河南省南阳市六校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市六校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：1.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.05 B.0.1 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】根据正态分布的基本性质可知，对称轴为.故选：B.2.如图，均为直角三角形，为直角顶点，，且，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为an，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，这些直角三角形是相似的，并且相邻两个三角形的相似比为，从而这些三角形的周长从小到大组成的数列an是等比数列，公比，首项为的周长，因此.故选：C.3.已知函数，且，则实数（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由题意知，所以，所以，又，所以.故选：B4.已知是正项等比数列，若成等差数列，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】设等比数列an的公比为.因为成等差数列，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.所以.故选：D.5.已知为虚数单位，则的展开式中的系数为（）A. B.10 C. D.15【答案】C【解析】展开式的通项，当时，，因此的系数为.故选：C6.已知数列an满足，且，设，则数列bn的前2024项和为（）A.674 B.673 C.-673 D.-674【答案】D【解析】因为奇数与奇数之和为偶数，奇数与偶数之和为奇数，所以数列an的各项的奇偶情况依次为奇､偶､奇､奇､偶､奇所以数列bn各项依次为，故数列bn以3为周期，且相邻3项之和为-1因为，所以数列bn的前2024项和为.故选：D.7.已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，.当时，恒成立等价于恒成立，因为当时，，所以.当时，恒成立等价于恒成立.记，则在区间0,+∞上为增函数，并且零点为，单调递减，单调递增，因此，所以.综上，.故选：A.8.已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】在中，因,可设，则，因，则,即，则，故.由三角形相似可知，因此.又因，所以.设，则，故，又中，，故得，即，从而，故得，从而离心率为.故选：B.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（）A. B.C. D.与相互独立【答案】ACD【解析】，故A正确.，所以，故B错误，C正确.因为，所以与相互独立，故D正确.故选：ACD.10.已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（）A.一定为等差数列B.可能为等比数列C.若，则一定为递增数列D.若，则存在，使得【答案】BD【解析】对于A：当时，，该通项公式为一次函数形式，所以从第二项起为等差数列，所以数列是等差数列的条件只需满足当时满足的通项公式即可，即当，，所以只有当时，才是等差数列，故A错误；对于B：当时，，满足要求，故B正确；对于C：若，则，所以，故C错误；对于D，若，函数的图象关于直线对称，因此，从而，故D正确.故选：BD11.已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因为，所以，即.若，不等式化为，此不等式对任意恒成立，不符合条件.若，不等式化为，即恰有一个整数解.记，则，当，；当，；可得在上单调递增，在上单调递减，并且，因此恰有一个整数解时，实数的取值不可能是B，C，D.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将4个不同编号的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的分配方法共有________种.【答案】【解析】由题意，将4个不同编号的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，先将4个不同编号的球分成3组，共有种不同的分法；再将分好的3组放到3个不同的盒子中，共有种不同的方法，由分步计数原理可得，共有种不同的分配方法.故答案为：.13.已知点在圆上运动，则的最小值是__________.【答案】【解析】由得，故圆的圆心为，半径为1，当时，，当时，，如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数，令，即，则圆心到该直线的距离满足，两边平方整理得，解得，故此时的最小值是，又，故的最小值为.故答案为：.14.已知函数及其导函数f'x定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】因为时，，所以，即，因此，从而在上单调递增，又是上的偶函数，且是偶函数，所以，即是上的偶函数，故在上单调递减，由于，因此，又即，即，所以，故由的单调性和偶函数特点可知，因此的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.（1）若，求；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由平面，平面，.，且平面，所以平面.而平面，.四边形是正方形，与重合，.（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设n=x,y,z为平面则，即，可取.设为直线与平面所成的角，则，即直线与平面所成角的正弦值为.16.扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域.研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了6只扬子鳄，测量它们的头长（单位与体长（单位：），得到如下数据：样本编号123456头长1515.315.316.616.817体长125128130138142153并计算得（1）求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；（2）求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）（3）已知与可以用模型进行拟合，若某只扬子鳄头长为，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长.附：相关系数.解：（1）平均头长为，平均体长为.（2）由题可知（3）由题意知.所以，所以，令，得，因此估计这只扬子鳄的体长为.17.已知数列an满足，当时，.（1）求an（2）设为数列的前项和，证明：.（参考结论：当时，.）解：（1）当时，.又，因此an的通项公式为.（2）由（1）知，因此.因为，所以当时，.因为当时，，所以，此时.综上，.18.已知函数，其中.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围.解：（1）函数，求导得，设，则.而，则当时，，函数在上单调递减，于是，所以函数在上单调递减.（2）函数，求导得，若，由（1）知在上恒成立，从而在内无极值点，不符合题意；若，设，则，且，设，则在上恒成立，因此在上单调递减，若，即，则在上恒成立，因此在上单调递增，则上恒成立，从而单调递增，无极值点，不符合题意；若，即，则在上存在零点，且在上单调递增，在上单调递减，又，所以要使有极值点，必须有，即，从而的取值范围是.19.已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点.（1）求的方程；（2）证明：直线过定点