2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：解三角形章节综合（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编解三角形章节综合（人教B版）一、单选题1．（2025北京顺义高三上期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（

）A． B．C． D．2．（2024北京朝阳高三上期末）在中，若，则（

）A． B． C． D．3．（2024北京通州高三上期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024北京石景山高三上期末）在中，，则（

）A． B． C． D．5．（2024北京昌平高三上期末）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（

）A．9 B．12 C．18 D．366．（2024北京东城高三上期末）已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．7．（2023北京通州高三上期末）在中，若，，，则等于（

）A． B． C． D．8．（2023北京西城高三上期末）在中，若，则的面积是（

）A．1 B． C． D．二、填空题9．（2025北京房山高三上期末）在中，，，，则；若为边上一点，且，则.10．（2025北京海淀高三上期末）已知为等腰三角形，且，则.11．（2025北京西城高三上期末）在中，若，，，则.12．（2025北京丰台高三上期末）在中，，.①若，则；②面积的最大值为.13．（2024北京通州高三上期末）在中，角所对的边分别为，且，则；若的面积，则.14．（2024北京顺义高三上期末）在中，，，则；．15．（2024北京房山高三上期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则.16．（2023北京昌平高三上期末）在中，，则，.三、解答题17．（2025北京昌平高三上期末）在中，，.(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（2025北京石景山高三上期末）在中，.(1)求；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：的周长为；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19．（2025北京朝阳高三上期末）在中，．(1)求；(2)若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20．（2025北京通州高三上期末）在中，.(1)求；(2)若，边上中线的长为2，求的面积.21．（2025北京东城高三上期末）在中，为钝角，．(1)求；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．22．（2025北京顺义高三上期末）在中，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高．条件①：，；条件②：，的周长为20；条件③：，．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分23．（2025北京高三上期末）在中，内角的对边分别为，为钝角，，，(1)求；(2)若，求的面积.24．（2024·北京·三模）在中，，．(1)求证：为等腰三角形；(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3．25．（2024北京丰台高三上期末）在△中，，．(1)求的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．26．（2024北京昌平高三上期末）在中，．(1)求角的大小；(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．27．（2024北京东城高三上期末）在中，(1)求；(2)若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.28．（2024北京海淀高三上期末）在中，.(1)求的大小；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.29．（2024北京大兴高三上期末）在中.(1)若，求的面积：(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.30．（2023北京东城高三上期末）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.(1)求；(2)求的周长.31．（2023北京海淀高三上期末）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：0100(1)直接写出的解析式及其单调递增区间；(2)在中，，求的面积.32．（2023北京房山高三上期末）在中，是边上一点，，，，.(1)求的长；(2)求的面积.33．（2023北京石景山高三上期末）在中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．(1)求；(2)若的面积为，求的周长．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

参考答案1．B【分析】可证，延长至，使得，则为的垂直平分线，根据对称可求的最小值.【详解】因为，故，故，故，所以，延长至，使得，连接，则为的垂直平分线，故，故，当且仅当共线时等号成立，而，故的最小值为，故选：B.2．D【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理来求得正确答案.【详解】由于，所以为钝角，所以，由正弦定理得.故选：D3．B【分析】由图可求得，根据向量积即可知.【详解】如图所示：当点与点重合时，此时最长，易知，且相似比为，，在中，由余弦定理得：，所以，此时满足，所以，所以，此时，由图可知，，则.故选：B.4．B【分析】利用正弦定理和三角恒等变换等知识求得正确答案.【详解】依题意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是锐角，且.故选：B5．C【分析】利用已知及正弦定理计算即可.【详解】根据正弦定理可知，不妨设，由，所以的周长是.故选：C6．A【分析】建立平面直角坐标系，结合图形分析可得，利用正弦函数的性质以及二次函数的性质即可得最值.【详解】如图：设，圆M的半径为r，则，所以的面积，当为时取等号，再结合二次函数的性质可得当时S有最大值，故选：A.7．A【分析】根据题意由余弦定理直接求得答案.【详解】在中，若，，,则,即，即，解得，舍去，故选：A8．D【分析】利用余弦定理得，联立解出值，求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.【详解】由余弦定理得，代入，得，联立化简得，解得或（舍去），故，，则,故.故选：D.9．【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.【详解】在中，由余弦定理得又则在中，由正弦定理得：所以故答案为：，.10．/0.875【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出.【详解】在中，令内角所对边分别为，由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形，由余弦定理得.故答案为：11．/【分析】根据同角三角函数关系得，最后利用正弦定理即可解出.【详解】因为，为三角形内角，则，则由正弦定理得，即，解得.故答案为：.12．/【分析】①由正弦定理即可求得答案；②由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案.【详解】①由正弦定理得，则；②由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为，故答案为：；13．/【分析】由正弦定理化简已知式可得，即可求出；再由三角形的面积公式和余弦定理可求出.【详解】因为，由正弦定理可得，所以由可得：，则，所以；，解得：，因为，所以由余弦定理可得：，则.故答案为：；.14．【分析】由正切函数定义可求得，可得，再由正弦定理可得.【详解】由，，可得；所以可得，所以，即；易知，，由正弦定理可得；故答案为：，15．【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，因此，又，所以.故答案为：16．/【分析】根据余弦定理可求，再根据余弦定理看可求.【详解】由余弦定理可得，故，故（舍）或，故，而为三角形内角，故.故答案为：，.17．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；（2）若选择①，利用正弦定理推出不存在；若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理，得.因为在中，，所以.所以.因为，所以.（2）选条件①：，则，即，解得，故无解，所以不存在；选条件②：，由余弦定理，得.解得或.当时，.当时，.

条件③：，因为，所以为钝角，所以.由，得.因为，所以.18．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，化简得到，即可求得；（2）条件①：根据周长和余弦定理列方程，解方程得到，然后根据三角形面积公式求面积即可；条件②：利用同角三角函数基本关系得到，利用正弦定理得到，根据正弦的和差公式和三角形内角和得到，最后根据三角形面积公式求面积即可；条件③：利用正弦定理得到，结合正弦函数的图象得到，此时不唯一，故条件③不成立.【详解】（1）由正弦定理，，因，则，，则，故得，即得：，因，故.（2）若选择①：因，的周长为，则（i），由余弦定理，，则（ii），联立（i），（ii）可得：，则的面积为；若选择②：因，，则，因，由正弦定理，，则，又，则，则的面积为：；若选择③：因，，由正弦定理，，则，因，故，由，故角不唯一（可以是锐角，也可以是钝角），故条件③不成立.19．(1)(2)【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和正弦定理可得，即可求解；（2）选①：根据余弦定理和完全平方公式求出，结合三角形面积公式计算即可求解；选②：由（1）知，根据两角差的正弦公式和辅助角公式计算可得，不符合题意；选③：根据同角的平方关系和正弦定理求出，由诱导公式和两角和正弦公式求出，结合三角形面积公式计算即可求解.【详解】（1）因为，所以．由正弦定理得．又，所以．又，所以．（2）选条件①：根据余弦定理有，则．又，则．两式相减，解得．可得或所以．选条件②：由（1）知，则，所以，不符合题意；选条件③：因为且，所以．由正弦定理可知．又．所以．20．(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系和正弦定理化简可得，进而求出；（2）根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式求出面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得所以，即，又因为，所以，所以，所以.（2）设中点为，，，则，即，即，所以，所以.21．(1)；(2)条件选择见解析，.【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得.（2）选①，利用同角公式及和角的余弦求出并判断，再利用正弦定理求出；选②，利用余弦定理求出，进而求出，再利用余弦定理计算并判断；选③，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出及并判断.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，则，又，所以.（2）选择条件①：，则，，为钝角，符合题意，而，则存在，此时，由正弦定理得.选择条件②：，由余弦定理得，解得，由为钝角，得，于是，此时与矛盾，不存在，因此②不可选.选择条件③：的面积为，则，解得，由余弦定理得，则，由为钝角，得，于是，此时，符合题意，存在，所以.22．(1)(2)选条件②③时，最长边上的高为.【分析】（1）根据正弦定理可得，结合辅助角公式可求；（2）条件①中三角形不唯一，若选条件②，则可以通过余弦定理求出两边，故可求最长边上的高；若选条件③，利用正弦定理可求边，再由余弦定理求得，故可求最长边上的高.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，而为三角形内角，故，故，所以，而，故即.（2）若选①，则，，由余弦定理可得，整理得到：，故或，因为三角形不唯一，故舍；若选②，则，的周长为20，故，由余弦定理得，故，故最长边为，该边上的高为；若选③，则，，由正弦定理得，故，由余弦定理可得，解得或(舍)，以下同选条件②.23．(1)(2)【分析】（1）由二倍角的正弦公式可得，结合正弦定理可求得，可求；（2）法一：由已知可得，在中，利用余弦定理可求得，利用三角形的面积公式可求面积；法二：由已知可得，在中，利用正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，利用三角形的面积公式可求面积.【详解】（1）由题意得，因为为钝角，则，则，则，解得，因为为钝角，则.（2）法一：因为，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以，解得或（舍去），所以.法2：因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，因为为三角形内角，则，则，则.24．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果；（2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.【详解】（1）在中，，，设，根据余弦定理，得，整理得，因为，解得（负值已舍去），所以，所以为等腰三角形.（2）若选择条件①：若，由（1）可知，及，所以，所以不存在.若选择条件②：在中,由,由（1），所以，解得（负值已舍去），即.若选择条件③：在中，由边上的高为3，得，由，解得.25．(1)(2)选择条件②或③，【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【详解】（1）在中，因为，又，所以．因为，所以．因为，所以．（2）选择条件②：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中．因为，所以．所以．设点为线段的中点，在中，．因为中，，所以，即边上的中线的长度为．选择条件③：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中．因为的面积为，即，所以．设点为线段的中点，在中，．因为中，，所以，即边上的中线的长度为．由题可知，故①不合题意.26．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理可得答案；（2）若选条件①、②，由余弦定理解得或，不符合题意；若选条件①、③，利用平方关系求出，由正弦定理可得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意；若选条件条件②、③，利用平方关系计算出，由正弦定理解得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意.【详解】（1）由正弦定理得，因为在中，，所以，又因为，所以，所以，可得；（2）由（1）知，若选条件①：，条件②：，则由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面积存在但唯一确定，故不符合题意；若选条件①：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意；若选条件②：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意.27．(1)(2)若选条件①，则；若选条件③，则.【分析】（1）由余弦定理计算即可得；（2）若选条件①，由正弦定理可计算出，结合三角形内角和与面积公式即可得面积；若选条件③，由余弦定理结合条件可计算出、，由面积公式计算即可得；不能选条件②，计算出到的距离，故该三角形不唯一，不符合题意.【详解】（1），故；（2）若选条件①：，由，，，故，即，，此时三角形唯一确定，符合要求，.若选条件③：的周长为,由，故，则，化简得，即有，解得，故，此时三角形唯一确定，符合要求，.不能选条件②，理由如下：若选条件②：，由，，，设点到直线的距离为，则，即，此时，，故该三角形不唯一，故②不符合要求.28．(1)(2)不能选①，选②或③，答案均为1【分析】（1）由正弦定理及得到，结合，得到；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到，由推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到，是以为斜边的直角三角形，由正弦定理得到，求出中线；选③，由余弦定理得到，设边上的中线长为，再由余弦定理得到边上的中线的长为1.【详解】（1）由正弦定理及，得.①因为，所以.②由①②得.因为，所以.所以.因为，所以.（2）选①，的面积为，即，即，解得，因为，由余弦定理得，即，解得，由基本不等式得，但，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：.由（1）知，.所以.所以.因为，所以.所以，即.所以是以为斜边的直角三角形.因为，所以.所以边上的中线的长为.选条件③：.由余弦定理得，即.设边上的中线长为，由余弦定理得.所以边上的中线的长