2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）课时规范练62分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时规范练62

分类加法计数原理与分步乘法计数原理高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础巩固练123456789101112131415161.(2024·江苏徐州一模)中国灯笼又统称为灯彩,主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,则不同的选购方式有(

)A.34种

B.43种C.3×2×1种

D.4×3×2种A解析

由题可知,每名同学都有3种选法,故不同的选购方式有34种.123456789101112131415162.(2024·湖北十堰模拟)从数字0,1,2,3,4中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有(

)A.52个

B.64个

C.66个

D.70个D

123456789101112131415163.(2024·吉林辽源模拟)用5种不同颜色的粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔,则该板报不同的书写方案共有(

)A.240种

B.480种

C.120种

D.200种

A123456789101112131415164.(2024·浙江杭州模拟)定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”,比如116,431,则所有幸运数的个数为(

)A.18 B.21

C.35 D.36D解析

当百位数是1,后两位相加为7,有8种(07,70,16,61,25,52,34,43,以下类同);当百位数是2,后两位相加为6,有7种;当百位数是3,后两位相加为5,有6种;当百位数是4,后两位相加为4,有5种;当百位数是5,后两位相加为3,有4种;当百位数是6,后两位相加为2,有3种;当百位数是7,后两位相加为1,有2种;当百位数是8,后两位相加为0,有1种.故幸运数总共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).123456789101112131415165.如图,一条电路从A处到B处接通时,可以有

条不同的线路(每条线路仅含一条通路).

9解析

依题意按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有2种;中线路中有1种;下线路中有2×3=6(种).根据分类加法计数原理,共有2+1+6=9(条)不同的线路.123456789101112131415166.人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”,则无重复数字的四位“吉祥数”共有

个.

448解析

先排千位,有8种选择,再排百位,有8种选择,最后排十位,有7种选择,故共有8×8×7=448(个).123456789101112131415167.(2024·广东湛江模拟)某美食套餐中,除必选菜品以外,另有四款凉菜及四款饮品可供选择,其中凉菜可四选二,不可同款,饮品选择两杯,可以同款,则该套餐的供餐方案共有

种.60

123456789101112131415168.(2025·北京名校一轮复习)如图所示,在排成4×4方阵的16个点中,中心位置4个点在某圆内,其余12个点在圆外.从16个点中任选3点,作为三角形的顶点,其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有

个.

31212345678910111213141516

123456789101112131415169.(2023·新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

种(用数字作答).64

1234567891011121314151610.(2024·江苏常州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8,现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有(

)A.1050种

B.1260种C.1302种

D.1512种综合提升练C12345678910111213141516解析

由题意可得,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1,有7种选择;再涂区域2,有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5种选择,剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时,剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1

302(种).1234567891011121314151611.(2024·上海卷,10)设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合A中元素个数的最大值为

.329

1234567891011121314151612.通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号,如图所示.其中序号的编码规则为:①由10个阿拉伯数字和除I,O之外的24个英文字母组成;②最多只能有2个英文字母.则采用5位序号编码的鲁V牌照最多能发放的汽车号牌数为

万张.(用数字作答)70612345678910111213141516

1234567891011121314151613.(2024·湖南长沙模拟)初等数论中的四平方和定理的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和,例如正整数6=22+12+12+02.设25=a2+b2+c2+d2,其中a,b,c,d均为自然数,则满足条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是

.(用数字作答)28

1234567891011121314151614.(13分)(2025·上海长宁检测)关于正整数2160,求:(1)它有多少个不同的正因数?(2)它的所有正因数的和是多少?解

(1)由题意,2

160=24×5×33,则2

160的正因数p=2r×5s×3t(r,s,t∈N),因为r可取0,1,2,3,4;s可取0,1;t可取0,1,2,3;由分步乘法计数原理,得2

160有5×2×4=40(个)不同的正因数.(2)式子(20+21+22+23+24)×(30+31+32+33)×(50+51)的展开式就是40个正因数之和.由分步乘法计数原理,得正因数之和为31×40×6=7

440.即2

160所有正因数的和是7

440.1234567891011121314151615.(2025·北京名校一轮复习)著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载:任何一个大于1的整数要么是一个素数,要么可以写成一系列素数的积,例如42=2×3×7.对于1260=a1×a2×a3×…×an,其中a1,a2,a3,…,an均是素数,则从a1,a2,a3,…,an中任选3个数,可以组成不同三位数的个数为(

)A.18 B.32

C.36

D.42D

12345678910111213141516创新应用练16.(2024·安徽淮北二模)在3×3的方格中,每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一,若每个2×2的方格中的四个小方格的颜色都不相同,则满足要求的不同涂色方法的种数为

.7212345678910111213141516解析

如图,将3×3的方格中的每个小格标上字母.易知其中的2×2方格共有4组,且E格为4组共用,B,D,F,H均由2组共用,涂完E,B,D,F,H后,A,C,G,I颜色将随之唯一确定.首