专题21数形结合之一次函数与二元一次方程(组)综合(三大题型50题)(原卷版+解析)

专题21数形结合之一次函数与二元一次方程（组）综合（三大题型，50题）（原卷版）目录TOC\o"1-1"\h\u一、题型一：两直线的交点与二元一次方程组的解，20题，难度四星 1二、题型二：图象法解二元一次方程组，10题，难度四星 8三、题型三：求直线围成的面积，20题，难度四星 12一、题型一：两直线的交点与二元一次方程组的解，20题，难度四星1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年级·山东青岛·期末）一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于四个点．则下列结论：①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（

）A． B． C． D．4．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”．例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．若直线的“不动点”为，则，．5．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如果点是一次函数与图像的交点，那么，．6．（23-24八年级·江苏淮安·期末）定义：一次函数和一次函数互为“相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为．7．（23-24八年级·四川成都·期末）如图已知一次函数和的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为．8．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点C．(1)求一次函数的表达式；(2)求点C的坐标；(3)求这两个函数图象与轴所围成的的面积．9．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程与时间的关系，观察图象并回答下列问题：(1)乙出发时，与甲相距________千米；(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为______小时；(3)乙从出发起，经过______小时与甲相遇；(4)甲行走的路程(千米）与时间(时）之间的函数关系是________；(5)如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______时与甲相遇，相遇处离乙的出发点______千米，并在图中标出其相遇点．10．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交y轴于点．(1)求直线的解析式；(2)若点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标．11．（23-24八年级·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题：(1)求a的值，判断直线：是否也经过点P并说明理由；(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；(3)若当直线，表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，求直线的函数表达式．12．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程（组），对相关知识进行了归纳整理．(1)如他在同一个直角坐标系中画出一次函数和的图象（图1），并归纳：一次函数与方程的关系（1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程；（2）点B的横坐标是方程①_____的解：（3）点的坐标的，的值是方程组②_____的解．一次函数与不等式的关系（1）函数的函数值大于0时，自变量的取值范围就是不等式③_____的解集；（2）函数的函数值小于0时，自变量的取值范围就是不等式④_____的解集．请根据图1和以上方框中的内容，在下面数字序号后写出相应的结论：①；②；③；④．(2)若已知一次函数和的图象（如图2），求出它们的交点（坐标同图1），写出不等式的解集．13．（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，直线与直线交于点，，分别与轴交于点，．(1)请直接写出点，，的坐标；(2)点为直线上一点，当时，求点的坐标．14．（23-24八年级·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点．(1)求直线所对应的函数表达式．(2)若点是轴上一点，连结．当的面积为5时，求点的坐标．(3)已知线段的端点坐标分别为．则当直线与线段有交点时，求的取值范围．15．（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1．(1)求k、b的值；(2)请直接写出方程组的解；(3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．16．（23-24八年级·河南郑州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点是函数与函数的交点．函数与轴，轴分别交于点．(1)若二元一次方程的解为，写出交点的坐标；(2)在（1）的条件下，如图2，过点作直线轴于点，若的面积是3，求和的值；(3)如图3，若，，，点是直线上一个动点，点为直线上一个动点，当轴，且时，请直接写出的长度．17．（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直角坐标系中一次函数的图像分别与轴交于两点，正比例函数图像与交于点．(1)_________，A点的坐标__________．(2)C点的坐标可以看做哪个方程组的公共解？(3)在上是否存在一点D使得三角形的面积是三角形的面积的6倍．求出D点的坐标．18．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点C，点P在线段上（点P不与点O、C重合），过点P作x轴的平行线交直线于点Q，设正方形与重叠部分图形的周长为L，设点P的横坐标是m．(1)求点C的坐标；(2)直接写出点Q的坐标（用含m的代数表示）；(3)当与x轴重合时，求m的值；(4)求L与m之间的函数解析式．19．（23-24八年级·四川成都·期末）（1）已知直线：和直线：，请在下面的坐标系中作出这两条直线，并直接写出方程组的解______；（2）直线：与轴，轴的交点分别为A，，第一象限内有一点的坐标为，且与的面积相等，求点坐标；（3）在（2）的条件下，若线段与一次函数的图像有交点．①一次函数的图像必过某个定点，则该定点的坐标为______；②一次函数中的取值范围是______．

20．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．(1)求点P的坐标；(2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：①求线段的长（用含的代数式表示）；②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；(3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．二、题型二：图象法解二元一次方程组，10题，难度四星21．（22-23八年级下·江西赣州·阶段练习）对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(

)A．6 B．8 C．10 D．1222．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为．23．（21-22八年级·江苏无锡·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是；当时，的取值范围是．24．（21-22八年级·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为．25．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，画出函数图像并根据图像回答下列问题：

(1)当时，x______；(2)当时，x_______；(3)当时，x_______；(4)当时，x________；26．（22-23八年级·重庆沙坪坝·期末）在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点．(1)由题意可知，______，______；(2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质；(3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围．27．（22-23八年级·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答：(1)写出方程组的解；(2)写出不等式的解集．28．（21-22八年级·广东揭阳·期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．(1)求a，b的值；(2)方程组的解为．(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．(1)填空：①线段的长度为______；②方程组的解为______；(2)求直线的函数表达式；(3)已知点为直线上一动点，过点作轴交直线于点．设点的横坐标为，当时，求出点的坐标；结合图象，直接写出当时，的取值范围．30．（21-22八年级下·河北沧州·期末）已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D．(1)直接写出方程组的解；(2)求△PCD的面积；(3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围．三、题型三：求直线围成的面积，20题，难度四星31．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点，交轴于点．

(1)求直线的解析式；(2)求直线、直线和轴所围成的三角形的面积；(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．32．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，根据图象，解决下列问题：(1)求出函数与交点坐标；(2)求出的面积．33．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交x，y轴于A，B两点，直线的图象分别交x，y轴于C，D两点，且两条直线相交于点E，已知点C的坐标为．.(1)求E点坐标；(2)在直线上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请求出F点坐标．若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点G为线段上一点，连接，，当时，经过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，判断的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不是定值，请说明理由．34．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知一次函数图象经过点、点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)求这个一次函数图象、直线与轴围成的三角形面积．35．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）在平面直角坐标系中，将经过点的直线：向下平移5个单位得直线，直线经过点，(1)求直线的解析式及点B的坐标；(2)直线与y轴交于点C，求的面积；36．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C．(1)若直线解析式为，直线解析式为，①求点C的坐标②求的面积．(2)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，的面积为6，P、Q分别为线段上的动点，连结与，则最小值为________．37．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，．(1)求、两点的坐标；(2)求的度数；(3)如果的面积是面积的，求点的坐标．38．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点．将直线向右平移使其经过点B，连接．

(1)求，的函数表达式；(2)求四边形的面积；(3)设以x为自变量的函数，若对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．39．（22-23八年级下·吉林松原·期末）正比例函数与一次函数的图象的交点坐标为，一次函数的图象与y轴的交点坐标为．(1)求正比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积．40．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且．(1)的坐标为_________，线段的长为_________．(2)求直线的解析式和点的坐标．(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结．①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；②连结，当面积最大时，求的长度和的面积．41．（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，的面积为．

(1)求直线的表达式；(2)如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限．①连接，设的面积为，的面积为，若，求点E的坐标；②当的面积最小时，求点E的坐标．42．（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．(1)填空：________，________，________；(2)请直接写出不等式的解集______；(3)已知直线与x轴相交于点C，点P是反比例函数的图象上一点，当时，求点P的坐标．43．（23-24八年级·江西吉安·期末）将边长为4的正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是，点E的坐标是．(1)直线经过点C，且与轴交与点E．求四边形的面积；(2)若直线L经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线L的解析式．(3)若直线经过点且与直线平行．将（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位交x轴于M，交直线于点N，求的面积．44．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．

备用图(1)求线段的中点坐标；(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．45．（23-24八年级·江苏扬州·期末）已知一次函数．(1)当它的图象经过一次函数、图象的交点时．求这个交点坐标及b的值；(2)当它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4时，求b的值．46．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）一次函数的图象是直线，直线经过点．(1)求两条直线的表达式；(2)求两条直线与轴围成的三角形面积．47．（23-24八年级·广西崇左·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点，动点在直线上运动．求：

(1)直线的解析式；(2)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标．48．（23-24八年级·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点．(1)求的值及点的坐标．(2)求的面积．(3)连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标．49．（23-24八年级·安徽池州·期末）如图，直线的表达式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点．(1)求直线的表达式；(2)求的面积；(3)利用图象直接写出当时的取值范围．50．（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点．(1)求直线的函数关系式和点的坐标；(2)当时，求点的横坐标和的面积；(3)已知点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．专题21数形结合之一次函数与二元一次方程（组）综合（三大题型，50题）（解析版）目录TOC\o"1-1"\h\u一、题型一：两直线的交点与二元一次方程组的解，20题，难度四星 1二、题型二：图象法解二元一次方程组，10题，难度四星 29三、题型三：求直线围成的面积，20题，难度四星 43一、题型一：两直线的交点与二元一次方程组的解，20题，难度四星1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【详解】解：把代入得，解得，所以点坐标为，所以关于，的二元一次方程组的解是，故选：．2．（23-24八年级·山东青岛·期末）一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于四个点．则下列结论：①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程(组)的关系，一次函数图象的性质，根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵一次函数与一次函数在同一坐标系中，两条直线交于点，∴一元一次方程的解为，，故正确；由，解得，故错误；∴一次函数为，，把代入得，，∴，∴，∴方程组的解为，故正确；∵一次函数为，，∴，，∴四边形的面积，故正确；∴正确的是，故选：．3．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解．【详解】解：∵直线与直线交于点，∴方程组的解为．即：方程组的解为．故选：A．4．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”．例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．若直线的“不动点”为，则，．【答案】【分析】本题考查一次函数的综合应用，根据不动点的定义，得到是直线与直线的交点，进而求出的值，再把点代入一次函数解析式求出的值即可．【详解】解：由题意，得：是直线与直线的交点，∴，∴，∴点为，∴，∴；故答案为：．5．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如果点是一次函数与图像的交点，那么，．【答案】3【分析】把点分别代入和中，得一个关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系．两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的二元一次方程组的解．熟练掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系是解题的关键．【详解】解：把点分别代入和中，得，解得，经检验，为原方程组的解，故答案为：；3．6．（23-24八年级·江苏淮安·期末）定义：一次函数和一次函数互为“相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、新定义函数等知识点，掌握“相反函数”的定义是解题的关键．根据“相反函数”的定义写出的“相反函数”，然后与联立即可解答．【详解】解：由“相反函数”可得函数的“相反函数”为，则有：，解得：，所以点的坐标为．故答案为．7．（23-24八年级·四川成都·期末）如图已知一次函数和的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为．【答案】【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，根据：一次函数的交点坐标就是以一次函数解析式所构成的二元一次方程组的解，即可求解，掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键．【详解】解：∵一次函数和的图象交于点，∴关于的二元一次方程组的解为，故答案为：．8．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点C．(1)求一次函数的表达式；(2)求点C的坐标；(3)求这两个函数图象与轴所围成的的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题综合考查了两条直线相交问题，待定系数法求解析式，直线与坐标轴围成的三角形的面积，（1）用待定系数法可得一次函数的表达式；（2）联立解析式解方程组，可得C的坐标；（3）根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）解：把，代入得：，解得∴一次函数的表达式为；（2）由得：∴点C的坐标为；（3）解：∵，∴9．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程与时间的关系，观察图象并回答下列问题：(1)乙出发时，与甲相距________千米；(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为______小时；(3)乙从出发起，经过______小时与甲相遇；(4)甲行走的路程(千米）与时间(时）之间的函数关系是________；(5)如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______时与甲相遇，相遇处离乙的出发点______千米，并在图中标出其相遇点．【答案】(1)10(2)1(3)(4)(5)，，相遇点如图【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，时间、路程、速度三者之间的关系，准确识图是解题的关键．（1）根据时甲乙两人的路程差即为两人的距离解答；（2）根据不变的时间即为修车时间解答；（3）根据两人的函数图象的交点即为相遇写出时间即可；（4）利用待定系数法求一次函数解析式解答；（5）求出乙的速度，然后表示出乙的函数关系式，再联两函数解析式解方程组即可得解．【详解】（1）解：由图可知，当时，甲乙图中差为10千米，乙出发时，与甲相距10千米，故答案为：；（2）解：由图可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为小时，故答案为：；（3）解：由图可知，交点的横坐标为，乙从出发起，经过小时与甲相遇，故答案为：；（4）解：由图可知，是一条直线，设甲行走的路程（千米）与时间（时之间的函数关系为，将、代入关系式得，解得，，故答案为：；（5）解：由图可知，过原点，如果乙的自行车不出现故障，乙的速度为：千米时，乙的函数关系式为，联立，解得，乙出发后经过时与甲相遇，相遇处离乙的出发点千米；如图所示：故答案为：，，相遇点如图．10．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交y轴于点．(1)求直线的解析式；(2)若点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由直线求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；（2）由直线求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点的坐标．【详解】（1）解：直线与直线交于点，，，把，代入得，解得，直线的解析式为；（2）解：令，则，解得，，点在轴上，的面积为6，，，即，，即，解得或，或．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积求交点坐标，利用数形结合是解题的关键．11．（23-24八年级·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题：(1)求a的值，判断直线：是否也经过点P并说明理由；(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；(3)若当直线，表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，求直线的函数表达式．【答案】(1)，经过，理由见详解(2)(3)【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的交点问题以及求一次函数解析式．（1）将P点坐标代入的解析式中，解方程即可求得a的值，据此得出P的坐标，再将点P的坐标代入直线的解析式中，确定出m和n的关系，将点P的横纵坐标代入解析式中，确定等号是否成立即可；（2）结合函数图像即可求出方程组的解．（3）根据题意可得直线过点和点，利用待定系数法即可求出的函数表达式【详解】（1）解：因为点在直线上，所以当时，．直线也经过点P．理由如下：由（1）知点，将点代入，得：，再将点P的横坐标代入，结果与P的纵坐标一致，所以直线l3也经过点P．（2）方程组的解即直线和的交点坐标P，即方程组的解为．（3）∵当直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，所以直线过点．又因为直线过点，所以解得所以直线的函数表达式为．12．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程（组），对相关知识进行了归纳整理．(1)如他在同一个直角坐标系中画出一次函数和的图象（图1），并归纳：一次函数与方程的关系（1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程；（2）点B的横坐标是方程①_____的解：（3）点的坐标的，的值是方程组②_____的解．一次函数与不等式的关系（1）函数的函数值大于0时，自变量的取值范围就是不等式③_____的解集；（2）函数的函数值小于0时，自变量的取值范围就是不等式④_____的解集．请根据图1和以上方框中的内容，在下面数字序号后写出相应的结论：①；②；③；④．(2)若已知一次函数和的图象（如图2），求出它们的交点（坐标同图1），写出不等式的解集．【答案】(1)；；；(2)C的坐标为，．【分析】本题主要考查了方程，不等式以及函数的关系，数形结合是初中数学需要掌握的基本思想．（1）根据一元一次方程，一元一次不等式，一次函数之间的关系，结合函数图象即可作出判断；（2）不等式的解集就是函数的图象在的交点下边的部分对应的自变量的取值范围．【详解】（1）解：①；②；③；④；故答案为：；；；；（2）解：方程组，解得，一次函数和的图象（如图2）的交点的坐标为，那么不等式的解集是．13．（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，直线与直线交于点，，分别与轴交于点，．(1)请直接写出点，，的坐标；(2)点为直线上一点，当时，求点的坐标．【答案】(1)；；(2)或【分析】本题考查了一次函数交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题；（1）联立直线解析式，即可得出的坐标，分别令，即可得出的坐标；（2）根据的坐标，即可得出，进而分类讨论，根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：联立，解得：，∴，由直线，当时，，则，直线，当时，，则；（2）解：∵；；，则，边上的高为，∴，∵，∴，∵点为直线上一点，设，当点在上方时，，∴，即，解得：，∴；当点在下方时，，∴，即，解得：，∴，综上所述，或．14．（23-24八年级·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点．(1)求直线所对应的函数表达式．(2)若点是轴上一点，连结．当的面积为5时，求点的坐标．(3)已知线段的端点坐标分别为．则当直线与线段有交点时，求的取值范围．【答案】(1)(2)点C坐标为或(3)【分析】本题主要考查了一次函数的应用：（1）把A和B两点坐标代入直线中，求出k，b即可；（2）设，根据点B坐标求出，再有点A到的距离h为2，利用三角形面积公式，列出关于m的方程，求出m即可；（3）根据M，N两点的坐标，列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】（1）解：把和代入中得：，解得：，∴直线l所对应的函数表达式为：；（2）解：设，∵，∴，∵点A到的距离h为2，∴，∴或，∴或，∴点C坐标为或；（3）解：直线与直线的交点为，要使直线l与线段有交点，则有：①（无解），②，解得：．15．（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1．(1)求k、b的值；(2)请直接写出方程组的解；(3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．【答案】(1)(2)(3)点D的坐标为或【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与三角形的面积等知识，熟练掌握函数图象和性质是解题的关键．（1）由正比例函数表达式求出交点，将两个点坐标代入一次函数即可；（2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标；（3）先由题意算出一个三角形的面积，根据等式即可求出答案．【详解】（1）解：点C在上，且点C的横坐标为1的图象经过点解得；（2）由图象和方程组知其解为函数与的交点坐标，即；（3）点D在y轴上，设由（1）知一次函数的表达式为当时，即故点D的坐标为或．16．（23-24八年级·河南郑州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点是函数与函数的交点．函数与轴，轴分别交于点．(1)若二元一次方程的解为，写出交点的坐标；(2)在（1）的条件下，如图2，过点作直线轴于点，若的面积是3，求和的值；(3)如图3，若，，，点是直线上一个动点，点为直线上一个动点，当轴，且时，请直接写出的长度．【答案】(1)(2)，(3)的长度为或【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、两直线的交点问题，熟练掌握一次函数相关性质是解此题的关键．（1）根据二元一次方程的解即可得交点的坐标；（2）将代入函数可得的值，设，，根据的面积得出，再利用待定系数法求解即可得出的值；（3）由题意得函数，函数，设，则，根据，求出的值即可得出答案．【详解】（1）解：的解为，∴函数与函数的交点的坐标为，故答案为：；（2）解：∵点的坐标为，于点，，将代入函数得，∴，设，，，解得，，∵点是函数上的点，，解得，∴的值为9；（3）解：∵，，，∴函数，函数．设，则，∴，解得或6，或，∴或，∴的长度为或．17．（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直角坐标系中一次函数的图像分别与轴交于两点，正比例函数图像与交于点．(1)_________，A点的坐标__________．(2)C点的坐标可以看做哪个方程组的公共解？(3)在上是否存在一点D使得三角形的面积是三角形的面积的6倍．求出D点的坐标．【答案】(1)2；(2)(3)或【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与几何综合：（1）把代入中即可求出m的值；再在中，求出当时x的值即可得到答案；（2）利用待定系数法求出直线的解析式，则点C的横坐标为为直线与解析式联立得到的方程组的解；（3）先求出点B坐标，进而求出三角形的面积，即可得到三角形的面积，再求出，进而推出点D在上方或点D在下方，据此讨论求解即可．【详解】（1）解：把代入中得：，∴，在中，当时，，∴点A点的坐标为，故答案为：2；；（2）解：设的解析式为，由（1）得，∴，解得，∴的解析式为，∵正比例函数图像与交于点∴C点的坐标可以看做方程组的公共解；（3）解：在中，当时，，∴，∴，∴，∵三角形的面积是三角形的面积的6倍，∴，∵，∴点D在上方或点D在下方，当点D在上方时，，∴，∴，在中，当时，，∴；点D在下方时，，∴，∴，在中，当时，，∴；综上所述，点D的坐标为或．18．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点C，点P在线段上（点P不与点O、C重合），过点P作x轴的平行线交直线于点Q，设正方形与重叠部分图形的周长为L，设点P的横坐标是m．(1)求点C的坐标；(2)直接写出点Q的坐标（用含m的代数表示）；(3)当与x轴重合时，求m的值；(4)求L与m之间的函数解析式．【答案】(1)点C的坐标为；(2)点Q的坐标为；(3)；(4)；【分析】（1）本题考查一次函数交点问题，联立两条直线的解析式解二元一次方程组即可得到答案；（2）本题考查求函数值，根据平行于x轴得到纵坐标相同，代入求解即可得到答案；（3）本题考查正方形的性质及坐标系中两点间距离，根据正方形得到，结合坐标列式求解即可得到答案；（4）本题考查一次函数的应用，根据坐标系中两点距离公式及正方形的性质分正方形在三角形内及部分在内部讨论结合周长公式求解即可得到答案【详解】（1）解：∵直线与直线交于点C，∴联立方程组：，解得：，∴点C的坐标为；（2）解：∵点P在线段上（点P不与点O、C重合），∴，∵点P作x轴的平行线交直线于点Q，∴点Q的纵坐标为，代入得，，∴点Q的坐标为；（3）解：∵四边形是正方形，∴，∴当与x轴重合时，有，解得；（4）解：∵，点Q的坐标为，∴，当：时，即：，，当时，即：，，综上所述：．19．（23-24八年级·四川成都·期末）（1）已知直线：和直线：，请在下面的坐标系中作出这两条直线，并直接写出方程组的解______；（2）直线：与轴，轴的交点分别为A，，第一象限内有一点的坐标为，且与的面积相等，求点坐标；（3）在（2）的条件下，若线段与一次函数的图像有交点．①一次函数的图像必过某个定点，则该定点的坐标为______；②一次函数中的取值范围是______．

【答案】（1）见解析，；（2）；（3），或【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，正确得出函数图像与坐标轴交点是解题关键．（1）如图：在方格纸中画出直线、，其交点坐标即为方程组的解；（2）根据与的面积相等，得出点C在过原点O且平行于直线的直线上，即，把点坐标代入求出t的值即可；（3）①把转化成，即可得出定点坐标；②先求出直线过点A，B时的k的值，再根据函数的性质确定k的取值范围即可．【详解】解：（1）∵直线：，直线：，∴直线与x的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；直线过点、，如图：在方格纸中描点、连线画出直线、，观察可知其交点坐标为，则方程组的解为；

故答案为：．（2）∵与的面积相等，∴点C在过原点O且平行于直线的直线上，即，∵点在直线上，'∴，解得：，∴；（3）①∵，∴次函数的图像必过定点；②当直线经过点A时，则有：，解得：，当直线经过点B时，则有：，解得：，∴线段与一次函数的图像有交点，

∴k的取值范围是或．故答案为:①；②或．20．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．(1)求点P的坐标；(2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：①求线段的长（用含的代数式表示）；②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；(3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)点的坐标为(2)①；②或(3)存在最小值，最小值为【分析】（1）联立，即可得到点的坐标；（2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度；②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值；（3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值．【详解】（1）解：由直线与直线交于点，联立，解得，点的坐标为；（2）①轴，点、、的横坐标相等，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，；②若点是线段的中点，，，，，，点是的中点，，即，解得，；若点时线段的中点，，，，，，点时线段的中点，，即，解得；综上所述，或；（3）存在最小值，在上取点，使得，连接，由直线与直线，得，，，，，，，，点的坐标为，，轴，是线段的垂直平分线，，轴，，轴，，轴，，，，，，，，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，，的最小值为．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题．二、题型二：图象法解二元一次方程组，10题，难度四星21．（22-23八年级下·江西赣州·阶段练习）对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(

)A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得．【详解】解：分别画出函数、的图像如下：

则函数y的图像如图中粗线所示，由图可知，交点处取得y的最大值，联立方程组得：，解得：，∴当时，函数有最大值．【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．22．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为．【答案】①②④【分析】把代入一次函数的解析式可判断①，根据一次函数的增减性可判断②，根据不等式的性质可判断③，画出函数，的简易图象可判断④，从而可得答案．【详解】解：当时，，∴直线必经过点；故①符合题意；∵点，在直线上，且，∴；故②符合题意；∵，∴，∵，则，∴，故③不符合题意；∵（其中），经过点；∴函数图象如图示，

画的简易图象如图示，结合图象可得：直线与函数的图象最少有1个交点．故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是一次函数的性质，画函数图象，不等式的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．23．（21-22八年级·江苏无锡·期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是；当时，的取值范围是．【答案】【分析】由函数和的图象交于点P得到二元一次方程组的解为；图象可得，当时，．【详解】函数和的图象交于点P二元一次方程组的解为由图象可得，当时，．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了利用图象解二元一次方程组的问题及数形结合的数学思想，熟练掌握一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系是解题的关键．24．（21-22八年级·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为．【答案】或【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可．【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，∴点A坐标（－1，2），∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）．∴，解得故答案为或．【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键．25．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，画出函数图像并根据图像回答下列问题：

(1)当时，x______；(2)当时，x_______；(3)当时，x_______；(4)当时，x________；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）首先画出两个函数图象，然后根据图象可得两函数交点坐标为，进而得到的解；（2）根据函数图象可得，的图象在的上方；（3）根据函数图象可得，的图象在的上方；（4）根据函数图象可得，．【详解】（1）解∶如图，

由图象知：当时，，故答案为：；（2）由图象知：当时，，故答案为：；（3）由图象知：当时，，故答案为：；（4）由图象知：当时，，故答案为：．【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，关键是正确画出两函数图象，能从图象上得到正确信息．26．（22-23八年级·重庆沙坪坝·期末）在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点．(1)由题意可知，______，______；(2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质；(3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围．【答案】(1)2，2(2)画图见解析，y随x的增大而增大(不唯一)(3)【分析】(1)把点与点分别代入解析式，即可求得；(2)通过列表—描点—连线的方法即可画出函数图象，再根据函数图象写出一条性质即可；(3)当直线经过点时，可求得t的值，再结合图象即可解答．【详解】（1）解：把点代入，得，解得，把点代入，得，解得，故答案为：2，2；（2）解：函数解析为，列表如下：…0123……036912…描点、连线如下：由图象可知：y随x的增大而增大(不唯一)；（3）解：当直线经过点时，得，解得，即此时该函数与y轴的交点坐标为，画图如下：由图象可知：当时，直线与这个函数的图象有两个交点．【点睛】本题考查了坐标与图形，画函数图象及函数的性质，一次函数图象交点问题，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．27．（22-23八年级·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答：(1)写出方程组的解；(2)写出不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可．（2）找到直线在直线的上方时，的取值范围即可得解．【详解】（1）解：，当时，；当时，；故直线过点，作图如下：由图可知：与交于点，∴方程组的解为：；（2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方，∴不等式的解集为：．【点睛】本题考查利用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式．熟练掌握两条直线的交点坐标，即为二元一次方程组的解，是解题的关键．28．（21-22八年级·广东揭阳·期末）已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．(1)求a，b的值；(2)方程组的解为．(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a＝2，b＝2.5(2)(3)存在，或【分析】（1）把点C（1，a）分别代入y＝2x和y=中，即可求得a，b的值．（2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解．（3）设点P的坐标为（x，2x），求出点A的坐标和点B的坐标，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据三角形面积公式列方程求得x的值，即可得出点P的坐标．【详解】（1）解：由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上，∴a＝1×2＝2，∴点C的坐标为（1，2），∵点C（1，2）在y=的图象上，所以，2＝﹣+b，所以，b＝2.5；（2）解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2）∴方程组的解为故答案为；（3）解：存在，理由：∵点P在y＝2x的图象上，∴设点P的坐标为（x，2x），∵一次函数为∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0），作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴△BOP的面积为，△AOP的面积为，当5|x|＝时，解得，∴，∴点P的坐标为或．【点睛】此题考查了一次函数的问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、一次函数与二元一次方程组的关系、三角形的面积公式、明确函数与方程组的关系．29．（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．(1)填空：①线段的长度为______；②方程组的解为______；(2)求直线的函数表达式；(3)已知点为直线上一动点，过点作轴交直线于点．设点的横坐标为，当时，求出点的坐标；结合图象，直接写出当时，的取值范围．【答案】(1)①，②；(2)(3)的坐标为或，当时，的取值范围是或【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式：（1）①对于，分别令，，可求出点，再由勾股定理，即可求解；②根据直线的交点坐标与二元一次方程的解的关系，即可求解；（2）利用待定系数法解答，即可求解；（3）根据，轴，可得的坐标为或，即可求解．【详解】（1）解：①对于，令，，令，，∴点，∴，∴；故答案为：；②∵直线与轴，与直线与轴相交于点，∴方程组的解为；故答案为：；（2）解：由题意知，直线经过点和点，∴解得：，∴直线的函数表达式为：．（3）解：由题意得的坐标为的坐标为的，∵，轴，∴，解得：，，∴的坐标为或，∴当时，的取值范围是或．30．（21-22八年级下·河北沧州·期末）已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D．(1)直接写出方程组的解；(2)求△PCD的面积；(3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据图象交点坐标可得方程组的解；（2）先求出两个解析式，再求出C，D的坐标，即可求出面积；（3）根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集．【详解】（1）解：∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2），∴方程组的解为；（2）∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2），∴，解得，∴y1＝﹣4x+6，y2＝﹣x+3，当y＝0时，0＝﹣4x＋6，解得x＝，当y＝0时，0＝﹣x+3，解得x＝3，∴C（，0），D（3，0），∴CD，∴S△PCD．即△PCD的面积为；（3）根据图象可知当在P点左边时y1＞y2，∴y1＞y2时x的取值范围为x＜1．【点睛】本题考查一次函数图象交点与二元一次方程组的解和不等式的解集的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与方程和不等式的关系，掌握方程的解与图象交点的关系．三、题型三：求直线围成的面积，20题，难度四星31．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点，交轴于点．

(1)求直线的解析式；(2)求直线、直线和轴所围成的三角形的面积；(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将，代入直线，求出得值，将点，，代入直线，就出、得值，即可求解，（2）将，代入，求出点坐标，计算，即可求解，（3）结合图象，找出直线，在直线下方所对应的得范围，即可求解，本题考查了，待定系数法求一次函数解析式，求直线围成的图形面积，根据直线交点求不等式的解集，解题的关键是：熟练掌握数形结合的思想．【详解】（1）解：将，代入直线，得：，解得：，将点，，代入直线，得：，解得：，∴直线的解析式为：，（2）解：当时，，解得：，∴点，，（3）解：根据图象得，当时，，32．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，根据图象，解决下列问题：(1)求出函数与交点坐标；(2)求出的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（）由可得，，解方程求出，即可求出交点坐标；（）利用一次函数解析式求出、的坐标，求出，再根据三角形的面积公式计算即可求解；本题考查了一次函数的交点问题，三角形的面积，通过方程思想求出交点的坐标是解题的关键．【详解】（1）解：由可得，，解得，∴，∴点坐标为；（2）解：当时，，，∴，，∴，∴．33．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交x，y轴于A，B两点，直线的图象分别交x，y轴于C，D两点，且两条直线相交于点E，已知点C的坐标为．.(1)求E点坐标；(2)在直线上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请求出F点坐标．若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点G为线段上一点，连接，，当时，经过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，判断的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)(2)或或(3)的值是定值，且【分析】（1）先把代入求出，然后联立，求出，即可求出点E的坐标；（2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别列出方程，求出结果即可；（3）过点G作轴，交于点H，先求出，得出，设点G的坐标为，则点H的坐标为，根据，求出，得出，设过点G的直线解析式为：，求出，，求出即可．【详解】（1）解：把代入得：，解得：，∴直线，联立，解得：，∴点E的坐标为；（2）解：设，∵，，∴，，，当时，，解得：（舍去）或，∴此时；当时，，解得：或，∴此时或；综上分析可知，点F的坐标为或或．（3）解：的值是定值，且．过点G作轴，交于点H，如图所示：把代入得：，∴点B的坐标为，把代入得：，解得：，∴点A的坐标为，∴，∴，∴，设点G的坐标为，则点H的坐标为，∴，∴，解得：，∴，设过点G的直线解析式为：，∵过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，∴，把代入得：，∴把代入得：，∴，则，把代入得：，解得：，∴，则，∴．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求两条直线的交点坐标，等腰三角形的定义，两点间距离公式，解一元二次方程，三角形面积的计算，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是数形结合，熟练掌握两点间距离公式，待定系数法求一次函数解析式．34．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知一次函数图象经过点、点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)求这个一次函数图象、直线与轴围成的三角形面积．【答案】(1)(2)9【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴的交点，两直线的交点以及一次函数的几何应用．（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．（2）根据题意作出图象，分解求出点A，B，O的坐标，然后计算即可．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，∵一次函数图象经过点，点，∴，解得：，∴一次函数的解析式为．（2）根据题意作图如下：令，解得：，∴一次函数与x轴的交点坐标为：令，解得：，∴直线与轴为，∴，联立两直线：，解得：，∴．∴点A到x轴的距离为3．∴．35．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）在平面直角坐标系中，将经过点的直线：向下平移5个单位得直线，直线经过点，(1)求直线的解析式及点B的坐标；(2)直线与y轴交于点C，求的面积；【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的表达式以及直线围成三角形的面积，（1）将点A代入中求出b值，得到的解析式，再根据平移的性质得到的解析式，将点B坐标代入，可得m值；（2）在中令求出点C坐标，再利用矩形割补法计算面积即可；【详解】（1）解：将代入中，得：，解得：，∴：，向下平移5个单位后，得：：，即，将代入中，得：，∴；（2）在中，令，得，，；36．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C．(1)若直线解析式为，直线解析式为，①求点C的坐标②求的面积．(2)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，的面积为6，P、Q分别为线段上的动点，连结与，则最小值为________．【答案】(1)①；②12(2)3【分析】（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标；②欲求的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可；（2）在上取点M，使，连接，易证，可推出；若想使得存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又，可得，即证，又，利用的面积为6，即可得出，存在最小值，最小值为3．【详解】（1）解：①由题意，，解得，；②把代入得，，A点坐标为，；（2）解：由题意，在上取点M，使，连接，∵平分，∴，又，∴，∴，∴，当A、Q、M在同一直线上，且时，最小．即存在最小值．∵，，∴，∴，∵的面积为6，，∴存在最小值，最小值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，一次函数函数交点问题，角平分线的性质，两点之间线段最短，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．37．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，．(1)求、两点的坐标；(2)求的度数；(3)如果的面积是面积的，求点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）将，分别代入，即可求解，（2）计算的边长，求出，由，根据等边对等角，三角形外角定理，即可求解，（3）作，设，由“的面积是面积的”列出等量关系式，求出的长度，即可求解，本题考查了，一次函数图像上的点，含角的直角三角形，勾股定理，三角形外角定理，解题的关键是：根据题意列出等量关系．【详解】（1）解：当时，，解得：，∴点，当时，，解得：，∴点；（2）解：∵，，，∴，，在中，，∴，∵，∴，∴；（3）解：过点作，垂足为点，设，则，∵，∴，∴，∵，∴，整理得：，解得：，，∵、分别在线段、上，∴，即：，解得：，∴，.∴点．38．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点．将直线向右平移使其经过点B，连接．

(1)求，的函数表达式；(2)求四边形的面积；(3)设以x为自变量的函数，若对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．【答案】(1)，(2)30(3)，【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，求直线围成的面积，恒成立问题，解题的关键是把不等式恒成立问题，转化为一次函数问题，数形结合解决问题；（1）由待定系数法分别求解析式即可；（2）由待定系数法求出直线的解析式，再求出C点坐标，利用求解即可；（3）由得，设，若要对一切实数x恒成立，只需，求解即可；【详解】（1）解：由题意知，一次函数经过，，把，，代入得，，解得，，正比例函数经过，把代入得，，解得，；（2）设直线的解析式为，将代入得，，解得，，令则，，，，四边形的面积为30．（3），，整理得：，设，对一切实数x恒成立，即对一切实数x恒成立，，解得，a的值为，b的取值范围为；39．（22-23八年级下·吉林松原·期末）正比例函数与一次函数的图象的交点坐标为，一次函数的图象与y轴的交点坐标为．(1)求正比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积．【答案】(1)正比例函数的解析式为；一次函数的解析式为(2)的面积为6【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及三角形的面积的计算，（1）把交点代入正比例函数，把交点，交点代入一次函数，计算即可；（2）根据点A、B的坐标分别求出点A离y轴的距离以及的长，再根据三角形的面积公式，列式计算即可；熟练掌握其性质是解决此题的关键．【详解】（1）∵正比例函数的图象经过，∴，即，∴正比例函数的解析式为；∵一次函数的图象经过，∴，解得，∴一次函数的解析式为；（2）∵，∴点A离y轴的距离为，∴的面积．40．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且．(1)的坐标为_________，线段的长为_________．(2)求直线的解析式和点的坐标．(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结．①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；②连结，当面积最大时，求的长度和的面积．【答案】(1)，(2)，(3)①相等，不变，见解析，②，【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解，（2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解，（3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大，由，得：当时，取最小值，即可求解，本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换．【详解】（1）解：当时，直线，当时，直线，解得：，，，故答案为：，，（2）解：过点作交于点，交轴于点，且，，，，设过点，，直线的解析式为：，则：解得：，直线的解析式为：，、交于点，解得：，，故答案为：，，（3）解：①，，，，，，，，，，即线段与线段数量关系，保持不变，②，，，，，，即：，，，，，，，，，，，∴为定值，，∴要使最大，求最小即可，，∴当取最小值时，最小，，，，，当时，取最小值，，即：，解得：，面积最小为，，故答案为：①相等，不变，见解析；②，．41．（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，的面积为．

(1)求直线的表达式；(2)如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限．①连接，设的面积为，的面积为，若，求点E的坐标；②当的面积最小时，求点E的坐标．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）把点代入求得点的坐标，利用三角形面积求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式；（2）①由题意可知，设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，则，即可证得，得出，设，即可得到，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标；②先证得当点是中点时，的面积最小，过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，则，得到，，设，，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标．【详解】（1）解：由点A在直线上，代入，则，∴，过点A作AG⊥x轴于点G，则，

∵的面积为∴，∴，设：，代入A，B的坐标，得∴∴直线的表达式为；（2）①∵，∴，设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，

∴，则，∴，设，则，，∴，∴，∴，∵点F在直线上，∴，∴，∴；②如图，过点D两条直线和，其中D是的中点．过点F作交于点M，则，

，∴当点D是中点时，的面积最小，过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，

则，设，则，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形全等的判断和性质，正确表示、点的坐标是解题的关键．42．（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．(1)填空：________，________，________；(2)请直接写出不等式的解集______；(3)已知直线与x轴相交于点C，点P是反比例函数的图象上一点，当时，求点P的坐标．【答案】(1)8；2；(2)或．(3)或【分析】（1）把点代入反比例函数可得反比例函数解析式，把点，代入一次函数，可得一次函数解析式；（2）根据函数图象，得出不等式的解集即可；（3）设点的纵坐标为n，求出点的坐标为，得出，根据三角形面积得出，求出或，最后求出点P的坐标即可．【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的表达式为，把点和点代入中，得，解得∴一次函数的表达式为；故答案为：8；2；．（2）解：根据函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面，∴不等式的解集为：或．故答案为：或．（3）解：设点的纵坐标为n，把代入直线得：，解得：，∴点的坐标为，∴，∴，解得：或，∴点的坐标为或【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求一次函数解析，三角形面积的计算，求反比例函数解析，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足两个函数解析式．43．（23-24八年级·江西吉安·期末）将边长为4的正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是，点E的坐标是．(1)直线经过点C，且与轴交与点E．求四边形的面积；(2)若直线L经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线L的解析式．(3)若直线经过点且与直线平行．将（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位交x轴于M，交直线于点N，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，直线的交点坐标等知识．熟练掌握坐标与图形，一次函数解析式，直线的交点坐标是解题的关键．（1）由题意知，，则，根据，计算求解即可；（2）设直线L与的交点为，如图1，则，根据，，可求，即，待定系数法求直线L的解析式即可；（3）设直线的解析式为，将代入可求，则直线的解析式为，由题意知，（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位的解析式为，可求，联立，可求，则，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，，∴，∴，∴四边形的面积为；（2）解：设直线L与的交点为，如图1，∴，∴，又∵，∴，解得，，∴，设直线L的解析式为，将，代入得，，解得，，∴．（3）解：设直线的解析式为，将代入得，，解得，，∴直线的解析式为，由题意知，（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位的解析式为，当时，，解得，，即，联立，解得，，∴，∴，∴，∴的面积为．44．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．

备用图(1)求线段的中点坐标；(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段的中点坐标；（2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可；（3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方