河南省新乡市2024-2025学年高二下学期期中 数学试题（含解析）

河南省新乡市2024−2025学年高二下学期期中数学试题一、单选题1．若直线与互相垂直，则（

）A．0 B． C． D．2．已知数列的前n项和为，且，则（

）A．1 B．2 C． D．3．在的展开式中，的系数为（

）A．250 B．500 C． D．4．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（

）A．1 B．2 C．4 D．85．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．6．已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（

）A． B． C． D．7．记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（

）A． B． C． D．二、多选题9．记为等差数列的前n项和．已知，则（

）A． B． C． D．10．已知函数，下列结论正确的是（

）A．若为奇函数，则B．的图象关于直线对称C．若，则的单调递增区间为D．当时，在上单调递增11．已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（

）A．X的值可能为，，， B．的值可能为，，，C．的概率为 D．的概率为三、填空题12．某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有个．附：若，则．13．将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有种．14．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为．四、解答题15．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程．（2）直线与椭圆C交于M，N两点．①求m的取值范围；②若，求的值．16．为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：单位：人服用情况患病情况患病不患病服用中药预防方100900不服用中药预防方400600（1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值．（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，．（1）证明：平面平面．（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．18．已知函数．（1）求的极值；（2）求的单调区间；（3）若，求a的取值范围．19．某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．（1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率；（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．

参考答案1．【答案】B【详解】由题意可知直线的斜率，当时，直线的斜率不存在，不满足；当时，直线的斜率，由，得，即，解得．故选B2．【答案】D【详解】当时，，又，则．当时，，又，所以，解得：．故选D3．【答案】C【详解】由二项式展开式的通项公式可得，，令，解得，所以的系数为．故选C4．【答案】D【详解】设等比数列的公比为q，则，又，解得，故．故选D.5．【答案】A【详解】，所求切线方程为．故选A.6．【答案】A【详解】由题意可得，令函数，则．由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，即的最小值为，此时．故选A.7．【答案】B【详解】由题意可得，球O的半径为1．．当P为正方体顶点时等号成立，故选B8．【答案】C【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即．正三棱柱的体积．当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，V取得最大值，最大值为．故选C.9．【答案】ABD【详解】解得：所以，A，B，D正确，，C错误．故选ABD10．【答案】BCD【详解】A选项，的定义域为，若为奇函数，则，解得，A错误．B选项，，所以的图象关于直线对称，B正确．C选项，若，则．令，解得，所以的单调递增区间为，C正确．D选项，，当时，，故．令，即，解得，所以的单调递增区间为，D正确．故选BCD11．【答案】ACD【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法.X的值可能为，，，，A正确；不妨设，若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.，，，.，C正确；又的值可能为，，，，B错误；不妨设若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.，，，.，D正确.故选ACD.12．【答案】1587【详解】由可知，故其中单果质量超过的草莓约有个．13．【答案】1800【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种，再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种．14．【答案】/【详解】由题可知，点P在第四象限，．设．由，求得．因为，所以，求得，即．由正弦定理可得．设，得．由，得，则，，又，解得．15．【答案】（1）（2）①；②．【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以．椭圆C的离心率为，解得．故椭圆C的标准方程为．（2）联立得．①，解得，所以m的取值范围为．②因为，所以，解得．．16．【答案】（1）（2）9【详解】（1）由题意可得，．．（2）从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为．由已知得，则．17．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）作，垂足为E，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，，解得（舍去），即，四棱锥的体积.18．【答案】（1）极小值为，无极大值．（2）答案见解析（3）．【详解】（1）．令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．在处取得极小值，极小值为，无极大值．（2）的定义域为．．若，则为常函数，无单调区间．若，则的单调递减区间为，无单调递增区间．（3）因为，所以，即．令函数，上式等价于．在上恒成立，所以在上单调递增．因为当时，，当时，，所以，即．因为，所以，所以．故a的取值范围是．19．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球；第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为.（2）这两份奖品被第名顾客抽走的概率为，被第名顾客抽走的概率为，被第名顾客抽走的概率为，，被第名顾客抽走的概率为.（3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，以下