河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题一、单选题.1.（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】.故选：C.2.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，解得，令，解得，即，故D正确.故选：D.3.已知，若，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于函数，，，，又在定义域上单调递增，且，所以，所以，即.故选：B.4.要得到函数的图象，需将的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A正确；B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误；C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误；D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D错误.故选：A.5.已知均为实数，且，下列命题正确的是（）A.是的充分条件 B.是的必要条件C.是充分条件 D.是的必要条件【答案】D【解析】对于A，令，满足，不满足，则不是的充分条件，故A错误，对于B，令，满足，不满足，则不是的必要条件，故B错误，对于C，令，满足，不满足，则不是的充分条件，故C错误，对于D，若，由不等式性质得，则是必要条件，故D正确.故选：D.6.在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用(单位∶次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n的函数.已知某算法的时间复杂度()，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n的最大值为（）A.40 B.50 C.60 D.70【答案】B【解析】由题意知：，∴当时，，当时，，当时，，当时，，∴满足1秒内完成一次运行，n的最大值为50.故选：B.7.设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记函数的最小正周期为，则，可得．又，且，又，所以函数的一个对称中心为，函数的一条对称轴为，又，，解得．故选：C.8.已知函数，当时，，则a的最小值为（）A.0 B.1 C.e D.【答案】D【解析】当时，，在上递增，且；当时，在上递增，且，所以在R上递增，令，当时，，当时，，所以恒成立，因为，即，即，所以，即，令，,则在上递增，所以，则，即，所以a的最小值为.故选：D.二、多选题.9.已知函数是定义域为的奇函数，其零点分别为，若，则关于x的方程的解所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】因为函数是奇函数，故其零点对应的点关于原点对称，且，所以，则关于x的方程为.分别画出和的图象，如图：则由图象可知两函数有两个交点，令，则有两个零点，因为，，，，，，，所以关于x的方程的解所在的区间是，2,3.故选：AD.10.已知函数的最小值为1，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.图象的一条对称轴为直线C.图象的一个对称中心为点D.在上单调递增【答案】ABD【解析】，因为的最小值为1，故，故，所以，所以的最小正周期为，故A正确；，而为函数的最小值，故图象的一条对称轴为直线，故B正确；而函数图象的对称中心的纵坐标为，故不是函数图象的对称中心，故C错误；当，，而在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：ABD.11.已知函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】对于A，令，而，代入得，解得或，当时，令，得到，解得，此时也有，与若，则矛盾，故排除，综上，，故A正确，对于B，令，结合，得到，化简得，由基本不等式得，当且仅当时取等，故，解得或，而，故不成立，综上，成立，故B正确，对于C，若，令，得到，故，则，故C正确，对于D，令，满足，由指数函数性质得在上单调递增，满足当时，，而，，故满足，得到，故D错误.故选：ABC.三、填空题.12.已知集合，若，则实数a的最小值是______．【答案】2【解析】，又，且，所以，所以实数a的最小值是2.13.函数的单调递增区间为________．【答案】（开区间也给分）【解析】令，解得，令，则，由于，故，故单调递增区间为：.14.已知，且（表示x，y中较小者），则h的最大值为______．【答案】【解析】∵，∴，∴，当时，，时，，时，，∴，当时，，当时，，∴时，，∴，又当，，即，∴的最大值是．四、解答题.15.设函数是增函数，，若p和q均正确，求实数a的取值范围．解：由p正确可得，∴或.由，得，又在上递减，∴的最大值为.由q正确，得，∴，由p，q均正确知，∴或，∴a的取值范围为.16.（1）求值：.（2）在锐角三角形ABC中，，求的值.解：（1）.（2）由已知A，B，C均为锐角，由，得，∴，∴，又，∴.又，故，，故，∴，从而.17.已知.（1）将化成最简形式；（2）求满足的x的集合．解：（1）∵，∴.（2）结合（1）知，即为，∴，∴，∴，∴，故x取值的集合为．18.已知，函数，当且仅当时，．（1）求实数a的值；（2）设，当时，求函数的值域．解：（1）由得，即，∴，即，依题意知，该不等式组的解集为．∴方程的两根为0，1．，解得．经检验，当时，符合题意，故.（2），令，因，则且，故，因函数在上递减，在上递增，又，，则，故，故，∴函数hx的值域为．19.果蔬清洗剂主要由表面活性剂，乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可以去除果蔬表面的部分农药残留．但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬．已知用1个单位量的清水可清除果蔬上残留农药量的，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）试根据问题的实际含义，确定的值，并在此基础上，求出a，b的值；（2）现用单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗两次．哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少?请说明理由．解：（1）根据问题的实际意义，可知，将代入，得，解得．（2）由（1）知，设果蔬未被清洗时，农药残留量为单位1，若用单位量的水清洗一次，则农药残留量为，若将单位量的水平均分成2份，先后清洗2次，则农药残留量为，而，①当，即时，，将水均分成2份，清洗两次，农药残留量比较少．②当，即时，，两种方式下，农