2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）素能培优(三)在导数应用中如何构造函数

素能培优(三)在导数应用中如何构造函数高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026近几年高考客观题中的压轴题多以导数为工具来解决,这类问题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题的基本方法,构造函数的规律方法归类总结如下:已知条件式可构造的函数原函数的导函数f(x)+f'(x)>0(或<0)F(x)=exf(x)F'(x)=ex[f(x)+f'(x)]f(x)+xf'(x)>0(或<0)F(x)=xf(x)F'(x)=f(x)+xf'(x)nf(x)+xf'(x)>0(或<0)F(x)=xnf(x)F'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)]nf(x)+f'(x)>0(或<0)F(x)=enxf(x)F'(x)=enx[nf(x)+f'(x)]已知条件式可构造的函数原函数的导函数f'(x)-f(x)>0(或<0)xf'(x)-f(x)>0(或<0)xf'(x)-nf(x)>0(或<0)f'(x)-nf(x)>0(或<0)f'(x)sin

x-f(x)cos

x>0(或<0)f'(x)cos

x+f(x)sin

x>0(或<0)已知条件式可构造的函数原函数的导函数f(x)+f'(x)±k>0(或<0)F(x)=exf(x)±kexF'(x)=ex[f(x)+f'(x)±k]f'(x)-f(x)±k>0(或<0)题型一加乘型例1(2024·浙江期中)设函数f(x)是定义在(-∞,0)内的可导函数,其导函数为f'(x),且有3f(x)+xf'(x)>0,则不等式(x+2025)3f(x+2025)+27f(-3)>0的解集是

.

(-2028,-2025)解析

由题意,设g(x)=x3f(x),则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)].∵当x∈(-∞,0)时,3f(x)+xf'(x)>0,∴g(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)内单调递增;又不等式(x+2

025)3f(x+2

025)+27f(-3)>0可化为(x+2

025)3f(x+2

025)>(-3)3f(-3),即g(x+2

025)>g(-3),∴0>x+2

025>-3,解得-2

025>x>-2

028,∴原不等式的解集为(-2

028,-2

025).[对点训练1](2024·云南保山模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0,当x<0时,xf'(x)+f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是

.(-1,0)∪(1,+∞)

题型二减除型例2(1)(2024·湖北期中)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数是f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+2)=f(x-2),f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为(

)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(4,+∞) D.(-2,+∞)A

A

B

(2)(2024·安徽六安模拟)已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),对∀x∈R,f'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2023)-e2x+4042f(2)<0(其中e为自然对数的底数)的解集为(

)A.(-2021,+∞) B.(-2025,+∞)C.(-∞,-2021) D.(-∞,-2025)C

题型三带常数型例3(2024·江苏泰州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)-f'(x)<1,f(1)=2,则不等式f(x)-1>ex-1的解集为

.

(1,+∞)

[对点训练3]函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,有f(x)+f'(x)<1,则不等式exf(x)>ex+1的解集为(

)A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<-1,或x>1}D.{x|x<-1,或0<x<1}B解析

令g(x)=exf(x)-ex-1,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1],∵f(x)+f'(x)<1,∴f(x)+f'(x)-1<0,∴g'(x)<0,即g(x)在R上单调递减,又f(0)=2,∴g(0)=e0f(0)-e0-1=2-1-1=0,故当x<0时,g(x)