2024-2025学年北师大版八年级数学下册期末测试卷（含解析）

2024-2025学年八年级数学下册期末测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．下列命题是真命题的是（

）A．若a<b,b>c，则a<c B．若a<b，则ac<bcC．若a=b，则ac≠bc D．若a>b，则a−c>b−c3．已知a+b=3，ab=−2，则代数式a2b+abA．−6 B．1 C．0 D．−84．下面是嘉嘉和淇淇对于问题“已知ba=23，求嘉嘉：∵ba∴b=2∴ba+b淇淇：∵ba∴可设a=3k，b=2k，∴ba+bA．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确C．两人都正确 D．两人都不正确5．（3分）老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（

）A．①不是等腰三角形 B．只有②是直角三角形C．③是等边三角形 D．只有④是直角三角形6．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，点D是线段BC上任意一点，则A．3 cm B．5 cm C．7 cm7．如图，▱ABCD中，AB=3，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接CE，点F，G分别是BE和CE的中点，若FG的长为2.5，则DE的长为（

）A．3 B．2 C．1 D．78．已知关于x的方程x+1x=m+1m的两根分别为m，1A．m,1m+2 C．m+3,−m−1m+2 9．已知非负数x，y，z满足.3−x2=y+23=A．−2 B．−4 C．−6 D．−810．如图，△ABE和△AFC是等边三角形，AE⊥AF，连接BF、CE，交于点D．有以下结论：①∠BAC=150°；②连接BC，BC=BF；③连接EF，EF=2AF；④连接AD，AD平分∠BDC；⑤连接AD，BD=AD+ED．其中正确的结论个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．已知P=2m2+4n+13，Q=m2−n2+6m−112．已知关于x的分式方程3x=2x−k的解是x=6，则13．如图，将梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A′B′C′D′的位置，其中AD∥BC，∠ABC=90°，D′C′14．已知函数y1=kx−bk≠0，y2=ax+2aa≠0．若函数y1与y2的图象交于15．《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中△ADC和△ABC为两个全等的等腰直角三角形，且点F与点B关于直线CE对称，分别连接CF，DF．若∠CFD=24∘，则∠BCE为16．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB=62，BC=10，∠BAD=135°，则GH的长度为三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解下列不等式（组）(1)2x+1>18．（6分）分解因式：(1)81m4−1；19．（8分）（1）计算：a2（2）解方程：5x（3）已知a+b=2,1a+20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标A(−2,0)，B(−5,−3)，C(0,−5)都在格点上．(1)若△ABC平移后得到△A1B1C1，当A1的坐标为(4,4)(2)将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到(3)求△A21．（10分）【定义新知】如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．【应用探究】(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3,AC=2(2)已知，等腰△ABC是“奇异三角形，AB=AC=20，求底边BC的长．（结果保留根号）22．（10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？(2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的1223．【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，求证：∠P=∠1+∠A+∠2；【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______度；【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G的度数．【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是______度．

24．（12分））在▱ABCD中，已知点E在AD边上，AE=ED，点F是BC边上一点，FG⊥AB于点G，连接EF,EG．(1)如图1，若BF=CF，S□ABCD=1，求(2)如图2，若点F，点C重合，求证：△EFG是等腰三角形；(3)如图3，若AB=BC=2，∠B=60°，BF=n0<n≤2，请直接写出△EFG参考答案与试题解析一．选择题1．D【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选D．2．D【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：若a<b，b>c，不能得出a<c，如2<3，3>1，但2>1，故A选项是假命题；当c<0时，若a<b，则ac>bc，故B选项是假命题；若a=b，则ac=bc，故C选项是假命题；若a>b，则a−c>b−c，故D选项是真命题；故选D．3．A【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式ab，再把a+b和ab的值代入进行计算即可．【详解】解：∵a+b=3，∴a=ab=−2×3=−6，故选：A．4．C【分析】此题考查了分式的求值，根据分式的性质计算即可作出判断．【详解】解：嘉嘉：∵ba∴b=2∴b故嘉嘉正确；淇淇：∵ba∴可设a=3k，b=2k，∴ba+b故淇淇正确；综上可知，两人都正确，故选：C5．C【分析】本题考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理判定直角三角形．根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定方法解答即可．【详解】解：图①中，另一个角为180°−30°−75°=75°，因此该三角形中有两个角相等，该三角形是等腰三角形；图②中，另一个角为180°−25°−65°=90°，因此该三角形是直角三角形；图③中，有两条边相等，又有一个内角是60°，从此该三角形是等边三角形；图④中，因为62综上，判断正确的是C选项．故选：C6．C【分析】本题考查了勾股定理，过点A作AD'⊥BC于D′，根据等腰三角形的性质求出BD′，再确定【详解】解：如图，过点A作AD′⊥BC∵AB=AC=10cm，BC=16∴BD∴0≤DD′≤B在Rt△ABD′中，AB=10则AD∴在Rt△ADD′当点D与点D′重合时，AD的最小值为6当点D与点B或点C重合时，AD有最大值为10cm∴AD的长可能是7 cm故选：C．7．B【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质．首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明△ABE为等腰三角形，易得AB=AE=3，然后结合点F，G分别是BE和CE的中点，易得FG是△BEC的中位线，结合三角形中位线的性质可得【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵点F，G分别是BE和CE的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴BC=2FG=5=AD．∴DE=AD−AE=2，故选：B．8．D【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程x+1x−1=m+3+1m+2转化为x−1+1x−1=m+2+1m+2【详解】解：将方程x+1x−1=m+3+∵方程x+1x=m+1m∴x−1=m+2，x−1=1由x−1=m+2，解得：x=m+3，由x−1=1m+2，解得：∴方程x+1x−1=m+3+1m+2故选：D．9．C【分析】首先设3−x2=y+23=z+54=k，求得x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，又由x，【详解】解：设3−x2则x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，∵x，y，z均为非负实数，∴−2k+3⩾03k−2⩾0解得54于是W=3x−2y+z=3(−2k+3)−2(3k−2)+(4k−5)=−8k+8，∴−8×3即−4⩽W⩽−2．∴W的最大值是−2，最小值是−4，∴W的最大值与最小值的和为−6，故选：C．10．C【分析】①根据等边三角形的性质得AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=60°，再根据AE⊥AF得∠EAF=90°，由此可得∠BAC的度数，进而可对结论①进行判断；②证明∠BAC=∠BAF=150°，进而可依据“SAS”判定△ABC和△ABF全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据含有30°角的直角三角形的性质得当∠AEF=30°时，则AF=12EF，此时∠AFE=∠CAF=∠60°，则EF∥④过点A作AM⊥BE于点M，AN⊥CE于点N，先证明△BAF和△EAC全等得BF=EC，S△BAF=S⑤在BD上截取BP=ED，连接AP，设AE与BF交于点H，先证明△ABP和△AED全等得AP=AD，∠BPA=∠EDA，进而再证明△APD是等边三角形得PD=AD，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．【详解】解：①∵△ABE和△AFC是等边三角形，∴AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=60°，又∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°，∠BAC=360°−∠BAE+∠EAF+CAF②连接BC，如图1所示：∵∠BAE=60°，∴∠BAF=∠BAE+∠EAF=150°，又∵∠BAC=150°，∴∠BAC=∠BAF=150°，在△ABC和△ABF中，AC=AF∠BAC=∠BAF∴△ABC≌∴BC=BF，故结论②成立；③连接EF，如图2所示：∵∠EAF=90°，∴当∠AEF=30°时，则AF=1∴∠AFE=∠CAF=∠60°，∴EF∥根据已知条件无法判定EF∥④过点A作AM⊥BE于点M，AN⊥CE于点N，如图3所示：∵∠BAE=∠CAF=60°，∴∠BAE+∠EAF=∠CAF+∠EAF=150°，即∠BAF=∠EAC=150°，在△BAF和△EAC中，AB=AE，∠BAF=∠EAC，AF=AC，∴△BAF≌∴BF=EC，S△BAF∴AM=AN，∴点A在∠BDC的平分线上，∴AD平分∠BDC，故结论④正确；⑤在BD上截取BP=ED，连接AP，设AE与BF交于点H，如图4所示：∵△BAF≌∴∠ABF=∠AEC，在△ABP和△AED中，AB=AE∠ABF=∠AEC∴△ABP≌∴AP=AD，∠BPA=∠EDA，在△EDH中，∠EDH+∠AEC+∠EDH=180°，∵∠ABF=∠AEC，∠EHD=∠BHA，∴∠EDH+∠ABF+∠BHA=180°，在△ABH中，∠BAE+∠ABF+∠BHA=180°，∴∠EDH=∠BAE=60°，∴∠BDC=120°，∵AD平分∠BDC，∴∠BDA=∠CDA=60°，∴∠EDA=∠EDH+∠BDA=120°，∴∠BPA=∠EDA=120°，∴∠APD=180°−∠BPA=60°，∴∠APD=∠BDA=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∴BD=PD+BP=AD+ED，故结论⑤正确，综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个．故选：C．二．填空题11．>12.解：P−Q====∵m−32≥0∴P−Q=m−3∴P>Q故答案为：>．13.2【分析】本题考查了分式方程求解，解决本题的灌浆是将x的值代入方程，列出关于k的方程．根据题意，将x=6代入分式方程，关于k的方程3×6−k=12，求出【详解】解：将x=6代入分式方程3x36∴3×6−k解得k=2故答案为：214．11【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点．熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得BC=BC′=6【详解】解：∵BM=5cm∴BC=6cm∵梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A′∴B′∵BB∴S阴影故答案为：11．14．x>−2【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，先求解y2=ax+2aa≠0【详解】解：∵y2当y2=ax+2a=0，解得：∴y2=ax+2aa≠0与x∵函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数如图，∴kx−b<0时，∴x>−2；故答案为：x>−215．21【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点F与点B关于直线CE对称，CE是BF的垂直平分线，可知CB=CF，根据△ADC和△ABC为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质可知CD=CF，根据等腰三角形的性质可得∠DCF=132°，从而可得∠BCF=42°，根据对称的性质可求∠BCE=21°．【详解】解：如下图所示，连接BF，∵点F与点B关于直线CE对称，∴CE是BF的垂直平分线，∴CB=CF，又∵△ADC和△ABC为两个全等的等腰直角三角形，∴四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴CD=CF，∴∠CDF=∠CFD=24°，∴∠DCF=180°−∠CDF−∠CFD=180°−24°−24°=132°，∴∠BCF=∠DCF−∠DCB=132°−90°=42°，∴∠BCE=1故答案为：21°．16．73【分析】连接并延长CH交AD于点K，连接EK，作EL⊥DA交DA的延长线于点L，由平行四边形性质可得AD=BC=10，AD∥BC，可证明△HDK≌△HFC，再由全等三角形性质得KH=CH，KD=CF，则GH=12EK，求得AE=BE=32，KD=CF=BF=5，∠LAE=45°，推得EL=AL=3，由LK=8，求得【详解】解：连接CH并延长交AD于点K，连接EK，作EL⊥DA交DA的延长线于点L，则∠L=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10，AD∥BC，∴∠HDK=∠HFC，∠HKD=∠HCF，∵点G、H分别是EC、FD的中点，∴EG=CG，DH=FH，GH=1∵在△HDK和△HFC中，∠HDK=∠HFC∠HKD=∠HCF∴△HDK≌△HFCAAS∴KH=CH，KD=CF，∵AB=62，点E、F分别是边AB、BC∴AE=BE=12AB=3∵∠BAD=135°，∴∠LAE=180°−∠BAD=45°，∴∠LEA=90°−∠LAE=45°=∠LAE，∴EL=AL，∵AE=E∴EL=AL=3，∴LK=AD+AL−KD=3+10−5=8，∴EK=E∴GH=1故答案为：732三．解答题17．（1）解：2去括号得：2x+2>3x−4，移项得：2x−3x>−4−2，合并同类项得：−x>−6，系数化为1得：x<6；（2）解：5x−1>3x−4解不等式①得：x>−3解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为−318．（1）解：81==9（2）解：4a=a=ab19．（1）解：原式===2=2aa+1（2）5x解：方程两边同乘xx+1x−1，得∴x=3检验：当x=32时，∴x=3（3）解：∵1a∴a+bab又∵a+b=2，∴2ab∴ab=−1∴a=ab(a+b)=−1×2=−2．20．（1）解：如图所示，△A1B1C（2）如图所示，△A2B（3）S△21．（1）解：如图，取AC的中点D，连接BD，∵AC=2，∴CD=1∵BC=3，∠C=90°∴BD=C∴△ABC是“奇异三角形”；（2）解：分两种情况：如图，当腰上的中线BD=AC时，则AB=BD，过B作BE⊥AD于E，∵AB=AC=20，∴BD=20，ED=1∴CE=10+5=15，∴Rt△BDE中，B∴Rt△BCE中，BC=如图，当底边上的中线AD=BC时，则AD⊥BC，且AD=BC=2BD，设BD=x，则x2∴x2又∵x>0，∴x=80∴BC=2x=85综上所述，底边BC的长为106或822．（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为x+0.3万元．根据题意，得15x解得：x=0.9．经检验，x=0.9是所列分式方程的解且符合题意．则x+0.3=1.2．所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元．（2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩25−m个．根据题意，得0.9m+1.225−m解得403∵m为整数，∴m=14，15或16．∴该停车场有3种购买方案．方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个．∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，∴方案三所需购买总费用最少，最少费用=16×0.9+1.2×9=25.2（万元）．23．建立模型：证明：延长BP交AC于点M，如图1所示：

由三角形外角性质得：∠BPC=∠1+∠PMC,∠PMC=∠A+∠2，∴∠BPC=∠1+∠A+∠2；尝试应用：解：设BD与CE相交于点N，如图2所示：

由“建立模型”得：∠CND