2023-2025北京高三一模数学汇编：等比数列

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编等比数列一、单选题1．（2025北京海淀高三一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025北京西城高三一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（

）A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值3．（2025北京房山高三一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（

）A．若，则数列是等比数列B．若，则数列是递增数列C．若数列是常数列，则D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为24．（2025北京石景山高三一模）等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2025北京顺义高三一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2025北京朝阳高三一模）已知是等比数列，，，则（

）A． B． C． D．17．（2025北京平谷高三一模）在等比数列中，，记，则数列（

）A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项8．（2025北京延庆高三一模）已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2025北京门头沟高三一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了万个充电桩；从第1年起，约年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，）10．（2025北京门头沟高三一模）已知数列满足，，给出下列四个结论：①存在，使得为常数列；②对任意的，为递增数列；③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的，都有.其中所有正确结论的序号是.11．（2025北京丰台高三一模）已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为.三、解答题12．（2025北京通州高三一模）已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：(1)若数列，卷积核，求数列B.(2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.(3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.13．（2025北京东城高三一模）已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质.(1)判断下列数列是否具有性质；①；②.(2)若数列中有，证明：数列不具有性质；(3)当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值.14．（2025北京平谷高三一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令.(1)若数列，求数列；(2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；(3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.

参考答案1．D【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列等比数列的性质来判断.【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立，充分性：若是递增数列，则即恒成立，又，，①若数列为无穷数列，若，则，时，，所以；若，则，时，，所以，此时充分性成立；②若数列为有穷数列，若，，只需即可，此时充分性不成立.必要性：时，若，有，则不一定成立，故必要性不成立；即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.2．D【分析】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值.【详解】由已知，是等比数列，，即，可得，若，则，可计算当时，，结合，可得即为的最小值，同理，当，，当，，可知的最小值为，综上可得，有最小值.由可得，，根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，，因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值.综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值.故选：D3．C【分析】当时，得到，当时，得到，数列不能构成等比数列，可判定A错误；当时，求得，可判定B错误；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，求得，可判定C正确；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简求得，这与矛盾，可判定D错误.【详解】对于A中，若，可得，即，当且时，两边取对数，可得，即，此时数列表示首项为，公比为的等比数列；当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误；对于B中，当时，可得，即，例如：当时，由，可得，又由，可得，此时，所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误；对于C中，若数列为常数列，则，因为，即，又因为，所以，所以的取值范围为，所以C正确；对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且，因为，可得，所以，则，即，又因为数列的各项均为正数，即，所以，即，这与矛盾，所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误.故选：C.4．C【分析】根据等比数列的通项公式求出与的关系，再根据充分条件和必要条件的定义判断甲是乙的什么条件.判断充分性时，看由甲能否推出乙；判断必要性时，看由乙能否推出甲.【详解】已知等比数列中，若，设公比为.根据等比数列通项公式，即，解得.再根据通项公式求，所以由能推出，充分性成立.若，同样根据等比数列通项公式，即，解得，则.又因为，所以由能推出，必要性成立.由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要条件.故选：C.5．B【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果.【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为，当时，满足，但是不是递减数列，故充分性不满足；若为递减数列，则对于任意的，必然有，故必要性满足；所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件.故选：B6．A【分析】根据等比数列的通项公式求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出、、，最后计算的值.【详解】已知，，可得公比.再将，代入通项公式，可得，解得.可得：；；.可得：.故选：A.7．C【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可.【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得，，则，则，设，则，所以，则时，，即，当时，，即，则，则为最大项，此时为正数项，且在正数项中最大；再由,，，因此为最小项.故选：C.8．C【分析】对于B：根据通项公式可得恒成立，进而可得；对于A：利用B项结论直接判断；对于C：根据等比数列求和公式分析判断；对于D：通过通项作差比较即可判断；【详解】对于选项B：因为，且对恒成立，则，整理可得恒成立，则，故B正确；对于选项A：因为，故A正确；对于选项C：因为，由B项已得，，则，，而，则，故C错误；对于选项D：因为，即，故D正确.故选：C.9．2.888【分析】利用等比数列的定义，求和公式计算即可.【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩；假设第年后充电桩总量达到30万个，则，即，取对数得，即约8年内，可达到要求.故答案为：2.88，810．②③④【分析】若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④./【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式，可得，进而可得，解得，又，故不存在，使得为常数列，故①错误；对于②，对于，由递推公式，可得，所以，，所以，所以数列是递增数列，结论②正确；对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数，则可得是常数数列，则，与矛盾，故对任意的，既不是等差数列，若是等比数列，则为常数。根据递推公式，即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾，所以对任意的，不是等比数列；综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确；对于④，由，两边平方得，故④正确.故答案为：②③④.11．（答案不唯一）【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果.【详解】设等比数列，，的公比为，则等比数列为，不妨设调整顺序后的等差数列为，则，∵，∴，解得或（舍），令，则，，∴满足条件的一组，，的值依次为.故答案为：（答案不唯一）.12．(1)(2)证明见解析(3)存在，理由解析【分析】（1）要算，从开始往后选三项与进行点积即可，（2）方法一：由可知数列的首尾项相同，成对称结构，且，从一直递增到中间项，再对称地递减，要证明数列中最大的项就从中间项开始点积，即可求证，方法二：利用作差法即可证明.（3）方法一：当为偶数时，存在数列:符合题意，当为奇数时，利用反证法求证得为常数列，产生矛盾得解.方法二：利用反证法即可证明.【详解】（1）,,所以数列（2）方法一：依题意有当时，由又则，即当时，，当时，记，由即当时，，综上可得：数列B中最大的项为.方法二：由已知可得.当时，，因为>0,所以当时，，因为<0,所以因为所以因为所以所以所以当时，,所以数列中最大的项为或或.因为所以因为所以所以.（与无法比较大小，假设，当时数列B的最大值为，当时，数列B的最大值为；当时，数列B的最大值为.）综上，数列中最大的项为或.（3）方法一：当为偶数时，取数列的通项，此时对,有，故当为偶数时，存在数列，使得数列的各项为0，当为奇数时，设且，下面用反证法证明不存在数列，使得数列的各项为0，假设存在数列，使得数列的各项为0.为了更好地描述，我们记中不存在的，则对任意的，有，上式相减可得，即数列中的奇偶项分别为等差数列，设，且有,进而又由知，故，整理可得进而代入可得，故，则，取，有，即，故，因为，故，由知,故只能为的常数列，不符合题意，假设不成立，综上，当为偶数时，存在数列:符合题意.方法二：①当N为偶数时，存在数列A使得数列B的任意一项均为0，此时可令②当N为奇数时，不存在数列A使得数列B的任意一项均为0，证明如下：假设存在数列A使得数列B的任意一项均为0因为所以，，，…,，.所以，，，，.所以,所以,所以所以因为所以.与不全为0矛盾.所以假设不成立.13．(1)数列①具有性质，数列②不具有性质(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据性质判断即可；（2）利用反证法，假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列，分析可知，存在在中恰出现一次，不妨记为，记，则必有，再根据数列递增，递减，推导出，推出矛盾，从而说明结论成立；（3）由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项，记，所以，，对数列项数最多的子列进行分析，可知递增子列的项数最多为，所以，，然后对为奇数和偶数进行分类讨论，求出的最大值，并通过构造数列确定的最大值能取到，由此可得出结果.【详解】（1）数列①：具有性质；数列②：不具有性质.理由如下：对数列①，记该数列为，该数列有项递增子列：，该数列有项递减子列：，故数列①具有性质；对于数列②，记该数列为，该数列有项递增子列：，该数列没有项递减子列，故数列②不具有性质.（2）假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列，因为，所以为，为，所以对任意的，在中至少存在一项，因为中有项，所以存在在中恰出现一次，不妨记为，记，则必有，因为递增，递减，所以，数列中排在前面的项至少有，共项，排在后面的项至少有，共项，因为数列中有项，所以是第项，即.这与题设矛盾，所以假设不成立，即数列不具有性质.（3）当数列具有性质时，记数列的项递增子列为为和项递减子列为，由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项，记，所以，，所以数列的前项由组成，因为，所以项数最多的递增子列只能是或，所以递增子列的项数最多为，数列的后项由组成，所以项数最多的递增子列是或，所以递增子列的项数最多为，所以，，因为，所以当为奇数，时，有最大值，所以，构造数列，该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列；当为偶数，时，有最大值，所以，构造数列，该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列，综上所述，.14．(1)(2)至少有19对，理由见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据变换的定义，逆向推导即可；（2）根据中每个1和0在中的对应情况，即可求解和证明；（3）对参数分类讨论，结合变换的定义以及等比数列求和，即可求得结果.【详解】（1）由变换的定义可得.（2）数列中连续两项相等的数对至多有19对.证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项，在中每一个0在中对应的连续四项为，因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，在中若出现连续两项的数对最多，对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对