专题08：三角形(二)(原卷版+解析)

专题08：三角形（二）考点1：探索三角形全等的条件题型一：用SSS判定三角形全等例1.如图，点，，，在同一条直线上，，，．（1）试说明：；（2）若，，求的度数；（3），，求的长．【练习1】如图所示，已知点，，，在同一条直线上，且，，．求证：．例2.如图，已知，．求证：．【练习2】如图，已知，（1）求证：．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？题型二：用AAS或ASA判定三角形全等例3.如图，已知点，，，在一条直线上，，，，，．（1）试说明：．（2）判断与的位置关系，并说明理由．【练习3】如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）连结，当，，时，求的长．题型三：用AAS或ASA判定三角形全等证明线段和差例4.如图在中，，，直线经过点，且于点，于点，求证：（1）；（2）．【练习4】已知：如图，中，，，交于点，于点，．求证：．题型四:用SAS判定三角形全等例5.如图，在中，，点为中点，点为线段上一点，，交于点，试给出线段、、之间的数量关系并证明．【练习5】如图，四边形中，，，，，为、上的两个动点，且．求证：．题型五：用HL判定三角形全等例6.已知中，，，过点的直线交直线于，于．（1）当平分，求证：；（2）转到外，平分的一个外角，请画出图形，上述结果是否还成立，若成立请说明理由．【练习6】如图，已知平分，于，于，且．（1）求证：；（2）求证：．考点2：尺规作图例7.下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．已知：直线及直线上一点，如图1．求作：，使得，．作法：如图2．①在直线上取点；②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，在的上方）；③作直线，交直线于点；④连接．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，．，是等边三角形．．，四边形是菱形．（填推理的依据）．．（填推理的依据）．．【练习7】尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知线段和，求作，使，，．考点3：利用三角形全等测距离题型一：设计测量方案例8.如图所示，为方便游客观赏的需要，需要在人工湖两侧，两点之间修建一条观光步道，但无法直接量出，两点之间的距离，现在有一足够长的米尺，请你利用所学数学知识，设计一种方案，大致测出，两点之间的距离，并说明理由．【练习8】如图所示，某湖泊岸有、两棵大树，想在两棵大树间架一条电话线路．为了计算两棵大树能承受的压力，需测量出、之间的距离，但是、两点又不能直接到达，你能用已学过的知识和方法设计测量方案，求出、两点间的距离吗？并说明理由．题型二：生活中测距离例9.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．（1）求证：；（2）已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小（每块砖的厚度相同）．【练习9】小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：如图，先测量出，，点、、在同一直线上，点，，在同一直线上，测量出，小琪就知道河面宽度的长了．则你认为河宽是多少？请说明理由．1.一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、4或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、2或2、4去就可以了2．如图，已知，，添加一个条件后，仍无法判定的是A． B． C． D．3.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是A． B． C． D．4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，这是利用什么数学原理呢？A． B． C． D．5．如图，已知线段，于点，，射线于点，点从点向点运动，每秒走，点从点向点运动，每秒走．若，同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为A．5 B．5或10 C．10 D．6或106．如图，已知，，添加一个条件，使．7．如图，，，，则、两点之间的距离为．8．如图，，，，点在边上，与相交于点，则的度数为．9．如图，的面积为，平分，过点作于点．则的面积为．10．如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是．（填序号）①；②；③若，则；④．11．已知：如图，，，，、在边上．求证：．12．如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在和上取；②在上取；③量出的长米，的长米．如果，则说明和是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？13．已知：如图，点在上，点在上，和相交于点，，．求证：．14．如图，，平分，且点是的中点，求证：．15．如图，点，，，在一条直线上，，，．（1）求证：；（2）写出与之间的关系，并证明你的结论．16．如图1，，，，、相交于点，连接．（1）求证：；（2）用含的式子表示的度数（直接写出结果）；（3）当时，取，的中点分别为点、，连接，，，如图2，判断的形状，并加以证明．专题08：三角形（二）考点1：探索三角形全等的条件题型一：用SSS判定三角形全等例1.如图，点，，，在同一条直线上，，，．（1）试说明：；（2）若，，求的度数；（3），，求的长．【答案】见详解【详解】解：（1），，，在和中，，；（2），，，，，，即；（3），，，，，，，即的长是8．【练习1】如图所示，已知点，，，在同一条直线上，且，，．求证：．【答案】见详解【详解】证明：，，即，在和中，，；例2.如图，已知，．求证：．【答案】见详解【详解】证明：连接，在和中，，，，即．【练习2】如图，已知，（1）求证：．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？【答案】见详解【详解】证明：（1）连接，在和中（全等三角形对应角相等）（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边．题型二：用AAS或ASA判定三角形全等例3.如图，已知点，，，在一条直线上，，，，，．（1）试说明：．（2）判断与的位置关系，并说明理由．【答案】见详解【详解】（1）证明：，，，，，，，，；（2）．，，，，．【练习3】如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）连结，当，，时，求的长．【答案】见详解【详解】解：（1），，，点为的中点，，在和中，，；（2），，，，，，的长为3．题型三：用AAS或ASA判定三角形全等证明线段和差例4.如图在中，，，直线经过点，且于点，于点，求证：（1）；（2）．【答案】见详解【详解】证明：（1），，，，，，，在和中，，；（2），，，，．【练习4】已知：如图，中，，，交于点，于点，．求证：．【答案】见详解【详解】证明：，，，，，，在和中，，，，，．题型四:用SAS判定三角形全等例5.如图，在中，，点为中点，点为线段上一点，，交于点，试给出线段、、之间的数量关系并证明．【答案】见详解【详解】证明：延长到，使，连接，，点是的中点，，在和中，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，．【练习5】如图，四边形中，，，，，为、上的两个动点，且．求证：．【答案】见详解【详解】证明：延长至点，使得，连接，四边形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．题型五：用HL判定三角形全等例6.已知中，，，过点的直线交直线于，于．（1）当平分，求证：；（2）转到外，平分的一个外角，请画出图形，上述结果是否还成立，若成立请说明理由．【答案】见详解【详解】（1）证明：过作于，如图1所示：，，，，，平分，，，在与中，，，，．（2）解：如图2所示：上述结果不成立；；理由如下：延长交的延长线于，平分的一个外角，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，．【练习6】如图，已知平分，于，于，且．（1）求证：；（2）求证：．【答案】见详解【详解】（1）证明：是角平分线，于，于，，，在和中，；（2）解：于，于，，在和中，，，，，，．考点2：尺规作图例7.下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．已知：直线及直线上一点，如图1．求作：，使得，．作法：如图2．①在直线上取点；②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，在的上方）；③作直线，交直线于点；④连接．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，．，是等边三角形．．，四边形是菱形．（填推理的依据）．．（填推理的依据）．．【答案】见详解【详解】解：（1）如图，即为所求作．（2）证明：连接，，．，是等边三角形，，，四边形是菱形，（菱形的性质），，（直角三角形两锐角互余），．故答案为：，菱形的性质，直角三角形两锐角互余．【练习7】尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知线段和，求作，使，，．【答案】见详解【详解】解：如图所示：为所求．考点3：利用三角形全等测距离题型一：设计测量方案例8.如图所示，为方便游客观赏的需要，需要在人工湖两侧，两点之间修建一条观光步道，但无法直接量出，两点之间的距离，现在有一足够长的米尺，请你利用所学数学知识，设计一种方案，大致测出，两点之间的距离，并说明理由．【答案】见详解【详解】解：在点，一侧的池塘边的平地上取一点，连并延长到，使，连并延长到，使，连接．在和中，，，，故量取的长度，即为，两点之间的距离．【练习8】如图所示，某湖泊岸有、两棵大树，想在两棵大树间架一条电话线路．为了计算两棵大树能承受的压力，需测量出、之间的距离，但是、两点又不能直接到达，你能用已学过的知识和方法设计测量方案，求出、两点间的距离吗？并说明理由．【答案】见详解【详解】解：能求出、两点间的距离，理由：找一点，连接，，并延长，截取使，，在和中，，，，即量出的长即可得出答案．题型二：生活中测距离例9.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．（1）求证：；（2）已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小（每块砖的厚度相同）．【答案】见详解【详解】（1）证明：由题意得：，，，，，，，，在和中，，；（2）解：由题意得：一块墙砖的厚度为，，，由（1）得：，，，，，答：砌墙砖块的厚度为．【练习9】小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：如图，先测量出，，点、、在同一直线上，点，，在同一直线上，测量出，小琪就知道河面宽度的长了．则你认为河宽是多少？请说明理由．【答案】见详解【详解】解：河宽为8米，理由如下：在和中，．．．1.一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、4或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、2或2、4去就可以了【答案】C【详解】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，故选：．2．如图，已知，，添加一个条件后，仍无法判定的是A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，，，．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；故选：．3.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是A． B． C． D．【答案】A【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在和中，，，故选：．4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，这是利用什么数学原理呢？A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接，，如图，点分别是、的中点，，，在和△中，，△．．故选：．5．如图，已知线段，于点，，射线于点，点从点向点运动，每秒走，点从点向点运动，每秒走．若，同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为A．5 B．5或10 C．10 D．6或10【答案】A【详解】解：出发秒，点从点向点运动，每秒走，点从点向点运动，每秒走，，，则，，，，要使与全等，有两种情况：①，，即，解得：；②，，即，解得：，当时，，不符合题意，舍去，所以，故选：．6．如图，已知，，添加一个条件，使．【答案】（答案不唯一）【详解】解：在和中，，．故答案为：（答案不唯一）．7．如图，，，，则、两点之间的距离为．【答案】55【详解】解：，，，即，在和中，，，．故答案为：55．8．如图，，，，点在边上，与相交于点，则的度数为．【答案】【详解】解：，，在与中，，，，，，，故答案为：．9．如图，的面积为，平分，过点作于点．则的面积为．【答案】7.5【详解】解：延长交于，平分，，，，在和中，，，，，，，故答案为：7.5．10．如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是．（填序号）①；②；③若，则；④．【答案】②③④【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点，，，垂直平分，，，，，，，在与中，，，，，②是正确的；，，平分，当时，，则，当时，，则无法说明，①是不正确的；设，则，