同济大学高等数学第六版第三节齐次方程

齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第七章(homogeneousequation)第1页一、齐次方程形如方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程通解.解法:分离变量:可分离变量方程第2页第3页例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程通解为(当C=0时,

y=0也是方程解)(C为任意常数)第4页例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.第5页例1求解微分方程例2求解微分方程例3求解微分方程第6页例4求解微分方程微分方程解为解第7页例5求解微分方程解第8页微分方程解为第9页可得OMA=OAM=

例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源光线反射出去有良好方向性,试求反射镜面形状.而AO于是得微分方程:第10页利用曲线对称性,不妨设y>0,积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

第11页顶到底距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面底面直径为d,代入通解表示式得第12页(h,k为待*二、可化为齐次方程方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),第13页求出其解后,即得原方程解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适合用于下述更普通方程第14页例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得代回原变量,得原方程通解:第15页得C=1,故所求特解为思索:若方程改为怎样求解?提醒:第16页解代入原方程得第17页分离变量法得得原方程通解方程变为第18页第19页例求解微分方程解令再令两边积分后得变量还原得第20页利用变量代换求微分方程解解代入原方程原方程通解为第21页通解为解第22页三、小结齐次方程齐次方程解法可化为齐次方程方程作业

P3091；2;3;

第23页【k次齐次函数和k次齐次方程概念】

若对于任意(x,y,z)和任意实数t,总有f(tx,ty,tz)=(t^k)f(x,y,z)，则称函数f(x,y,z)为k次齐次函数。称方程f(x,y,z)=0为k次齐次方程。若f(x,y)为0次齐次函数，则称y'=f(x,y)是一阶齐次型方程。对于代数线性方程au+bv+c=0,称a，b为系数，c为自由项。设f(u,v)=au+bv+c,

那么当c=0时，f(tu,tv)=tf(u,v)，称au+bv=0是齐次方程；

当c≠0时，f(tu,tv)≠tf(u,v)，称au+bv+c=0是“非”齐次方程。

补充：第24页当我们把：a(x),b(x)称为系数，把c(x)称为自由项，

那么f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性，

当c(x)=0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v关于u,v线性，齐次。

当c(x)≠0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性,非齐次。把u换成y’，v换成y，就得到f(y’,y)=a(x)y’+b(x)y+c(x)关于y’,y线性，a(x)y’+b(x)y+c(x)=0是关于y’,y线性方程，再沿用前面齐次和非齐次概念：

当c(x)=0时，a(x