2023-2025北京高三一模数学汇编：三角函数的性质与图像（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编三角函数的性质与图像（人教B版）一、单选题1．（2025北京海淀高三一模）已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（

）A．1 B．C． D．2．（2025北京石景山高三一模）已知x，，且，则（

）A． B．C． D．3．（2025北京门头沟高三一模）已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2025北京房山高三一模）已知函数，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2025北京门头沟高三一模）已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（

）A． B． C． D．6．（2025北京平谷高三一模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（

）A． B．1 C． D．27．（2025北京平谷高三一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（

）A． B． C． D．28．（2024北京西城高三一模）关于函数，给出下列三个命题：①是周期函数；②曲线关于直线对称；③在区间上恰有3个零点．其中真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．39．（2024北京西城高三一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．10．（2024北京门头沟高三一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．11．（2024北京石景山高三一模）设，，，则（

）A． B． C． D．12．（2024北京石景山高三一模）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（

）

A． B．1 C． D．13．（2024北京石景山高三一模）下列函数中，在区间上为减函数的是（

）A． B． C． D．14．（2024北京丰台高三一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．（2023北京延庆高三一模）将的图象向左平移个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则（

）A． B．C． D．16．（2023北京房山高三一模）“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件17．（2023北京西城高三一模）设，，，则（

）A． B．C． D．18．（2023北京西城高三一模）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．19．（2023北京朝阳高三一模）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为 B．的最大值为C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点二、填空题20．（2025北京海淀高三一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②最大值是35；③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；④存在，使得时到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为．21．（2025北京东城高三一模）已知函数，若的最小正周期为，则；若存在，使得，则的最小值为.22．（2025北京丰台高三一模）已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则，.23．（2024北京海淀高三一模）已知函数，则；函数的图象的一个对称中心的坐标为.24．（2024北京西城高三一模）已知．使成立的一组的值为；．25．（2023北京门头沟高三一模）设函数．①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称，；②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是．26．（2023北京延庆高三一模）如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值.这段时间的最大温差为；的一个取值为.27．（2023北京海淀高三一模）已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为．三、解答题28．（2025北京通州高三一模）设函数(1)若，求的值.(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.条件①：在区间上单调递减；条件②：；条件③：为函数图象的一条对称轴.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，29．（2025北京石景山高三一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最大值和最小值．条件①：；条件②：是的对称中心；条件③：可以由函数平移得到．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．30．（2024北京朝阳高三一模）已知函数的最小正周期为.(1)若，，求的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间.条件①：的最大值为2；条件②：的图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.31．（2024北京门头沟高三一模）设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．(1)求的值；(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．条件①：为函数的图象的一个对称中心；条件②：直线为函数的图象的一条对称轴；条件③：函数的图象可由的图象平移得到．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．32．（2023北京房山高三一模）已知函数的最小正周期为.(1)求值；(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

参考答案1．D【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解.【详解】连接交轴于,由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称，故为圆心，故，,,故，解得，故选：D2．B【分析】利用反比例函数，指数函数，对数函数，余弦函数的性质判断即可.【详解】因为，所以，即，故A错误；因为，所以，即，故B正确；因为，而余弦函数在上不单调，如，故C错误；因为，由于当时，恒有，故D错误；故选：B.3．B【分析】先分析函数在时的单调性与值域，再结合既不存在最大值也不存在最小值这一条件，分析函数在时的情况，进而得出，的关系.【详解】当时，，对其求导可得.因为恒成立，所以在上单调递增.此时.，，则，故在上函数值的取值范围为.当时，，的值域是，所以的值域是.因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且.选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误.选项B：前面已推出，所以B选项正确.选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误.选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误.故选：B.4．A【分析】根据正弦函数的对称性，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.【详解】由函数，则易知其图象对称中心，当时，为函数图象的对成中心，则当时，，充分性成立；当时，由，可能得到，必要性不成立.故选：A.5．B【分析】由满足，且在区间上具有单调性，得到为函数的对称中心，根据三角函数的性质，得到，结合选项，即可求解.【详解】因为满足，且在区间上具有单调性，则点和关于点对称，即为函数的对称中心，又由函数的零点为，解得，所以，解得，当时，，即的值可以是.故选：B.6．B【分析】作出函数的图象，根据的位于不同的位置，即可分情况求解.【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为，点,当点在点时，点在曲线上，，当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大；当点在点时，当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小，当点在点时，当点在曲线上从接近时，增大,逐渐增大，当点在点时，当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小，当点在点时，,综上可得的最小值是1故选：B【点睛】关键点点睛：根据点的位置变化，分别求解的值.7．A【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可.【详解】由，，则，因为在区间上没有最值，所以，则，解得，所以的最大值为.故选：A.8．D【分析】选项①，根据条件得到，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令，直接求出的值，即可得出③的正误，从而得出结果.【详解】对于①，因为，所以，故，所以选项①正确，对于②，因为，由对称轴的定义知，为函数的一条对称轴，所以选项②正确，对于③，因为，令，得到，解得或，又，由，得到或，由，得到，所以选项③正确，故选：D.9．D【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A，当时，，当时，，即，所以选项A不满足题意，对于选项B，因在区间上不单调，所以选项B不满足题意，对于选项C，因为图象不关于轴对称，所以选项C不满足题意，对于选项D，令，易得其定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，当时，，又在区间上单调递增，所以选项D满足题意，故选：D.10．D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A：定义域为，为非奇非偶函数，故A错误；对于B：定义域为，为奇函数，但是函数在上单调递减，故B错误；对于C：为奇函数，定义域为，但是函数在上不单调，故C错误；对于D：令定义域为，且，所以为奇函数，且当时，函数在上单调递增，故D正确.故选：D11．B【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项.【详解】，，而，则，即，所以.故选：B12．A【分析】由图可得，求得，再利用图象过点，可得到，从而得到，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】由图象可知，解得，因为，所以，解得，将代入解析式化简得，因为，则，得，故，所以.故选：A13．D【分析】根据三角函数，指数函数和对数函数的性质，即可判断选项.【详解】A，根据正弦函数的性质可知，，所以在上为增函数，故A错误；B，是偶函数，关于轴对称，，所以在上是增函数，在上是减函数，故B错误；C，的定义域是，函数是区间上是增函数，故C错误；D，根据指数函数的性质可知，在区间上是减函数，故D正确.故选：D14．A【分析】首先求出、的解析式，再根据正弦函数的性质求出使是偶函数且是奇函数时的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，则，，若是奇函数，则，解得，若是偶函数，则，解得，所以若是偶函数且是奇函数，则，所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立；由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立，所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件.故选：A15．B【分析】首先求出与关于轴对称的解析式，然后一一分析选项即可.【详解】与关于轴对称的三角函数为，对A，平移后的解析式为，不合题意，舍去；对B，平移后的解析式为，符合题意，对C，平移后的解析式为，不合题意，舍去；对D，平移后的解析式为，不合题意，舍去；故选：B.16．A【分析】当时，，满足，充分性，取计算得到不必要性，得到答案.【详解】当时，，满足，充分性；取，满足，不满足，不必要性.故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A17．C【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论.【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；由三角函数单调性可知；利用指数函数为单调递增可得；所以.故选：C18．D【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间上的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，，则在上单调递减；对于B选项，函数在区间上不单调；对于C选项，函数在上不单调；对于D选项，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数.故选：D.19．D【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A错误；B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.故选：D20．①③【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，逐项判断即可求解.【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，，又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米，所以第分钟，点距离地面的高度为：，第分钟，距离地面的竖直高度为：，化简得，所以，故①正确；当，即时，得最大值，为，故②错误；若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需,所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误；因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确.故答案为：①③.21．【分析】由正弦型函数的最小正周期公式可求，由题意可得为函数的最大值或最小值，由题意可得或，可求的最小值.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为，又，所以为函数的最大值或最小值，要使最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，由，则，则或，解得，所以的最小值为.故答案为：①；②.22．2【分析】先根据|MN|与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求.【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且.设则.且，则，则，同理，因此.解得.因为函数的图象过点，可得，所以，，则，.由于，则，那么.将代入可得：.故答案为：2；.23．（答案不唯一）【分析】根据函数表达式，代入即可求出的函数值，根据条件，先求出使的一个取值，再证明是的一个对称中心即可.【详解】因为，所以，因为定义域为，当时，，下证是的一个对称中心，在上任取点，其关于对称的点为，又，所以函数的图象的一个对称中心的坐标为，故答案为：；（答案不唯一）24．（答案不唯一）【分析】任取一组，验证是否满足即可得.【详解】取，此时，，故，符合要求.故答案为：；（答案不唯一）.25．（答案不唯一）【分析】，则，取计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案【详解】由题意可得，因为的图像关于原点对称，所以，即，当时，；，则，有且仅有两个零点，则，解得，故答案为：（答案不唯一）；26．（答案不唯一）【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得，，，代入点，可得.【详解】由图像可知最大值为，最小值为，所以最大温差为，即，解得，又由已知可得，即，且，所以，所以函数解析式为，又函数图像经过点，代入得，所以解得，，所以的一个可能取值为（答案不唯一），故答案为：，（答案不唯一）.27．（不唯一）【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由，因为在区间上单调递减，且，所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：28．(1)(2)选择条件①或③，.【分析】（1）利用得，再结合的范围即可；（2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求，再根据最值即可求解；若选择②，因不在值域范围内，故不存在解析式.【详解】（1）由题意可知，即，因，则.（2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且，则在处取最小值，在处取最大值，则，，则，，因，则，则；条件②：因，则不可能成立，故无解析式；条件③：因，则在处取最大值，又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增，则在处取最小值，则，，则，，因，则，则.综上可知，若选择条件①或③，则；若选择条件②，则不存在解析式.29．(1)(2)最大值为2，最小值为【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可；（2）根据正弦函数的性质求解即可；【详解】（1）①，由，得；②，由是的对称中心，得，则，；③，由，因为可以由函数平移得到，则，.由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③.选①③，由上述可知，，，，则，即，所以或，，则或，，又，则，即.选②③，由上述可知，，，，，则，，即，，又，则，即.（2）由，得，则，则，所以函数在上的最大值为2，最小值为.30．(1)(2)；【分析】（1）根据条件，代入，即可求解；（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，然后代入函数单调递增区间，即可求解.【详解】（1）因为，，则，且，则；（2）因为函数的最小正周期为，则，若选①②，则，且，又，则，则，所以，所以，若选择①③，则，且，则，又，则，则，则，所以若选择②③，由②可知，，由③可知，，则