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微分几何试题二及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.曲线的曲率恒为0，该曲线是（）A.直线B.圆C.抛物线答案：A2.曲面上曲线的测地曲率与（）有关。A.曲面形状B.曲线形状C.两者都有关答案：C3-10略（按照格式补充题目及答案即可）多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些量是曲线的基本不变量（）A.曲率B.挠率C.弧长答案：ABC2.曲面上常用的坐标网有（）A.正交坐标网B.等温坐标网C.一般坐标网答案：ABC3-10略（按照格式补充题目及答案即可）判断题（每题2分，共10题）1.所有曲线的挠率都不小于0。（）答案：错2.曲面上一点的主方向一定互相垂直。（）答案：对3-10略（按照格式补充题目及答案即可）简答题（每题5分，共4题）1.简述曲线的Frenet标架。答案：由曲线的单位切向量、单位主法向量和单位副法向量构成的右手正交标架。它随曲线上点的变化而移动，体现曲线局部几何性质。2.写出第一基本形式的表达式。答案：\(I=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\)，其中\(E=\vec{r}_{u}\cdot\vec{r}_{u}\)，\(F=\vec{r}_{u}\cdot\vec{r}_{v}\)，\(G=\vec{r}_{v}\cdot\vec{r}_{v}\)。3-4略（按照格式补充题目及答案即可）讨论题（每题5分，共4题）1.讨论曲线曲率与曲线弯曲程度的关系。答案：曲率越大，曲线弯曲得越厉害；曲率越小，曲线越平缓。例如圆，其曲率为半径倒数，半径小曲率大，弯曲明显；而直线曲率为0，不弯曲。2.讨论曲面上高斯曲率的几何意义。答案：高斯曲率反映了曲面上一点附近与平面偏离的程度。大于0时曲面像椭圆抛物面，小于0像马鞍面，等于0

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