2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：对数与对数函数（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编对数与对数函数（人教B版）一、单选题1．（2025北京昌平高三上期末）设函数的定义域为，则对内的任意实数，有（

）A． B．C． D．2．（2025北京朝阳高三上期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2025北京丰台高三上期末）溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）.室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：）.室温下，某溶液的pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为（

）A． B．2 C． D．104．（2025北京顺义高三上期末）“”是“对任意，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024北京通州高三上期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．66．（2024北京石景山高三上期末）设函数，则是（

）A．偶函数，且在区间单调递增B．奇函数，且在区间单调递减C．偶函数，且在区间单调递增D．奇函数，且在区间单调递减7．（2024北京石景山高三上期末）设函数，则（

）A． B． C． D．8．（2024北京西城高三上期末）已知函数，则（

）A．在上是减函数，且曲线存在对称轴B．在上是减函数，且曲线存在对称中心C．在上是增函数，且曲线存在对称轴D．在上是增函数，且曲线存在对称中心9．（2024北京大兴高三上期末）已知且，则下列结论中不正确的是（

）A． B．C． D．10．（2024北京一六六中高三上期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．11．（2023北京西城高三上期末）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数12．（2023北京丰台高三上期末）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．13．（2023北京房山高三上期末）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（

）（参考数据：）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题14．（2025北京房山高三上期末）函数的定义域为.15．（2025北京通州高三上期末）已知函数，则.16．（2025北京顺义高三上期末）函数的定义域为．17．（2024北京通州高三上期末）已知函数，则.18．（2024北京石景山高三上期末）函数的定义域为．19．（2024北京昌平高三上期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为．20．（2024北京西城高三上期末）已知函数，则的定义域是；的最小值是.21．（2024北京东城高三上期末）函数的定义域为.22．（2024北京房山高三上期末）函数的定义域是.23．（2024北京一六六中高三上期末）已知定义在上的函数具备下列性质，①是偶函数，②在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式（写一个即可）.24．（2023北京顺义高三上期末）函数的定义域为．25．（2023北京通州高三上期末）已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为.26．（2023北京房山高三上期末）函数的定义域是.

参考答案1．C【分析】将化简并得到，利用，求出，对照各选项作出判断即可.【详解】∵，∴∴，故A错误，C正确；∴，故B、D错误，故选：C.2．A【分析】由对数函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论.【详解】当时，，所以充分性成立；若，即，当时，，所以不成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．D【分析】利用pH的计算公式可求得溶液稀释前后的氢离子的浓度，再利用即可求得稀释前后的氢氧根离子的浓度，即可求得稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值.【详解】设稀释前氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，稀释后氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，因为稀释前溶液的pH为1，所以，所以，又因为，所以；因为稀释后溶液的pH为2，所以，所以，又因为，所以，所以稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为.故选：D.4．C【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系.【详解】若，则，当时，，故；当时，，故；当时，，故能推出；反之，若对任意，，因为时，，故，故即；而时，，故，故即；时显然成立，故，故对任意，能得到，故“”是“对任意，”的充要条件，故选：C.5．D【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值.【详解】当时，有，由随增大而增大，且，故，当时，有，即，即，整理得，即，故，又，故，综上所述，，则，当且仅当、时等号成立，故的最大值为.故选：D.6．D【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案.【详解】的定义域为，，所以是奇函数，AC选项错误.当时，，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.当时，，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.故选：D7．C【分析】根据分段函数解析、对数运算、指数运算求得正确答案.【详解】，由于，所以，所以.故选：C8．D【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.【详解】由得，解得，所以的定义域是，，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数，，所以是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确.故选：D9．D【分析】对A：由对数性质运算即可得；对B：由对数性质运算即可得；对C：借助基本不等式运算即可得；对D：找出反例即可得.【详解】对A：，故A正确；对B：由，则，故，故B正确；对C：由，故，当且仅当时等号成立，由，故等号不成立，即，故C正确；对D：当、时，符合题意，但此时，故D错误.故选：D.10．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断.【详解】因为，，，所以.故选：B11．C【分析】求出函数定义域，求出的表达式即可判断奇偶性.当，，可知函数在上单调递增，即可得出答案.【详解】由已知可得，的定义域为，关于原点对称.又，所以为偶函数.当，，因为在上是增函数，所以在上是增函数.故选：C.12．A【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.【详解】依题意，，由解得或画出的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集是.故选：A13．D【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.【详解】由题设，可得，所以，则，故，所以教师用户超过20000名至少经过12天.故选：D14．【分析】根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得且，因此，函数的定义域为.故答案为：.15．3【分析】直接代入计算即可.【详解】.故答案为：3.16．【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域.【详解】由题设有，故，故答案为：.17．/【分析】利用函数表达式即可求出的值.【详解】由题意，在中，，故答案为：.18．【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，，解得，所以的定义域为.故答案为：19．（答案不唯一）【分析】结合指数函数和对数函数性质，根据分段函数的单调性即可直接求解.【详解】由题知，当时，递增，当时，递增，又在定义域上不是单调函数，所以，即.故答案为：（答案不唯一）20．【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为，又由，令，可得令，因为，当且仅当时，即时，即时取等号，所以，所以，所以函数的最小值为.故答案为：；.21．【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.【详解】，解得且，函数的定义域为.故答案为：.22．【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得、，故且，故该函数定义域为.故答案为：.23．（答案不唯一）【分析】利用对数函数的基本性质、函数奇偶性的定义结合对数的运算性质可得出结果.【详解】函数的定义域为，对任意的，，即函数为偶函数，满足①；当时，，则函数在上为增函数，满足②；对任意的非零实数、，，满足③.故满足条件的一个函数解析式为.故答案为：（答案不唯一）.24．【