量子力学（第2版）课件 10算符及其运算规则

第三章量子力学中的力学量§3-1算符及其运算规则§3-7展开假定§3-2厄米算符的本征问题§3-8不确定关系§3-3坐标算符和动量算符§3-9电子在库仑场中的运动§3-4角动量算符§3-10氢原子问题§3-5共同完备本征函数系力学量完全集§3-11力学量平均值随时间的变化守恒定律§3-6力学量的平均值

§3-1算符及其运算规则知识点教学目标算符假设共轭算符厄米算符算符对易关系能描述算符假设（量子力学的第三个基本假设）。领会厄米算符的意义。牢记量子力学基本对易关系。能计算简单的对易关系。本节内容1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系算符概念若某一运算将函数u变为函数v，记为。符号称为算符。算符表示对波函数的一种运算或者操作。线性算符算符假设（量子力学的第三个基本假设）例如量子力学中的可观测量（力学量或物理量，如坐标、动量和能量等）与相应的算符相对应，而且对应的算符都是线性算符。力学量的取值由相应算符满足的本征方程的解来决定。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系单位算符对任意波函数，总有，则称为单位算符。性质：任意波函数皆为单位算符的本征态，且本征值为1。算符之和对任意波函数，总有，则称算符为算符和算符之和，记为。性质交换律结合律1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系算符之积对任意波函数，总有，则称算符为算符和算符之积，记为。性质：一般情况下逆算符设，，则称算符和算符互为逆算符。性质：满足只有当算符的本征值都不为零时才存在逆算符。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系算符的共轭对任意的波函数

、和算符，令若算符与之间满足，即则算符与互为共轭。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系厄米算符若算符等于其共轭，即或称算符为厄米算符或自共轭算符。意义量子力学中可观测量对应的算符都是厄米算符。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系例1.求常数算符的共轭。即结论：常数算符的共轭等于其复共轭。例2.求微分算符的共轭。对束缚态，=01算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系所以结论：动量算符是厄米算符。由此得1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系例3.证明：。推广例4.求算符的共轭。结论：角动量算符是厄米算符。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系算符的函数任意的函数在0点可以作展开类似地，算符的函数也可以作展开例如若算符的本征方程为，则例如，若，则ABCD提交10-1以下公式中正确的是单选题1分称为算符和的对易关系或对易子。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系对易关系引入符号若，称算符、对易或可交换。若，称算符、不对易或不可交换。例如反对易关系即1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系量子力学基本对易关系对于任意的状态，有称为海森堡对易关系，它是量子力学最基本的对易关系。同理1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系例5.计算对易关系。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系对易关系代数的运算规则例6.计算。利用例5结果，也可以求得1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系坐标、动量算符之间的对易关系动量、角动量算符之间的对易关系例7.计算。例8.计算。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系引入：反对称三阶张量，其定义为统一表述例9.计算。1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系例11.计算。坐标、角动量算符之间的对易关系例10.计算。统一表述统一表述1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系例12.计算。角动量算符各分量之间的对易关系由此可得1算符假设2算符的运算规则3算符的对易关系例