河南省安阳市林州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省安阳市林州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量与共线，则实数（）A.-9 B.-3 C.3 D.1【答案】A【解析】因为向量与共线，所以，解得.故选：A.2.某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范，生产成本逐年降低，该公司对2011年至2023年的生产成本（万元）进行统计，根据统计数据作出如下散点图：由此散点图，判断下列四个经验回归方程类型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本与时间变量的经验回归方程类型的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据图中散点图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围，而对于A选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的；B选项是“直线型”的拟合函数，且是增加的；D选项是“幂函数型”的拟合函数，且是增加的，只有C选项的拟合函数符合题意.故选：C3.已知是等差数列的前项和，且，则的公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为,所以,所以.故选：C.4.已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，对于椭圆，焦点为和，离心率为.设双曲线的标准方程为，又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1，所以双曲线的离心率为，即，又，所以，，所以双曲线的标准方程为.故选：B5.已知为第三象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为第三象限角，所以，，则.故选：D6.已知是虚数单位，集合，则中的元素个数为（）A.1 B.2 C.0 D.无数个【答案】B【解析】根据复数的几何意义得,圆心圆心又因为,,两圆相交有两个交点，则中的元素个数为2.故选：B.7.已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】，因为函数在处取得极小值1，所以，解得，可得，且，解得，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，，，则在区间上的最大值为6.故选：C.8.在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】中，，由余弦定理，有，为中点，连接，由，有，，平面，则有平面，平面，所以平面平面，平面平面，作，垂足为，平面，得平面，则与平面所成角为，，，则有，得，则.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某篮球队员进行投篮练习，根据历史数据可知，该队员每次投篮的命中率均为，若该队员投篮4次，投进球的个数记为，且，则（）A. B.C. D.至少进1个球的概率为0.9919【答案】ABD【解析】由题意知，，则，解得，所以，，所以至少进1个球的概率为.故选：ABD10.已知的展开式的第2项与第3项系数的和为，则（）A. B.展开式的各项系数的和为C.展开式的各二项式系数的和为32 D.展开式的常数项为【答案】AD【解析】展开式的通项为，且，展开式的第2项与第3项系数的和为，则有，由解得，A选项正确；令，展开式的各项系数和为，B选项错误；展开式的二项式系数和为，C选项错误；令，得，则的展开式的常数项为，D选项正确.故选：AD.11.已知关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】①当时，恒成立，则，②当时，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递增，所以,所以；③当时，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，综上所述，实数的取值范围为.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图象关于点中心对称，则______．【答案】【解析】函数，因为的图象关于点中心对称，所以，对恒成立，即，对恒成立，即，对恒成立，则，解得，故答案为：-113.某职业技术学校组织6名学生到3家工厂实习，每家工厂至少去1人，至多去3人，且每名学生只能去1家工厂，则不同的分配方法共有______种．（用数字作答）【答案】【解析】由题意，人分成组有和两种分法，当按分组时，则不同的分配方法有种，当按分组时，则不同的分配方法有种，综上，不同的分配方法共有种.故答案为：.14.已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为______．【答案】【解析】由，，则，即，又，又，所以.由正弦定理得，所以，又，，，所以，则，得，所以，所以.即的面积的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列中，已知．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由题意知，，两边同除以，得，，，则，根据等比数列的定义知，是首项为3，公比为3的等比数列，，；（2）由（1）知，，，①，②①②，得，．16.某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为，乙产品的优质品率为．（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为，求的分布列和数学期望．解：（1）由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有件，乙产品有件，从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为，其中至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为，至少抽到2件乙产品的概率为．（2）由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有件优质品，有件不是优质品，乙产品中有件优质品，有件不是优质品，则的所有可能取值为1，2，3，4．，，，，的分布列为1234．17.如图，在三棱柱中，平面平面，，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）如图，连接，设，连接，因为分别是棱的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，则为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，所以，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，得到，以为坐标原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，由，得到，所以，易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，得到，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称．（1）求的方程；（2）求证：直线过定点；（3）求的取值范围．解：（1）由题知，点的横坐标为，根据抛物线定义知，，解得或4（舍去），的方程为．（2）由（1）知．设，，直线的方程为，代入，整理得，则，，．直线，关于轴对称，，，，，直线过定点．（3）由（Ⅱ）知，，，，，又在时单调递增，，的取值范围为．19.已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）若函数恰有2个零点，求的取值范围．解：（1）由已知，得的定义域为，，若，则当时，，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减；若，则，当或时，，当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减．综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）由题知，，恰有2个零点，方程恰有2个正实数解，即方程恰有2个正实数解，即方程恰有2个正实数解．设，即方程恰有2个正实数解，显然在上单调递增，，即方程恰有