2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题01集合常用逻辑用语热点难点突破文

PAGEPAGE1专题01集合、常用逻辑用语1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)【解析】解法一：由题意可知∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{2,4,5,7,8}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{2,7,8}．由集合的运算性质可知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，即∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.解法二：画出韦恩图(如图所示)，由图可知∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.【答案】D2．已知N是自然数集，设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,x＋1)∈N))))，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝()A．{0,2}B．{0,1,2}C．{2,3}D．{0,2,4}【解析】∵eq\f(6,x＋1)∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}，故选B.【答案】B3．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a＝()A．－1 B．2C．－1或2 D．1或－1或2【答案】C4．已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为()A．1B．3C．5D．7【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3，故选B.【答案】B5．已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1,2]C．[－2,1] D．[2，＋∞)【解析】集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1，故选C.【答案】C6．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝()A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}【解析】∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|2<x<5}，A－B＝{x|x∈A且x∉B}，∴A－B＝{0,1,2,5}，故选D.【答案】D7．下列说法正确的是()A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B．“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D．“若sinα≠eq\f(1,2)，则α≠eq\f(π,6)”是真命题【答案】D8．“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.【答案】A9．已知命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋1≥0；命题q：若a<b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)【解析】x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，所以∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题，又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题，由复合命题真假推断的真值表知p∧(綈q)为真命题，故选B.【答案】B10．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－\f(y2,3)＝1))))，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()A．[－2,2] B．[0,2]C．{(－2,4)，(2,4)} D．[2，＋∞)【解析】由A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－\f(y2,3)＝1))))，得A＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)．由B＝{y|y＝x2}，知集合B表示函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)，所以A∩B＝[2，＋∞)，故选D.【答案】D11．已知a，b都是实数，那么“2a>2b”是“a2>b2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】充分性：若2a>2b，则2a－b>1，∴a－b>0，∴a>b.当a＝－1，b＝－2时，满意2a>2b，但a2<b2，故由2a>2b不能得出a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，则|a|>|b|.当a＝－2，b＝1时，满意a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成立．综上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故选D.【答案】D12．给出下列命题：①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件；②已知平面对量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件；④命题p：“∃x0∈R，使ex0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有ex<x＋1且lnx>x－1”．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①已知a，b∈R，“a>1且b>1”能够推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“a>1且b>1”，故①正确；②已知平面对量a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，|a＋b|>1不能推出|a|>1且|b|>1，故②不正确；③已知a，b∈R，当a2＋b2≥1时，a2＋b2＋2|a|·|b|≥1，则(|a|＋|b|)2≥1，则|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b＝0.5满意|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5<1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件，故③正确；④命题p：“∃x0∈R，使ex0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有ex<x＋1或lnx>x－1”，故④不正确．所以正确命题的个数为2，故选C.【答案】C13．下列说法中正确的个数是()(1)若命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0≤0，则綈p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0>0；(2)命题“在△ABC中，A>30°，则sinA>eq\f(1,2)”的逆否命题为真命题；(3)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的充分必要条件；(4)若统计数据x1，x2，…，xn的方差为1，则2x1,2x2，…，2xn的方差为2.A．0B．1C．2D．3【答案】A14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知条件p：a≤eq\f(b＋c,2)，条件q：A≤eq\f(B＋C,2)，那么条件p是条件q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】在△ABC中，若a≤eq\f(b＋c,2)，由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(b2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2,2bc)＝eq\f(\f(3,4)(b2＋c2)－\f(1,2)bc,2bc)≥eq\f(\f(3,4)×2bc－\f(1,2)bc,2bc)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝c时等号成立，所以0<A≤eq\f(π,3)，所以B＋C≥eq\f(2π,3)≥2A，即A≤eq\f(B＋C,2).若A≤eq\f(B＋C,2)，由A＋B＋C＝π，得0<A≤eq\f(π,3)，令A＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,2)，满意A≤eq\f(B＋C,2)，此时令a＝eq\r(3)t(t>0)，则b＝t，c＝2t，由eq\r(3)t>eq\f(1＋2,2)t＝eq\f(3,2)t，得a>eq\f(b＋c,2).综上，条件p是条件q成立的充分不必要条件．故选A.【答案】A15．已知函数f(x)＝eq\f(x2,x2－2x＋2).命题p1：y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，命题p2：若a<b<2，则f(a)<f(b)．则在命题q1：p1∨p2，q2：(綈p1)∧(綈p2)，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q1，q4C．q2，q3D．q2，q4【答案】B16．命题“∃x0∈R，asinx0＋cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】(－eq\r(3)，eq\r(3))【解析】由题意，命题“∀x∈R，asinx＋cosx<2”为真命题，则eq\r(a2＋1)<2，∴－eq\r(3)<a<eq\r(3)，则实数a的取值范围是(－eq\r(3)，eq\r(3))．17．已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)≤1))))，则A∩B＝________.【解析】∵A＝{x|x2－x－6≤0}＝[－2,3]，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)≤1))))＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A∩B＝[－2,0)∪[1,3]．【答案】[－2,0)∪[1,3]18．若条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【解析】綈p是綈q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件，条件p：|x＋1|>2即x>1或x<－3.因为条件q：x>a，故a≥1.【答案】a≥119．已知命题p：∀x∈[2,4]，log2x－a≥0，命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧(綈q)”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】命题p：∀x∈[2,4]，log2x－a≥0⇒a≤1.命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0⇒a≤－2或a≥1，由p∧(綈q)为真命题，得－2<a<1.【答案】－2<a<120．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．【解析】A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f