河南省许昌市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省许昌市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由可得，即，因，故.故选：B.2.已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A，由，得，而不能推出，A是；对于BC，取，满足，，而，BC不是；对于D，，D不是.故选：A.3.已知角满足，则的值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】由，解得：.故选：C.4.设，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，而，，故.故选：C.5.角的终边与单位圆交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】点的坐标为，根据三角函数定义可得，.化简，把，代入，可得.故选：B.6.假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时，则，得，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度.故选：D.7.已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，令，可得，而，则由可得，因函数是定义在上的减函数，则有，解得.故选：A.8.若函数与有相同的对称轴，则的所有可能取值的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】函数的对称轴为，函数的对称轴为，因为函数与有相同的对称轴，则，化为因为等式右边是奇数，所以不可能为偶数，因为，所以的可能取值为，当时，；当时，；当时，；综上，的所有可能取值的个数为3.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.命题“”的否定是“”B.与表示同一函数C.已知，则的最小值为5D.函数（，且）的图象过定点【答案】AC【解析】对于A，因命题“”的否定是“，故A正确；对于B，因函数的定义域为，而函数的定义域为，故B错误；对于C，由可得，，当且仅当时等号成立，此时的最小值为5，故C正确；对于D，对于函数（，且），当时，，则，即函数的图象经过定点，故D错误.故选：AC.10.已知函数部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A.的一个周期是B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增【答案】ABC【解析】如图可知，，且函数经过两点，则得：，由①得：，因，则得，因为在增区间中，由②可得，即，因，则.故.对于A，因，故A正确；对于B，因，故函数的图象关于点对称，即B正确；对于C，因，故函数的图象关于直线对称，即C正确；对于D，当时，，因函数的图象在上递减，在递增，故D错误.故选：ABC.11.设函数，则下列说法正确的是（）A.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为B.若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为C.若函数有3个零点名，则的取值范围为D.对任意，函数在内无最小值【答案】ABD【解析】对于A中，由函数，要使得在上单调递增，则，即，所以，所以A正确；对于B中，令，当时，可得，若函数有3个零点，则需有一个零点，则；当时，可得，若函数有3个零点，则需有两个不等的小于1的实根，则满足，解得，所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确.对于C中，设函数的3个零点分别是，则，可得，令，则在上单调递减，所以，，即的取值范围是，所以C错误；对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，对称轴是，当时，函数在单调递减，在没有最小值，，当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值；当时，函数在单调递增，在单调递减，在没有最小值，，当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值；当时，函数在单调递增，在没有最小值，，当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值，所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的面积为___________．【答案】【解析】设扇形的半径为，则由，可得，则扇形的面积为.13.若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________．【答案】【解析】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立，因，，则得，故得，即实数m的取值范围为.14.已知且满足，则的最大值为___________．【答案】【解析】因为，则.所以.即.则.等式两边同时除以得.则，即.所以.设，因为，所以，则.因为，当且仅当，即时等号成立.所以.则的最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.化简求值．（1）；（2）已知，若，求的值．解：（1）.（2）由，得，即，则，因此.16.已知函数为幂函数，且在上单调递增．（1）求的解析式；（2）若，求实数a的取值范围．解：（1）因函数为幂函数，且在上单调递增，则解得，故.（2）因为函数为奇函数且在R上单调递增，所以不等式可化为，所以，即，解得或，故实数a的取值范围为.17.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．（1）写出函数的解析式并求出的单调递增区间；（2）当时，求最大值以及取得最大值时x的值．解：（1）由图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得；再将其图象向右平移个单位长度得到：.令，解得，函数的单调递增区间为.（2）令，由，可得，由余弦函数的图象性质可知时，即时，，此时相应的x的值为.18.已知函数．（1）若，求的值域；（2）若为偶函数，求实数t的值；（3）在（2）的条件下，若对使得恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）时，，因为，因此，，即的值域是．（2）因为为偶函数，且的定义域为，所以由得：，整理得，由可知，得．（3）由题意可知：只需，由（2）得：，，当且仅当时等号成立，因此，即，因此在恒成立，即在恒成立，令，则，因此在恒成立，即在恒成立，所以在恒成立，只需，显然函数在内单调递减，因此，，所以，即实数m的取值范围是．19.若的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）若，且，求角；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不同