2024高考数学大二轮复习专题8解析几何第2讲综合大题部分增分强化练文

PAGEPAGE1第2讲综合大题部分1．已知在平面直角坐标系中，动点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与轨迹C相交于A，B两点，设点Q在直线x＋y－1＝0上，且满意eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OQ,\s\up6(→))(O为坐标原点)，求实数t的最小值．解析：(1)因为点P(x，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以|PN|－1＝|x|，将点P坐标代入，并整理得y2＝4x.故点P的轨迹C的方程是y2＝4x.(2)由题意知直线AB的斜率存在且与抛物线y2＝4x有两个交点，设直线AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝4x，))得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0(k≠0)．Δ＝16(2k2＋1)>0恒成立，所以x1＋x2＝eq\f(4k2＋1,k2)，x1·x2＝4，因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OQ,\s\up6(→))，所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，即x＝eq\f(x1＋x2,t)＝eq\f(4k2＋1,k2t)，y＝eq\f(y1＋y2,t)＝eq\f(kx1－2＋kx2－2,t)＝eq\f(kx1＋x2－4k,t)＝eq\f(4,tk)，又点Q在x＋y－1＝0上，所以eq\f(4k2＋1,k2t)＋eq\f(4,tk)－1＝0.所以t＝4(eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k)＋1)＝4(eq\f(1,k)＋eq\f(1,2))2＋3≥3.故实数t的最小值为3.2．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为eq\f(1,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l，若l交椭圆C于A、B两点，点A关于原点O的对称点为D，求△ABD的面积的取值范围．解析：(1)∵椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为eq\f(1,2)，∴2a＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝eq\r(3)，则椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)∵D是点A关于原点的对称点，∴原点O是线段AD的中点，则S△ABD＝2S△ABO＝2×eq\f(1,2)×|AB|×dO＝|AB|×dO(dO为点O到直线l的距离)，由直线l过右焦点F，且不与坐标轴平行，可设直线l：x＝my＋1，m≠0，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,3x2＋4y2＝12，))得(3m2＋4)y2＋6设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(6m,3m2＋4)，,y1y2＝－\f(9,3m2＋4)，))得|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(1＋m2)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(12m2＋1,3m2＋4).又dO＝eq\f(1,\r(m2＋1))，则S△ABD＝eq\f(12m2＋1,3m2＋4)×eq\f(1,\r(m2＋1))＝eq\f(12\r(m2＋1),3m2＋4)＝eq\f(12\r(m2＋1),3m2＋1＋1)＝eq\f(12,3\r(m2＋1)＋\f(1,\r(m2＋1)))，令t＝eq\r(m2＋1)∈(1，＋∞)，则y＝3t＋eq\f(1,t)在(1，＋∞)上单调递增，则3t＋eq\f(1,t)∈(4，＋∞)，则S△ABD＝eq\f(12,3\r(m2＋1)＋\f(1,\r(m2＋1)))∈(0,3)，即△ABD的面积的取值范围为(0,3)．3．(2024·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满意PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析：(1)证明：设P(x0，y0)，A(eq\f(1,4)yeq\o\al(2,1)，y1)，B(eq\f(1,4)yeq\o\al(2,2)，y2)．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程(eq\f(y＋y0,2))2＝4·eq\f(\f(1,4)y2＋x0,2)即y2－2y0y＋8x0－yeq\o\al(2,0)＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－y\o\al(2,0)，))所以|PM|＝eq\f(1,8)(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2))－x0＝eq\f(3,4)yeq\o\al(2,0)－3x0，|y1－y2|＝2eq\r(2y\o\al(2,0)－4x0).因此，△PAB的面积S△PAB＝eq\f(1,2)|PM|·|y1－y2|＝eq\f(3\r(2),4)(yeq\o\al(2,0)－4x0)eq\f(3,2).因为xeq\o\al(2,0)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1(x0<0)，所以yeq\o\al(2,0)－4x0＝－4xeq\o\al(2,0)－4x0＋4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是[6eq\r(2)，eq\f(15\r(10),4)]．4．(2024·高考天津卷)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为eq\f(\r(5),3)，|AB|＝eq\r(13).(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b由|AB|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(13)，从而a＝3，b＝2.所以，椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意知，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝6，,y＝kx，))消去y，可得x2＝eq\f(6,3k＋2).由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx，))消去y，可得x1＝eq\f(6,\r(9k2＋4)).由x2＝5x1，可得