2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：函数的应用（二）（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编函数的应用（二）（人教B版）一、单选题1．（2025北京昌平高三上期末）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（

）(参考数据:，)A． B．C． D．2．（2025北京石景山高三上期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是（

）A．20小时 B．22小时 C．24小时 D．26小时3．（2025北京西城高三上期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（

）A． B． C． D．4．（2025北京东城高三上期末）已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2025北京东城高三上期末）近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（

）（本题取）A．1秒 B．10秒 C．20秒 D．50秒6．（2025北京东直门中学高三上期末）已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024北京朝阳高三上期末）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2024北京房山高三上期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（

）A． B． C． D．9．（2023北京海淀高三上期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（

）A． B． C． D．二、填空题10．（2025北京房山高三上期末）已知函数，，给出下列四个结论：①当时，方程有且只有一个实数根；②当时，对任意，或；③当时，对任意，；④存在，对任意，.其中正确结论的序号是.11．（2024北京西城高三上期末）设，函数给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③当时，直线与曲线恰有3个交点；④存在正数及点和，使.其中所有正确结论的序号是.

参考答案1．C【分析】根据指数、对数的运算法则，结合题中所给的数据进行求解即可.【详解】由题知，得，两边同时取对数可得，故，.令，得，两边同时取对数可得，解得.故选：C.2．D【分析】由题意列出方程组，求得参数，在代入求得保鲜时间.【详解】由题意可知，即，解得，即，当时，，故选：D.3．A【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案.【详解】依题意，，则，由、，得，所以.故选：A4．C【分析】按，和三种情况分类讨论，将零点个数问题转化为一元二次方程在特定区间内解的个数问题即可求解.【详解】当时，，所以在区间上无零点；当时，，所以若在区间内存在零点，则，当时，，若即，则，所以在区间内有两个零点，此时，矛盾；若，即或时，，所以在区间内有一个零点，又因为，有两个零点，当时，或，或，此时的另一个零点为或，均不在区间内，当时必须且只需即可（如图所示），即，即，解得，综上实数的取值范围为，故选：C5．B【分析】根据题意，利用对数的运算计算与的商即可得解.【详解】因为这台计算机平均每秒可进行次运算，所以次运算需要秒，而，所以.故选：B.6．A【分析】根据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解.【详解】因为，作出函数的图象，如图所示，所以当时，；当时，，可函数的值域为，设，若存在，使得成立，即，只需，即对于，满足成立，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.7．A【分析】令，的，设，转化为在区间上只有一个解，结合二次函数的性质，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由函数的定义域为，显然m为0时，函数在区间内有且只有一个零点，满足；令，可得，即，设，要使得函数在区间上只有一个解，则满足或，解得或，即函数在区间上只有一个零点时，可得，所以“”是“在区间内有且仅有一个零点”的充分不必要条件.故选：A.8．A【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．故选：A.9．D【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案.【详解】定义域为，在定义域上连续且单调递增，其中，，，，，由零点存在性定理可得：包含零点的区间为.故选：D10．①②③【分析】画出二次函数图象和指数函数图象，根据的不同取值范围，分析二次函数图象的分布，即可求解.【详解】对于①，当时，，由与图象可知，方程有且只有一个实数根，①正确；

对于②，当时，，当时，.当时函数为开口向下的二次函数，令函数的两个零点分别为，，所以当时，，所以②正确.对于③，当时，为开口向上的二次函数，，，所以对任意，，，所以，③正确.对于④，当时，当时，，此时；当时，，当时，；当时，，即，所以不存在，对任意，，④错误.故答案为：①②③.11．①②④【分析】对于①，分成，两种情况讨论在区间上单调性；对于②，结合函数的单调性求函数的最值；对于③，当时，结合函数与的单调性得出此时无交点，当时，设，利用特殊值，得出交点个数进行判断；对于④，令，，进行验证.【详解】对于①，当时，在上单调递减，此时.当时，在区间上单调递减显然成立；当时，当时，在单调递减，此时，所以在区间上单调递减，故①成立；对于②，如图，当时，当时，在单调递减，在单调递增，此时的最大值为；当时，在上单调递减，此时的最大值为，所以存在最大值，最大值为，故②正确；

对于③，当时，在R上单调递减，当时，，当时，在单调递增，此时的最大值为，所