aw0)的根的判别式2白-4ac与根的关系，熟练掌握

根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当△>()时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0

时，一元二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元二次方程没有实数根.也考查了勾股定理的逆

定理.

根据根的判别式的意义得到A=(2〃y-4(a+c)(a—c)=0,整理得从+02=储，则可根据勾股定理的

逆定理可判断三角形的形状.

【详解】解：•••关于x的一元二次方程(a+c)%2+2"+(a—c)=0有两个相等的实数根，

A=(2Z?)2-4(<2+c)(<7-c)=0

A4Z?2-4«2+4C2=0

b1+c2—a1>

所以以正数a,b,c为边长的三角形为直角三角形，且边长。所对的角是90°.

故选：D.

7.圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱

AC的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为已知冬至时北京的正午日光入射角/A3C约为

立冬秋分立秋

A----------B.atan26.5°C.asin26.5°D.-----------

tan26.5°cos26.5°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答.在

中利用正切函数即可得出答案.

【详解】解：在Rt^ABC中，ZACB=90°,—ABC约为26.5°,BC=a,

tanZBC=—,Bptan26.5°=—

BCa

AC-otan26.5°.

故选：B.

8.如图，直线4、6表示一条河的两岸，且4〃4,现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村

①将点A向上平移得到A；①连接AB交4于点M；

②连接48交4于点M；

②过点M作MN，],交于点

③过点M作MN，/1，交4于N,即桥的位置.

点N,即桥的位置.

A.唯方案一可行B.唯方案二可行

C.方案一、二均可行D.方案一、二均不可行

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的

路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题.

【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+5M最短即可.

•.•AA'垂直于河岸4，AA=d,

连接及V,与另一条河岸相交于作直线

由平移的性质，知〃N〃A4',且儿W=AA=d,MA=NA,

根据“两点之间线段最短"，BA'最短,即AN+6M最短.

故方案一符合题意，方案二AN+不是最短，

故选：A.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

x=2

9.已知.二元一次方程》+@=8的一个解，则上的值为________.

〔》=3

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题

的关键.

x=2

把《。代入方程计算即可求出左的值.

b=3

x—2

【详解】解：・・・〈。是二元一次方程1+。=8一个解，

[y=3

x=2

将c代入X+外=8得：2+3左=8,

"=3

解得：k=2,

故答案为：2.

10.因式分解：5a2-5=

【答案】5（a+l）（«-l）

【解析】

【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解.熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解

是解题的关键.

利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可.

【详解】解：由题意知，5«2-5=5(aa-l^=5(a+l)(tz-l),

故答案为：5（a+l）（tz-l）.

11.已知一个扇形的半径长是4cm,圆心角为45°,则这个扇形的面积是cm2.

【答案】

【解析】

【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.

【详解】：扇形的半径长是4cm,圆心角为45°,

二扇形的面积为：S=45>X4=2乃

360''

故答案为：27.

【点睛】本题主要考查的是扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解答本题的关键.

k

12.如图，在平面直角坐标系中，A、3两点在反比例函数y=—（左>0,x>0）的图象上，延长AB交X轴

X

于点C,且43=5。，。是第二象限一点，且DO〃A3,若八4。。的面积是12,则女的值为

【答案】8

【解析】

【分析】本题考查的是反比例函数的人的几何意义，过A作轴于E,过8作轴于连

1212/k)

接。4,08，证明S，ABO=S,o=彳=6，可得久.。=S梯形的B=彳=6，设A，而

AB=BC,可得32a,A,再进一步求解即可.

【详解】解：过A作AELx轴于E,过B作政，x轴于E,连接。4,03,

DO//AB,

S“OC=^AADC=12，

•；AB=BC,

.S_S_12_,

,,%A30—»ABCO-]~一0，

•••S^AEO=SRFO=5左,

V_S_n_

••^^ABO-J梯形AEFB_万一O

设A，,一），而AB=_BC,

'''B的纵坐标为，

2a

■■■EF=a,

\(kk、12

------------1----\'Cl——,

212aa)2

解得：左=8,

故答案为：8.

13.七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”.小明用一个边长为4的正方形制作出如

图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图.过该图形的三个顶点作圆，则这

个圆的半径长为.

【解析】

【分析】如图，由题意易得

MN=NP=PD=MD=4,ZMND=ZPND=ZMDN=ZPDN=ZDMO=45°,MOLDV,④⑥⑤

都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，然后根据拼图前后可知

BQ=QC=2,LT=LV=2,LU=LV+VU=6,AS=2,TV=2亚,TS=AT=E，进而可得四边形

LJST是平行四边形，ZLRA=1SO°-ZTLR=90°=ZJRU,JQ=6,最后根据垂径定理及勾股定理可

进行求解.

【详解】解：如图1,

..•四边形跖VPD是正方形，且边长为4,

：.MN=NP=PD=MD=4,ZMND=ZPND=ZMDN=ZPDN=ZDMO=45°,MO±DN,

/.OM=0D=ON=—MN=20,

2

由图可知：④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，

：.OE=DE=EF=OH=OG=HF=-OD=4I,

2

GH=NK=DF=yflOG=2-NG=ON-OG=42=KH>

：.PK=NP—NK=2=PF,

设该圆的圆心为/,连接延长Q/,AS,交于一点J,AJ与LU交于一点、R,

图2

由拼图可知：BQ=QC=2,LT=LV=2,LU=LV+VU=6,AS=2,TV=2&TS=AT=6,

：.IQ±BC,

•：JL//TV,AS//LT,

...四边形LJST是平行四边形，ZLRA=180°-ZTLR=90°=ZJRU,

AJS=LT=2,ZUS=ZTSA=45°=ZRSV,

：.AJ=4,JR=LR=RV=RS=-LV=1,

2

•；BQ//ZU,

：.ZIQC=ZJZU=9Q°,

,：NLUZ=90°,

...四边形JZUR是矩形，

ZIJA=9Q°,JR=ZU=1,JZ=RU=LU-LR=1,

•：ZQUZ=45°,

：.ZU=ZQ=1,

JQ=6,

设〃=x，则/Q=6—x,

在Rt^/QC中，由勾股定理可知：/。2=4+（6—力2,

在RQZM中，由勾股定理可知：M2=16+X21

16+尤2=4+（6-x）2,

解得：x=2,

・•・底=16+2?=2。，

；•IA=275；

故答案为2A.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、垂径定理及勾

股定理，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键.

三.解答题（共7小题，满分61分）

14.计算：4|—2cos45°+（—+O

【答案】V2-1

【解析】

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幕的意义，熟练掌握运算法则是解

答本题的关键.先根据绝对值、零指数塞、负整数指数塞、立方根的意义，特殊角的三角函数值化简，再算

加减.

【详解】解：原式=4—l+2x#+(—2)+(—2)

=4-1+72-2-2

=V2—1-

15.先化简：fl-一—再从—2,—1,1,2中选择合适的。的值代入求值.

Ia+2)<7+2

【答案】,；当。=2时，原式=1

CL—1

【解析】

【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再根据分式的分母不为0,选

取合适的。的值，求值即可.掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键.

【详解】解：原式=11--=a2-1

(<7+2a+2

_a_+__1x_____a_+__2____

a+2+—1)

1

ci—1

a+2w0,a?—1w0,

aw—2,il,

当a=2时，原式=——=1.

2-1

16.2025年横空出世的。eepSe或可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会

如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡.某校对学生进行了

Dee.Se或的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查

报告，请根据调查报告，回答下列问题：

课题xX学校学生对DeepSeek掌握情况

调查方式抽样调查

调查对象XX学校学生

分组成绩x/分频数频率

A60<x<7080.16

B70<x<80m0.24

C80<x<90n0.48

D90<x<1006P

数据的整理与描述

调查结论

（1）上述表格中，m=，"=，P=；

（2）所抽取学生成绩的中位数落在_____组；补全频数分布直方图；

（3）若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？

【答案】（1）12,24，0.12

（2）C,补图见解析

⑶720

【解析】

【分析】本题考查了频数和频率，频数分布直方图，中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关

键.

（1）利用A组数据求出抽取的学生人数，进而即可求解；

（2）根据中位数的定义即可求解，再根据（1）的结果补全频数分布直方图即可；

（3）用1200乘以成绩不低于80分的频率即可求解.

【小问1详解】

解：由数据可知，抽取的学生人数为8+0.16=50,

.,.m=50x0.24=12,«=50x0.48=24,/?=—=0.12,

50

故答案为：12,24,0.12；

【小问2详解】

解：：抽取了50名学生，

学生成绩的中位数由低到高为第25名和第26名学生成绩的平均数,

中位数落在组C,

故答案为：C；

答：估计成绩不低于80分的学生有720人.

17.近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮.该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的

故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界.某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但

同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传

承》.经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元.该公司以8100

万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同.

（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元.

（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少

于《希望的田野》集数的2.完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的

3

田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购.若要使该影视公司收益最大化，应该

如何制作这两部文艺作品？

【答案】（1）制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元

（2）制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分

式方程、一元一次不等式、一次函数解析式是解此题的关键.

（1）设制作《希望的田野》每集成本X万元，《指尖上的传承》每集成本（尤-100）万元，根据题意列出分

式方程，解方程即可得解；

（2）设制作《希望的田野》机集，则制作《指尖上的传承》（60-加）集，根据题意列出一元一次不等

式，求出相V36.设该影视公司收益为w万元，再求出w关于"?的关系式，再由一次函数的性质计算即

可得解.

【小问1详解】

解：设制作《希望田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本（％-100）万元.

根据题意，得过火5400

xx—100

解得x=300,

经检验x=300是方程的解，且符合题意.

x—100=300—100=200.

答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元.

【小问2详解】

解：设制作《希望的田野》相集，则制作《指尖上的传承》（60—相）集,

2

根据题意，得60—加2耳加，

解得加工36.

设该影视公司收益为w万元，

则w=（450—300）m+（320-200）（60-m）=30m+7200.

•/30>0,

二.W随机的增大而增大.

又,机<36，

当相=36时，w取最大值，此时60—加=60-36=24.

答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大.

18.如图，已知A5是。。的直径，AC是。。的弦，点。在外，延长。C,A3相交于点区过点

D作DFLAB于点尸,交AC于点G,DG=DC.

D

（1）求证：DE是。。的切线;

（2）若0。半径为6,点尸为线段。4的中点，CE=8,求DE的长.

【答案】（1）见解析；

,、39

（2）—.

4

【解析】

【分析】（1）连接OC,根据等边对等角和对顶角相等可推出NQ4C=NOC4,

ZDGC=ZDCG=ZAGF,结合。尸，A3和三角形内角和，从而推出

ZOCD=ZOAC+ZAGF=90°,得证；

（2）由（1）可知NOC石=90。，可证推出?一二—,再由勾股定理可得。£=10,

DFFE

利用点尸为线段。4的中点，可得。尸=3,从而得到叱=13,从而得到——=一，即可得到答案.

DF13

【小问1详解】

证明：连接。C,如图,

■■.ZOAC=ZOCA,ZDGC=ZDCG,

•••ZAGF=ZDGC,

ZAGF=ZDCG,

又；DFLAB,

■■.ZAFG=90°,

ZOAC+ZAGF=180°-ZAFG=180°-90°=90°,

NOCD=ZOCA+ZDCG=ZOAC+ZAGF=90°，

是O。的切线；

【小问2详解】

解：如(1)图，ZOCE=90°,

又•；ZDFE=90°,ZOEC=ZDEF,

&DFESQCE,

PCCE

"1)F~~FE，

•••O。的半径为6,CE=8,

•1"OC=OB=OA=6，

■-OE2=OC2+CE2，即OE=V62+82=10，

又•••点尸为线段。4的中点，

...(9F=-OA=-X6=3,

22

EF=OF+OE=3+10=13,

68

,•,___—一__,

DF13

39

DF=—.

4

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角

形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

19.民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图(1),“空

中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评.如图(2),演员从浪桥的

旋转木梯点尸处抛出(将身体看成一个点，身体摆动忽略不计)飞到吊下的平台A3上，其飞行路线可看

作抛物线的一部分.下面有一张平行于地面的保护网MN,以保护演员的安全.建立如图所示的平面直角

坐标系，已知：点A的坐标为(0,8),OC=U.4m,CE=2.hn,=/FEC=135°,

AB=Im-

图⑴图⑵

(1)当抛物线过点8,且与>轴交于点〃(0,6)时，点厂的坐标为,抛物线的解析式为

(2)在(1)的条件下，若点N的坐标为18,(),为使演员在演出时不受伤害，求保护网(线段

MN')的长度至少为多少米;

(3)设该抛物线的表达式为丁=依2-8ax+c,若抛射点尸不变，为保证演员表演时落在平台A3上

(即抛物线与线段有交点)，请直接写出。的取值范围.

【答案】(1)(10,3.5),y=-^x2+|x+6

(2)保护网MN(线段MN)的长度至少为9米；

91

(3)——<a<——

406

【解析】

【分析】(1)过点厂作FK_Lx轴，过点E作E/LEK,先求出歹(10,3.5),5(1,8),然后用待定系数

法即可求解；

(2)由平行于x轴，点N的坐标为18,(),得出点M纵坐标为:，代入解析即可得解；

(3)由发射点尸不变，得出抛物线一定经过歹(10,3.5),然后分再经过4(0,8),8(1,8)两种情况，讨

论即可得解；

【小问1详解】

解：过点尸作EKJ_x轴于K,过点E作依于J,

结合题意可得：四边形JKCE为矩形，

/.ZCE/=90°,JK=CE,EJ=CK,

：.ZFEJ=45°

/.AFEJ为等腰直角三角形，

：.FJ=EJ,

-：EF=1V2m,

■-FJ2+EJ2=2FJ2=2EJ2=,

■■.FJ=EJ=lAm,

OC=11.4m,CE=2.1m,

・•.OK=n.4—1.4=10,汽=21+1.4=3.5,

点尸的坐标为(10,3.5),

：A3=Im,点A的坐标为(0,8),

...点8的坐标为(1,8),

•••抛物线y轴交于点“(0,6),

...设抛物线表达式为丁=G2+乐+6,

将点3(1,8)和点下(10,3.5)代入y=&+笈+6得:

〃+/?+6=8

100。+10/?+6=3.5

1

a=——

解得：]4

b=一

[4

199

抛物线的表达式为y=—xH—x+6；

44

【小问2详解】

解：•..肱V平行于x轴，点N的坐标为8g

7

...点M纵坐标为一,

2

7719

当丁=一时，代入抛物线解析式得一=——X2+-X+6,

2244

解得：%=10（舍去），x2=-1,

.♦.MN=8—（―1）=9,即保护网MN（线段MV）的长度至少为9米;

【小问3详解】

解：由（1）知：A（0,8）,8（1,8）,F（10,3.5）,

..•发射点尸不变，

•••抛物线一定经过尸（10,3.5）,

当抛物线经过A（0,8）,尸（10,3.5）时，

z，00a—10x8a+c=3.5

代入y=—8ax+。得〈,

。=8

9

a=------

40

。二8

当抛物线经过5(1,8),尸(10,3.5)时，

,[100a—10x8〃+c=3.5

代入y=ax-8ax+c得〈

a—8a+c=8

41

c-一

、6

•・•抛物线必经过平台AB,

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识

点，理解题意是关键.

20.【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方