地大高数2试题及答案

地大高数2试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数$y=\ln(x+1)$的定义域是（）A.$x>-1$B.$x\geq-1$C.$x<-1$D.$x\leq-1$2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.函数$y=x^3$的导数是（）A.$3x^2$B.$x^2$C.$3x$D.$3$4.若$f(x)$的一个原函数是$x^2$，则$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x^2$D.$x$5.$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$3x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^2+C$D.$2x+C$6.二元函数$z=x^2+y^2$在点$(0,0)$处（）A.有极大值B.有极小值C.无极值D.不是驻点7.曲线$y=x^2$在点$(1,1)$处的切线方程是（）A.$y=2x-1$B.$y=x$C.$y=2x+1$D.$y=x+1$8.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.发散的B.收敛的C.不确定D.条件收敛9.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.2B.3C.4D.510.方程$x^2+y^2+z^2=1$表示的曲面是（）A.椭圆抛物面B.圆锥面C.球面D.圆柱面二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=|x|$2.下列极限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$3.下列函数中，在其定义域内可导的有（）A.$y=\sqrt{x}$B.$y=\lnx$C.$y=|x|$D.$y=e^x$4.下列积分中，计算正确的有（）A.$\int0dx=C$B.$\int1dx=x+C$C.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$D.$\inte^xdx=e^x+C$5.关于二元函数$z=f(x,y)$的偏导数，下列说法正确的有（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}$是将$y$看作常数对$x$求导B.$\frac{\partialz}{\partialy}$是将$x$看作常数对$y$求导C.偏导数存在则函数一定连续D.函数连续则偏导数一定存在6.下列曲线中，属于二次曲线的有（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线7.下列级数中，收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$8.下列向量运算中，正确的有（）A.$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$C.$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$D.$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$9.下列方程中，代表柱面的有（）A.$x^2+y^2=1$B.$y^2=2x$C.$z=x^2$D.$x^2+y^2+z^2=1$10.对于多元函数的极值，以下说法正确的是（）A.驻点一定是极值点B.极值点一定是驻点C.利用二阶偏导数可以判断驻点是否为极值点D.函数在边界点处也可能取得极值三、判断题（每题2分，共10题）1.函数$y=\frac{1}{x-1}$的间断点是$x=1$。（）2.若$f(x)$在$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处一定连续。（）3.函数$y=x^3$在$(-\infty,+\infty)$上是单调递增的。（）4.$\intf^\prime(x)dx=f(x)$。（）5.二元函数$z=x+y$的全微分$dz=dx+dy$。（）6.级数$\sum_{n=1}^{\infty}1$是收敛的。（）7.向量$\vec{a}=(1,0)$与向量$\vec{b}=(0,1)$垂直。（）8.方程$z=x^2+y^2$表示的是旋转抛物面。（）9.函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处两个偏导数都存在，则函数在该点可微。（）10.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数$y=\frac{1}{x^2-4}$的间断点，并判断其类型。答案：令$x^2-4=0$，解得$x=\pm2$。当$x\to\pm2$时，$y\to\infty$，所以$x=\pm2$是无穷间断点。2.计算$\intx\cosxdx$。答案：用分部积分法，令$u=x$，$dv=\cosxdx$，则$du=dx$，$v=\sinx$，所以$\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。3.求函数$z=x^2+2xy-y^2$在点$(1,2)$处的偏导数。答案：$\frac{\partialz}{\partialx}=2x+2y$，将$(1,2)$代入得$\frac{\partialz}{\partialx}\big|_{(1,2)}=6$；$\frac{\partialz}{\partialy}=2x-2y$，代入得$\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(1,2)}=-2$。4.简述判断级数收敛的比值判别法。答案：对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，设$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，若$\rho<1$，级数收敛；若$\rho>1$或$\rho=\infty$，级数发散；若$\rho=1$，判别法失效。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数$y=x^3-3x$的单调性与极值。答案：求导得$y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y^\prime=0$得$x=\pm1$。当$x<-1$或$x>1$时，$y^\prime>0$，函数递增；当$-1<x<1$时，$y^\prime<0$，函数递减。极大值为$y(-1)=2$，极小值为$y(1)=-2$。2.讨论多元函数可微、偏导数存在、连续之间的关系。答案：可微能推出偏导数存在且函数连续；偏导数存在不一定可微，也不一定连续；函数连续不能推出偏导数存在，也不能推出可微。3.讨论定积分与不定积分的联系与区别。答