2024高考数学二轮复习第一部分保分专题三立体几何第2讲空间几何体中的计算问题练习文

PAGEPAGE1第2讲空间几何体中的计算问题A组小题提速练一、选择题1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是eq\f(28π,3)，则它的表面积是()A．17π B．18πC．20π D．28π解析：由三视图知该几何体为球去掉了eq\f(1,8)所剩的几何体(如图)，设球的半径为R，则eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28π,3)，故R＝2，从而它的表面积S＝eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)×πR2＝17π.故选A.答案：A2．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()解析：由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．该几何体的侧视图为选项B.故选B.答案：B3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－eq\f(π,4) B．8－eq\f(π,2)C．8－π D．8－2π解析：由三视图可知，该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积，即V＝2×2×2－eq\f(1,2)×π×12×2＝8－π.故选C.答案：C4．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球OA.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)解析：由题意知，该三棱柱可以看作是长方体的一部分，且长方体同一顶点处的三条棱长分别为3、4、12，又∵三棱柱的外接球即为长方体的外接球，(2R)2＝32＋42＋122，∴R＝eq\f(13,2).故选C.答案：C5．(2024·贵阳模拟)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为eq\f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为()A．4 B．6C．8 D．10解析：依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则eq\f(4πR3,3)＝eq\f(500π,3)，解得R＝5,由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为eq\r(R2－r2)＝3，因此三棱锥PABC的高的最大值为5＋3＝8，选C.答案：C6．(2024·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．π B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，所以，圆柱的体积V＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)，故选B.答案：B7．在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则VA．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)解析：设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为eq\f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq\f(3,2)，∴Vmax＝eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).故选B.答案：B8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81答案：B9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，S表＝πr2＋ch＋eq\f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：C10．(2024·西安质量检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,3) D．3解析：依据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示，则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝eq\f(1,2)×2×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(4,3).故选A.答案：A11．(2024·唐山统考)三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为eq\r(3)的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A.eq\f(4π,3) B．4πC．8π D．20π解析：由题意得，此三棱锥外接球即以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(2)，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C.答案：C12．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1AA．2 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析：由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1边长为x，Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＝1，即x＝eq\r(2)，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝eq\r(2)×1＝eq\r(2).故选C.答案：C二、填空题13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题意知，该几何体的三视图是一个三棱柱，其体积V＝eq\f(1,2)×2×3×4＝12.答案：1214．(2024·洛阳统考)已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝eq\r(6)，AC＝2eq\r(3).若三棱锥DABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．解析：由题意可得，∠ABC＝eq\f(π,2)，△ABC的外接圆半径r＝eq\r(3)，当三棱锥的体积最大时，VDABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h(h为D究竟面ABC的距离)，即3＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(6)h⇒h＝3，即R＋eq\r(R2－r2)＝3(R为外接球半径)，解得R＝2，∴球O的表面积为4π×22＝16π.答案：16π15．正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为________．解析：由题意，面积最小的截面是以AB为直径的圆，在正四面体ABCD中，如图，设E为△BCD的中心，连接AE，BE，则球心O在AE上，延长AE交球面于F，则AF是球的直径，∠ABF＝90°，又AE⊥BE，所以在△ABF中，由射影定理得AB2＝AE·AF＝4AE，又AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(6),3)AB，所以AB＝eq\f(4\r(6),3)，故截面面积的最小值为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)))2＝eq\f(8π,3).答案：eq\f(8π,3)16．(2024·贵州适应性考试)已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱与底面垂直)的体积为3eq\r(3)cm3，其全部顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________cm2.解析：球O的表面积最小⇔球O的半径R最小．设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积V＝eq\f(\r(3),4)a2b＝3eq\r(3)，所以a2b＝12.底面正三角形所在截面圆的半径r＝eq\f(\r(3),3)a，则R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2＝eq\f(a2,3)＋eq\f(b2,4)＝eq\f(1,3)×eq\f(12,b)＋eq\f(b2,4)＝eq\f(4,b)＋eq\f(b2,4)，令f(b)＝eq\f(4,b)＋eq\f(b2,4)，0＜b＜2R，则f′(b)＝eq\f(b3－8,2b2)，令f′(b)＝0，解得b＝2，当0＜b＜2时，f′(b)＜0，函数f(b)单调递减，当b＞2时，f′(b)＞0，函数f(b)单调递增，所以当b＝2时，f(b)取得最小值3,即(R2)min＝3，故球O的表面积的最小值为12π.答案：12πB组大题规范练1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，E为棱CC1(1)求证：B1D1⊥AE；(2)求证：AC∥平面B1DE.证明：(1)连接BD，则BD∥B1D1.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF，则FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.∵E，F是CC1，BB1的中点，∴EF綊BC.又BC綊AD，∴EF綊AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED.∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE，∴AF∥平面B1DE.∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.又∵AC⊂平面ACF，∴AC∥平面B1DE.2．如图，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V­ABC的体积．解析：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝eq\r(3).又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为eq\f(\r(3),3).3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求三棱锥P­BEF的表面积．解析：(1)证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME.∵点F为PD的中点，∴FM綊eq\f(1,2)CD，又AE綊eq\f(1,2)CD，∴AE綊FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC.(2)连接ED，BD，可知ED⊥AB，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PD⊥AB,DE⊥AB))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥平面PEF,PE、FE⊂平面PEF))⇒AB⊥PE，AB⊥FE，故S△PEF＝eq\f(1,2)PF·ED＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),8)；S△PBF＝eq\f(1,2)PF·BD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)；S△PBE＝eq\f(1,2)PE·BE＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(7),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(7),8)；S△BEF＝eq\f(1,2)EF·EB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).因此三棱锥P­BEF的表面积SP­BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝eq\f(4＋\r(3)＋\r(7),8).4．如图，在单位正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1(1)求证：EF∥平面C1CDD1；(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求点G到平面C1DF的距离；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：取BC的中点M，连接EM，FM，∵E，F分别是AD，BC1的中点，∴