考点12复数（6种题型5个易错考点）

考点12复数（6种题型5个易错考点）一、一、真题多维细目表考题考点考向2022新高考1，第2题复数的运算复数的加法运算2022新高考2，第2题复数的运算复数的乘法运算2021新高考1，第2题复数的运算复数的乘法运算2021全国甲，理3文3复数的运算复数的乘除运算2021全国乙理，第1题复数的运算复数加，减运算2021全国乙文，第2题复数的运算复数的乘法运算2020新高考2，第2题复数的运算复数的乘法运算2020新高考1，第2题复数的运算复数的除法运算二二、命题规律与备考策略本章是高考的热点，一般出现在选择题前两题中，比较简单，分值为5分。高考命题主要集中于：（1）复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；（2）复数的几何意义及复数的模的最值问题；（3）复数的四则运算，常考察乘、除运算；（4）虚数单位i的性质。备考时要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力。三三、2023真题抢先刷，考向提前知一．复数的代数表示法及其几何意义（共1小题）1．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二．复数的运算（共6小题）2．（2023•甲卷）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出a的值．【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数相等的应用问题，是基础题．3．（2023•新高考Ⅰ）已知z＝，则z﹣＝（）A．﹣i B．i C．0 D．1【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．4．（2023•甲卷）＝（）A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．【点评】本题考查复数的运算法则的应用，是基础题．5．（2023•乙卷）设z＝，则＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【分析】先对z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算及共轭复数的概念，属简单题．6．（2023•上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝．【分析】根据复数的基本运算，即可求解．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．7．（2023•天津）已知i是虚数单位，化简的结果为4+i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求解即可．【解答】解：＝＝＝4+i．故答案为：4+i．【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．三．共轭复数（共3小题）8．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），则z的共轭复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），∴z＝﹣1+i，则z的共轭复数＝﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2023•全国）已知（2+i）＝5+5i，则|z|＝（）A． B． C．5 D．5【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．【解答】解：由（2+i）＝5+5i，得＝＝＝＝3+i，则z＝3﹣i，|z|＝＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+isinθ，则z1＝1+cosθ+isinθ，因为z1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，显然当＝时，原式取最小值0，当＝﹣1时，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．四．复数的模（共1小题）11．（2023•乙卷）|2+i2+2i3|＝（）A．1 B．2 C． D．5【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．四四、考点清单1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（a＝0，b≠0），,非纯虚数（a≠0，b≠0）.))))(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bieq\f(→,\s\up6(一一对应)))复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．<常用结论>1．三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．2．复数代数运算中常用的三个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.五五、题型方法一．虚数单位i、复数（共5小题）1．（2023•阿拉善盟一模）已知复数z满足（z﹣2）i＝1+i，那么复数z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数Z的代数形式，根据复数根据等于实部，乘除运算化简复数为a+bi即可得到结果．【解答】解：复数z满足（z﹣2）i＝1+i，z＝＝﹣i（1+i）+2＝﹣i+3；故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．2．（2023•芦溪县校级一模）设复数＝a+bi（a，b∈R）则a+b＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到a、b的值，从而可求a+b．【解答】解：，∴，∴a+b＝1，故选：A．【点评】本题考查两个复数相等的充要条件，考查复数的概念，属于基础题．3．（2023•琼山区校级一模）设a，b为实数，若复数，则（）A． B．a＝3，b＝1 C． D．a＝1，b＝3【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【解答】解：由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选：A．【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．4．（2023•绵阳模拟）复数z＝2﹣i（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．2【分析】直接利用复数的基本概念得答案．【解答】解：复数z＝2﹣i的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的概念题．5．（2023•南关区校级模拟）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共15小题）6．（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限．【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为1+5i，∴在复平面上所对应的点为（1，5）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．7．（2023•秀英区校级三模）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先利用复数的运算法则求出复数z，然后得到对应的点的坐标，从而可判断点所在的象限．【解答】解：复数z＝＝复平面内对应的点为，故复数z＝在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．8．（2023•广西模拟）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z＝i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．9．（2023•天津模拟）已知复数z＝（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第一象限．【分析】先化简复数z，进而判断其在复平面内对应的点所在的象限．【解答】解：，其在复平面内对应的点为（2，1），位于第一象限．故答案为：一．【点评】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题．10．（2023•河南模拟）已知a为实数，若复数z＝a2﹣3a﹣4+（a+1）i为纯虚数，则复数a﹣ai在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答．【解答】解：因为复数z＝a2﹣3a﹣4+（a+1）i为纯虚数，则，解得a＝4，所以复数4﹣4i在复平面内对应的点（4，﹣4）位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．11．（2023•江苏模拟）若复数z满足（1﹣i）z＝i，则在复平面内z表示的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】化z为a+bi的形式，结合复数的几何意义确定z所在象限．【解答】解：依题意，复数z的对应点在第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．12．（2023•河南模拟）若复数z满足|z+1|＝|z﹣i|，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．x＝1 B．y＝1 C．x+y＝0 D．x﹣y＝0【分析】由已知可得z＝x+yi（x，y∈R），代入|z+1|＝|z﹣i|，利用复数的模相等列式化简得答案．【解答】解：由题意，z＝x+yi（x，y∈R），由|z+1|＝|z﹣i|，得，整理得：x+y＝0，故选：C．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．13．（2023•渭南二模）棣莫弗公式（cosθ+isinθ）n＝cosnθ+isinnθ（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的．若复数z满足，复数z对应的点在复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数运算求得z，进而确定z对应点所在象限．【解答】解：，，，，，复数z对应的点在复平面内位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．14．（2023•江西模拟）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝（2+ai）i（其中a∈R）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数的四则运算，以及等部复数的定义，求出z，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：z＝（2+ai）i＝﹣a+2i为“等部复数”，则﹣a＝2，解得a＝﹣2，故z＝2+2i，，所以复数在复平面内对应的点（2，﹣2）在第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．（多选）15．（2023•武进区校级二模）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．下列说法正确的是（）A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B．复数6+5i与﹣3+4i分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i C．若点Z的坐标为（﹣1，1），则对应的点在第三象限 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为π【分析】对于A，结合特殊值法，即可求解，对于B，结合向量的运算法则，即可求解，对于C，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解，对于D，结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：令z＝，满足|z|＝1，故A错误，复数6+5i与﹣3+4i分别对应向量与，则，故B正确，∵点Z的坐标为（﹣1，1），∴对应的点（﹣1，﹣1）在第三象限，故C错误，设z＝a+bi，a，b∈R，∵复数z满足，∴1≤a2+b2≤2，∴复数z对应的点所构成的图形面积为，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查复数的几何意义，考查向量的运算，属于基础题．16．（2023•鼓楼区校级模拟）已知复数z＝1+2i，若in⋅z（n∈N*）在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的n＝3（答案不唯一）．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：当n＝3时，i3•z＝（﹣i）•（1+2i）＝2﹣i，其在复平面内对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故答案为：3（答案不唯一）．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．17．（2023•益阳模拟）在复平面内，复数z＝i（a+i）对应的点在直线x+y＝0上，则实数a＝1．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z＝i（a+i）＝﹣1+ai对应的点（﹣1，a）在直线x+y＝0上，∴﹣1+a＝0，解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（2023•黄州区校级二模）已知复数z满足|z|＝1，则|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】求出圆心O（0，0）与点P（﹣3，4）的距离d．可得|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为d+r．【解答】解：圆心O（0，0）与点P（﹣3，4）的距离d＝＝5．∴|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为5+1＝6．故选：C．【点评】本题考查了复数几何意义、圆的方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．（2023•宝鸡三模）设i是虚数单位，复数为复数z的共轭复数，若满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数的乘、除法运算可得，由共轭复数的概念可得z＝1﹣i，结合复数的几何意义即可求解．【解答】解：由题意知，，所以z＝1﹣i，在复平面内对应的点为（1，﹣1），在第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．20．（2023•株洲一模）已知i为虚数单位，若复数z满足z•i＝2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，求出z，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：z•i＝2+3i，则z＝，故在复平面内z对应的点（3，﹣2）位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．三．纯虚数（共9小题）21．（2023•重庆模拟）若复数（i为虚数单位，a，b∈R且b≠0）为纯虚数，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：＝＝i为纯虚数，则，即4a+3b＝0，故．故选：D．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．22．（2023•重庆模拟）设复数z＝（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据复数的基本运算，即可得到结论．【解答】解：z＝＝＝，若z为纯虚数，则且，解a＝1，故选：C．【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键．23．（2023•陕西模拟）复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a的取值是（）A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数，由此定义建立关系式，不难得到本题的答案．【解答】解：∵z＝（a2﹣1）+（a+1）i是纯虚数∴a2﹣1＝0且a+1≠0，解之得a＝1故选：D．【点评】本题给出含字母参数的虚数为纯虚数，求参数a的值，着重考查了复数的代数形式和纯虚数的定义等知识，属于基础题．24．（2023•桃城区校级模拟）已知复数（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m∈R）是纯虚数，则m＝1．【分析】由纯虚数的定义可得m2+3m﹣4＝0，m2﹣2m﹣24≠0，解出即可得结论．【解答】解：∵（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m∈R）是纯虚数，则m2+3m﹣4＝0，m2﹣2m﹣24≠0，解得m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了纯虚数的定义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2023•天津模拟）若复数为纯虚数，则|2+ai|＝．【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：∵＝＝为纯虚数，则，解得a＝1，故|2+ai|＝|2+i|＝．故答案为：．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数模公式，属于基础题．26．（2023•红山区模拟）已知纯虚数z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．0【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：纯虚数z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3＝m2﹣4m+3+（m2﹣m）i，则，解得m＝3．故选：B．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．27．（2023•威海一模）若是纯虚数，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可．【解答】解：，因为是纯虚数，故，解得a＝﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．28．（2023•毕节市模拟）已知复数z＝a2+a+（a+1）i为纯虚数，则实数a的值为（）A．0 B．0或﹣1 C．1 D．﹣1【分析】根据复数的类型可得出关于a的等式与不等式，解之即可．【解答】解：因为复数z＝a2+a+（a+1）i为纯虚数，则，解得a＝0．故选：A．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．29．（2023•和平区校级二模）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则b＝﹣1．【分析】复数化为a+bi的形式，它是纯虚数，则a＝0且b≠0即可求出答案．【解答】解：＝＝，它是纯虚数，只需b＝﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题是复数代数形式的运算，以及复数的分类，特别注意复数的除法运算实质是分母实数化的过程，是基础题．也是高考考点．四．复数的运算（共16小题）30．（2023•宜章县二模）已知复数z是一元二次方程x2﹣2x+2＝0的一个根，则|z|的值为（）A．1 B． C．0 D．2【分析】根据题意，设复数z＝a+bi，把z代入x2﹣2x+2＝0中求出a、b的值，再计算|z|．【解答】解：设复数z＝a+bi，a、b∈R，i是虚数单位，由z是x2﹣2x+2＝0的复数根，∴（a+bi）2﹣2（a+bi）+2＝0，即（a2﹣b2﹣2a+2）+（2ab﹣2b）i＝0，∴，解得a＝1，b＝±1，∴z＝1±i，∴|z|＝．故选：B．【点评】本题考查了复数的代数运算和模长公式问题，是基础题．31．（2023•鄠邑区模拟）的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数．【解答】解：∵∴＝，故选：C．【点评】本题考查复数的求模，本题解题的关键是把复数整理成复数的代数形式的标准形式，得到实部和虚部，求出模长．32．（2023•茂南区校级三模）复数的虚部为（）A． B． C． D．【分析】化简复数为a+bi的形式，写出它的虚部即可．【解答】解：复数＝＝﹣﹣i，该复数的虚部为﹣．故选：C．【点评】本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题．33．（2023•深圳一模）已知i为虚数单位，（1+i）z＝2，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】利用复数的性质化简求值即可．【解答】解：∵（1+i）z＝2，∴z＝＝＝1﹣i，故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．34．（2023•福田区校级模拟）已知复数z满足（1﹣i）z＝2，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z＝，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．35．（2023•开封三模）已知z（2+i）＝1，则复数z的虚部为（）A． B． C． D．【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可．【解答】解：由z（2+i）＝1可得，即虚部为．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．36．（2023•贵阳模拟）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，2），则zi＝（）A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．1+2i【分析】由复数的几何意义确定复数z，再由复数乘法求zi．【解答】解：因为复数z对应的点的坐标为（1，2），所以z＝1+2i，所以zi＝i+2i2＝﹣2+i．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．37．（2023•沈阳三模）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（2，﹣1），（1，﹣3），则的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】由复数z1，z2对应的点分别求出z1，z2，代入化简计算，进而可得的虚部．【解答】解：复数z1，z2对应的点分别是（2，﹣1），（1，﹣3），则z1＝2﹣i，z2＝1﹣3i，，其虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．38．（2023•海阳市校级模拟）若复数z满足（1+z）（1﹣i）＝2，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】根据复数的除法法则得到z＝i，求出虚部．【解答】解：由（1+z）（1﹣i）＝2得，故复数z的虚部为1．故选：C．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．39．（2023•全国三模）已知i3＝a﹣bi（a，b∈R），则a+b的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由复数相等的充要条件可得a，b的值．【解答】解：因为i3＝a﹣bi（a，b∈R），所以﹣i＝a﹣bi，由复数相等的充要条件得a＝0，b＝1，所以a+b＝1．故选：C．【点评】本题主要考查复数相等的充要条件，属于基础题．40．（2023•海淀区校级模拟）已知复数＝2+i，x，y∈R，则x+y＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据复数的除法运算法则，可得＝﹣i，再利用复数相等的条件，即可得解．【解答】解：＝＝＝﹣i，因为＝2+i，所以﹣i＝2+i，所以，解得，所以x+y＝4．故选：C．【点评】本题考查复数的运算，熟练掌握复数的代数运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．41．（2023•红桥区一模）已知（a﹣i）2＝2i，其中i是虚数单位，那么实数a＝﹣1．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1＝a2﹣1﹣2ai＝2i，a＝﹣1故答案为：﹣1【点评】考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件，易错处增根a＝1没有舍去．高考基本得分点．42．（2023•镇安县校级模拟）已知i为虚数单位，则＝（）A． B． C． D．【分析】由复数的四则运算法则计算可得．【解答】解：＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．43．（2023•皇姑区校级模拟）＝（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合欧拉公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：＝[cos（﹣45°）+sin（﹣45°）i]9＝cos（﹣405°）+sin（﹣405）°i，故＝（cos75°+isin75°）[cos（﹣405°）+sin（﹣405）°i]＝cos（﹣330°）+sin（﹣330°）i＝．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．44．（2023•宝鸡二模）设z1，z2为复数，则下列说法正确的为（）A．若，则z1＝z2＝0 B．若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数 C．若a∈R，i为虚数单位，则（a+1）•i为纯虚数 D．若z2≠0，则||＝【分析】由z1＝1，z2＝i，可判断A；由z1＝1+2i，z2＝2+i，可判断B；当a＝﹣1时，可判断C；设z1＝a+bi，（a，b∈R且不同时为0），z2＝c+di（c，d∈R），运算可判断D．【解答】解：对于A：当z1＝1，z2＝i时，z12+z22＝0，故A选项错误；对于B：当z1＝1+2i，z2＝2+i，可得|z1|＝|z2|＝，z1，z2不为共轭复数，故B错误；对于C：当a＝﹣1时，（a+1）•i＝0，不为纯虚数，故C错误；对于D：设z1＝a+bi，（a，b∈R且不同时为0），z2＝c+di（c，d∈R），||＝||＝||＝||＝＝＝＝，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查复数模的计算，考查计算能力，属中档题．（多选）45．（2023•沙坪坝区校级模拟）定义复数的大小关系：已知复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，a1，a2，b1，b2∈R．若a1＞a2或（a1＝a2且b1＞b2），称z1＞z2；若a1＝a2且b1＝b2，称z1＝z2．其余情形均为z1＜z2．复数u，v，w分别满足：u2+u+1＝0，，|w+1|＝1，则（）A．u＜v＜w B．u＝v＝w C．v＞u＝w D．w＜u＜v【分析】此题定义了复数大小的比较方式，只需分别解出u，v，以及w满足的条件，即可根据定义比较大小．【解答】解：设u＝a+bi（a∈R，b∈R），由u2+u+1＝0可得：（a+bi）2+a+bi+1＝0，即a2﹣b2+a+1+（2ab+b）i＝0，∴，解得a＝﹣，b＝±，∴u＝﹣+i或u＝﹣﹣i；v＝＝＝1+；设w＝m+ni（m∈R，n∈R），由|w+1|＝1可得：（m+1）2+n2＝1，由复数的几何意义可知，w在复平面上对应的点位于以（﹣1，0）为圆心，半径为1的圆上．∴﹣2≤m≤0，﹣1≤n≤1，∵1+＞﹣，1+＞m，由题意知：v＞u，v＞w，又当m＝﹣时，n＝±，此时，u＝w，当﹣2≤m＜﹣时，由题意得：u＞w，当﹣＜m≤0时，由题意得：u＜w，综上所述，三者的大小关系可能是v＞u＞w或v＞w＞u或v＞u＝w．故选：CD．【点评】本题属新定义型题目，紧扣定义，结合复数的意义，属中档题．五．共轭复数（共8小题）46．（2023•连云港模拟）复数的共轭复数是（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：∵复数＝＝﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选：B．【点评】复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．47．（2023•锦江区校级模拟）已知复数z＝为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．【分析】化简复数z，求出共轭复数，再写出的虚部．【解答】解：复数z＝﹣2i＝﹣2i＝﹣2i＝﹣i，所以＝+i，所以的虚部为．故选：B．【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．48．（2023•周至县三模）复数z满足（2+i）z＝5+5i，则＝（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（2+i）z＝5+5i，得z＝，则．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．49．（2023•阿勒泰地区三模）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i与1+bi互为共轭复数，则b＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由共轭复数的概念求解即可．【解答】解：∵a+2i与1+bi互为共轭复数，∴．故选：D．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．50．（2023•广州一模）若复数z＝3﹣4i，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：z＝3﹣4i，则，，故＝．故选：A．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．51．（2023•福建模拟）已知z是方程x2﹣2x+2＝0的一个根，则||＝（）A．1 B． C． D．2【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可．【解答】解：因为方程x2﹣2x+2＝0是实系数方程，且Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即，故．故选：B．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，以及复数模公式，属于基础题．52．（2023•陕西三模）已知复数z满足，z在复平面内对应的点在第二象限，则z＝（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣2+i【分析】设复数z＝x+yi（x，y∈R），建立方程求出x，y的值，进而可以求解结论．【解答】解：设复数z＝x+yi（x，y∈R，且x＜0，y＞0），则＝x﹣yi，由，可得2[x+yi﹣（x﹣yi）]+（x﹣yi）（x+yi）＝2+4i，解得x＝﹣1（1舍），y＝1，所以z＝﹣1+i，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．53．（2023•江西模拟）已知i为虚部单位，复数为纯虚数，则的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由实部为0且虚部不为0求解a，则答案可求．【解答】解：∵＝为纯虚数，∴，则a＝±1，∴z＝i，则，即的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．六．复数的模（共7小题）54．（2023•南江县校级模拟）已知复数z＝（1+i）（1﹣2i），则|z|＝（）A． B．2 C． D．10【分析】由复数的乘法公式和模的计算公式即可求解．【解答】解：因为z＝（1+i）（1﹣2i）＝1﹣2i+i﹣2i2＝3﹣i，所以．故选：C．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．55．（2023•邢台一模）已知复数z＝1﹣i，则|z2+z|＝（）A． B． C． D．【分析】利用复数乘法的几何意义求复数的模即可．【解答】解：．故选：B．【点评】本题考查复数的运算，属基础题．56．（2023•驻马店三模）已知复数z满足，则|z|＝（）A．1 B． C． D．【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案．【解答】解：，所以．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．57．（2023•湖南三模）若z＝+4﹣2i，则|z|＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先对已知复数进行化简，然后结合复数的模长公式求解即可．【解答】解：因为z＝+4﹣2i＝+4﹣2i＝4﹣3i；所以|z|＝5．故选：A．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数模长公式，属于基础题．58．（2023•东莞市校级三模）已知复数1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则|p+qi|＝（）A．4 B． C．8 D．【分析】据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可．【解答】解：因为复数1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，所以复数1﹣i也是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，所以有1+i+1﹣i＝2＝﹣p，（1+i）（1﹣i）＝2＝q，解得p＝﹣2，q＝2，所以．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．59．（2023•宁波一模）若（a∈R，i为虚数单位），则|a﹣i|＝（）A． B． C． D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的条件求解a，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∴，∴a+i＝（﹣1+2i）（1+i）＝﹣3+i，得a＝﹣3，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．（多选）60．（2023•思明区校级四模）已知复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，下列说法中正确的是（）A．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则 B．若，则|z1|＝|z2| C．若z1与z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z1z2＝|z1z2| D．若|z1|＝|z2|，则【分析】A．利用复数的几何意义求解判断；B．利用向量的数量积运算求解判断；C．设z1＝a+bi（a，b∈R）求解判断；D．举例z1＝1+i，z2＝1﹣i判断．【解答】解：A．因为|z1+z2|＝|z1﹣z2|，所以|+|＝|﹣|，则|+|2＝|﹣|2，即4•＝0，则⊥，故A正确；B．因为（+）⊥（﹣），所以（+）•（﹣）＝0，即2＝2，|z1|＝|z2|，故B正确；C．设z1＝a+bi（a，b∈R），因为z1与z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z2＝a﹣bi（a，b∈R），所以z1z2＝a2+b2，|z1z2|＝a2+b2，则z1z2＝|z1z2|，故C正确；D．如z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足|z1|＝|z2|，而z12≠z22，故D错误；故选：ABC．【点评】本题考查复数的模和复数的几何意义，是基础题．六六、易错分析易错点1：纯虚数的条件不明晰1、若复数是纯虚数,则实数（）A.B.C.D.【错解】由复数是纯虚数,得,解得：,故选A．【错因】复数为纯虚数的充要条件是，错解中没有考虑实部不为零。忽略了.【正解】B，由复数是纯虚数,得,解得：,易错点2：对复数的虚部理解错误2、复数（为虚数单位）的虚部是（）A.B.C.D.【错解】因为,故选B.【错因】误认为复数的虚部是.虚部是,不是.【正解】复数的虚部是,不是.的虚部是,不是，选B。易错点3：乱用判别式3、已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：,解得：或.【错因】对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了.而本题中所给一元二次方程,其中含有虚数单位,则首先要将其整理成复数的形式：,利用复数相等的条件有：,进而可求出.【正解】设方程的实数根为,代入方程有：,整理化简可得：,则有：,可解得：或.易错点4：忽略虚数不能比较大小4、给出下列命题：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③,其中正确命题的个数为.A.0B.1C.2D.3【错解】D【错因】两个复数如果不全是实数,不能比较大小.本题易出现的错误是误认为=2\*GB3②正确.【正解】=1\*GB3①正确；=2\*GB3②错误,因为虚数不能比较大小；,=3\*GB3③错误.故选B.易错点5：利用解题,忽略前提条件：为实数5、已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值.A.B.C.D.【错解】由得,所以.【错因】当为实数时，有.错解中忽略了y为纯虚数.【正解】因为x为实数,y为纯虚数,设,由得,所以,所以.八八.刷综合一、单选题1．（2021·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知复数满足，且有，求（

）A． B． C． D．都不对【答案】A【解析】根据题意可设（为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果.【详解】因为，设（为虚数单位）；由棣莫佛公式，可得，所以所以，即因为，所以；化简可得，即所以，所以；所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键.2．（2022·上海奉贤·统考一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（

）个.A．9 B．10 C．11 D．无数【答案】C【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.故选：C3．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）若集合，，则中元素的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】推导出集合表示的图象为，，集合表示的图象为双曲线，从而，进而中元素的个数为0．【详解】解：集合，集合表示的图象为：半圆，，，，，，集合的表示图象为：双曲线，，∴中元素的个数为0，故选：A．【点睛】本题主要考查交集中元素个数的求法，考查双曲线、圆、复数、反三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力能力，属于难题．4．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知，且为虚数单位，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.表示圆C上的点到的距离，的最大值是，故选B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.5．（2020·上海闵行·统考二模）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圆的圆心为（﹣m，0），半径，又圆心O1到A的距离O1A＝，解得m＝﹣1，综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.6．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知复数，则（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】B【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果.【详解】设，则，由题意可得：可得关于的方程的根为，故，整理得，即，令，可得，且2022为偶数，所以.故选：B.7．（2023·湖北·校联考模拟预测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】是实系数一元二次方程的两个根，是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案.【详解】是实系数一元二次方程的两个虚数根,,是实数,,,即或，而.故选:C【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质的灵活应用是解题的关键,属于难题.二、多选题8．（2022·福建莆田·统考模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，15011576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程中的用来替换，得到方程；第二步，利用公式将因式分解；第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）；第四步，写出方程的根：，，.某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意可知是次项系数，所以，A选项正确.第一步，把方程中的，用来替换，得，第二步，对比与，可得，解得，B选项正确.所以，C选项正确.，D选项错误.故选：ABC三、双空题9．（2022·江苏苏州·校联考模拟预测）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则；对于，．【答案】【分析】利用给定定理直接计算即得；令，求出等比数列前项的和，再利用复数相等求解作答.【详解】当，时，，所以；，令，则，，，而，则，，所以.故答案为：i；【点睛】思路点睛：涉及复数的次幂的求和问题，可把视为等比数列的第n项，再借助数列问题求解.四、填空题10．（2022·福建·校联考模拟预测）对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是．【答案】10【分析】利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得的取值范围，从而得到实数的最小可能值.【详解】设，，，由题设有.又，，而，所以，而，当且仅当终边相同时等号成立，故，所以，故实数的最小可能值为10，故答案为：10.11．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为.【答案】【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数满足，即即复数对应的点到点的距离满足设，表示复数对应的点到点的距离数形结合可知的最大值故答案为：12．（2021·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则